混合模型算法在無波前傳感自適應(yīng)光學(xué)中的應(yīng)用

劉武杰，元秀華，周澤宇，李 奇，趙 茗

華中科技大學(xué)光學(xué)與電子信息學(xué)院，湖北 武漢 430074

1 引 言

空間光通信具有容量大、數(shù)據(jù)傳輸速率高、抗電磁干擾能力強(qiáng)、安全保密性好等一系列優(yōu)點(diǎn)，是構(gòu)建空天地通信網(wǎng)絡(luò)的不可或缺的信息傳輸方式之一。然而，在星-地自由空間光通信中，湍流大氣效應(yīng)給光學(xué)系統(tǒng)引入畸變像差，不僅會造成傳輸光束擴(kuò)展、漂移及閃爍[1-5]，還會導(dǎo)致通信系統(tǒng)耦合效率下降、信噪比降低、誤碼率增加。因此，校正光場相位隨機(jī)變化引起的波前畸變像差，是自由空間光通信面臨的關(guān)鍵技術(shù)問題[6-10]。

在空間光通信系統(tǒng)中，引入無波前傳感自適應(yīng)光學(xué)技術(shù)，是校正湍流大氣產(chǎn)生的畸變波前的有效方案。近些年對無波前傳感自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的研究中，各種尋優(yōu)算法相繼被提出：2015 年，牛超君[11]分別采用差異進(jìn)化(DE)算法、模擬退火(SA)算法和SPGD 算法對不同湍流強(qiáng)度下波前畸變的校正過程進(jìn)行了仿真，當(dāng)大氣相干長度r0=0.04 m～ 0.1 m 時(shí)，處于NRZOOK 調(diào)制下的FSO 系統(tǒng)的誤碼率均能夠降低到10?6以下滿足通信要求；2018 年，顧海軍[12]將粒子群優(yōu)化(PSO)算法應(yīng)用到無限電力傳輸系統(tǒng)中，通過自適應(yīng)光學(xué)(adaptive optics，AO)技術(shù)使光伏面板的光電轉(zhuǎn)換效率從40.58%提升到79%，大幅提升了能量利用率；2020 年，楊奎星[13]利用隨機(jī)并行梯度下降模型(M-SPGD)算法對8 km 城市自由空間鏈路上的激光傳輸進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，在D/r0=9.5的大氣湍流下，F(xiàn)SO 系統(tǒng)接收端的耦合效率提升了約3.7 dB，使其在遠(yuǎn)程量子通信中得到了發(fā)展；胡琴濤[14]提出了一種ASPGD 算法利用動量和自適應(yīng)的增益系數(shù)加快收斂速度，使迭代次數(shù)減少了50%，該算法對參數(shù)具有極強(qiáng)的魯棒性，且可以避免陷入局部極值點(diǎn)。除了上述這些無模型優(yōu)化算法，有模型的優(yōu)化算法也擁有極大的應(yīng)用價(jià)值。2018 年，單月[15]借助線性相位分集法將可變形鏡的驅(qū)動電壓和遠(yuǎn)場圖像之間構(gòu)建起線性模型，顯著增強(qiáng)了AO 系統(tǒng)的成像質(zhì)量；何旭[16]和崔瑩[17]分別利用Martin 模型算法和JA (Jacopo Antonello)模型算法補(bǔ)償?shù)碗A像差，用SPGD 算法校正高階像差，成功恢復(fù)出原始光斑，從而驗(yàn)證了混合算法提升光纖耦合效率的可行性；任虹禧[18]對Lukosz 模型算法提出了改進(jìn)，不僅使圖像采集次數(shù)從原來的2N+1 減少到N+2，還大幅提升了擴(kuò)展物體的成像分辨率。

