基于小生境的多目標(biāo)進(jìn)化算法

顧清華，駱家樂(lè)，李學(xué)現(xiàn)

1.西安建筑科技大學(xué) 管理學(xué)院，西安 710055

2.西安建筑科技大學(xué) 西安市智慧工業(yè)感知、計(jì)算與決策重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710055

3.西安建筑科技大學(xué) 資源工程學(xué)院，西安 710055

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題廣泛存在于工程應(yīng)用領(lǐng)域，這類問(wèn)題的顯著特征是具有多個(gè)相互沖突的目標(biāo)。這類問(wèn)題不能得到單一的最優(yōu)解，而是一組折衷解，稱為帕累托最優(yōu)解。一般來(lái)說(shuō)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不僅計(jì)算復(fù)雜，而且難以有效地求解該類問(wèn)題。進(jìn)化算法被認(rèn)為是求解該類問(wèn)題的有效方法。然而，隨著目標(biāo)維數(shù)的增加，非支配解的數(shù)量呈指數(shù)增長(zhǎng)[1]，基于帕累托支配的選擇標(biāo)準(zhǔn)無(wú)法區(qū)分候選解，導(dǎo)致難以獲取兼具良好收斂性和多樣性的解集。為了解決以上問(wèn)題，許多方法被提出，大致可以分為以下三類。

第一類是定義新的支配關(guān)系取代算法中普遍采用的帕累托支配關(guān)系。在廣義帕累托最優(yōu)支配GPO（generalized Pareto optimality）[2]和角度支配（angle dominance）[3]中，通過(guò)擴(kuò)大單個(gè)解的支配區(qū)域來(lái)放松嚴(yán)格的帕累托支配關(guān)系，不可避免地會(huì)面臨確定不同特征問(wèn)題松弛程度的障礙。受到分解方法的啟發(fā)，一些學(xué)者提出了SDEA支配（scalarization-based dominance evolutionary algorithm）[4]和RPS支配（reference points strengthened dominance relation）[5]。即使將以上支配關(guān)系嵌入進(jìn)化算法能夠促進(jìn)解的收斂性，但是由于缺乏多樣性維護(hù)機(jī)制，導(dǎo)致解的多樣性較差。為了維護(hù)解的多樣性，Tian等人[6]利用候選解之間角度的小生境技術(shù)提出了SDR支配（strengthened dominance relation）。在SDR支配的基礎(chǔ)上，Yang等人[7]和Shen等人[8]分別提出了CDR支配（considering convergence dominance relation）和自適應(yīng)控制SDR支配中收斂度和小生境的大小的支配關(guān)系CSDR（controlled strengthened dominance relation）。但是，其中涉及到多個(gè)參數(shù)，不同的問(wèn)題對(duì)這些參數(shù)的敏感程度不同。

第二類是設(shè)計(jì)特殊的收斂性和多樣性維護(hù)策略。例如，在向量角引導(dǎo)搜索的算法VaEA（vector anglebased evolutionary algorithm）[9]中，最大向量角優(yōu)先原則和劣解消除原則用于臨界層選擇候選解。但是，解決規(guī)則特征的帕累托前沿問(wèn)題的性能差[10]。在MSEA（multi-stage evolutionary algorithm）[11]、TSEA（multistage evolutionary algorithm）[12]、TSGA-II（two-stage genetic algorithm）[13]中，兩階段搜索策略來(lái)選擇候選解，其中，第一個(gè)階段基于收斂性選擇候選解，第二階段基于多樣性選擇候選解。但是，兩階段搜索策略不但需要設(shè)定較多的參數(shù)來(lái)預(yù)判進(jìn)化所處的階段，而且進(jìn)化狀態(tài)也難以預(yù)判，如果誤判進(jìn)化所處的階段會(huì)削弱算法的性能。受到拐點(diǎn)驅(qū)動(dòng)種群搜索策略的啟發(fā)，Zhao等人[14]設(shè)計(jì)了一種偏好拐點(diǎn)促進(jìn)種群向帕累托前沿搜索的算法。但是，識(shí)別拐點(diǎn)是一個(gè)難題，而且難以控制拐點(diǎn)區(qū)域的范圍。此外，一些學(xué)者設(shè)計(jì)了自適應(yīng)參考點(diǎn)的方法[15-16]處理不規(guī)則帕累托前沿的問(wèn)題，但是缺點(diǎn)就是每一代都加入了許多參考點(diǎn)，降低了算法的效率且處理規(guī)則的帕累托前沿問(wèn)題的性能差。

第三類是采用分解的方法。其中，分解方法包含兩種分解思想。第一種分解思想是將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題分解為一組單目標(biāo)子問(wèn)題。MOEA/D（decomposition-based many-objective evolutionary algorithm）[17]是該種類型最具代表性的算法。但是，它僅僅適合求解2至3個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題。因此，許多MOEA/D的變體[18-20]被提出來(lái)求解高維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題（目標(biāo)維數(shù)超過(guò)三個(gè)的優(yōu)化問(wèn)題）。第二種分解思想是將目標(biāo)空間劃分為一系列子區(qū)域。例如，在NSGA-III（nondominated sorting genetic algorithm）[21]和MaOEADRA（many-objective evolutionary algorithm based on dominance and decomposition）[22]中，目標(biāo)空間被一組權(quán)重向量劃分為許多子區(qū)域。但是，它們求解退化和不連續(xù)等特征的帕累托前沿問(wèn)題性能較差。因此，一些學(xué)者設(shè)計(jì)了自適應(yīng)分解策略[23-24]求解不規(guī)則帕累托前沿問(wèn)題。

