U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)的理論及應用綜述

陳 偉，蔡占川，李 堅，梁延研，熊剛強，宋瑞霞

U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)的理論及應用綜述

陳 偉1，蔡占川2，李 堅3，梁延研2，熊剛強4，宋瑞霞5

(1. 江南大學人工智能與計算機學院，江蘇 無錫 214122； 2. 澳門科技大學計算機科學與工程學院，澳門 999078； 3. 澳門理工大學應用科學學院，澳門 999078； 4. 廣東醫(yī)科大學信息工程學院，廣東 東莞 523808； 5. 北方工業(yè)大學理學院，北京 100144)

傳統(tǒng)的Fourier 級數(shù)在逼近間斷信號時因 Gibbs現(xiàn)象的干擾，會產(chǎn)生比較大的誤差。針對此問題，國內(nèi)學者齊東旭教授帶領(lǐng)的課題組提出了非連續(xù)正交函數(shù)系的研究課題，其中U-系統(tǒng)和V-系統(tǒng)是兩類典型的非連續(xù)完備正交函數(shù)系。從數(shù)學理論上來說，U-系統(tǒng)和V-系統(tǒng)分別是對著名的Walsh函數(shù)和Haar函數(shù)由分段常數(shù)向分段次多項式進行推廣的結(jié)果，其最重要的特點是函數(shù)系中既有光滑函數(shù)又有各個層次的間斷函數(shù)。因此，U，V-系統(tǒng)可以處理連續(xù)和間斷并存的信息，在一定程度上彌補了Fourier 分析和連續(xù)小波的缺憾。本文從理論與應用2個方面對U，V-系統(tǒng)進行了綜述。在理論方面，首先介紹了單變量U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)各自的構(gòu)造方法，其次介紹三角域上U，V-系統(tǒng)的構(gòu)造方法，最后介紹U，V-系統(tǒng)的主要性質(zhì)。在應用方面，介紹了若干具有代表性的應用案例。

U-系統(tǒng)；V-系統(tǒng)；正交函數(shù)；非連續(xù)；頻譜分析

熟知，用有限項Fourier級數(shù)表達間斷信號時，在間斷點處會出現(xiàn)波動，且這種波動不能因求和項數(shù)增大而徹底消失，即著名的Gibbs現(xiàn)象。Wilbraham于1848年首先觀察到這一現(xiàn)象，之后Gibbs (1839—1903年)做了深入細致地研究。Gibbs現(xiàn)象的研究之所以引起關(guān)注，在于其出現(xiàn)造成了數(shù)據(jù)偏差。在數(shù)字圖像、語音處理，以及用Fourier方法求解微分方程等問題中，人們需設(shè)法消減其影響[1-2]。

在幾何信息處理問題中，Gibbs現(xiàn)象的影響更應引起重視。因為在二維及三維幾何造型中，幾何對象往往包含許多部件和零件。作為幾何圖組，其子圖相互分離(強間斷)以及非光滑連接(弱間斷)的情況不可避免。幾何造型的精度要求很高，如果說信號處理的某些問題中Gibbs現(xiàn)象的出現(xiàn)尚可接受，那么在幾何信息表達中則是不可容忍的。

眾所周知，在圖像、語音等信號處理中，正交函數(shù)理論是頻譜分析與綜合的數(shù)學基礎(chǔ)，由此發(fā)展出一系列強有力的實用算法，有利于生成或提取對象的特征，從而在分類，乃至識別問題里得到應用。正交函數(shù)與正交變換在數(shù)字信號處理領(lǐng)域的成功應用，有必要擴大到幾何信息特別是幾何造型的領(lǐng)域。將頻譜分析方法引入幾何造型，首先是正交重構(gòu)問題，其關(guān)鍵是采用什么樣的正交函數(shù)才能避免Gibbs現(xiàn)象。具有好的連續(xù)性的正交函數(shù)，在此反而派不上用場。于是，研究既能用于通常的信號處理問題，又能適應幾何圖組整體表達與分析需要的非連續(xù)正交函數(shù)，無論是理論還是實用，都是十分重要的[3]。

非連續(xù)正交函數(shù)的研究，興起于20世紀初期。歷史上，為了回答“是否存在非連續(xù)的完備正交函數(shù)系”的問題，美國數(shù)學家WALSH[4]構(gòu)造了后人稱之為Walsh函數(shù)(1923年)，初衷僅作為數(shù)學上的“反例”。然而，到了70年代，隨著半導體技術(shù)與大規(guī)模集成電路的出現(xiàn)，此類僅取值1或–1的二值函數(shù)，顯示了獨特的功效，在信號處理領(lǐng)域一度掀起Walsh函數(shù)的研究熱潮。

比Walsh函數(shù)出現(xiàn)得更早些，1910年匈牙利數(shù)學家HAAR[5]提出了稱之為Haar函數(shù)的完備正交函數(shù)系。若不考慮規(guī)范系數(shù)，Haar函數(shù)則僅取值1，–1或0。其中強調(diào)Walsh函數(shù)與Haar函數(shù)的等價性，給出了相互線性表示的關(guān)系，但是Haar函數(shù)具有更加簡潔的結(jié)構(gòu)。幾十年后，當小波興起之后，人們發(fā)現(xiàn)Haar函數(shù)恰是最簡單、最基本的小波，從而使得Haar函數(shù)在小波分析中占有重要地位。

Walsh函數(shù)和Haar函數(shù)是非連續(xù)正交函數(shù)的典型代表，其均是分段零次多項式。從函數(shù)逼近角度，其收斂速度不高。而在實際問題中，信號往往既包含漸變(光滑)部分，又包含突變(間斷)部分，而只具有強間斷性的函數(shù)很難實現(xiàn)信號的自適應表達。