然而這些算法都有一定的局限性：無模型算法雖然可以全頻域校正波前像差，但是往往迭代數(shù)百次才會收斂，校正速率較低；而有模型算法雖然校正速度快，但是只能校正部分低階像差，校正精度不夠高。因此，為了能夠同時(shí)獲得高校正精度和快校正速率，本文提出了一種混合模型算法，利用像差先驗(yàn)知識改進(jìn)傳統(tǒng)的Lukosz 模型，對低階Lukosz 模式像差進(jìn)行評估和補(bǔ)償，然后通過余弦衰減 (cosine_decay) 算子修正ASPGD 算法，進(jìn)一步校正其余的高階像差和低階殘差。

本文先通過數(shù)值仿真隨機(jī)模擬出50 組Kolmogorov湍流功率譜下、大氣湍流強(qiáng)度均是D/r0=5的波前畸變，然后分別采用SPGD 算法、ASPGD 算法和混合模型算法進(jìn)行校正，并對仿真結(jié)果進(jìn)行了定量的對比分析，最后在FSO 系統(tǒng)的光接收機(jī)端引入無波前傳感自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)，應(yīng)用混合模型算法對動態(tài)變化的畸變波前實(shí)施實(shí)時(shí)校正，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性?；旌夏Ｐ退惴▽孛婀怄溌?、地-空鏈路、空-地鏈路的無線光通信系統(tǒng)的通信性能的提升有一定的幫助。

2 理論推導(dǎo)

2.1 ASPGD 算法

SPGD 算法的基本思想是利用性能指標(biāo)J的變化量?J和控制電壓u的變化量 ?u進(jìn)行控制電壓的梯度估計(jì)，通過迭代的方式在梯度下降方向上進(jìn)行控制電壓的搜索[19]，直至性能指標(biāo)J搜索出極大值。而ASPGD 算法則是在SPGD 算法的基礎(chǔ)上采用Adam算子[20]進(jìn)行修正，突破了SPGD 算法在迭代初期搜索極其緩慢的局限性，獲得了更高的校正效率。

如果對性能指標(biāo)函數(shù)J的差值 ?J進(jìn)行泰勒近似并忽略掉高階項(xiàng)，那么下降梯度增益gk可以近似表示成：

其中：?uk=±?u屬 于隨機(jī)生成的電壓微擾項(xiàng)。應(yīng)用Adam 算子對傳統(tǒng)的SPGD 算法進(jìn)行修正，則有：

對控制電壓uk進(jìn)行迭代更新，得到：

其中：η 是學(xué)習(xí)速率,它控制了權(quán)重的更新比率，η越大，那么初始的搜索速率越快，η 越小，那么最終的收斂性能會越好。ε是無窮小量，通常取10?8。

相比于SPGD 算法，ASPGD 算法的校正速率是它的2 倍，且對迭代步長的敏感度更低[14]，校正精度也更高。盡管如此，ASPGD 算法盲搜索的迭代次數(shù)依舊需要上百次，其收斂時(shí)間理論上存在改進(jìn)之處。

2.2 Lukosz 模型算法

Lukosz 多項(xiàng)式是Zernike 多項(xiàng)式的線性疊加，且具有導(dǎo)數(shù)正交的特性[21]，因此前N階Lukosz 模式的線性組合也可以完備地描述大氣湍流產(chǎn)生的畸變波前：

其中：li是第i階Lukosz 多項(xiàng)式Li的模式系數(shù)。

對于不包含傾斜項(xiàng)的波前像差，當(dāng)評估第i階Lukosz 多項(xiàng)式模式系數(shù)的校正量時(shí)，可以利用可變形鏡向光學(xué)系統(tǒng)中分別添加偏移量為+biLi和?biLi的模式像差，然后測量相對應(yīng)的系統(tǒng)評價(jià)函數(shù)分別為G+和G?，那么評價(jià)函數(shù)和模式系數(shù)之間將滿足以下二次方程組的關(guān)系：

其中：G0是光學(xué)系統(tǒng)的初始評價(jià)函數(shù)，q0和q1都是與遠(yuǎn)場光斑圖像相關(guān)的常數(shù)。借助拋物線函數(shù)的對稱軸來估計(jì)最佳校正像差位置[22-23]，聯(lián)立方程組進(jìn)行求解可以得到第i階Lukosz 多項(xiàng)式的校正量li,correct應(yīng) 該為：