即使以上的方法在一定程度上能提高多目標(biāo)進(jìn)化算法的求解性能，但是，大多數(shù)方法需要預(yù)先設(shè)定參數(shù)，而且大多數(shù)參數(shù)對(duì)于不同特征的問(wèn)題普適性較差，不合適的參數(shù)會(huì)削弱算法的求解性能，導(dǎo)致難以平衡收斂性和多樣性。此外，目標(biāo)維數(shù)的增加會(huì)嚴(yán)重削弱對(duì)帕累托前沿的選擇壓力，給算法的收斂過(guò)程和多樣性維護(hù)產(chǎn)生極大的挑戰(zhàn)，特別是對(duì)于大部分采用帕累托支配關(guān)系作為主要選擇標(biāo)準(zhǔn)的算法。針對(duì)以上問(wèn)題，本文做了兩點(diǎn)貢獻(xiàn)：（1）首先，基于小生境，提出了SDN支配關(guān)系（niching based strengthened dominance），其中，設(shè)計(jì)了一個(gè)聚合函數(shù)和一種采用目標(biāo)向量角的密度估計(jì)方法分別度量單個(gè)解的收斂性和分布性。因此，相較于現(xiàn)存的僅考慮收斂性的支配關(guān)系，被提出的支配關(guān)系同時(shí)考慮了解集的收斂性和多樣性。（2）將提出的支配關(guān)系嵌入VaEA，設(shè)計(jì)了VaEA-SDN算法，其中，SDN支配關(guān)系取代VaEA中的帕累托支配關(guān)系，極大地提升了VaEA求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題平衡收斂性和多樣性的能力。

1 相關(guān)背景

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

以最小問(wèn)題為例，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可以用以下數(shù)學(xué)公式（1）表示：

其中，x=( x1,x1,…,xn)T∈Ω是n維決策向量，Ω是決策空間，?M是M維目標(biāo)空間，F(xiàn):Ω→?M是由決策空間Ω映射到M維目標(biāo)空間?M的目標(biāo)值組成的目標(biāo)向量，fi()x是決策變量映射到目標(biāo)空間在第i個(gè)目標(biāo)上的目標(biāo)值。

1.2 帕累托支配、非支配解、帕累托最優(yōu)集、帕累托前沿

定義1（帕累托支配）對(duì)于一個(gè)最小化的問(wèn)題，對(duì)于給定的兩個(gè)解x和y，解x帕累托支配解y，被標(biāo)記為xy，當(dāng)且滿足：

如果對(duì)于給定的兩個(gè)解x和y，如果解x不滿足帕累托支配解y的條件，解y也不滿足帕累托支配解x的條件，那么解x和y是互不支配的，被標(biāo)記為xy，y。

定義2（非支配解）對(duì)于決策空間的一個(gè)解x∈Ω，如果不存在任何x′∈Ω支配解x，被標(biāo)記為′∈Ω，x′x，那么解x被稱為非支配解。

定義3（帕累托最優(yōu)集）由非支配解構(gòu)成的集合稱為帕累托最優(yōu)集，被標(biāo)記為

定義4（帕累托前沿）由帕累托最優(yōu)集映射到目標(biāo)空間組成的集合稱為帕累托前沿，PF={F (x)∈|x∈P}。

定義5（小生境）在進(jìn)化算法中，所有解構(gòu)成的集合被稱為種群，每一個(gè)種群成員對(duì)應(yīng)一個(gè)解，生物體的生存空間對(duì)應(yīng)進(jìn)化算法中的目標(biāo)空間。小生境[25]是指目標(biāo)空間的局部子種群。

定義6（目標(biāo)向量角）目標(biāo)向量角指目標(biāo)空間的兩個(gè)解之間的銳角，它可以反映兩個(gè)解在搜索方向的相似性。對(duì)于兩個(gè)解u和v，二者之間的目標(biāo)向量角可以按以下公式（3）計(jì)算：

其中，F(xiàn)′(u)和F′(v)是兩個(gè)解各自歸一化后的目標(biāo)向量，F(xiàn)′(u)·F′(v)是兩個(gè)解目標(biāo)向量的內(nèi)積，‖ F′(u)‖和‖ F′(v)‖是兩個(gè)解目標(biāo)向量的二范數(shù)，arccos(·)是兩個(gè)解的目標(biāo)向量之間的反余弦值。

2 VaEA-SDN算法

2.1 提出算法的整體框架

大多數(shù)的多目標(biāo)進(jìn)化算法主要依靠帕累托支配關(guān)系作為選擇子代的方式。然而，在以非支配解占主導(dǎo)空間的高維目標(biāo)空間，帕累托支配關(guān)系無(wú)法在非支配解之間提供足夠的選擇壓力。此外，帕累托支配關(guān)系并沒(méi)有考慮解集的多樣性。對(duì)于一個(gè)多目標(biāo)進(jìn)化算法來(lái)說(shuō)，應(yīng)該同時(shí)考慮解的收斂性和多樣性。然而，小生鏡可以較好地維持解集的多樣性[25]。在大多數(shù)的多目標(biāo)進(jìn)化算法中，采用歐式距離來(lái)評(píng)估解在目標(biāo)空間的分布性。但是，正如文獻(xiàn)[9]，歐式距離并不適合度量高維目標(biāo)空間解的分布，而目標(biāo)向量角可以利用角度反映解在目標(biāo)空間的搜索的相似性。同時(shí)考慮到解集的收斂性，聚合函數(shù)可以度量解在搜索方向的收斂度。如果種群成員的分布性和收斂度均很好，那么最終整個(gè)種群的收斂性和多樣性將有效地得到維護(hù)。因此，基于小生境，提出了一種同時(shí)考慮收斂性和多樣性的支配關(guān)系來(lái)促進(jìn)種群的收斂性和多樣性，其中，一個(gè)聚合函數(shù)和目標(biāo)向量角的密度估計(jì)方法來(lái)分別度量解的收斂度和分布性。此外，結(jié)合VaEA，將被提出的支配關(guān)系取代VaEA中的帕累托支配關(guān)系。

被提出的支配關(guān)系結(jié)合VaEA的優(yōu)勢(shì)和必要性解釋如下：

在VaEA中，首先，通過(guò)帕累托支配關(guān)系對(duì)種群非支配排序[26]到不同的前沿面。然后，將位于臨界層中的解與外部檔案集中的解關(guān)聯(lián)起來(lái)，采用最大向量角優(yōu)選原則和裂解消除原則[9]從臨界層選擇解來(lái)分別維護(hù)種群的多樣性和收斂性。然而，在VaEA中，外部檔案集中解的選擇是基于帕累托支配關(guān)系。因此，在高維空間，VaEA難以對(duì)外部檔案集進(jìn)行維護(hù)。相較于帕累托支配關(guān)系，本文提出的支配關(guān)系在非支配排序階段就同時(shí)考慮了解的收斂性和多樣性。此外，VaEA中的最大向量角優(yōu)選原則和裂解消除原則一定程度上維護(hù)了位于臨界層解的收斂性和多樣性。VaEA通過(guò)新的非支配排序后，可以進(jìn)一步提高種群的收斂性和多樣性。