U-系統(tǒng)和V-系統(tǒng)，完整的名稱應該叫“次U-系統(tǒng)[6]和次V-系統(tǒng)[7]”，是由一系列次分段多項式組成的2[0, 1]上的2個正交完備函數(shù)系，猶如姊妹篇，特點是函數(shù)系中既有光滑函數(shù)又有各個層次的間斷函數(shù)。U，V-系統(tǒng)可以處理連續(xù)和間斷并存的信息，在一定程度上彌補了Fourier分析和連續(xù)小波的缺憾。

特別值得注意的是，當=0時，U-系統(tǒng)就是Walsh函數(shù)，V-系統(tǒng)則是Haar函數(shù)，因此U，V-系統(tǒng)分別是Walsh函數(shù)和Haar函數(shù)的自然推廣。將一個0次函數(shù)系推廣到次函數(shù)系，無疑是極具數(shù)學意義的。Walsh函數(shù)和Haar函數(shù)分別創(chuàng)建于1923年和1910年，而U，V-系統(tǒng)分別建立于1983年和2007年，Walsh函數(shù)推廣到U-系統(tǒng)歷時60年，而Haar函數(shù)推廣到V-系統(tǒng)則歷時近百年。

這里需要說明一下U，V-系統(tǒng)與小波的關(guān)系。小波分析是調(diào)和分析的重大發(fā)展，在小波分析的發(fā)展史上，最早可以追溯到1910年Haar構(gòu)造的一組完備規(guī)范正交基(即Haar函數(shù))，不過當時還沒有“小波”這個概念。一個公認的事實是，1984年法國工程師讓·莫萊特(Jean Morlet)在分析地震波的局部性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的Fourier變換難以達到要求，因此其首次引入小波分析這一概念，用于地震數(shù)據(jù)的收集與分解中。隨后其與物理學家亞歷克斯格羅斯曼(Alex Grossmann)將該研究工作發(fā)表在學術(shù)期刊上，從而拉開了小波分析研究的序幕[8]。

U-系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論研究由國內(nèi)學者齊東旭教授與馮玉瑜教授在1980—1982年在美國Wisconsin (Madson)大學數(shù)學研究中心(MRC)訪問期間合作完成，并于1981年首次在MRC公開報告[9-10]，回國后隨即于1983年在國內(nèi)中國科學技術(shù)大學學報上公開發(fā)表學術(shù)論文[11-12]。雖然U-系統(tǒng)不是嚴格意義上的小波，但是U-系統(tǒng)中已經(jīng)出現(xiàn)了小波的“基因”，且離小波僅“一步之遙”。因此，當小波出現(xiàn)后，美國IBM公司的MICCHELLI和北達科他州立大學的XU[13]明確指出，U-系統(tǒng)是一類“預小波(prewavelet)”。而V-系統(tǒng)出現(xiàn)后，文獻[14]已從數(shù)學理論上證明了，V-系統(tǒng)是一類嚴格的有限區(qū)間上的多小波基。

在U-系統(tǒng)研究的初期，齊東旭教授將U-系統(tǒng)作為參與中國早期計算幾何協(xié)作組的專題，從1983年開始在吉林大學招收碩士研究生，接著在中山大學、中科院列入培養(yǎng)博士研究生計劃，同時在特區(qū)澳門科技大學招收博士研究生。繼而U-系統(tǒng)的研究獲得國家自然科學基金的資助。本世紀初，齊東旭教授團隊在U-系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了V-系統(tǒng)，在保留U-系統(tǒng)幾乎全部優(yōu)點的基礎(chǔ)上，更具有小波特性，從而在理論及應用上獲得更加滿意的結(jié)果。在連續(xù)十余年間，相關(guān)學者做出許多新推進，得到多項國家自然科學基金資助。作為階段性總結(jié)，本文將從理論和應用方面對U，V-系統(tǒng)進行綜述。

1 U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)理論

1.1 單變量U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)的構(gòu)造

單變量U-系統(tǒng)是齊東旭教授和馮玉瑜教授于上世紀80年代初的研究成果，而單變量V-系統(tǒng)是齊東旭教授帶領(lǐng)學生們在2007年的研究成果。

U-系統(tǒng)的構(gòu)造繼承了Walsh函數(shù)的思想，采用的是“壓縮與正、反復制”的方法，只是初始函數(shù)不同；V-系統(tǒng)的構(gòu)造則是在U-系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，繼承了Haar函數(shù)系的思想構(gòu)造得到的。次U，V-系統(tǒng)均由分段次多項式構(gòu)成，也都是2[0,1]上的完備正交系。

次U-系統(tǒng)的構(gòu)造步驟：

步驟1.取區(qū)間[0,1]上的前+1個Legendre多項式，作為次U-系統(tǒng)的前+1個函數(shù)(即第一組函數(shù))，記為0(),1(),···,l()，這是熟知的函數(shù)，有具體表達式。

步驟2.求出+1個分段次多項式，稱之為生成元{f(),=0,1,···,}(生成元滿足的條件見下文)，得到第二組函數(shù)。

再由新生成的函數(shù)組經(jīng)過“壓縮、復制與反復制”，依次遞歸無限進行下去，得到的無限個函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)序列，即為次U-系統(tǒng)。

次V-系統(tǒng)的構(gòu)造步驟：

步驟1和步驟2.同上述U-系統(tǒng)的過程完全一樣。

步驟3.壓縮并局部復制生成后續(xù)序列，將{f(),=0,1,···,}中每個函數(shù)按照下面的方式壓縮復制為

因此得到次V-系統(tǒng)，也是由可數(shù)無窮多個函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)系。(注：上述所有函數(shù)在間斷點處，可定義函數(shù)取值為左右極限的平均值)。

