基于POD-LSE-FCD 的iBES 異常能耗數(shù)據(jù)檢測方法

馬忠嬌 張吉禮

大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部

0 引言

2018 年，我國建筑能耗占社會(huì)總能耗的36%，其中建造能耗占比為14%，建筑運(yùn)行能耗占比為22%[1]。目前，我國已在33 個(gè)省市建立了國家機(jī)關(guān)辦公建筑和大型公共建筑能耗監(jiān)測系統(tǒng)，累計(jì)對11000 余棟建筑完成了能耗在線監(jiān)測[2]，形成了建筑能耗海量數(shù)據(jù)。然而，由于感知層信道的干擾和平臺(tái)能耗監(jiān)測技術(shù)的不成熟，數(shù)據(jù)丟失、瞬時(shí)異常值和平臺(tái)固有偏差等問題數(shù)據(jù)質(zhì)量問題普遍存在于我國大部分建筑能耗監(jiān)測平臺(tái)，嚴(yán)重影響了設(shè)備用能特征的深入研究以及后續(xù)建筑節(jié)能相關(guān)措施的實(shí)施。因此，提升數(shù)據(jù)質(zhì)量至關(guān)重要，是數(shù)據(jù)深入分析的前提。近年來，許多學(xué)者及研究機(jī)構(gòu)對建筑能耗監(jiān)測平臺(tái)的異常數(shù)據(jù)檢測及修復(fù)方法進(jìn)行了研究[3-9]，為本文的研究提供了很好的借鑒。本文提出了一種將本征正交分解，線性隨機(jī)估計(jì)和分形關(guān)聯(lián)維數(shù)相結(jié)合的POD-LSE-FCD 方法用于檢測異常能耗數(shù)據(jù)，并將該方法應(yīng)用于大連某高校節(jié)能監(jiān)測管理平臺(tái)實(shí)際監(jiān)測數(shù)據(jù)的異常值檢測。

1 POD-LSE-FCD 基本原理

1.1 POD-LSE 基本原理

本征正交分解 POD（Proper Orthogonal Decomposition）是一種源于矢量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析的方法，利用降維的思想，在損失少量信息的前提下，把多個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)綜合指標(biāo)的多元統(tǒng)計(jì)方法[10-11]。

若將POD 法應(yīng)用于能耗數(shù)據(jù)，則原始能耗數(shù)據(jù)可表示為矩陣E(x,t)={c(xi,tj)}，其中xi(i=1,2,…,m)為空間坐標(biāo)，tj(j=1,2,…,n)為時(shí)間坐標(biāo)。理論上，若要精確重構(gòu)能耗數(shù)據(jù)矩陣需要一個(gè)無限項(xiàng)加和的表達(dá)式，而實(shí)際上有限數(shù)量的POD 模態(tài)即可體現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化，故使用下式重構(gòu)原始數(shù)據(jù)矩陣：

POD 模態(tài)的描述方法不是唯一的，直接法需要求解每個(gè)變量在整個(gè)場上的任意兩點(diǎn)相關(guān)系數(shù)。

式中：COV(E(x,τ))為m×m 維度的協(xié)方差矩陣，根據(jù)線性代數(shù)與拉格朗日函數(shù)，COV(E(x,τ))協(xié)方差矩陣是一個(gè)半正定矩陣；EX{E(x,τ)}為各空間坐標(biāo)能耗數(shù)據(jù)在矩陣表示時(shí)間段內(nèi)的期望值，則：

由式(4)可見，λ1，λ2，λ3，…，λm(λ1≥λ2≥λ3≥…≥λm)為協(xié)方差矩陣COV(E(x,τ))的m 個(gè)特征根，，分別為各特征根對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量。此時(shí)，已經(jīng)應(yīng)用POD 法完成了原始數(shù)據(jù)矩陣的本征正交分解，并同時(shí)給出了原始數(shù)據(jù)重構(gòu)后矩陣的均方誤差。應(yīng)用上述方法可用本征正交分解的時(shí)間系數(shù)來估計(jì)原始能耗數(shù)據(jù)矩陣，再利用基函數(shù)重構(gòu)整個(gè)能耗數(shù)據(jù)矩陣。根據(jù)線性隨機(jī)估計(jì)（Linear stochastic estimation，LSE）方法原理，能耗數(shù)據(jù)的估計(jì)矩陣En*(x,τ)表示為：

