基于余氏理論及元胞自動(dòng)機(jī)的Ti-2Nb合金組織模擬

林麗彬，林成，郭麗麗，莫永星，楊靜怡，崔建瀟，彭賢民

（1.遼寧石油化工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001；2.錦州錦恒汽車安全系統(tǒng)股份有限公司，遼寧 錦州 121007）

近α鈦合金由于密度低、耐腐蝕性能好、焊接性好被廣泛應(yīng)用于船舶、海洋管道和化工行業(yè)[1]。Nb是鈦合金中廣泛使用的一種合金元素，具有β穩(wěn)定化作用。同時(shí)，Nb元素固溶在鈦合金中能夠產(chǎn)生顯著的固溶強(qiáng)化作用，在提高合金強(qiáng)度的同時(shí)，也能保持良好的塑性。因此，研究Nb元素對鈦合金組織演變規(guī)律的影響，尤其是對其理論模型進(jìn)行研究，對鈦合金的合金化原理具有重要的價(jià)值。

目前，合金微觀組織模擬方法主要有相場法（PF）[2-5]、蒙 特 卡 羅 法（MC）[6-10]和 元 胞 自 動(dòng) 機(jī) 法（CA）[11-16]。這些組織模擬方法大體上可分為兩類：一類為數(shù)值解析法，它是在經(jīng)典的材料晶粒長大理論模型的基礎(chǔ)上，利用數(shù)值計(jì)算方法對經(jīng)典理論方程進(jìn)行求解，從而實(shí)現(xiàn)組織模擬的方法；另一類為計(jì)算機(jī)抽象圖形顯現(xiàn)法，它是設(shè)計(jì)一定幾何陣列來構(gòu)造初始組織，然后依據(jù)材料晶粒長大的物理和數(shù)學(xué)規(guī)律，通過程序操作來完成組織模擬的方法，該方法側(cè)重事件的隨機(jī)性。由于后者比較方便、實(shí)用，因而得到廣泛應(yīng)用，如蒙特卡羅法和元胞自動(dòng)機(jī)法。但是，如何對抽象的幾何陣列賦予材料在設(shè)計(jì)、制備、相變及服役中的真實(shí)物理內(nèi)涵，仍是研究者一直探討的問題。近年來，大數(shù)據(jù)、機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能技術(shù)在國內(nèi)外發(fā)展迅速，機(jī)器學(xué)習(xí)輔助材料設(shè)計(jì)與優(yōu)化已成為材料研究的熱點(diǎn)領(lǐng)域之一[17]。目前，以機(jī)器學(xué)習(xí)為代表的材料基因組工程[18]已經(jīng)在功能材料領(lǐng)域獲得比較成功的研究結(jié)果，但在結(jié)構(gòu)材料方面仍需進(jìn)一步深入研究。由于該方法依賴大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及多學(xué)科方法手段，因此如何在分析模型中嵌入材料科學(xué)基本原理，仍面臨諸多挑戰(zhàn)。

吉林大學(xué)余瑞璜院士于1978年建立了固體與分子經(jīng)驗(yàn)電子理論（簡稱余氏理論）[19]，該理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用于材料領(lǐng)域，如相變[20-24]、結(jié)合能[25-27]、強(qiáng)韌化[28-30]、磁性[31-32]、界面[33-34]、復(fù)合材料[35]等。但是，基于余氏理論的合金組織模擬工作仍未深入開展。最近，遼寧石油化工大學(xué)合金價(jià)電子結(jié)構(gòu)與成分設(shè)計(jì)課題組首次提出了基于余氏理論及元胞自動(dòng)機(jī)開展鈦合金β相組織模擬的方法[36]。但是，該方法主要適合多元鈦合金的情況，對不含Al元素的鈦合金體系（如二元合金）并沒有給出具體方法。因此，本文利用文獻(xiàn)[36]給出的方法思路，開展了Ti-2Nb合金β相高溫固溶組織模擬研究，進(jìn)一步闡明了不含Al元素鈦合金β相高溫固溶組織的模擬方法。本文給出的方法思路與實(shí)現(xiàn)途徑，為豐富和發(fā)展基于余氏理論的組織模擬方法提供了重要的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，具有一定的參考價(jià)值。

