齊次定理和疊加定理的推論及應(yīng)用

張莊儼 田社平 張 峰

(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

齊次定理和疊加定理是線性系統(tǒng)的線性性質(zhì)在電路中的體現(xiàn)，它們也是求解線性電路常用的方法和手段。為了鍛煉學(xué)生理解電路和分析電路的能力，電路理論教材往往會編寫諸多應(yīng)用齊次定理和疊加定理求解的電路習(xí)題[1-3]。這些習(xí)題中往往包括這樣兩類問題：①在單一激勵的線性電路中，根據(jù)兩次測得的多個響應(yīng)，求解未知的響應(yīng)。②在多個激勵的線性電路中，其中一個激勵可變，根據(jù)三次測得的多個響應(yīng)，求解未知的響應(yīng)。在教學(xué)過程中，這兩類問題往往可以基于齊次定理和疊加定理，得出更為簡便的分析方法。為此，將此分析方法總結(jié)為齊次定理和疊加定理的兩個推論，并給出了它們的應(yīng)用。

1 推論

推論1：在只有一個激勵(理想電壓源和理想電流源)的線性電路中，任取電路中兩個(電流或電壓)響應(yīng)，假設(shè)在某激勵x1下的兩個響應(yīng)分別為y11、y21，在另一激勵x2下的兩個響應(yīng)分別為y12、y22，則有

(1)

證明：假設(shè)兩個響應(yīng)對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為H1、H2，由齊次定理可知

y11=H1x1，y12=H1x2

(2)

由上式可得

(3)

同理可得

(4)

由式(2)、式(4)即可得到結(jié)論式(1)。得證。

推論1表明了在單一激勵線性電路中響應(yīng)比例與對應(yīng)激勵比例相等，它可看作是齊次定理的一個推論。推論1可通過圖1予以直觀的解釋，圖1中ΔOAB～ΔOCD，因此易知，y11/y12=x1/x2。

圖1 推論1的直觀解釋

推論2：在有多個激勵(理想電壓源和理想電流源)的線性電路中，任取電路中兩個(電流或電壓)響應(yīng)，假定這多個激勵中只有一個激勵x可以變化。如果激勵x分別取x1、x2、x3下的兩個響應(yīng)分別為(y11、y21)、(y12、y22)、(y13、y23)，則有

(5)

證明：假設(shè)兩個響應(yīng)對激勵x1的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分別為H1、H2，則由疊加定理有

(6)

上式中，b1表示除激勵x1之外的激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)。由上式可得

(7)

同理可得

(8)

由式(7)、式(8)即可得到結(jié)論式(5)。得證。

圖2 推論2的直觀解釋

2 應(yīng)用

例1：如圖3所示，N僅由電阻組成，已知當(dāng)開關(guān)S斷開時u1=9 V，i2=3 A；當(dāng)開關(guān)S閉合時u1=8 V。試求開關(guān)S閉合時的電流i2。

圖3 例1電路

解：圖3電路在開關(guān)S斷開和閉合時是兩種不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的電路，但注意到虛線右邊的電路在開關(guān)S斷開和閉合時是不變的，因此，其中的電路響應(yīng)仍然滿足推論1的條件，由推論1可得

9/8=3/i2

解得i2=(8/3) A。

例2[1]：如圖4所示，N為含獨立源線性電阻電路，已知當(dāng)R=1 Ω時，I1=0.5 A，I2=4 A；當(dāng)R=2 Ω時，I1=1 A，I2=3 A。當(dāng)R=5 Ω時，測得I1=1.5 A，試求此時的I2。

圖4 例2電路

解：為便于比較，先給出常見的解法。將圖4電路R左邊部分等效為戴維南電路，如圖5所示，則電流I為

I=UOC/(R+Req)

圖5 圖4電路的等效電路

用電流源I置換電阻R，由疊加定理可知

(a)

將已知條件R=1 Ω、2 Ω、5 Ω時，I1=0.5 A、1 A、1.5 A代入式(a)中第一式，得

解得Req=1 Ω。再將已知條件R=1 Ω、2 Ω時，I2=4 A、3 A代入式(a)中第二式，得

解得h2UOC=6 V，b2=1 A。當(dāng)R=5 Ω時，I2為

I2=[6/(5+1)+1]=2 A

下面再利用推論2來求解。顯然，利用替代定理用電流源I置換電阻R之后，電路包含電流源I的激勵和電路N中的激勵，而且只有電流源I的激勵是變化的，因此例2滿足推論2的條件。首先列出已知條件，見表1。由推論2及表1中數(shù)據(jù)直接寫出

即解得I2=2 A。

表1 例2的已知條件

兩相比較，可以看出利用推論2求解顯得非常簡潔。此外，題目所給電阻R的值并非必要條件。

許多教材中電路分析題都可應(yīng)用推論2求解。下面再舉一例。

例3[2]：如圖6所示，N為含獨立源線性電阻電路，當(dāng)a、b端接電阻R=4 Ω時，uab=4 V，I=1.5 A；當(dāng)a、b端接電阻R=12 Ω時，uab=6 V，I=1.75 A。問當(dāng)a、b端接電阻R為多少時I=1.9 A？

圖6 例3電路

本例利用推論2求解也是非常簡潔的。將題設(shè)已知條件及待求量列于表2，其中列出了R支路電流的兩個計算結(jié)果。

表2 例3的計算數(shù)據(jù)

由表2中數(shù)據(jù)，利用推論2，可得

分別解得uab3=7.2 V，iab3=0.2 A。由歐姆定律得出I=1.9 A時的電阻R=uab3/iab3=36 Ω。

上面兩個例子都利用了響應(yīng)差值比例相等的性質(zhì)。下面的例子則利用響應(yīng)差值比例和激勵差值比例相等的性質(zhì)進(jìn)行求解。

例4[2]：如圖7所示，IS=2 A時，I=-1 A；IS=4 A時，I=0。若要使I=1 A，IS應(yīng)為多少？

圖7 例4電路

利用推論2，易知

解得IS=6 A。可見，求解過程直接、明了。

3 結(jié)語

討論了齊次定理和疊加定理的兩個推論，針對特定的電路分析問題類型，它們都可得到很好的應(yīng)用，使得分析求解過程非常簡潔。這兩個推論并不難理解，它們也反映了線性電路在特定測試條件下的性質(zhì)。在合適的條件下利用這兩個推論，可達(dá)到事半功倍的效果。