考慮維修時間及相關(guān)性的串聯(lián)系統(tǒng)動態(tài)機會維護策略

錢 倩， 蔣祖華， 楊 振， 胡小才， 劉劍坤

（1.上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240；2.上海外高橋造船有限公司，上海 200137）

由于當前大多數(shù)裝備系統(tǒng)復雜性高，涉及部件數(shù)量多，因此，多部件系統(tǒng)的維護策略優(yōu)化問題越來越受到關(guān)注[1]。相比于傳統(tǒng)單設備部件維護決策問題，多部件系統(tǒng)維護決策更為復雜，近年來也涌現(xiàn)了大量系統(tǒng)層維護模型[2]，其中廣泛應用的為機會維護模型。多部件系統(tǒng)考慮的相關(guān)性主要分為3種[3]：經(jīng)濟相關(guān)性、隨機相關(guān)性（也稱為故障相關(guān)性）和結(jié)構(gòu)相關(guān)性。根據(jù)考慮相關(guān)性種類的不同，機會維護模型可以分為考慮單一相關(guān)性的機會維護模型和考慮聯(lián)合相關(guān)性的機會維護模型。Nguyen等[4]基于部件間的正向和負向經(jīng)濟相關(guān)性建立系統(tǒng)機會維護模型。Wang等[5]考慮部件間經(jīng)濟相關(guān)性，以維修成本最小和系統(tǒng)可用度最高為優(yōu)化目標建立多部件串聯(lián)系統(tǒng)機會成組的維護優(yōu)化模型。蘇春等[6]考慮部件間的經(jīng)濟相關(guān)性，將基于滾動計劃的動態(tài)機會維修策略應用于風電機組維修。Song等[7]考慮部件間故障相關(guān)性與經(jīng)濟相關(guān)性，提出具有固定替換間隔的役齡替換策略和固定檢查間隔的維護策略。Do等[8]針對具有故障相關(guān)性和經(jīng)濟相關(guān)性的兩部件系統(tǒng)進行維修決策優(yōu)化。目前，實際運行系統(tǒng)中存在多種相關(guān)性的耦合作用，但相關(guān)研究大多考慮單一經(jīng)濟相關(guān)性對維護策略的影響。

由于部件結(jié)構(gòu)復雜，維修時間較長，以致于維修時間在系統(tǒng)運行時間內(nèi)所占比重大，因此，若忽略維修時間的影響，將嚴重影響系統(tǒng)的維護決策，進而降低維修效率、增加維修成本。但相關(guān)系統(tǒng)層維護模型多忽略維修時間對維護策略的影響以達到模型的簡化。文獻[9-11]均忽略維修時間對于維護策略的影響。文獻[12]只考慮預防維修時間影響因素來建立系統(tǒng)維修優(yōu)化策略。Vu等[13]考慮了小修時間，但是僅結(jié)合經(jīng)濟相關(guān)性建立系統(tǒng)維護模型。因為預防維護時間大多可提前確定，故僅考慮預防維護時間的維護模型比較簡單。而部件故障發(fā)生具有隨機性，且部件間存在結(jié)構(gòu)相關(guān)性，如何基于聯(lián)合相關(guān)性合理劃分小修時間，實現(xiàn)故障次數(shù)減少、節(jié)省成本升高，具有較大挑戰(zhàn)。

上述研究大多忽略預防維修時間和小修時間對維護策略的影響，且普遍僅基于經(jīng)濟相關(guān)性來進行系統(tǒng)層維護決策，并未涉及考慮多相關(guān)性、多維修時間、多成本劃分的復雜系統(tǒng)動態(tài)維護策略。本文提出一種綜合考慮預防維修時間、小修時間、結(jié)構(gòu)相關(guān)性、經(jīng)濟相關(guān)性因素影響下的多部件系統(tǒng)動態(tài)機會維護策略。首先建立部件層短期維護計劃決策模型，求解單部件最優(yōu)預防維護周期。根據(jù)部件層的決策結(jié)果初步制定試行維修計劃，進一步綜合考慮部件之間結(jié)構(gòu)相關(guān)性、經(jīng)濟相關(guān)性對于維護決策的影響，拓展系統(tǒng)維修節(jié)省成本劃分方法，以維護成本最小化為目標，制定系統(tǒng)層長期維護決策方案。