1 建模方法

Ti-2Nb合金在升溫 過程中，α相逐 漸向β相轉(zhuǎn)變。隨著溫度的升高，α相比例逐漸減少，而β相比例逐漸增多。當(dāng)溫度達(dá)到β相變點(diǎn)以上時(shí)，Ti-2Nb合金中α相全部轉(zhuǎn)變?yōu)閱我坏摩孪喙倘荏w。在固溶溫度剛剛達(dá)到相變點(diǎn)以上時(shí)，Nb元素在合金中分配并不均勻，處于不平衡狀態(tài)，隨著固溶處理的持續(xù)，Ti-2Nb合金中Nb元素達(dá)到平衡。Nb元素在合金中再分配過程中，伴隨著β晶粒形核和長大。Nb溶質(zhì)原子固溶到基體β-Ti后，在其周圍產(chǎn)生濃度梯度，形成有利于形核的位置。在這些有利形核位置中，有些相結(jié)構(gòu)單元形成若干晶坯，并逐漸長大成細(xì)小晶粒，然后這些細(xì)小晶粒經(jīng)過晶粒的吞并與長大，形成常見的等軸β相組織?；谏鲜鼋饘賹W(xué)基本原理，開展了Ti-2Nb合金β相高溫固溶組織模擬。

Ti-2Nb合金β相組織模擬的流程示意圖如圖1所示。圖1中，a、b分別為β-Ti-Nb、β-Ti的結(jié)構(gòu)單元；c為相結(jié)構(gòu)單元隨機(jī)分布圖；d為形核點(diǎn)隨機(jī)分布圖；e為四鄰居生長的細(xì)小晶粒；f為八鄰居生長的晶粒組織。

圖1 Ti-2Nb合金β相組織模擬流程示意圖

β相固溶組織（β相組織，下同）模擬的建模思路為：首先，構(gòu)建β相結(jié)構(gòu)單元模型，即Ti-2Nb合金高溫固溶時(shí)β相組織由β-Ti、β-Ti-Nb結(jié)構(gòu)單元混合而成（見圖1中a及b），并且在β-Ti-Nb結(jié)構(gòu)單元周圍形成有利于形核的位置；其次，并不是所有的有利形核點(diǎn)都參與形核與長大，該過程與固溶溫度及結(jié)合能大小有關(guān)，故利用余氏理論計(jì)算的相結(jié)構(gòu)單元結(jié)合能計(jì)算β相組織演變時(shí)的形核點(diǎn)數(shù)目（見圖1中c及d）；再次，利用元胞自動(dòng)機(jī)中的四鄰居規(guī)則實(shí)現(xiàn)由相結(jié)構(gòu)單元演變成微小晶粒的模擬（見圖1中e）；最后，利用元胞自動(dòng)機(jī)中的八鄰居規(guī)則實(shí)現(xiàn)微小晶粒吞并、長大過程，從而完成Ti-2Nb合金β相組織模擬（見圖1中f）。

具體建模方法如下：假設(shè)Ti-2Nb合金在高溫固溶時(shí)β相組織中含有β-Ti、β-Ti-Nb相結(jié)構(gòu)單元，并且通過Ti-2Nb合金的名義成分獲得β-Ti-Nb結(jié)構(gòu)單元的可能份額Fβ-Ti-Nb，其計(jì)算公式為：

式中，CNb為Nb元素的原子分?jǐn)?shù)。

為了在二維元胞空間中呈現(xiàn)出Ti-2Nb合金β相固溶時(shí)相結(jié)構(gòu)單元的數(shù)量及其分布，利用式（1）給出的β-Ti-Nb相結(jié)構(gòu)單元的可能份額，計(jì)算元胞空間Nx×Ny中β相可能形核點(diǎn)數(shù)目Nβ-Ti-Nb（不考慮溫度的影響），其計(jì)算公式為：式中，數(shù)字50表示100個(gè)原子形成β-Ti體心晶胞的數(shù)目；Nx為元胞空間中x方向單位元胞的個(gè)數(shù)；Ny為元胞空間中y方向單位元胞的個(gè)數(shù)。

在β-Ti-Nb相結(jié)構(gòu)單元形成的有利形核點(diǎn)中，因固溶加熱產(chǎn)生的熱振動(dòng)能夠引起有利形核點(diǎn)發(fā)生解體與原子擴(kuò)散，并失去提供β相固溶體有利形核的作用，而有些β-Ti-Nb相結(jié)構(gòu)單元能夠抵抗熱振動(dòng)破壞，并且能夠形核長大形成典型的β相組織。這些能夠抵抗熱振動(dòng)破壞并起到形核作用的相結(jié)構(gòu)單元數(shù)量與固溶溫度有關(guān)，也與β-Ti-Nb相結(jié)構(gòu)單元結(jié)合能大小有關(guān)。利用β-Ti-Nb相結(jié)構(gòu)單元結(jié)合能建立不同固溶溫度下β-Ti-Nb結(jié)構(gòu)單元在元胞空間Nx×Ny中的形核點(diǎn)數(shù)目Sj，其計(jì)算式為：