依據(jù)以上的解釋，提出的VaEA-SDN算法整體框架與VaEA算法類似，區(qū)別在于VaEA-SDN使用被提出的SDN支配關(guān)系取代帕累托支配關(guān)系對(duì)種群進(jìn)行非支配排序[26]。圖1展示了VaEA-SDN算法的流程圖，以下步驟是對(duì)VaEA-SDN算法流程的具體解釋。

圖1 VaEA-SDN流程圖Fig.1 Flow chart of VaEA-SDN

VaEA-SDN算法的具體步驟如下：

輸入?yún)?shù)：種群的規(guī)模N，迭代次數(shù)t=0，最大迭代次數(shù)Gmax；

1.生成數(shù)量為N的初始種群Pt；

2.通過(guò)遺傳算子執(zhí)行交叉變異產(chǎn)生子代Qt；

3.將父代種群和子代種群合并Pt?Qt=Rt；

4.產(chǎn)生參考集RP_Set；

5.將聯(lián)合種群Rt與每一個(gè)參考點(diǎn)RP關(guān)聯(lián)；

6.使用SDN支配關(guān)系對(duì)聯(lián)合種群Rt中的解非支配排序到不同等級(jí)的前沿面[ F1,F2,…,Fl,…]，其中Fl被稱為臨界層，F(xiàn)l滿足該要求|F1|+|F2|+…+| Fl-1|＜N,且|F1|+|F2|+…+|Fl|≥N。

7.將Rt中位于F1至Fl-1的個(gè)體加入外部檔案集St，即St=F1?F2?…?Fl-1；

8.采用最大向量角優(yōu)選原則和裂解消除原則[9]從臨界層Fl中一個(gè)一個(gè)地選擇K個(gè)解加入到St，其中K=N-||St，直到檔案集St中的種群規(guī)模等于N以構(gòu)成下一代的種群Pt+1，t=t+1；

9.當(dāng)?shù)螖?shù)t達(dá)到預(yù)先設(shè)定的最大迭代次數(shù)Gmax，算法結(jié)束，輸出Pt+1；否則，返回步驟2到步驟8算法繼續(xù)執(zhí)行。

輸出：最終的種群Pt+1

2.2 參考點(diǎn)的產(chǎn)生和關(guān)聯(lián)操作

參考點(diǎn)的產(chǎn)生：由于被設(shè)計(jì)的SDN支配關(guān)系的定義需要利用參考點(diǎn)構(gòu)成的小生境。本文用文獻(xiàn)[27]中的方法產(chǎn)生一組均勻分布在目標(biāo)空間的參考點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)具有M個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，參考點(diǎn)的數(shù)量H按公式（4）確定：

其中，p是沿每個(gè)目標(biāo)軸的分割數(shù)。

關(guān)聯(lián)操作：首先，每個(gè)參考點(diǎn)與原點(diǎn)連接起來(lái)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的參考方向。然后，計(jì)算種群中每個(gè)解與所有參考方向之間的目標(biāo)向量角。最后，將每個(gè)解與最小角度對(duì)應(yīng)的參考方向相關(guān)聯(lián)。

2.3 SDN支配關(guān)系

SDN支配關(guān)系利用參考點(diǎn)的構(gòu)成的小生境，它的主要特點(diǎn)是如果候選解位于同一個(gè)小生境中，收斂度小的解支配收斂度大的解。否則，具有收斂度小且低密度估計(jì)值的解支配另一收斂度大且高密度估計(jì)值的解。

定義7（SDN支配關(guān)系）對(duì)于給定一個(gè)種群P和一組參考點(diǎn)RP_Set。當(dāng)且僅當(dāng)以下任一條件成立，一個(gè)解u被稱為SDN支配另一個(gè)解v，標(biāo)記為uSDNv。

A RP(u)=RP(v)且Con(u)＜Con(v)

B RP(u)≠RP(v)且Con(u)＜Con(v )D(u)＜D(v)

其中，RP(u)表示解u關(guān)聯(lián)的參考點(diǎn)，Con(u)表示解u的收斂度，它通過(guò)將M個(gè)目標(biāo)值相加計(jì)算得出，更小Con(u)值意味著解u更好的收斂性。D(u)表示解u的密度估計(jì)，它是根據(jù)解u所處小生境中解的數(shù)量及其與解u之間的目標(biāo)向量角確定。每個(gè)小生境內(nèi)的解由關(guān)聯(lián)到同一個(gè)參考點(diǎn)的解構(gòu)成。更小的D()u值意味著u解更好地分布。

對(duì)于該支配關(guān)系的解釋如下：當(dāng)解u帕累托支配解v（滿足條件1），則uSDNv。當(dāng)解u和v是互不帕累托支配，但是關(guān)聯(lián)到同一個(gè)參考點(diǎn)時(shí)（滿足條件（2）A），僅僅依據(jù)收斂性度量Con來(lái)比較兩個(gè)解。如果解u的收斂度小于解（即Con(u)＜Con(v)）的收斂度D，則uSDNv。在同一個(gè)小生境中，優(yōu)先考慮收斂性好的解可以確保種群的收斂性。當(dāng)解u和v是互不帕累托支配且關(guān)聯(lián)到不同的參考點(diǎn)時(shí)，同時(shí)依據(jù)解Con和D來(lái)比較兩個(gè)解。如果解u的收斂度小于解v的收斂度（即Con(u)＜Con(v)）且解u的密度估計(jì)值小于解v的密度估計(jì)值（即D(u)＜D(v)）（滿足條件（2）B），則uSDNv。在不同的小生境內(nèi)同時(shí)強(qiáng)調(diào)收斂性和多樣性，可以使種群在保證收斂性的情況下維護(hù)種群的多樣性。以下是如何計(jì)算Con和D。