1 問題描述與假設

針對由n個部件組成的串聯(lián)系統(tǒng)，綜合考慮部件間經(jīng)濟相關(guān)性和結(jié)構(gòu)相關(guān)性，以及預防性維護時間和故障維修時間對于維修策略的影響，進行系統(tǒng)層維護計劃的動態(tài)決策優(yōu)化。系統(tǒng)內(nèi)各部件從全新開始運轉(zhuǎn)，即各部件初始可靠度為“1”?？紤]預防性維護（PM）與故障維修（小修）（CM）作為維修手段。

以系統(tǒng)維修成本最小化為優(yōu)化目標，并應用動態(tài)計劃，將長期計劃與短期計劃相結(jié)合，為該多部件串聯(lián)系統(tǒng)制定動態(tài)機會維護策略，并根據(jù)實際的情況，作如下假設：

a.系統(tǒng)內(nèi)各部件故障率函數(shù)服從尺寸參數(shù)為η，形狀參數(shù)為β的兩參數(shù)威布爾分布；

b.部件之間是故障獨立的[13]，即一個部件失效不會對其他部件造成影響；

c.在預防維護時刻對部件采用完美維護，即對部件執(zhí)行更換操作；在預防維護周期內(nèi)部件發(fā)生故障采用小修，小修僅使部件恢復運轉(zhuǎn)，不改變其失效率[14]；

d.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜，維修時間耗時較長，故預防維修時間和小修時間不可忽略[13]；

e.維修資源足以滿足所有維修任務的要求。

2 考慮相關(guān)性及維修時間的系統(tǒng)動態(tài)機會維修策略

本文采用動態(tài)機會維修策略，在部件層進行成本優(yōu)化，得到每個部件的最優(yōu)預防性維修周期。在此基礎(chǔ)上制定試行維修計劃，保證每個部件至少預防性維修一次。對具有經(jīng)濟相關(guān)和結(jié)構(gòu)相關(guān)的系統(tǒng)層分組維修的成本建模，在此基礎(chǔ)上對于系統(tǒng)層的分組進行優(yōu)化。最終完成系統(tǒng)層最優(yōu)維修計劃的制定。

2.1 部件層維護優(yōu)化

考慮由不同部件i(i=1,2,···,n)組成的多部件串聯(lián)系統(tǒng)。Ti定 義為部件i的預防維護間隔期，在部件的故障率函數(shù)建模中，一般選用威布爾分布對各部件故障率進行描述，所以在預防維護周期內(nèi)部件i 的故障率函數(shù) λi(t)為

式中： βi，ηi分 別為部件i服從的威布爾分布的形狀參數(shù)和尺寸參數(shù)，且βi＞1，ηi＞0； xi是 到時間t為止，部件i的總運行時間，嚴格來說，只有當部件從全新開始運轉(zhuǎn)且維修時間忽略不計時， xi=t。

部件層的決策目標是最小化單位時間內(nèi)部件的維護成本。當部件i 的年齡達到閾值Ti時，對部件進行預防性維護操作；若在預防維護周期內(nèi)部件發(fā)生故障，則采用小修，使得部件恢復運轉(zhuǎn)，但是失效率不變。記Ci(Ti)為 部件i在單個預防性維護周期內(nèi)的維修成本率，可以表示為

式中：Cpi為部件i單 次預防維護成本；Cci為部件i單次故障小修成本； F(0,Ti)為 部件i在預防維護周期Ti內(nèi)發(fā)生故障次數(shù)；ωpi為部件i單次預防維護時長；ωci為部件i單次故障小修時長。