可以發(fā)現(xiàn)在每次迭代過程中，校正N階Lukosz多項(xiàng)式的模式系數(shù)需要2N+1 次評價(jià)函數(shù)的測量。但是根據(jù)最優(yōu)晶格的研究，晶格覆蓋最多只能滿足5 維[24]，因此測量的時(shí)候只需要考慮前5 階Lukosz模式的影響，即算法迭代一次需要測量11 次評價(jià)函數(shù)。

由于極少的測量可以換來波前畸變極大的提升，Lukosz 模型算法的校正速率極快，非常適合于短時(shí)間補(bǔ)償起伏較小的像差，同時(shí)由于Lukosz 模型算法無法有效校正更高階的模式像差，導(dǎo)致其校正精度受到了一定的局限。

2.3 混合模型算法

ASPGD 算法的學(xué)習(xí)速率η 如果太大將會導(dǎo)致迭代后期收斂速率的急速下跌，適當(dāng)減小η 能夠獲得更好的收斂性能，因此可以采用cosine_decay 算子[25]控制學(xué)習(xí)速率的范圍，通過余弦減小的方式來避開局部收斂區(qū)域，使最終的校正速率得到提升，這種改進(jìn)的方法稱為AcSPGD 算法。第t次迭代時(shí)的學(xué)習(xí)速率 ηt可以表示成：

其中：T是算法的總迭代次數(shù)，被硬件條件所限制，ηmax和ηmin分別是人為設(shè)置的最大學(xué)習(xí)速率和最小學(xué)習(xí)速率。

此外，Lukosz 模型算法的校正精度受初始像差的均方根(RMS)和測量偏移量系數(shù)bi的影響極大[26-27]：如果初始像差很小，模型算法在較小的測量偏差下就可以獲得最佳校正精度，但是當(dāng)初始像差大于所給定的測量偏差時(shí)，評價(jià)函數(shù)的極值點(diǎn)就會偏離二次曲線搜索區(qū)導(dǎo)致算法局部收斂，倘若此時(shí)采用較大的測量偏差來校正，偏置曲線在邊界區(qū)域的局部斜率又會產(chǎn)生較大的誤差，不同模式之間的串?dāng)_就會降低像差系數(shù)的測量精度。因此，可以根據(jù)像差先驗(yàn)知識改變校正模式順序，首先測量并校正前4～8 階Lukosz 模式中較大的模式像差，減小系統(tǒng)中大像差之間產(chǎn)生的串?dāng)_，使評價(jià)函數(shù)與模式像差之間盡可能滿足二次關(guān)系，然后用Lukosz 模型算法精確補(bǔ)償剩余的小殘差，這樣有利于擴(kuò)大測量偏移量的選取范圍，避免二次曲線區(qū)域的失真，進(jìn)而提升Lukosz 模型算法的校正精度，這種方法稱為預(yù)校正模型算法。其中4～8 階Lukosz模式中較大的模式像差的判斷方法如下：

在預(yù)測第i階Lukosz 多項(xiàng)式模式系數(shù)的校正量時(shí)，可以優(yōu)先利用可變形鏡向光學(xué)系統(tǒng)中分別添加評估偏移量為+eiLi和?eiLi的模式像差，然后測量相對應(yīng)的系統(tǒng)評價(jià)函數(shù)分別為G+和G?，如果假設(shè)校正方向以評價(jià)函數(shù)越大越優(yōu)，那么就選取比G0更大的添加方式作為該階模式像差的初始校正，如果兩種添加方式均不能使評價(jià)函數(shù)增大，說明該階模式像差實(shí)際上較小，不需要提前添加較大的評估偏移量。