對(duì)于給定的一個(gè)解u，解u的收斂度按以下公式（5）和（6）計(jì)算：

其中，f~i(u)是解u在第i個(gè)目標(biāo)上歸一化的目標(biāo)值，fimin(x)是種群在第i個(gè)目標(biāo)上的最小值，fimax是種群在第i個(gè)目標(biāo)上的最大值。

解u的密度估計(jì)值按以下公式（7）～（9）計(jì)算：

其中，Angle(u,v)是解u和它的鄰近解v之間的目標(biāo)向量角；θ是RP(u)和它的M個(gè)鄰近參考向量之間的平均向量角；θi是RP(u)和它的第i個(gè)鄰近參考向量之間的角度。如果一個(gè)解的鄰近解越多，且鄰近解與該解之間的夾角越小，則該解將被賦予更大的密度估計(jì)值，表明其更擁擠。因此，該解的分布性就差，不利于種群的多樣性。如果大多數(shù)候選解的收斂度和密度估計(jì)值均越小，種群的收斂性和多樣性就越好。

需要注意的是，如果某一個(gè)參考方向僅僅被關(guān)聯(lián)到一個(gè)解，說(shuō)明在該搜索方向上只有一個(gè)解引導(dǎo)搜索。為了維持種群的多樣性，該解毫無(wú)保留地保存到下一代。

用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明SDN支配。由于在高維空間幾乎所有解都是互不帕累托支配的，因此，假設(shè)被比較的兩個(gè)解互不帕累托支配，一個(gè)解SDN支配另一個(gè)解，存在兩種情況：

情況1兩個(gè)被比較的解關(guān)聯(lián)到同一個(gè)參考點(diǎn)，僅強(qiáng)調(diào)收斂性。依據(jù)它們各自的收斂度來(lái)確定二者之間的支配關(guān)系。正如圖2中展示的那樣，解c和解f是互不支配的，但是它們關(guān)聯(lián)到同一個(gè)參考點(diǎn)RP3。因?yàn)镃on(c)＜Con(f)，所以cSDNf。

圖2 闡述兩個(gè)解之間的SDN支配關(guān)系Fig.2 Illustration of SDN dominance relationship between two solutions

情況2兩個(gè)被比較的解關(guān)聯(lián)到不同的參考點(diǎn)，收斂性和分布性同時(shí)強(qiáng)調(diào)。同時(shí)依據(jù)它們各自的收斂度和密度估計(jì)值來(lái)確定二者之間的支配關(guān)系。正如圖2中展示的那樣，解a和解c是互不支配的，它們分別關(guān)聯(lián)到RP2和RP3。因?yàn)镃on(a)＜Con(f)且D(a)＜D(C)，所以aSDNc。

經(jīng)過(guò)以上對(duì)SDN支配定義及解釋，可以得到SDN的以下屬性。

屬性1 SDN支配在同一個(gè)小生境或不同小生境內(nèi)具備傳遞性，即，對(duì)于?x,y,z∈U,其中U是算法獲得的所有解構(gòu)成的集合，如果xSDNy并且ySDNz,那么xSDNz。

證明x,y,z在同一個(gè)小生境內(nèi)，即RP(x)=RP(y)=RP(z)。

因此，可以推出RP(x)＜RP(z),Con(x)＜Con(z),即xSDNz。

x,y,z在不同的小生境內(nèi)，即RP(x)≠RP(y)≠RP(z)。

因此，可以推出Con(x)＜Con(z),D(x)＜D(z),即xSDNz。

依據(jù)以上分析可知，在高維目標(biāo)空間，幾乎所有的解都是非支配解，帕累托支配關(guān)系無(wú)法提供足夠的選擇壓力。但是，SDN支配可以在候選解之間形成一個(gè)嚴(yán)格的排序，同時(shí)管理候選解的收斂性和多樣性。

就收斂性而言，在同一個(gè)小生境內(nèi)優(yōu)先選擇收斂度最好的解（例如，圖3中被標(biāo)綠的解i）可以保證種群在該搜索方向上向帕累托前沿收斂，并且還可以加快向帕累托前沿的收斂速度，因?yàn)镾DN支配在同一個(gè)小生境內(nèi)具備傳遞性。

圖3 SDN支配在雙目標(biāo)空間平衡收斂性和多樣性Fig.3 Balancing between convergence and diversity for SDN dominance in dual objective space

就多樣性而言，在所有小生境內(nèi)都僅僅保留一個(gè)收斂度最好的解和優(yōu)先考慮不同小生境內(nèi)同時(shí)具備良好收斂性和分布性的解可以保證種群的多樣性。例如，如果所有小生境都分別保留一個(gè)收斂性最好的解（圖3中被標(biāo)綠的解）到下一代，種群將會(huì)朝各個(gè)方向朝帕累托前沿搜索。因此，優(yōu)先選擇圖3中被標(biāo)綠的解可以在保證收斂性良好的情況下，較好地維持種群的多樣性。此外，例如，當(dāng)圖3中位于兩個(gè)不同小生境內(nèi)的解d和解b做比較時(shí)，優(yōu)先選擇具備良好收斂性和分布性的解d可以在維護(hù)收斂的同時(shí)提高多樣性，因?yàn)镾DN支配在不用小生境內(nèi)同樣具備傳遞性。

2.4 計(jì)算復(fù)雜度分析

對(duì)于一個(gè)具有M個(gè)目標(biāo)且種群規(guī)模性為N的優(yōu)化問(wèn)題，VaEA-SDN的計(jì)算復(fù)雜度分析如下：歸一化聯(lián)合種群Rt計(jì)算復(fù)雜度為O(MN)；對(duì)于關(guān)聯(lián)操作，計(jì)算種群成員與參考方向目標(biāo)向量角的計(jì)算復(fù)雜度為O(HN)，其中H是參考點(diǎn)的數(shù)量，但是，參考點(diǎn)的數(shù)量等于種群的規(guī)模。因此，關(guān)聯(lián)操作的計(jì)算復(fù)雜度為O(N2)；計(jì)算收斂性度量Con的計(jì)算復(fù)雜度為O(MN)；計(jì)算密度估計(jì)值度量D的計(jì)算復(fù)雜度為O(N2)；類似利用帕累托支配關(guān)系對(duì)種群進(jìn)行非支配排序的比較次數(shù)，SDN支配對(duì)種群非支配排序的計(jì)算復(fù)雜度為O(MN2)；最后，假設(shè)通過(guò)非支配排序后，臨界層Fl包括L個(gè)解，參照VaEA，最大向量角優(yōu)選原則和裂解消除原則的選擇過(guò)程需要O(ML2)。因此，VaEA-SDN進(jìn)化一代的總體計(jì)算復(fù)雜度為O(MN2)。表1展示了下文進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)的7種算法的計(jì)算復(fù)雜。從表1展現(xiàn)的結(jié)果來(lái)看，對(duì)比算法的計(jì)算復(fù)雜度參照原始論文，SDN支配并未增加VaEA的計(jì)算復(fù)雜度，這個(gè)結(jié)果是可以預(yù)知的。因?yàn)镾DN支配和VaEA中的帕累托支配對(duì)解進(jìn)行非支配排序的比較次數(shù)是一樣的。此外，相比其他5個(gè)對(duì)比算法，VaEA-SDN也并未增加計(jì)算復(fù)雜度。