其中，維修成本用維修人員成本率Cla來進行表示，則

因為部件故障率函數(shù)服從威布爾分布，所以F(0,Ti)可寫作

通過式(2)～(5)，可得維修成本率為

2.2 試行維修計劃

基于部件的名義預防維修周期，可進行確定部件的試行維修時間間隔[tb,te]，如圖1所示，其中，tb表示當前時刻，而te的確定要保證所有部件在該時間間隔內(nèi)至少預防維護一次[14]。

記tij（ j≥1） 表示部件i的第j次試行預防維護時刻，則

式中：tis表 示上一次維修完成后至tb的工作時間，那么tb-tis就 是上一次維修完成的時間點；di1表示部件i在 時間間隔(tb,ti1)中的累計停機維修時間，上一次維修完成時間與預計維修間隔、累積停機時間之和即為下一次維修的時刻；ti(j-1)表 示部件i的第j-1次 試行預防維護時刻；dij表 示 部 件i在 時間間隔(ti(j-1),tij)中的累計停機維修時間，有

圖1 考慮維修時間和結(jié)構(gòu)相關(guān)性的維修計劃動態(tài)更新Fig.1 Dynamic maintenance plan considering maintenance duration and structural dependence

2.3 系統(tǒng)維修成本建模

在系統(tǒng)層考慮多個部件之間存在的結(jié)構(gòu)相關(guān)性和經(jīng)濟相關(guān)性，在試行維修計劃的基礎(chǔ)上，建立維護計劃調(diào)整下的節(jié)省成本模型，對串聯(lián)系統(tǒng)中各個部件的維護作業(yè)進行動態(tài)優(yōu)化調(diào)整。其中，多個部件同時維修可以節(jié)省固定的維修成本，部件之間具有經(jīng)濟相關(guān)性；多個結(jié)構(gòu)上有關(guān)聯(lián)的部件同時維修可以節(jié)省維修時間，部件之間具有結(jié)構(gòu)相關(guān)性。

在第u個系統(tǒng)試行維修時間間隔內(nèi)，當其中一個部件最先到達預防維護時間點tij時，將此作為系統(tǒng)層的維護機會點，管理者需要決策是否需要將剩余非修部件的預防維護作業(yè)提前至tij一起實施，以避免系統(tǒng)的頻繁維護。對于非修部件，若和當前部件組合Gl一起進行維護，節(jié)省的費用EP(Gl)＞0，則將非修部件維護作業(yè)提前加入至當前維護集合。因此，將一個試行維修時間間隔內(nèi)的 n個部件分成 k組，每組部件用Gl(l=1,2,···,k)表示，則該階段內(nèi)的系統(tǒng)維修任務可表示為成組集合GS ，其中G1,G2,···,Gk是 GS的互斥子集。每次預防性維護都是將一個組合Gl中的所有部件同時更換，每組部件同時維護可節(jié)省的成本被劃分為以下3部分：

a.維修準備節(jié)省成本，記為SGl，這是開展維護工作前的準備成本，包括維護工具成本、維護人員運輸成本、拆裝成本等，當幾個部件同時維護時這部分成本只需要花一份。

式中，Si表示部件i的維修準備成本。

農(nóng)業(yè)建設項目是近年來國家投資的重點之一，立項渠道更多、投資額度更大、涵蓋內(nèi)容更廣、單體設計標準更高。隨著主管部門監(jiān)管力度的不斷增強，農(nóng)業(yè)建設項目的立項審批、竣工驗收標準也變得更加嚴格。這就要求甲方在項目管理工作中抓住重點，重視前期工作管理，為項目順利實施打下堅實基礎(chǔ)，從而為建設項目的質(zhì)量提供可靠保障。

b.懲罰成本，記為PGl：是指由于提前某些部件維修計劃會導致部件工作壽命未被充分利用，或延遲某些部件維修計劃會導致部件故障風險增加而付出一定的懲罰成本，參考文獻[13]，計算如下：