次U，V-系統(tǒng)均是從Legendre多項式出發(fā)，再構(gòu)造+1個生成元，U-系統(tǒng)是通過對這些生成元的“壓縮、復制與反復制”所得到，V-系統(tǒng)則是通過“壓縮、局部復制”所得到。無論是U-系統(tǒng)還是V-系統(tǒng)，起核心作用的是共同的“生成元”，為了保證函數(shù)系的正交完備性，+1個生成元f(),=0,1,···,必須滿足以下條件：

按照生成元的條件，可以用待定系數(shù)法通過求解非線性方程組而得到。=0～3次的生成元有直接表達式，見文獻[3]。

文獻[15]從另一個角度研究了U，V-系統(tǒng)生成元(文獻[15]稱為小波函數(shù))的構(gòu)造，從Legendre 多項式和截斷單項式出發(fā)，通過Gram-Schmidt 正交化過程，得到生成元的數(shù)學通項表達，同時證明了生成元的存在性。

另一方面，次V-系統(tǒng)也可以經(jīng)過次U-系統(tǒng)的線性組合得到。首先，完全相同的步驟1和步驟2，說明其前2(+1)個函數(shù)完全相同；其次，V-系統(tǒng)的步驟3得到每個函數(shù)，可以經(jīng)過U-系統(tǒng)步驟)得到的某2個函數(shù)“相加或相減再除2”得到，見文獻[3]。因此次U-系統(tǒng)和次V-系統(tǒng)從代數(shù)關(guān)系上說是等價的。

V-系統(tǒng)還有很多等價的構(gòu)造方法，如從Franklin函數(shù)出發(fā)，從截斷單項式出發(fā)，經(jīng)過Gram-Schmidt正交化方法得到V-系統(tǒng)，見文獻[3]。

U，V-系統(tǒng)最突出的特點是函數(shù)系中的間斷信息，與物理學及工程技術(shù)領(lǐng)域的間斷、跳躍、突變等緊密相關(guān)，因此可用于這些“異類”信號的處理問題。

=0,1,2,3次U，V-系統(tǒng)的前若干個函數(shù)的圖形見圖1。

1.2 U、V變換及其快速算法

對離散信號進行U，V-系統(tǒng)分析，必須用到有限U，V變換。在實際應用中，一般需要構(gòu)造離散U-系統(tǒng)或離散V-系統(tǒng)的正交矩陣。以離散U矩陣為例，將區(qū)間[0,1]等分為=2個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上分別對前個基函數(shù)0(),1(),···,U-1()作積分，得到=2個向量，形成矩陣

一般說來，矩陣并不是正交的，需要再經(jīng)正交化得到相應的正交U矩陣或正交V矩陣。有了正交矩陣，就可以對離散信號進行U，V正交變換與分析。

可以看出，通過上述方法實現(xiàn)的U，V變換，需要事先計算并保存某一固定階數(shù)的變換矩陣，當信號的長度很大時，計算效率將變得很低。

圖1 U-系統(tǒng)和V-系統(tǒng)部分函數(shù)圖((a) k=0～3次U-系統(tǒng)部分函數(shù)；(b) k=0～3次V-系統(tǒng)部分函數(shù))

關(guān)于次離散U變換的研究，文獻[16]給出了更一般的闡述，特別對2次離散U變換，建立了矩陣表示的遞推關(guān)系與快速算法，具體給出了4點、8點、16點矩陣的快速算法流程圖。并利用Kronecher積，推導出正交U變換的直接分解算法。

而對于快速離散V變換，有2種算法給予實現(xiàn)[3]。一種是間接方法，先對信號進行快速U變換，再經(jīng)Hadamard矩陣變換得到V變換結(jié)果；另一種是直接運用V-系統(tǒng)多小波的特性，得到相應的小波分解與重建算法，即Mallat算法，此不贅述。

1.3 三角域上U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)的構(gòu)造

從一維情形向二維或更高維情形的推廣，簡單而直接的形式是張量積，將正交函數(shù)用于圖像處理問題，普遍用到張量積形式。但對幾何信息處理、特別是計算機輔助曲面造型問題，除了張量積形式，更有三角域形式要研究，因為三角面片在幾何造型中具有簡便靈活的優(yōu)點，三角域上的曲面造型已經(jīng)得到非常廣泛地應用。

研究三角域上次U，V-系統(tǒng)的定義[17-18]，一個重要目的在于實現(xiàn)曲面造型的正交重構(gòu)，從而能將頻譜分析方法引入幾何設(shè)計。

1988年齊東旭教授得到了三角域上的Walsh 函數(shù)和Haar函數(shù)的具體表達，2008年又率領(lǐng)弟子們得到了三角域上的U，V-系統(tǒng)的表達，且有直角坐標和面積坐標2種表達形式。

由于三角域上的表達較復雜，限于篇幅，僅給出構(gòu)造的大概思想，具體細節(jié)參考文獻[3]。

三角域上的次U，V-系統(tǒng)也是分組構(gòu)造的：

第(≥3)組：對第二組中的生成元進行4-2倍壓縮，然后在三角域4-1剖分子區(qū)域上，U-系統(tǒng)按照“復制和反復制”生成后續(xù)函數(shù)列，V-系統(tǒng)則按照“局部復制”生成后續(xù)函數(shù)列，此過程中為了保證函數(shù)列的規(guī)范性，需要配置恰當?shù)囊?guī)范系數(shù)。至此得到完整的三角域上次U，V-系統(tǒng)。