表1 7種算法的計(jì)算復(fù)雜度Table 1 Computational complexity of seven algorithms

3 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

3.1 測(cè)試問(wèn)題和對(duì)比算法

為了測(cè)試被提出算法的性能，兩組被廣泛使用的基準(zhǔn)測(cè)試系列問(wèn)題DTLZ（Deb-Thiele-Laumanns-Zitzler）[28]和MaF（many-objective function）[29]來(lái)執(zhí)行仿真實(shí)驗(yàn)。因?yàn)镸aF2和DTLZ2的都是凹特征的帕累托前沿測(cè)試問(wèn)題，故在MaF測(cè)試問(wèn)題上執(zhí)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，沒(méi)有選擇MaF2作為測(cè)試問(wèn)題。其他測(cè)試問(wèn)題的特征如表2所示。同時(shí)，選擇6個(gè)先進(jìn)的算法NSGA-III[21]、VaEA[9]、MSEA[11]、NSGAII-CSDR[8]、RPS-NSGAII[5]和CDR-MOEA[7]作為對(duì)比算法。

表2 測(cè)試問(wèn)題及其特征Table 2 Test problems and their characteristics

3.2 算法性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

世代距離（generational distance，GD）[28]、覆蓋帕累托前沿范圍（coverage over the Pareto front，CPF）[30]以及反轉(zhuǎn)世代距離（inverted generational distance，IGD）[31]被用來(lái)定量評(píng)估算法的性能。其中，IGD值越小，表示算法獲得的解集兼具良好的收斂性和多樣性，即算法平衡收斂性和多樣性的能力越好；GD值越小，僅表示算法獲得解集的收斂性越好；CPF值越大，僅表示算法獲得解集的多樣性越好。

設(shè)P*是算法獲得的解集，PF*是沿真實(shí)帕累托前均勻分布的解集，||P*和 ||PF*分別是解集P*和PF*中解的數(shù)量。評(píng)價(jià)算法性能的三個(gè)指標(biāo)的定義如下：

（1）IGD指標(biāo)

其中，d(z,P*)是真實(shí)前沿面PF*上的解z到P*上解的最小歐式距離。

（2）GD指標(biāo)

其中，d(v,PF*)是算法獲得解集P*中解v到至真實(shí)帕累托前沿上的解的最小歐式距離。

（3）CPF指標(biāo)

CPF將所獲得的解集通過(guò)真實(shí)帕累托前沿投影到低維空間計(jì)算投影解集的超立方體的體積，來(lái)度量解的多樣性。

其中，Vol()P*是算法獲得解集構(gòu)成的超立方體體積，Vol( )

PF*是真實(shí)帕累托前沿面上的解集構(gòu)成的超立方體的體積。lM-1v表示算法獲得的解v在M-1維目標(biāo)空間構(gòu)成的立方體的邊長(zhǎng)，lM-1Y表示真實(shí)帕累托前沿面上的解Y在M-1維目標(biāo)空間構(gòu)成的立方體的邊長(zhǎng)。vi和qi算法獲得解v和解q在映射空間第i個(gè)目標(biāo)值，yi和pi是真實(shí)帕累托前沿面上的解在映射空間第i個(gè)目標(biāo)值。

所有仿真實(shí)驗(yàn)都在基于MATLAB的進(jìn)化多目標(biāo)優(yōu)化平臺(tái)Plat-EMO[32]上進(jìn)行，每個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果均是20次獨(dú)立運(yùn)行的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。依據(jù)評(píng)價(jià)指標(biāo)，使用顯著性水平為0.05的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)[33]在統(tǒng)計(jì)學(xué)上將對(duì)比算法的結(jié)果與VaEA-SDN的結(jié)果兩兩進(jìn)行比較，其中“+”“-”和“=”分別表示對(duì)比算法的性能比VaEA-SDN顯著優(yōu)、顯著劣以及在統(tǒng)計(jì)學(xué)上性能相似。

3.3 參數(shù)設(shè)置

（1）遺傳算子：依據(jù)所有對(duì)比算法的原始論文，交叉概率pc=1；變異概率pm=1/D，D是決策變量的數(shù)量；交叉分布指標(biāo)nc=20；變異分布指標(biāo)nm=20。

（2）種群的規(guī)模：種群的規(guī)模N等于參考點(diǎn)的數(shù)量H，表3中展示了不同的目標(biāo)對(duì)應(yīng)的種群規(guī)模，正如文獻(xiàn)[7]和[21]所建議的那樣。

（3）算法的終止條件：每個(gè)算法在每個(gè)測(cè)試問(wèn)題上都獨(dú)立運(yùn)行20次。每次算法在3、5、8、10個(gè)目標(biāo)的測(cè)試問(wèn)題上運(yùn)行的終止條件是對(duì)應(yīng)的最大迭代次數(shù)或評(píng)價(jià)次數(shù)[21]，如表3所示。

表3 種群的規(guī)模和最大迭代次數(shù)Table 3 Population size and maximum number of iterations