式中，Kp為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，取值1 330；T為固溶溫度，K；Ec為β-Ti-Nb結(jié)構(gòu)單元結(jié)合能，取值466 kJ/mol；R為摩爾氣體常數(shù)，8.314 kJ/mol。

β晶粒長大是集熱激活、擴(kuò)散與界面反應(yīng)于一體的物理冶金過程，主要表現(xiàn)為晶界的遷移。根據(jù)式（3）可以計(jì)算不同固溶溫度下的形核點(diǎn)數(shù)目。然后，按照元胞自動(dòng)機(jī)四鄰居規(guī)則演構(gòu)出細(xì)小晶粒（見圖1中e），這些細(xì)小晶粒按照八鄰居規(guī)則進(jìn)行吞并、長大（見圖1中f）。將上述建模方法編制成計(jì)算機(jī)軟件，在軟件中輸入元胞空間大小、形核點(diǎn)數(shù)目、模擬步長等參數(shù)，便可模擬Ti-2Nb合金β相組織。

2 結(jié)果與討論

2.1 不同固溶溫度的β相組織模擬

Ti-2Nb合金的名義成分見表1。

表1 Ti-2Nb合金的名義成分

根據(jù)表1給出的Ti-2Nb合金名義成分，計(jì)算可得Nb的原子分?jǐn)?shù)CNb為1.04%。將Nb原子分?jǐn)?shù)代入式（1），可得β-Ti-Nb結(jié)構(gòu)單元的可能份額Fβ-Ti-Nb，其值為4.16。本文選取元胞空間50×50，將得到的Fβ-Ti-Nb值代入式（2），可求得β相中形核點(diǎn)數(shù)目（不考慮溫度影響），其值為208。將不考慮溫度的形核點(diǎn)數(shù)目及固溶溫度代入式（3）中，可求得Ti-2Nb合金在1 000、1 050、1 100、1 150、1 200℃固溶時(shí)的β-Ti-Nb結(jié)構(gòu)單元的形核點(diǎn)數(shù)目，其值分別為208、200、193、187、181。將計(jì)算所得形核點(diǎn)數(shù)目（考慮固溶溫度因素）及模擬步長（以模擬步長600為例）輸入模擬程序中，便可得不同固溶溫度下的β相組織模擬圖，結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同固溶溫度的β相組織模擬圖

從圖2可以看出，在模擬步長600下，固溶溫度對β相組織的影響并不十分明顯，這主要是因?yàn)榫ЯＶ薪M織大小不均勻，差別較大。為便于對晶粒大小進(jìn)行對比，采用線性截距法統(tǒng)計(jì)組織模擬圖的平均晶粒尺寸。具體做法為：在組織模擬圖1/2y軸處統(tǒng)計(jì)沿x軸方向上每個(gè)晶粒占有元胞數(shù)目。

在模擬步長為600、固溶溫度不同的條件下，β相組織的平均晶粒尺寸如圖3所示。圖3中，平均晶粒尺寸的單位U.G-C.N代表單位晶粒所占的元胞數(shù)（模擬平均晶粒尺寸）。

圖3 在模擬步長為600、固溶溫度不同的條件下，β相組織的平均晶粒尺寸

從圖3可以看出，在模擬步長為600、固溶溫度不同的條件下，β相組織具有基本一致的平均晶粒尺寸。

2.2 不同固溶時(shí)間的組織模擬

在同一固溶溫度下，固溶時(shí)間對晶粒形態(tài)、晶粒尺寸等也會(huì)產(chǎn)生影響。固溶時(shí)間對微觀組織的影響主要通過模擬步長來實(shí)現(xiàn)。