混合模型算法就是將以上兩種改進(jìn)的算法相結(jié)合來校正波前畸變的，首先利用預(yù)校正模型評估出一個(gè)較優(yōu)的初始Lukosz 模式系數(shù)，對波前畸變的低階像差進(jìn)行初步校正，然后通過AcSPGD 算法對低階殘差和待校正的高階像差進(jìn)行補(bǔ)償，這樣既能夠獲得極快的起始收斂速度，又能夠提升最終的校正精度?；旌夏Ｐ退惴ǖ牧鞒虉D如圖1 所示。

圖1 混合模型算法流程圖Fig.1 Flow chart of the hybrid modal algorithm

3 仿真結(jié)果

在Kolmogorov 湍流功率譜的條件下，利用前15階Zernike 多項(xiàng)式隨機(jī)生成20 個(gè)等距排列的大氣相干長度為0.04 m 的湍流相位屏，其中前3 階模式像差系數(shù)均設(shè)置為0，并通過多相位屏模型[28]模擬激光在大氣中的傳輸過程，具體仿真參數(shù)如表1 所示。

表1 湍流大氣傳輸數(shù)值仿真參數(shù)列表Table 1 System parameter settings in the simulation

選擇Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)作為校正目標(biāo)，選擇SR 作為系統(tǒng)評價(jià)函數(shù)，分別利用SPGD 算法、ASPGD 算法和混合模型算法校正湍流強(qiáng)度為D/r0=5的波前畸變，重復(fù)50 次實(shí)驗(yàn)減小偶然性，校正結(jié)果如圖2 所示，圖3 給出了其中一次混合模型算法校正時(shí)前4～15 階Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)的補(bǔ)償結(jié)果。仿真時(shí)，Zernike 系數(shù)的擾動幅度均選取0.00038，SPGD 算法的增益系數(shù) γ選取80000，ASPGD 算法的學(xué)習(xí)速率η選取0.01，混合模型算法的最大學(xué)習(xí)速率ηmax和最小學(xué)習(xí)速率ηmin分別選取0.02 和0.01，評估偏移量系數(shù)ei和測量偏移量系數(shù)bi分別選取2 和7。

圖2 不同算法校正結(jié)果對比圖。(a) SR 變化曲線；(b) RMS 變化曲線Fig.2 Correction results of different optimization algorithms.(a) SR varies;(b) RMS varies

圖3 混合模型算法校正前后Zernike 系數(shù)柱狀對比圖Fig.3 Histogram of Zernike coefficients between hybrid algorithm correction

圖2 中三條粗線分別代表著三種算法的50 次校正結(jié)果的平均變化曲線：混合模型算法經(jīng)過1 次大像差評估后，第4、7、8 階Zernike 模式像差得到了有效的初次校正，此時(shí)SR 從0.03 提升到0.05，RMS也相應(yīng)從1.51 rad 減小到1.43 rad，然后再借助Lukosz 拋物線模型估測最佳校正偏移量，經(jīng)過2 次迭代，前4～15 階Zernike 模式像差均有所減小，SR從0.05 迅速提升到0.23，RMS 也從1.43 rad 大幅減小到0.77 rad，表明預(yù)校正模型有助于縮小橫向搜尋區(qū)域，提升算法的收斂速度；忽略不同算法計(jì)算量的差異從收斂時(shí)間上來對比，混合模型算法、ASPGD算法和SPGD 算法的迭代次數(shù)分別達(dá)到了119 次、169 次和351 次，說明混合模型算法的收斂速率大約是ASPGD 算法的1.5 倍，是SPGD 算法的3 倍，同時(shí)也驗(yàn)證了文獻(xiàn)[9] 中ASPGD 算法的校正速率是SPGD 算法的2 倍的結(jié)論。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文搭建了一套無波前傳感自適應(yīng)光學(xué)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行算法驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖4 所示，主要由1550 nm 激光光源、光擴(kuò)束系統(tǒng)、靜相位屏、可變形鏡和紅外相機(jī)組成。其中，LEXITEK 靜相位屏的光窗直徑為100 mm，內(nèi)部光程差范圍在5 μm～30 μm，能夠產(chǎn)生相干長度為3 cm 的大氣湍流，相位分布滿足Kolmogorov 湍流理論；DMP40 可變形鏡是美國Thorlabs 公司旗下具有40 個(gè)可驅(qū)動單元的壓電式變形鏡，光瞳直徑為1 cm，響應(yīng)頻率為2 kHz，可以通過前15 階Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)或者40 個(gè)促動器單元的分段電壓來直接控制鏡面面型。