（4）對(duì)比算法中的參數(shù)按原始論文設(shè)置：在NSGAIICSDR中，控制小生境規(guī)模的兩個(gè)參數(shù)kmax=1.6，Δk=1.1，控制收斂度的兩個(gè)參數(shù)amax=60，Δa=15。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在本節(jié)中，首先驗(yàn)證被提出的支配關(guān)系的有效性。將在VaEA中嵌入SDN支配的VaEA-SDN與VaEA進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)，采用GD和CPF作為評(píng)價(jià)指標(biāo)以驗(yàn)證被提出的支配關(guān)系可以提高VaEA的收斂性和多樣性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示。然后，為了評(píng)估VaEA-SDN平衡收斂性和多樣性的性能，采用IGD作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，將VaEA-SDN與6個(gè)對(duì)比算法在DTLZ和MaF系列問(wèn)題上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果分別如表5和表6所示。對(duì)于每個(gè)測(cè)試問(wèn)題，最好的結(jié)果突出顯示。

表4 VaEA和VaEA-SDN在DTLZ測(cè)試問(wèn)題上的GD值和CPF值Table 4 GD and CPF values obtained by VaEA and VaEA-SDN on DTLZ test problems

表5 7種算法在DTLZ測(cè)試問(wèn)題上的IGD值Table 5 IGD values of seven algorithms on DTLZ test problems

表6 7種算法在MaF測(cè)試問(wèn)題上的IGD值Table 6 IGD values of seven algorithms on MaF test problems

3.4.1 SDN支配有效性驗(yàn)證

相較于VaEA-SDN，在超過(guò)5個(gè)目標(biāo)具有多模態(tài)特征的DTLZ1和大部分DTLZ3測(cè)試問(wèn)題上，VaEA的收斂性指標(biāo)更好，多樣性指標(biāo)較差。這是因?yàn)殡S著目標(biāo)維數(shù)的增加，DTLZ1的局部帕累托前沿的數(shù)量會(huì)線性遞增，而DTLZ3的局部帕累托前沿的數(shù)量是呈指數(shù)倍增加，VaEA中采用的帕累托支配關(guān)系過(guò)度地強(qiáng)調(diào)解的收斂性，沒(méi)有考慮解的多樣性，使得VaEA陷的局部收斂性較好，但是難以向全局最優(yōu)搜索，GD值更好，CPF值較差。8和10目標(biāo)的DTLZ2的帕累托前沿上的點(diǎn)至坐標(biāo)原點(diǎn)的歐式距離均為1，SDN利用目標(biāo)求和來(lái)度量解的收斂性，可以保證解的收斂性良好，但可能會(huì)使解偏離均勻分布的參考向量。3目標(biāo)的DTLZ5和DTLZ6最終會(huì)在三維空間退化成一條曲線，使得VaEA-SDN的小生境內(nèi)集中過(guò)多的解，其中采用的密度估計(jì)方法難以判斷解的分布性。故而VaEA-SDN在這幾個(gè)測(cè)試實(shí)例上的多樣性比VaEA差。

但是VaEA-SDN的優(yōu)勢(shì)還是很明顯的，從表4中的結(jié)果可知，VaEA-SDN在DTLZ的24個(gè)測(cè)試實(shí)例中均獲得了18個(gè)最佳GD值和CPF值。VaEA-SDN在DTLZ4和DTLZ5上均取得了最佳的收斂性，同時(shí)在這兩個(gè)測(cè)試問(wèn)題上，多樣性也取得了令人滿意的表現(xiàn)。同樣，對(duì)于帕累托前沿特征綜合了DTLZ4和DTLZ5更復(fù)雜的DTLZ6，VaEA-SDN在收斂性和多樣性方面均展現(xiàn)了強(qiáng)大的競(jìng)爭(zhēng)力。對(duì)于DTLZ4和DTLZ2，SDN支配在所有測(cè)試實(shí)例上均改善了VaEA的收斂性。特別是SDN支配使VaEA的多樣性在具有偏好特點(diǎn)的DTLZ4所有測(cè)試實(shí)例均得到了改善。

為了直觀地觀察改進(jìn)策略的性能，圖4中畫出算法VaEA和VaEA-SDN在DTLZ測(cè)試系列中具有代表性的10目標(biāo)DTLZ3和8目標(biāo)DTLZ6上GD值的迭代曲線。很明顯，無(wú)論從收斂速度還是收斂精度方面比較，SDN支配均極大地改善了VaEA的性能。

圖4 VaEA和VaEA-SDN在DTLZ3和DTLZ6上GD值的變化Fig.4 Variation of GD values of VaEA and VaEA-SDN on DTLZ3 and DTLZ6

綜合以上分析和表4中的仿真結(jié)果可知SDN支配可以有效地保證了VaEA的收斂性，同時(shí)提高VaEA的多樣性，這為接下來(lái)執(zhí)行廣泛的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證VaEA-SDN平衡收斂性和多樣性的競(jìng)爭(zhēng)力奠定了基礎(chǔ)。

3.4.2 DTLZ系列測(cè)試問(wèn)題上的性能驗(yàn)證與分析

表5展示了7種算法在DTLZ基準(zhǔn)測(cè)試問(wèn)題上IGD的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。顯然，VaEA-SDN是最佳的優(yōu)化算法，CDR-MOEA緊隨其后，因?yàn)樵?4個(gè)測(cè)試實(shí)例上VaEA-SDN和CDR-MOEA分別獲得了12和9個(gè) 最佳IGD，而NSGA-Ⅲ、VaEA、MSEA、NSGAII-CSDR和RPSNSGAII獲得的最佳結(jié)果數(shù)分別為3、0、3、2、0。相較于VaEA，VaEA-SDN在總共24個(gè)測(cè)試實(shí)例上有22個(gè)結(jié)果超過(guò)了VaEA。以下是對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的詳細(xì)分析。