式中，tGl表 示Gl的維護周期。懲罰成本PGl所得一般為負值，在總費用中起反作用。

c.停機損失節(jié)省成本，記為DGl，這是多個部件同時進行預防性維護時可節(jié)省系統(tǒng)的停機時間，進而降低的總停機成本。由于部件間存在結(jié)構(gòu)相關(guān)性，則對某個部件進行維修時，需要對其他部件進行拆解，因此多個部件同時維修可節(jié)省一部分維修時間。針對此種相關(guān)性，每個部件i的維修時間可分為兩部分：僅屬于該部件不可分攤的拆裝時間dir-，共同維修時由于結(jié)構(gòu)相關(guān)性可分攤的拆裝時間dis-，其中“-”為p表示預防性維護，“-”為c表示故障小修。用相關(guān)系數(shù)α（0≤α≤1）表示各部件之間結(jié)構(gòu)相關(guān)性強弱： α=0表示各部件之間無結(jié)構(gòu)相關(guān)性；α=1表示部件之間存在強結(jié)構(gòu)相關(guān)性，此時維修時間為

則停機損失節(jié)省成本計算公式如下：

式中，Cu表示系統(tǒng)單位停機損失成本。

所以，Gl的總節(jié)省費用記為 EP(Gl)，其值為

2.4 系統(tǒng)維護優(yōu)化策略

上述系統(tǒng)層維修成本隨著分組方式的不同而變化，因此本節(jié)進行系統(tǒng)層分組的優(yōu)化。假設H代表系統(tǒng)中部件的集合，將短期時間間隔[tb,te]內(nèi)H中的n個 部件分成k 組，每組部件用Gl(l=1,2,···,k)表示，則系統(tǒng)維修任務可表示為成組集合GS，其中

問題求解的核心在于尋找最佳的分組方式Gl(l=1,2,···,k)，遵循數(shù)學規(guī)范，決策變量設定為xil(i∈H,l=1,2,···,k)：

故系統(tǒng)內(nèi)所有部件節(jié)省總成本為各組節(jié)省成本之和，其值 EPT為

因此，系統(tǒng)級維修優(yōu)化問題可被劃分為兩個子問題：尋找最優(yōu)劃分組合問題和每組部件最優(yōu)維護周期決策問題。其中劃分組合為GS*={G*1,G*2,···,G*k}，每組最優(yōu)維護周期為]，從而使得系統(tǒng)在短期時間間隔內(nèi)的總節(jié)省成本最大。因此，由以上各部分建模，得到系統(tǒng)級維修優(yōu)化模型為

決策變量均為0-1變量，此模型通過遺傳算法進行求解得到優(yōu)化后的多部件系統(tǒng)層維護計劃，具體結(jié)果見下文。

3 實例計算

為驗證上述優(yōu)化模型的有效性，以某機械系統(tǒng)（含9個部件）為例進行分析，各部件串聯(lián)。

系統(tǒng)單位停機損失成本為Cu=3 000元/d，維修人員成本率為Cla=300 元/d。假設部件故障率函數(shù)滿足兩參數(shù)威布爾分布，相應參數(shù)及維護相關(guān)參數(shù)如表1所示（費用參數(shù)單位均為元，時間參數(shù)單位均為d）。

3.1 部件層維護優(yōu)化

不考慮部件間經(jīng)濟相關(guān)性和結(jié)構(gòu)相關(guān)性的影響，根據(jù)上文要求對系統(tǒng)內(nèi)各部件進行維修優(yōu)化，并通過設置小修時間 ωci(i=1,2,···,n)值，分別得到僅考慮預防維修時間（即 ωci=0）和同時考慮預防維修時間和小修時間兩種情況下的各部件最優(yōu)維護周期、對應最優(yōu)維修成本率及維修時刻，如表2所示。