圖4 無波前傳感自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)。(a) 原理圖；(b) 實(shí)物圖Fig.4 The wavefront sensorless adaptive optical system.(a) Schematic;(b) Experiment

在圖4(a)的原理圖中，實(shí)線表示光信號路徑，虛線表示電信號路徑。由1550 nm 激光器發(fā)出的基模高斯光束先通過擴(kuò)束鏡擴(kuò)束6 倍，接著通過偏振片組降低光強(qiáng)避免接收端的相機(jī)采樣過曝，再經(jīng)過靜相位屏產(chǎn)生隨機(jī)相位畸變，然后經(jīng)過三棱鏡的反射垂直入射到可變形鏡的鏡面上進(jìn)行波前校正，最后反射光經(jīng)過分光棱鏡的反射后被焦距為50 mm 的凸透鏡聚焦，接收端采用紅外相機(jī)采集遠(yuǎn)場光斑，并通過混合模型算法處理圖像信息，實(shí)時(shí)產(chǎn)生迭代的驅(qū)動電壓來控制可變形鏡的鏡面，從而實(shí)現(xiàn)無波前傳感自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的閉環(huán)校正。實(shí)物圖如圖4(b)所示。

實(shí)驗(yàn)中，隨機(jī)采集遠(yuǎn)場光斑圖像，將像清晰度函數(shù)作為系統(tǒng)的評價(jià)函數(shù)，即圖像像素的歸一化矩陣的平方和，并利用SPGD 算法和混合模型算法分別校正波前畸變，光斑的光場分布如圖5 所示。

從圖5 可以看出，校正前的遠(yuǎn)場光斑受靜相位屏散射的影響較大，光強(qiáng)分布彌散不均勻，而校正后的光斑半徑更小、能量更集中，形狀也更接近于圓形。遠(yuǎn)場光斑沿縱軸方向的光場分布如圖6 所示。

圖5 遠(yuǎn)場光斑光強(qiáng)分布圖。(a) 疊加隨機(jī)像差；(b) SPGD 算法校正后；(c) 混合模型算法校正后Fig.5 Captured intensity of the far-field spot.(a) Before corrected;(b) Corrected by the SPGD algorithm;(c) Corrected by the hybrid algorithm

圖6 遠(yuǎn)場光斑光強(qiáng)縱向分布圖Fig.6 Fitted intensity of the far-field spot on the horizontal axis

利用最小二乘法對遠(yuǎn)場光斑的光場分布進(jìn)行高斯擬合，通過計(jì)算可知經(jīng)過SPGD 算法和混合模型算法校正后，遠(yuǎn)場光斑的半高全寬從42 pixels 分別減小到30 pixels 和25 pixels，峰值光強(qiáng)也從73.1 分別增加到131.3 和154.3，SR 大約提升了2 倍，結(jié)果表明混合模型算法比SPGD 算法的校正效果更優(yōu)。

將迭代次數(shù)作為橫坐標(biāo)，遠(yuǎn)場光斑的歸一化平均光強(qiáng)作為縱坐標(biāo)，分別畫出SPGD 算法和混合模型算法在校正過程中評價(jià)函數(shù)的變化曲線對比圖，如圖7所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，混合模型算法和SPGD 算法分別在迭代28 次和84 次以后逐漸趨于收斂，表明混合模型算法收斂速率大約是SPGD 算法的3 倍；此外比較兩種算法的收斂極值，遠(yuǎn)場光斑歸一化光強(qiáng)分別從初始的347 增加到了583 和561，表明混合模型算法比SPGD 算法的校正精度要更高，這些結(jié)論都與仿真結(jié)果相符。倘若比較兩種算法的初始校正速率，以像清晰度函數(shù)校正到500 為目標(biāo)，它們需要的迭代次數(shù)分別為5 次和67 次，表明混合模型算法的初始校正速率大約是SPGD 算法的13 倍，這為大氣激光通信實(shí)驗(yàn)中需要快速實(shí)時(shí)地校正波前畸變提供了幫助。