圖2給出了三角域上V-系統(tǒng)的構(gòu)造示意圖。

圖2 三角域上V-系統(tǒng)的構(gòu)造示意圖

1.4 主要性質(zhì)

作為2類關(guān)系十分緊密的完備正交函數(shù)系，U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)既具有相同的性質(zhì)，也具有各自不同的特征。本文將列出一些主要的性質(zhì)，具體證明可參考文獻[3]。

性質(zhì)1.完備正交性。

任意次U-系統(tǒng)和次V-系統(tǒng)都是2[0, 1]上的完備正交函數(shù)系。

性質(zhì)2.級數(shù)收斂性。

記{1(),2(),···,(),···}為次U-系統(tǒng)或次V-系統(tǒng)基函數(shù)，給定函數(shù)，相應的Fourier-U級數(shù)或Fourier-V級數(shù)為

則有

其中，SF為式(4)右端的部分和，即

性質(zhì)3.級數(shù)再生性。

性質(zhì)4.U-系統(tǒng)序率性。

當從0到1增大，U-系統(tǒng)函數(shù)值符號的改變次數(shù)呈遞增規(guī)律。

性質(zhì)5.離散1次U-系統(tǒng)是斜變換。

斜變換在信號處理中有廣泛的應用價值，且有快速算法。因此U-系統(tǒng)也可以看作是斜變換的推廣。

性質(zhì)6. U-系統(tǒng)是一類有限區(qū)間上的預小波。

性質(zhì)7. V-系統(tǒng)是一類有限區(qū)間上的正交多小波。

V-系統(tǒng)中第一組函數(shù)，即前+1個Legendre多項式，就是多小波的尺度函數(shù)；第二組即+1個生成元函數(shù)就是小波函數(shù)。

小波分析是上世紀80年代末發(fā)展起來的調(diào)和分析方法，并在信號與圖像處理的眾多領(lǐng)域中得到了廣泛地應用。多小波是在單小波研究基礎(chǔ)上提出的概念，早期的單小波，是由一個尺度函數(shù)生成的小波。單小波不可能同時具備對稱性、有限支集、正交及二階消失矩等性質(zhì)，但是多小波卻可以同時具備這些性質(zhì)。因為V-系統(tǒng)的多小波特性使得V-系統(tǒng)的應用更為廣泛。

2 U-系統(tǒng)與V-系統(tǒng)的應用舉例

U，V-系統(tǒng)是Walsh函數(shù)和Haar函數(shù)向高次情形的推廣，在間斷點處具有各個層次的間斷：從-1階導數(shù)、-2階導數(shù)，···，直到函數(shù)本身間斷。正是由于U，V-系統(tǒng)中的函數(shù)出現(xiàn)各個層次的間斷，使其在表達用分段多項式描述的幾何對象時，用有限項的Fourier-U，V級數(shù)可以精確重構(gòu)原來的幾何模型。

國內(nèi)學者在U，V-系統(tǒng)的理論和應用方面做了許多探索[19-58]，本文僅摘錄幾類典型例子。

2.1 幾何模型的精確重構(gòu)與頻譜分析[19-27]

幾何信息處理與圖像信息處理的數(shù)學技術(shù)有很大差別。前者的研究，大體歸為計算幾何學(代表性的數(shù)學工具諸如樣條插值與擬合、Bernstein- Bezier方法、子分割算法等數(shù)值逼近理論，及計算復雜性理論)；后者歸為數(shù)字圖像處理技術(shù)(代表性的數(shù)學工具有各種正交變換：Fourier，Walsh，Hadamard，Slant和Wavelet等)。以Fourier及小波分析為代表的變換理論，無論在理論上還是廣泛地應用方面，在包括圖像在內(nèi)的信號處理方面，已經(jīng)表明其是強有力的數(shù)學工具。然而，利用正交變換的頻譜分析這一強有力手段，在幾何信息的描述(如曲線、曲面的數(shù)學表達、幾何圖組的整體特征生成與提取)方面，卻沒有足夠的表現(xiàn)與施展。簡言之，關(guān)于曲線與曲面的數(shù)學，關(guān)注基函數(shù)(如Bernstein，B-樣條，NURBS等)的研究，但不追求基函數(shù)的正交性，因而計算幾何學的研究內(nèi)容未包括頻譜分析。

為什么現(xiàn)行的諸多正交函數(shù)(如Fourier函數(shù)系、小波等)未被用來表達曲線與曲面呢？其中Gibbs現(xiàn)象是主要障礙。由Fourier分析理論可知，在間斷點出現(xiàn)的地方，F(xiàn)ourier級數(shù)的不一致收斂性質(zhì)，使得有限的計算步驟不能避免Gibbs現(xiàn)象。U，V-系統(tǒng)的出現(xiàn)，使得頻譜分析方法引入計算幾何學，用U，V-系統(tǒng)表達幾何對象時可以消除Gibbs現(xiàn)象，做到精確重構(gòu)。

圖3是V-系統(tǒng)對汽車模型(作為一個幾何圖形)的重構(gòu)與Fourier重構(gòu)效果的比較。顯然V-系統(tǒng)128項就可以精確表達，而Fourier重構(gòu)中即使用3 000項，Gibbs現(xiàn)象依然存在。

三角域上U，V-系統(tǒng)可將3D幾何對象精確表達，圖4是三維模型中很有代表性并經(jīng)常被引用的Dragon模型，試驗中使用的模型有871 414個三角面片。通過對三角面片的V-系統(tǒng)分解，得到，，3個方向的譜，就可以對模型精確重構(gòu)。