DTLZ1和DTLZ3是具有多模態(tài)特征的測(cè)試問(wèn)題，這會(huì)對(duì)算法收斂到全局最優(yōu)產(chǎn)生極大的挑戰(zhàn)。從表5的結(jié)果可以觀察到，在這兩個(gè)測(cè)試問(wèn)題上，VaEA-SDN性能略次于NSGAII-CSDR和CDR-MOEA。從圖5所有算法在10目標(biāo)的DTLZ3上所獲解集的平行坐標(biāo)圖來(lái)看，NSGA-III、VaEA、MSEA以及RPS-NSGAII所獲解集的收斂性很差，僅僅只有VaEA-SDN、NSGAII-CSDR和CDR-MOEA可以獲得收斂性且多樣性良好的解集。主要因?yàn)檫@3種算法均在非支配排序階段同時(shí)對(duì)解的收斂性和多樣性進(jìn)行了維護(hù)。這對(duì)于算法然收斂到全局最優(yōu)具有優(yōu)勢(shì)。NSGAII-CSDR和CDR-MOEA利用候選解之間的角度來(lái)自適應(yīng)地確定小生鏡的規(guī)模。此外，CDR-MOEA還采用了一種角度距離維護(hù)多樣性。NSGAII-CSDR依據(jù)進(jìn)化進(jìn)程利用參數(shù)更新小生境的規(guī)模和收斂性度量方法。因此，相比VaEA-SDN，NSGAIICSDR和CDR-MOEA處理具有多模態(tài)特征問(wèn)題的表現(xiàn)更勝一籌。

圖5 7種算法在10目標(biāo)DTLZ3上解集的平行坐標(biāo)圖Fig.5 Parallel coordinates of solution sets obtained by seven algorithms on 10-objective DTLZ3

DTLZ2是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的測(cè)試問(wèn)題。VaEA-SDN在DTLZ2的所有測(cè)試實(shí)例上均取得了最佳的表現(xiàn)。NSGA-III在該測(cè)試問(wèn)題上的性能也不錯(cuò)。由于DTLZ2的帕累托前沿均勻分布在目標(biāo)空間，VaEA-SDN和NSGA-III都引入一組均勻分布的參考點(diǎn)。因此，在保持良好收斂的情況下有效地維護(hù)解集的多樣性。

DTLZ4是具有偏好特點(diǎn)的測(cè)試問(wèn)題。在該測(cè)試問(wèn)題上，VaEA-SDN表現(xiàn)最佳。從圖6解的分布可以直觀地觀察到NSGAII-CSDR和CDR-MOEA所獲解的多樣性特別差。VaEA、MSEA和RPS-NSGAII雖然可以獲取接近且覆蓋整個(gè)帕累托前沿的解，但是解的多樣性較差。即使NSGA-III得到解集多樣性較好，但是只有少數(shù)解分布在真實(shí)帕累托前沿上。只有VaEA-SDN在該測(cè)試實(shí)例上可以得到收斂性和多樣性均良好的解集。

圖6 7種算法在3目標(biāo)DTLZ4上獲得的非支配解集Fig.6 Non-dominated solution sets obtained by seven algorithms on 3-objective DTLZ4

DTLZ5帕累托前沿面具有退化的特點(diǎn)。CDR-MOEA在該問(wèn)題上表現(xiàn)最佳，這是因?yàn)镃DR-MOEA利用單個(gè)解與鄰近參考向量的角度距離可以使解在處理退化問(wèn)題時(shí)保持解盡可能位于鄰近個(gè)體中心，有效地維護(hù)解的多樣性。雖然VaEA-SDN在該問(wèn)題上沒(méi)有獲得最佳的IGD值，但是，它的性能并不差，僅僅緊隨CDR-MOEA其后。在8、10個(gè)目標(biāo)上，VaEA-SDN的表現(xiàn)仍然比NSGA-III、VaEA、MSEA、NSGAII-CSDR和RPS-NSGAII好。圖7（a）展示了7種算法在10目標(biāo)的DTLZ5上IGD值的變化曲線，相比于VaEA，SDN支配關(guān)系極大改善了VaEA的性能，并且進(jìn)化過(guò)程性能穩(wěn)定。

DTLZ6是在DTLZ5上改進(jìn)得到的測(cè)試問(wèn)題。與3目標(biāo)的DTLZ5類似，具有3個(gè)目標(biāo)的DTLZ6最終都會(huì)退化成一條曲線。正如在3.4.1小節(jié)分析的那樣，在這兩個(gè)測(cè)試實(shí)例上VaEA-SDN難以判斷解的分布，故而VaEA-SDN在3目標(biāo)的DTLZ6上表現(xiàn)出了中等的性能。但是，隨著目標(biāo)維數(shù)的增加，VaEA-SDN實(shí)現(xiàn)了最佳的性能。從圖7（b）可以看出來(lái)，即使VaEA-SDN在進(jìn)化早期性能不如CDR-MOEA和NSGAIII-CSDR，但是它的性能改善幅度最大且收斂速度最快，并且在進(jìn)化末期獲得了最佳的表現(xiàn)。

圖7 7種算法在10目標(biāo)的DTLZ5和DTLZ6上IGD值的變化Fig.7 Variation of IGD values of seven algorithms on DTLZ5 and DTLZ6 with 10-objective

3.4.3 MaF系列測(cè)試問(wèn)題上性能驗(yàn)證與分析

DTLZ測(cè)試系列問(wèn)題缺乏凸特征的測(cè)試問(wèn)題。為了更全面地驗(yàn)證被提出VaEA-SDN的優(yōu)勢(shì)，MaF系列測(cè)試問(wèn)題被用來(lái)執(zhí)行進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)。

表6展示了7種算法在MaF系列測(cè)試問(wèn)題上的IGD值，很明顯VaEA-SDN在MaF系列測(cè)試問(wèn)題上極具優(yōu)勢(shì)。因?yàn)閂aEA-SDN在MaF的所有測(cè)試實(shí)例上均優(yōu)于NSGA-III和RPS-NSGAII。此外，相比其他6個(gè)算法，VaEA-SDN在MaF4和MaF5的所有測(cè)試實(shí)例上均展現(xiàn)了最好的表現(xiàn)，同時(shí)在MaF1和MaF3也取得了3個(gè)最佳的結(jié)果。值得注意的是在3目標(biāo)MaF系列測(cè)試上，MSEA的性能與VaEA-SND性能類似，取得了較好的結(jié)果。這是因?yàn)椴幌裨诟呔S目標(biāo)空間，在較低維的3目標(biāo)MaF上依然會(huì)出現(xiàn)較多的非支配解，MSEA利用帕累托帕累托支配關(guān)系不斷重復(fù)判斷種群進(jìn)化所處的階段，然后每次都僅僅替換掉收斂性和多樣性最差的解。因此，MSEA可以在較低維空間保持解集的良好分布和收斂。