圖7 評價(jià)函數(shù)的變化曲線對比圖Fig.7 Improvement of normalized intensity for different algorithms

圖8 是基于NRZ-OOK 調(diào)制的室內(nèi)大氣激光通信實(shí)驗(yàn)的原理圖。在發(fā)射端，借助誤碼儀作為信號源來生成調(diào)制速率為20 MHz、數(shù)據(jù)碼型為231-1 的隨機(jī)碼，并將其作為激光驅(qū)動電路的基帶信號驅(qū)動半導(dǎo)體激光器發(fā)出1550 nm 激光光束。攜帶調(diào)制信號的基模高斯光束先經(jīng)過擴(kuò)束鏡擴(kuò)束6 倍，接著通過轉(zhuǎn)速約15 r/m的旋轉(zhuǎn)相位屏產(chǎn)生D/r0=0.8的隨機(jī)畸變，最后被無波前傳感自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)實(shí)時(shí)校正波前像差。在接收端，采用APD 和跨阻放大電路將探測到的光強(qiáng)信號轉(zhuǎn)換成電壓信號，借助示波器就可以觀察到實(shí)時(shí)傳輸?shù)男盘柌ㄐ?，?shí)驗(yàn)中采集到的20 MHz 方波信號的波形如圖9 所示；以5 MHz 為間隔改變調(diào)制信號的傳輸速率，可以得到校正前后誤碼率隨調(diào)制速率的變化曲線，如圖10 所示。

圖8 大氣激光通信實(shí)驗(yàn)光路圖Fig.8 Experiment of data transmission in atmospheric laser communications

圖9 大氣湍流傳輸實(shí)測波形Fig.9 Waveform measured in atmospheric turbulence

圖10 誤碼率隨調(diào)制速率的變化曲線Fig.10 Variation curve of BER with modulation rate

經(jīng)過SPGD 算法和混合模型算法的優(yōu)化后，20 MHz 方波信號的信噪比從30.5 dB 分別提升到了33.2 dB 和33.4 dB，表明混合模型算法能夠獲得更高的信噪比。而2.9 dB 的性能提升能夠使大氣激光通信系統(tǒng)的傳輸誤碼率從10?5降低到10?6，對于50 Mb/s內(nèi)的自由空間光通信系統(tǒng)，混合模型算法均能夠有效改善其通信性能。無波前傳感自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的校正帶寬受紅外相機(jī)采樣頻率的限制，同時(shí)可變形鏡促動器影響函數(shù)模擬各階Lukosz 模式像差時(shí)也存在擬合誤差，這些都會影響到最終的校正效果。且本文僅從光學(xué)信號的處理角度研究了光信號傳輸特性，若要提升通信系統(tǒng)整體性能，還可以增加向前糾錯(cuò)的措施來達(dá)到更高速率、更低誤碼的通信要求。

5 結(jié) 論

本文提出了一種應(yīng)用于無波前傳感自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)的混合模型算法，以補(bǔ)償大氣湍流造成的像差畸變，采用Lukosz 預(yù)校正模型和AcSPGD 算法分別校正了低階和高階像差，并提升了迭代算法的校正精度和收斂速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，混合模型算法的收斂速度是傳統(tǒng)的SPGD 算法的3 倍，且可以獲得更高的信噪比；將該算法應(yīng)用在50 Mb/s 的大氣激光通信系統(tǒng)中，系統(tǒng)誤碼率下降到10?6，通信質(zhì)量有了較大改善。