圖3 V-系統(tǒng)對幾何圖組的精確重構(gòu)((a)汽車輪廓； (b) Fourier重構(gòu)(100項)；(c) Fourier重構(gòu)(500項)； (d) Fourier重構(gòu)(1500項)；(e) Fourier重構(gòu)(3000項)； (f) 3次V-系統(tǒng)重構(gòu)(128項))

圖4 Dragon模型及其3個方向的頻譜 ((a) 3D幾何模型；(b)頻譜)

當把一個幾何對象精確表達之后，就可以通過U，V-系統(tǒng)的正交性特點，從U，V-系統(tǒng)的譜系數(shù)中提取幾何對象的特征，進而進行分類識別，這就是幾何對象的頻譜分析方法。

2.2 分形曲線生成[28-29]

通過上述介紹可知，給定一個幾何對象(不論是單體的還是群組的)，U，V-系統(tǒng)可以實現(xiàn)對其的正交分解及精確重構(gòu)。實際上，作為一類特殊的基函數(shù)，通過對U，V-系統(tǒng)的頻譜系數(shù)進行改變，能夠主動生成新的幾何模型。以分形為例，在分形的生成問題中，一般是通過對某個初始幾何對象的迭代操作來實現(xiàn)，經(jīng)典的方法包括L系統(tǒng)、迭代函數(shù)系統(tǒng)(iterative function system，IFS)等。而在文獻[28-29]中，首次提出了分形曲線生成的頻譜方法，分別提出了基于V-系統(tǒng)和正交Franklin函數(shù)系的分形曲線生成算法。

若將第層全部基函數(shù)記作向量形式

相應的頻譜向量為

那么，

可以看出，上式給出了分形的一種新的表示方法，并使得分形的高低頻分布層次更加分明，更好地刻畫了分形的自相似結(jié)構(gòu)。

為了對頻譜系數(shù)進行修改，對每層的頻譜向量引入一個調(diào)節(jié)參數(shù)α，=1,2,···,，得到

其中，()為對原分形頻譜系數(shù)進行修改而生成的新的分形。因此，通過設(shè)置不同的參數(shù)向量，可以得到不同的重構(gòu)曲線。圖5給出一個從Hilbert曲線出發(fā)，通過改變V-系統(tǒng)參數(shù)，生成多種新的分形的例子。

2.3 2D形狀檢索和3D模型檢索[30-43]

U，V-系統(tǒng)可以定義相應的描述子和矩，用于識別、分類以及檢索。本文以V-系統(tǒng)為例(U-系統(tǒng)完全類似)，給出2D商標的特征描述。

圖5 基于V-系統(tǒng)頻譜的分形曲線生成

對商標檢索或幾何對象分類，需先解釋下面一些必需的概念。

(1) V-系統(tǒng)的離散化：即求一個2階的離散V-矩陣，其過程是：取V-系統(tǒng)的前2個基函數(shù)，對第個基函數(shù)在[0，1]區(qū)間均勻地取2個值(也可以取函數(shù)在每個小區(qū)間上的平均值)，構(gòu)成一個2階方陣的第行，當=1,2,···,2，就構(gòu)成一個2階方陣；一般來說這個方陣還不是正交矩陣，對其正交化即得到離散正交V-矩陣。的取值由所處理的信號來決定。

(2) V-描述子：對圖像或幾何對象提取邊界，得到邊界點列{P(x,y)|=1,2,···,2}(可以采用插值方法使其邊界點數(shù)為2)。對這個邊界點列進行正交V-變換為

利用特征向量的歐氏距離可以度量2幅圖像的差距，從而實現(xiàn)圖像的分類和檢索。檢驗算法的可靠性要在通用商標數(shù)據(jù)庫中進行實驗，V-描述子和V-矩在商標檢索時取得了較好的實驗結(jié)果。圖6給出了一個檢索例子。

圖6 針對實驗數(shù)據(jù)庫中的商標檢索比較實驗

(4) 分層V-系統(tǒng)：文獻[31]給出基于層次V系統(tǒng)的復雜商標表示方法，提出基于多階次(=0,1,2,3)的V-系統(tǒng)生成的分層V-系統(tǒng)(HV系統(tǒng))，層次結(jié)構(gòu)帶來了更詳細的形狀表示信息的同時，仍然保持了V系統(tǒng)本身在正交系統(tǒng)中的優(yōu)勢。同時還提出層級式V系統(tǒng)的正交化描述子(HV描述子)，證明了HV描述子滿足旋轉(zhuǎn)、平移和尺度變換的不變性。層次V-系統(tǒng)方法可以在避免產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象的同時，用合理的描述符、且較少的項數(shù)來表示復雜的商標，并能獲得準確地表示結(jié)果。圖7給出層次V系統(tǒng)的算法流程。

圖7 層次V系統(tǒng)的算法流程圖

(5) U，V旋轉(zhuǎn)不變矩：旋轉(zhuǎn)不變性在圖像模式識別中具有基本的重要性，傳統(tǒng)的以Zernike矩為代表的變換在模式識別、邊緣檢測、紋理分類、方向估計、圖像重建等領(lǐng)域得到了廣泛地應用。然而，傳統(tǒng)矩方法均以多項式為核函數(shù)，存在表達式復雜、數(shù)值計算不穩(wěn)定、特征提取能力弱等缺點。文獻[33]將U系統(tǒng)與三角函數(shù)結(jié)合，構(gòu)造了一類極坐標系下的二維旋轉(zhuǎn)不變的數(shù)學變換。