表2中，Ti*（PM）表示僅考慮預防維修時間情況下的部件最優(yōu)維護周期，Ti*（PM&CM）表示同時考慮預防維修時間和小修時間情況下的部件最優(yōu)預防維護周期，其他同理。由表2可得，當同時考慮PM和CM時，故可確定試行維修時間間隔為[0,435]。根據(jù)表2所得的各部件最優(yōu)維護間隔期Ti*，在只考慮預防維修時間、同時考慮預防維修時間和小修時間兩種情況下，系統(tǒng)各個部件的預防維護時刻點示意圖分別如圖2和3所示。

從表2可見，相對于只考慮預防維修時間的情況，同時考慮預防維修時間和小修時間能夠保證達到更優(yōu)的部件級維護計劃，其中每個部件的替換周期值提前了35.55%?73.56%，總維修成本率降低了21.99%。為了進一步明確小修時間對于部件維護優(yōu)化的影響，以部件3為例，固定其他參數(shù)值不變，將部件3小修時間依次設置為0.5的整數(shù)倍（即ωci=0.5 k ，k=1,···,10），計算不同小修維修時間下的部件最優(yōu)維修周期和對應所節(jié)省維修成本率（與只考慮預防維修時間相比），所得結(jié)果如圖4和圖5所示。

從圖4和圖5可知，隨著小修時間的增加，部件3的最優(yōu)維護周期逐漸減小，且部件3節(jié)省成本率逐漸升高，說明當部件復雜性越高，小修時

表1 系統(tǒng)各部件相關(guān)參數(shù)Tab.1 Related parameters of variouscomponents

間越長時，考慮小修時間對于維護策略的有效性越高。

表2 部件級維護優(yōu)化值Tab.2 Individual maintenance optimization results

圖2 各部件維修時間（PM）Fig.2 Maintenancetime of each component (PM)

圖3 各部件維修時間（PM&CM）Fig.3 Maintenance time of each component (PM &CM)

3.2 考慮相關(guān)性及維修時間的系統(tǒng)層維修優(yōu)化

分別考慮以下3種情況：

情況1（S1） 同時考慮預防維修時間和小修時間影響，只考慮部件間存在經(jīng)濟相關(guān)性，不考慮部件間結(jié)構(gòu)相關(guān)性影響[13]，求解劃分組合和預防維護周期的最佳組合，以及對應的系統(tǒng)節(jié)省總費用。

情況2（S2） 只考慮預防維修時間影響，并考慮部件間結(jié)構(gòu)相關(guān)性和經(jīng)濟相關(guān)性影響，設定不同結(jié)構(gòu)相關(guān)系數(shù)，分別求解對應的各組合節(jié)省費用和系統(tǒng)節(jié)省總費用。

情況3（S3） 同時考慮預防性維修時間和小修時間影響，并考慮部件間結(jié)構(gòu)相關(guān)性和經(jīng)濟相關(guān)性的影響，設定不同結(jié)構(gòu)相關(guān)系數(shù)，分別求解對應的各組合節(jié)省費用和系統(tǒng)節(jié)省總費用。

圖4 不同小修時間下最優(yōu)維護周期Fig.4 Optimal replacement cycle under different CM durations

圖5 不同小修時間下節(jié)省維修成本率Fig.5 Additional cost saving rate under different CM durations

以上3種情況均采用系統(tǒng)機會維護策略，并應用遺傳算法分別進行求解。觀察到當情況3中的相關(guān)系數(shù)α取0時，情況3將退化為情況1。

情況1的最優(yōu)分組結(jié)構(gòu)如表3所示，系統(tǒng)各個部件的預防維護時刻點示意圖如圖6所示。

圖6繪制了不考慮結(jié)構(gòu)相關(guān)性時各部件進行維護的維修時刻。從表3可知，當部件間存在經(jīng)濟相關(guān)性時，與單獨對各部件進行維修優(yōu)化相比，利用機會維護策略將多個部件進行組合維護可有效節(jié)省系統(tǒng)維修成本，其中系統(tǒng)節(jié)省總成本為2724.35元,節(jié)省成本率為14.09%。