為了更直觀地觀察各個(gè)算法的性能指標(biāo)，圖8展示了所有對(duì)比算法在3、5、8、10目標(biāo)的MaF1和MaF5上所獲IGD值的三維柱狀圖。從圖8可以清晰地觀察到RPS-NSGAII和NSGA-III在MaF1上性能較差，而CDRMOEA和NSGAII-CSDR在MaF5上的性能較差，特別是它們?cè)?和10目標(biāo)的MaF5上IGD值都很大，說(shuō)明這兩個(gè)算法處理具有偏好的凸問(wèn)題難以獲得收斂且分布良好的解集。

圖8 7種算法在MaF1和MaF5上獲得的平均IGD值Fig.8 Averange IGD values obtained by seven algorithms on MaF1 and MaF5

圖9展示了所有對(duì)比算法在10目標(biāo)的MaF4和MaF5上的IGD變化曲線。對(duì)于10目標(biāo)的MaF4，圖9（a）可以觀察到VaEA-SDN比VaEA更快且更好地收斂，且在該測(cè)試實(shí)例上取得了最佳性能。對(duì)于10目標(biāo)的MaF5，圖9（b）可以觀察到VaEA和VaEA-SDN在整個(gè)進(jìn)化過(guò)程中性能一直是最好的兩個(gè)算法，但是，VaEA在進(jìn)化早期的性能劣于VaEA-SDN。

圖9 7種算法在10目標(biāo)的MaF4和MaF5上IGD值的變化Fig.9 Variation of IGD values of seven algorithms on MaF4 and MaF5 with 10-objective

此外，為了直觀地比較各個(gè)算法所獲的解集質(zhì)量，圖10展示了所有對(duì)比算法在10目標(biāo)MaF3上所獲解集的平行坐標(biāo)圖。NSGA-III、VaEA、MSEA、RPS-NSGAII、CDR-MOEA在該測(cè)試實(shí)例上IGD的值都特別大，說(shuō)明這5種算法處理多模態(tài)且凸的MaF3時(shí)根本無(wú)法收斂。從圖10展示的結(jié)果來(lái)看，僅僅只有NSGAII-CSDR和VaEA-SDN可以獲得一組近似到帕累托前沿的解。

圖10 7種算法在10個(gè)目標(biāo)的MaF3上解集的平行坐標(biāo)圖Fig.10 Parallel coordinates of solution sets obtained by seven algorithms on 10-objective MaF3

最后，VaEA-SDN在MaF的16個(gè)測(cè)試實(shí)例上取得了14個(gè)最好的結(jié)果，而它的6個(gè)對(duì)比算法NSGA-III、VaEA、MSEA、NSGAII-CSDR、RPS-NSGAII以及CDRMOEA僅僅分別獲得了0、2、6、1、0、1個(gè)最佳結(jié)果。因此，綜合以上的分析，VaEA-SDN對(duì)于處理凸特征的系列復(fù)雜問(wèn)題同樣具備極大的優(yōu)勢(shì)。

3.5 汽車碰撞安全實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用

為了驗(yàn)證VaEA-SDN算法的實(shí)用性，將其應(yīng)用于汽車碰撞安全設(shè)計(jì)問(wèn)題的優(yōu)化[34]。該問(wèn)題旨在優(yōu)化車輛前部結(jié)構(gòu)的耐撞性。第一個(gè)目標(biāo)是吸能，第二個(gè)目標(biāo)是汽車正面碰撞時(shí)加速度，第三個(gè)目標(biāo)是偏置碰撞時(shí)的腳趾板侵入。該優(yōu)化問(wèn)題包含3個(gè)相互沖突且需要同時(shí)最小化的目標(biāo)。本次實(shí)驗(yàn)最大迭代次數(shù)設(shè)置為1 000，種群的大小設(shè)置為91。所有算法在該問(wèn)題上20次運(yùn)行得到的平均IGD值用作比較結(jié)果。由于計(jì)算IGD值需要一組參考集，參照文獻(xiàn)[21，35]，將所有算法在該實(shí)際問(wèn)題上獲得的非支配解的合并解集作為參考集。正如表7所示，采用多階段搜索策略的MSEA獲得了最佳的結(jié)果，但是它的計(jì)算復(fù)雜度最高。雖然VaEA-SDN在該實(shí)際應(yīng)用不是最佳的算法，但是，它的性能僅僅稍遜于MSEA，同時(shí)相較于其他5個(gè)先進(jìn)的對(duì)比算法，VaEASDN取得了最佳的結(jié)果。因此，VaEA-SDN在實(shí)用性方面具備一定的應(yīng)用價(jià)值。

表7 7種算法汽車安全設(shè)計(jì)優(yōu)化中獲得的IGD值Table 7 IGD values obtained by seven algorithms in vehicle safety design optimization

4 結(jié)論及未來(lái)的工作

為了提高多目標(biāo)進(jìn)化算法解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題平衡收斂性和多樣性的能力，提出了SDN支配關(guān)系。相較于帕累托支配關(guān)系，被提出的支配關(guān)系在非支配排序階段同時(shí)管理了解的收斂性和多樣性。然后，將該支配關(guān)系嵌入VaEA設(shè)計(jì)了多目標(biāo)進(jìn)化算法VaEA-SDN。最后，VaEA-SDN與6個(gè)先進(jìn)的多目標(biāo)進(jìn)化算法在DTLZ和MaF測(cè)試系列問(wèn)題上進(jìn)行了廣泛的對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，VaEA-SDN求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可以有效地平衡解集的收斂性和多樣性。最后，汽車碰撞安全實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用也驗(yàn)證了VaEA-SDN算法的實(shí)用性。但是，VaEA-SDN也有一定的局限性，解決多模態(tài)特征的問(wèn)題上性能稍遜于NSGAII-CSDR和CDR-MOEA，解決退化特征的問(wèn)題上稍遜于CDR-MOEA。因此，相較于NSGAII-CSDR和CDR-MOEA，解決具有多模態(tài)[36-37]和退化特征[38]的實(shí)際問(wèn)題也會(huì)有一定的局限性。將來(lái)可以考慮設(shè)計(jì)一種約束處理策略到VaEA-SDN中去解決現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中的約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。