記u()為次U系統(tǒng)中的第個基函數(shù)，定義單位圓盤上的U-調(diào)和基函數(shù)為

其中，=0,1,2,···；=0,±1,±2,···?？梢钥闯?，U-調(diào)和基函數(shù)由角向的三角函數(shù)和徑向的U系統(tǒng)函數(shù)的乘積組成。

設(shè)定義在單位圓盤上的圖像為(,)，其二維旋轉(zhuǎn)不變U變換為

則圖像(,)旋轉(zhuǎn)前后，其二維旋轉(zhuǎn)不變的U變換系數(shù)的模||M||不變。

除了旋轉(zhuǎn)不變性以外，二維旋轉(zhuǎn)不變的U變換還具有諸如多分辨率性、函數(shù)支撐均勻性、序率性、間斷性以及數(shù)值計算簡單等，這些性質(zhì)在圖像特征提取中均起著重要的作用，詳細內(nèi)容見文獻[33]。

需要指出的是，雖然U系統(tǒng)是一類正交函數(shù)系，但式(14)定義的U-調(diào)和基函數(shù)不再滿足正交性。一般說來，同時具備正交性、旋轉(zhuǎn)不變性以及分段低次性是很困難的。在文獻[34]中，通過對V系統(tǒng)基函數(shù)的改造，構(gòu)造了一類正交旋轉(zhuǎn)不變V變換。

那么，需滿足正交性要求，即

因此，可實現(xiàn)正交旋轉(zhuǎn)不變V變換及正交重構(gòu)。在實際計算過程中，由于在加權(quán)V-系統(tǒng)基函數(shù)在零點附近存在奇點，若直接計算會導致數(shù)值不穩(wěn)定，文獻[34]通過重采樣技術(shù)得到極坐標系下等面積扇形像素(如圖8(a)，(b)所示)，從而能夠精確計算出積分結(jié)果。

圖8 正交旋轉(zhuǎn)不變V變換中的重采樣及正交重構(gòu)((a)笛卡爾系下像素；(b)極坐標系下像素；(c)～(f)分別用8階、16階、32階、64階基函數(shù)進行圖像正交重構(gòu))

基于正交旋轉(zhuǎn)不變的V變換的圖像重構(gòu)如圖8(c)所示。文獻[34]將正交旋轉(zhuǎn)不變的V變換應用于二值圖像的檢索，取得滿意效果。

對3D幾何模型的檢索要用到三角域U，V-系統(tǒng)，首先要將幾何模型參數(shù)化，將模型的三角網(wǎng)格映射到三角域(圖9)，然后對參數(shù)化后的模型進行U，V-系統(tǒng)的分解，得到，，3個方向的譜系數(shù)。設(shè)模型(可以是群組)在U，V-系統(tǒng)下頻域表達為

文獻[32]基于V-系統(tǒng)提出V-Laplace描述子，用于3D模型檢索，取得非常好的效果，圖11是其中一個檢索例子。

2.4 2D圖像和3D模型的數(shù)字水印[44-46]

將一個信號(2D圖像或3D幾何模型)在U，V-系統(tǒng)之下分解后，得到譜系數(shù)，可以精確重構(gòu)原信息?；谶@個原理，可以實現(xiàn)數(shù)字水印的植入。具體植入水印的方法很多，最基本的是在譜系數(shù)的中頻部分植入水印的譜系數(shù)。為了保證水印的魯棒性，要設(shè)計高質(zhì)量的植入技巧，使得水印可以抵抗各種攻擊。

圖9 三角網(wǎng)格模型參數(shù)化示意圖

圖10 3D模型群組檢索的比較試驗((a)本文方法；(b)幾何矩方法；(c)剪影輪廓FV方法)

圖11 V-Laplace描述子用于3D模型檢索

圖12所示是2D圖像的數(shù)字水印例子，小圖像“手”是水印。

3D模型水印的植入，首先要將3D模型參數(shù)化，然后在V-系統(tǒng)下展開，得到3個方向的譜系數(shù)，將水印的譜植入到模型的譜中，整個過程技巧很多。表1～3是一個3D模型水印植入和提取以及抗攻擊的效果，其中的二值圖像“中國夢”為水印。

圖12 基于V-系統(tǒng)的數(shù)字水印植入及抗攻擊實驗

Tabel 1 Subjective and objective evaluation of the watermarked model and extracted watermark

表1 水印模型和提取水印的主觀及客觀評價

表2 噪聲攻擊實驗結(jié)果

2.5 多尺度全月球粗糙度分析[47]

地形粗糙度是描述地理信息中地形復雜程度的重要參量。傳統(tǒng)的粗糙度技術(shù)只將粗糙度當作是地形高低差異的統(tǒng)計參量，并未對粗糙度信息進行提取和分析。因此，現(xiàn)存的粗糙度可視化模型(圖像、三維模型)并不能準確地顯示出地形的粗糙度信息。通常對于地形粗糙度的研究更多是將粗糙度當作描述地形高程變化的參量，并未將粗糙度特征提取作為重心，更多只是在地形高程變化差值的基礎(chǔ)上，改變統(tǒng)計量化的方式來描述地形粗糙度特征?；诟唠A離散小波V-系統(tǒng)(2次，3次)能夠使用非線性分段次多項式來表達幾何信息的特點，提出了基于V-系統(tǒng)的地形特征提取因子的構(gòu)造算法和提取后特征量化算法，用來反映不同尺度復雜地形地貌表面的起伏程度，解決傳統(tǒng)大部分算法基于局部高低差進行量化，導致結(jié)果忽略密度高，地形起伏頻度高，但高低變化不明顯特征變化的問題。