情況2和3中同時考慮結(jié)構(gòu)相關(guān)性和經(jīng)濟相關(guān)性進行維修計劃的優(yōu)化，表4顯示了在考慮不同維修時間情況下，設置不同結(jié)構(gòu)相關(guān)系數(shù)時系統(tǒng)節(jié)省總費用。

從表4中數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)，部件間結(jié)構(gòu)相關(guān)性對維修費用的節(jié)省有較大作用，系統(tǒng)節(jié)省總成本隨著部件間結(jié)構(gòu)相關(guān)系數(shù)的增加而遞增。從情況3對應的數(shù)據(jù)可知，當部件間結(jié)構(gòu)相關(guān)系數(shù)為0.4時，運用本文的系統(tǒng)級優(yōu)化策略可節(jié)省總成本5492.19元，與不考慮部件間相關(guān)性情況相比，降低成本率為4.58%；與僅考慮經(jīng)濟相關(guān)性情況（此時結(jié)構(gòu)相關(guān)系數(shù)為0）相比，維修成本降低7619.4元。

綜合情況2和3來看，在同一結(jié)構(gòu)相關(guān)系數(shù)下，與僅考慮預防維修時間情況相比，同時考慮預防維修時間和小修時間時系統(tǒng)節(jié)省費用進一步增加。當部件間結(jié)構(gòu)相關(guān)系數(shù)為0.4時，情況3的系統(tǒng)節(jié)省總成本比情況2的系統(tǒng)節(jié)省總成本高1591.41元，且兩情況下的系統(tǒng)節(jié)省總成本差值隨著結(jié)構(gòu)相關(guān)系數(shù)的增加而遞增，說明同時考慮小修時間和部件間結(jié)構(gòu)相關(guān)性能夠有效節(jié)省系統(tǒng)維修成本，驗證了本文考慮預防維修時間、小修時間、結(jié)構(gòu)相關(guān)性和經(jīng)濟相關(guān)性多重因素時，維修優(yōu)化策略在經(jīng)濟上具有優(yōu)勢。因此，在復雜的多部件系統(tǒng)維護中，需考慮多重影響因素建立維修優(yōu)化模型，進而實現(xiàn)更加科學合理的決策優(yōu)化。

表3 考慮經(jīng)濟相關(guān)性的最優(yōu)分組Tab.3 Optimal grouping considering economic dependence

圖6 各部件維修時間Fig.6 Maintenance time of each component

表4 不同相關(guān)系數(shù)下節(jié)省費用Tab.4 Cost savings under different correlation coefficients

4 結(jié)束語

本文針對復雜多部件系統(tǒng)制定機會維修優(yōu)化策略時考慮因素的局限性，建立了考慮預防維修時間、小修時間、結(jié)構(gòu)相關(guān)性與經(jīng)濟相關(guān)性因素影響下的多部件串聯(lián)系統(tǒng)動態(tài)機會維護模型。以某復雜機械系統(tǒng)為研究對象，以系統(tǒng)多部件維修節(jié)省成本最大（即維修成本最?。閮?yōu)化目標，建立考慮多種維修時間和相關(guān)性的動態(tài)機會維護模型，并采用遺傳算法進行優(yōu)化求解。從算例優(yōu)化結(jié)果可知，與現(xiàn)有的考慮單一部件相關(guān)性及忽略小修時間的系統(tǒng)維修優(yōu)化模型相比，本文提出的4重因素影響下的機會維護策略可以動態(tài)調(diào)整系統(tǒng)維修策略，從而有效降低系統(tǒng)總維修成本，該策略更符合實際應用情況。下一步將拓展已有相關(guān)性，考慮更多相關(guān)性影響下的系統(tǒng)機會維護模型與策略。