不同固溶溫度下β相組織平均晶粒尺寸隨模擬步長的變化趨勢如圖4所示。

圖4 不同固溶溫度下β相組織平均晶粒尺寸隨模擬步長的變化趨勢

從圖4可以看出，在不同的固溶溫度下，當(dāng)模擬步長較小時(shí)，平均晶粒尺寸總體趨勢隨模擬步長的增加而增大；當(dāng)模擬步長較大時(shí)，平均晶粒尺寸隨模擬步長的增加而呈現(xiàn)不變或波動(dòng)變化；在每個(gè)固溶溫度下均出現(xiàn)晶粒急劇增大的現(xiàn)象。造成這一現(xiàn)象的原因可能是：當(dāng)只有幾個(gè)大晶粒時(shí)，模擬步長對晶粒個(gè)數(shù)的影響較小，落在平均晶粒尺寸統(tǒng)計(jì)線上的晶界長度穩(wěn)定，平均晶粒尺寸基本保持不變；隨著模擬步長的增大，晶粒間會(huì)發(fā)生吞并，此時(shí)平均晶粒尺寸會(huì)隨著發(fā)生突變，晶粒尺寸呈現(xiàn)急劇增加的現(xiàn)象。由此可知，不同固溶時(shí)間下組織的演變可以通過模擬步長的變化來體現(xiàn)。

固溶溫度為1 000℃時(shí)，不同模擬步長的β相組織模擬圖如圖5所示。從圖5可以看出，隨著模擬步長的增加，β模擬組織的晶粒逐漸增大，這一結(jié)果與圖4中的趨勢基本相符。

圖5 固溶溫度為1 000℃時(shí)，不同模擬步長的β相組織模擬圖

2.3 實(shí)際組織與模擬組織的關(guān)聯(lián)方法

β相固溶組織模擬圖顯示的是抽象的幾何圖案，為了和實(shí)際組織進(jìn)行聯(lián)系，提出了模擬組織與實(shí)際組織的關(guān)聯(lián)式：

式中，D為模擬計(jì)算的晶粒尺寸；LT為實(shí)際組織按照標(biāo)尺折算的總長度；NS為元胞空間內(nèi)平均晶粒尺寸（按元胞個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)）；PT為實(shí)際組織圖像的像素；CST為元胞空間中單元格點(diǎn)與實(shí)際組織的換算系數(shù)，可通過元胞空間大小和實(shí)際組織像素獲得。

以光學(xué)顯微鏡Olympus的金相組織為例，給出模擬組織與實(shí)際組織的關(guān)聯(lián)方法。選取Olympus光學(xué)顯微鏡的像素為4 912×3 684，金相組織標(biāo)尺為200 μm（50倍）。假定Ti-2Nb合金在1 000℃下β相組織的實(shí)測晶粒尺寸為446.299 μm。通過式（4）及Image J軟件，可以獲得1 000℃固溶溫度、不同模擬步長下模擬組織的平均晶粒尺寸（實(shí)際平均晶粒尺寸），結(jié)果如圖6所示。

圖6 固溶溫度1 000℃、不同模擬步長下與實(shí)際金相對應(yīng)的β相組織平均晶粒尺寸

利用該變化趨勢圖，可以獲得與實(shí)測值符合的模擬步長，然后將模擬步長輸入到計(jì)算機(jī)軟件中，便可獲得與實(shí)際符合的模擬組織圖。具體做法如下：在圖6的y軸上找到446.299 μm，然后沿著x軸方向畫一水平線，水平線與晶粒變化曲線相交點(diǎn)即為與實(shí)際相符合的模擬步長，即420、918和1 007。將獲得的模擬步長輸入到計(jì)算機(jī)軟件，便可獲得與實(shí)際金相組織相對應(yīng)的Ti-2Nb合金模擬組織圖，結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，盡管模擬步長420、918與1 007的平均晶粒尺寸相同，但是組織模擬圖相差比較明顯，模擬步長越大，組織模擬圖中晶粒越不均勻。這進(jìn)一步表明，模擬步長大時(shí)晶粒吞并趨勢比較明顯。實(shí)際上，在合金中觀察的金相組織在不同區(qū)域內(nèi)也是有明顯差異的。

圖7 1 000℃下的β相組織模擬圖

3 結(jié)論

（1）將余氏理論與元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則結(jié)合，建立了基于余氏理論及元胞自動(dòng)機(jī)的Ti-2Nb合金β相組織模擬方法。

（2）結(jié)合余氏理論，建立了β相組織形核點(diǎn)與固溶溫度的定量關(guān)系式，并建立了模擬晶粒尺寸的描述公式，為后續(xù)利用晶粒尺寸將固溶時(shí)間與模擬步長間建立定量關(guān)系提供了可借鑒的思路。

（3）將余氏理論與元胞自動(dòng)機(jī)規(guī)則結(jié)合，對1 000、1 050、1 100、1 150、1 200℃下的Ti-2Nb合金β相組織進(jìn)行了模擬，并給出了模擬組織與實(shí)際金相組織的關(guān)聯(lián)方法。