表3 裁剪攻擊實驗結(jié)果

傳統(tǒng)算法不僅無法將地形信息中的光滑部分去掉，還會丟失相當一部分的粗糙度信息。使用V-系統(tǒng)中的非連續(xù)函數(shù)可以更準確地將地形粗糙度特征從原始數(shù)據(jù)中提取出來。如圖13所示，V-系統(tǒng)粗糙度技術(shù)不僅在可視化圖像中能夠顯示出更多的粗糙度信息，且從統(tǒng)計結(jié)果上看(表4)，V-系統(tǒng)粗糙度地圖對于細小的粗糙度信息的提取更加準確，0.0～0.1區(qū)間內(nèi)，V-系統(tǒng)的特征點比傳統(tǒng)技術(shù)更少，說明V-系統(tǒng)在這些被傳統(tǒng)算法認為完全或者幾乎是光滑的區(qū)域內(nèi)識別到更多的粗糙度信息。

圖13 基于V系統(tǒng)的月球地形地貌分析

2.6 數(shù)字圖像處理[48-56]

U，V-系統(tǒng)在圖像處理中的應用，與一般正交系原理相同，但V-系統(tǒng)因為是多小波，所以具備更多小波的功能。圖14說明V-系統(tǒng)能有小波一樣的分解，這樣的性質(zhì)使得V-系統(tǒng)在圖像壓縮、圖像去噪、圖像去霧、圖像增強、圖像融合中有特別的應用。圖15～17所示為圖像去霧、增強及融合的例子。

表4 月球地表粗糙度統(tǒng)計結(jié)果

圖14 圖像的三層V-系統(tǒng)分解

圖15 圖像去霧((a)霧圖；(b)去霧圖像)[52]

2.7 V-系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合[57]

文獻[57]提出了一種基于V-變換與卷積相結(jié)合的圖像超分辨率模型(圖18)。新的模型主要由V-變換模塊、特征融合模塊和上采樣模塊組成。一張低分辨圖像(low resolution image，LR)首先經(jīng)過V-變換模塊完成初級特征提取的任務，然后經(jīng)過特征融合模塊獲取更豐富的信息，所有的信息輸入到下采樣模塊中，將學習到的特征變?yōu)樾枰拇笮?，最終得到清晰的超分辨圖像(super-resolution image，SR)。特征融合模塊的位置可以被現(xiàn)存的任何卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代，只需要匹配接入網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出通道大小。

圖16 圖像增強((a)低照度圖像；(b)增強圖像)[53]

圖17 醫(yī)學圖像融合((a) CT圖像；(b) MRI圖像；(c)融合圖像)[54]

圖18 模型示意圖

2.7.1 V-變換與卷積

V-變換需要經(jīng)過兩次矩陣乘法，因為矩陣乘法的計算方式，使得運算對于正交V-矩陣和LR圖像的大小有很大的限制，且必須保持一致。因此帶來了計算力和時間的消耗，而且一旦的大小發(fā)生變化，一個固定大小的矩陣在大小上不能與之匹配，網(wǎng)絡(luò)的訓練就會出錯，對于V-變換的使用變得死板。文獻[55]通過將矩陣乘法轉(zhuǎn)化為卷積點乘的方式解決該問題，用2×2矩陣示意，即

2.7.2 V-變換模塊

圖19為V-變換模塊。一張輸入圖像分別經(jīng)過V-變換、卷積層和激活層之后，將過程中產(chǎn)生的所有信息都相加輸入到后續(xù)網(wǎng)絡(luò)中。以往的超分辨卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，無論是否與小波變換相結(jié)合，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)多么復雜，模型深度如何，在網(wǎng)絡(luò)特征提取的初期都會使用一個3×3的卷積，直接將網(wǎng)絡(luò)的通道數(shù)增加到64，這樣直接且簡單地處理不能很好地完成早期的特征提取任務，后續(xù)深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的表達能力會受到限制，造成網(wǎng)絡(luò)效果不好。

圖19 V-變換模塊示意圖

V-變換能更好地在特征提取的初期提取頻次信息，豐富的信息可以促進卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的表達能力。首先利用V-變換作為過渡，將網(wǎng)絡(luò)通道數(shù)緩慢地增加到64，既可以提取到更多超分辨任務關(guān)注的頻次信息也可以細致地捕捉更多細節(jié)；其次，V-變換與普通卷積并行，也就是空域與頻域并行，將所有捕獲的特征都輸入到后續(xù)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，為后續(xù)的訓練提供豐富的特征。

2.7.3 V-損失函數(shù)

本文提出新?lián)p失函數(shù)的理論基礎(chǔ)是，無論在空域還是頻域，超分辨圖像(SR)和高分辨圖像(high-resolution image，HR)損失函數(shù)的值達到最小時，預測結(jié)果最準確。V-損失為

采用兩階段的訓練方法。將式(19)作為主損失函數(shù)，先對網(wǎng)絡(luò)進行一輪訓練，充分利用L1損失函數(shù)保留信息的能力和V-損失對于高頻信息在重建中的引導作用，訓練得出的參數(shù)對于超分辨任務已經(jīng)有了很好地預測作用。第二階段的訓練，用(2.5)對已經(jīng)訓練好的參數(shù)進行提純，進一步提升網(wǎng)絡(luò)預測能力。無論第一階段的訓練還是第二階段的訓練，都是在頻域上進行，因此兩階段的訓練都有V-損失函數(shù)的出現(xiàn)。

只是一個簡單的訓練手段，未添加任何新的模塊，兩階段法可以提升PSNR值，這樣低成本的提升方式是人們一直尋找的。

上述方法在圖像超分辨率重構(gòu)任務中有出色的表現(xiàn)，在通用數(shù)據(jù)集上的實驗結(jié)果表明，與當前很多優(yōu)秀的算法相比，無論是定性還是定量標準，都具有更好的實驗結(jié)果，見文獻[57]。

2.8 V-系統(tǒng)用于新冠肺炎評估[58]

數(shù)字圖像特征識別技術(shù)的研究具有重要的意義，諸如生物工程、醫(yī)療診斷、機械行業(yè)等。為了開展基于胸部CT圖像的新冠肺炎感染區(qū)分割、檢測和診斷研究，文獻[58]提出了一種基于V系統(tǒng)的從胸部CT影像中識別肺部感染特征新方法，并根據(jù)選取的影像特征評估COVID-19肺部感染的嚴重性(圖20)。首先在胸部CT影像中，針對雙肺的分割，校正確定肺部區(qū)域，并獲得肺輪廓；然后，選取粗糙度、對比度、粗略度和熵作為感染區(qū)域紋理特征以獲取COVID-19感染區(qū)域，以及病變輪廓；最后，將紋理特征和V描述子融合為COVID-19嚴重性估計的評估描述符。與大多數(shù)現(xiàn)有方法相比，新描述符包含的信息更多，因此，新方法更適合評估COVID-19肺部感染的嚴重性。

圖20 基于V描述子的新冠肺炎評估算法流程圖

3 結(jié) 論

一百年前，Haar函數(shù)與Walsh函數(shù)相繼面世，且為分段的2值或3值函數(shù)。在微積分發(fā)展歷程中，注重連續(xù)函數(shù)，對這樣的間斷對象，其研究成果并不多見。到了上世紀初，人們的關(guān)注點大有改變，物理學及工程技術(shù)領(lǐng)域的熱點話題是間斷、跳躍、突變、跨音速、沖擊波等。相應地，數(shù)學家對非連續(xù)函數(shù)的研究興趣出現(xiàn)甚至可以說高漲起來。

Walsh函數(shù)和Haar函數(shù)都是2[0,1]上的完備正交系，這2類函數(shù)的跳躍間斷出現(xiàn)在/2處(,為正整數(shù))。其元素的成分，皆為方波或若干個方波的組合，而方波恰是狄拉克函數(shù)()經(jīng)斯切克洛夫平滑算子作用的第一步結(jié)果；而引申出的U，V-系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)中的元素均為都是分段多項式，形成了分段多項式族。U，V-系統(tǒng)最突出的特點是函數(shù)系中的間斷信息，這與物理學及工程技術(shù)領(lǐng)域的間斷、跳躍、突變等緊密相關(guān)，因此均可以用于這些“異類”信號的處理問題。

本文僅對U，V-系統(tǒng)的理論及典型應用進行了階段性總結(jié)，不足與欠妥之處在所難免，希望對本文內(nèi)容有興趣的讀者提出寶貴意見，我們誠懇歡迎任何批評和建議。

(致謝：齊東旭教授是我國計算幾何和計算機圖形學學科的主要開創(chuàng)者和引領(lǐng)者之一，U，V-系統(tǒng)是齊東旭教授的重要研究成果之一，他對本文的寫作給予熱情支持和親切關(guān)懷，在此表示崇高敬意！)

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A Survey of theory and applications of U-system and V-system

CHEN Wei1, CAI Zhan-chuan2, LI Jian3, LIANG Yan-yan2, XIONG Gang-qiang4, SONG Rui-xia5

(1. School of Artificial Intelligence and Computer Science, Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122, China; 2. School of Computer Science and Engineering, Macau University of Science and Technology, Macau 999078, China; 3. Faculty of Applied Sciences, Macao Polytechnic University, Macau 999078, China; 4. School of Information Engineering, Guangdong Medical University, Dongguan Guangdong 523808, China; 5. College of Sciences, North China University of Technology, Beijing 100044, China)

The traditional Fourier analysis and continuous wavelet method will produce relatively enormous errors due to the interference of Gibbs phenomenon. To solve this problem, Qi Dongxu proposed the research topic of discontinuous orthogonal function systems, among which U-system and V-system are two typical discontinuous complete orthogonal function systems. In terms of the mathematical theory, U-system and V-system are the results of the extension of the well-known Walsh function and Haar function from piecewise constant to piecewisedegree polynomial, respectively. The most important feature of U-system is that there are both smooth functions and discontinuous functions at various levels in the function system. Therefore, U- and V- systems can process both continuous and discontinuous information, making up for the shortcomings of Fourier analysis and continuous wavelet to a certain extent. This paper reviewed U- and V- systems from two aspects: theory and application. Theoretically, firstly, the construction methods of univariate U-system and V-system were introduced, respectively, then the construction methods of V-system on triangular domain were introduced, and finally the main properties of U- and V-systems were introduced. In terms of application, some representative cases of applications were introduced.

U-system; V-system; orthogonal function; discontinuity; spectral analysis

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022061002

A

2095-302X(2022)06-1002-16

2022-07-31；

：2022-10-19

陳 偉(1986-)，男，副教授，博士。主要研究方向為計算機圖形學、信號處理。E-mail：chenwei.must@gmail.com

宋瑞霞(1963-)，女，教授，碩士。主要研究方向為計算機圖形學、計算幾何。E-mail：songrx@ncut.edu.cn

31 July，2022；

19 October，2022

CHEN Wei (1986-), associate professor, Ph.D. His main research interests cover computer graphics and signal processing. E-mail：chenwei.must@gmail.com

SONG Rui-xia (1963-), professor, master. Her main research interests cover computer graphics and computational geometry. E-mail：songrx@ncut.edu.cn