式（5）中估計(jì)的時(shí)間系數(shù)αk*(t)由式（6）計(jì)算：

Aisk 是是第k 個(gè)POD 模態(tài)在第i 個(gè)測點(diǎn)的線性隨機(jī)估計(jì)系數(shù)矩陣，由下式計(jì)算：

式（7）中E(xi,τ)是原本征正交分解中使用的第i個(gè)測點(diǎn)的原測量事件，αk(τ)是根據(jù)式（2）計(jì)算的第k 個(gè)POD 模態(tài)的實(shí)際時(shí)間系數(shù)，ms是用于估計(jì)整個(gè)時(shí)間系數(shù)的指定空間數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量。

1.2 FCD 基本原理

分形關(guān)聯(lián)維數(shù) FCD（Fractal Correlation Dimension）是在相空間重構(gòu)過程中求解嵌入維數(shù)的一種重要方法。G-P（Grassberger-Procaccia）算法是從一組隨機(jī)分布的點(diǎn)估計(jì)分形標(biāo)準(zhǔn)的分形關(guān)聯(lián)維數(shù)的一種主要算法。通過對時(shí)間序列的相空間重構(gòu)，構(gòu)造的奇怪吸引子在一定程度上反映系統(tǒng)的演化規(guī)律。通過分析相空間重構(gòu)吸引子的結(jié)構(gòu)來評價(jià)動(dòng)力系統(tǒng)的混沌特性，即為G-P 算法的基本思想[12-13]。當(dāng)應(yīng)用G-P 方法與POD 耦合時(shí)，時(shí)間系數(shù)αk(tj)應(yīng)描述如下：

式(8)中n 為表示第k 個(gè)POD 模態(tài)的一組時(shí)間系數(shù)序列的長度，時(shí)間序列可簡化表示如下：

時(shí)間序列x(τj)表示在時(shí)間τj=τ0+j△τ 處x 值，假設(shè)時(shí)間序列{x(τj)}的統(tǒng)計(jì)量不隨時(shí)間變化。除非測量值獨(dú)立同分布，否則連續(xù)測量值之間將存在相關(guān)性。利用Takens 時(shí)延嵌入定理，設(shè)m 為嵌入維數(shù)且每個(gè)相空間有m 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，τs=△τ 為時(shí)滯參數(shù)，則空間數(shù)據(jù)的相位可以表示為m 維空間中的一系列點(diǎn)，第j 個(gè)時(shí)間序列x(τj,m,τs)為：

根據(jù)上述方法，n 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的時(shí)間序列被分成nm組，nm=n-(m-1)τs，nm為分形數(shù)組中點(diǎn)的數(shù)量或坐標(biāo)向量的數(shù)量，m 維超球半徑用歐氏距離表示：

超球體的中心可以定義為半徑，且對于每一個(gè)i值均可應(yīng)用球面三角形法從相空間距離中求出一個(gè)半徑，改變重構(gòu)的超球體的中心將得到一系列的小球體。如果將r 定義為長度刻度，小球數(shù)與總球數(shù)之比定義為關(guān)聯(lián)積分函數(shù)f(r)：

為了避免距離的雙重計(jì)算導(dǎo)致計(jì)算量增大，可將式(12)轉(zhuǎn)換為式(15)：

由于r 足夠小且觀測值數(shù)量nm足夠大，分形關(guān)聯(lián)維數(shù)重構(gòu)相空間吸引子為：

綜上，C(r)與距離小于r 的分形集的點(diǎn)對數(shù)成正比，若所考察的點(diǎn)系是分形集，則DC為雙坐標(biāo)對數(shù)圖log2C(r)-log2r 在線性區(qū)的斜率，斜率DC即為系統(tǒng)的分形維數(shù)。

1.3 POD-LSE-FCD 異常數(shù)據(jù)檢測方法基本原理

統(tǒng)計(jì)學(xué)中基于直接殘差的方法通常以實(shí)測數(shù)據(jù)和估計(jì)數(shù)據(jù)之間殘差來判斷是否有異常值產(chǎn)生。針對能耗數(shù)據(jù)的非線性特點(diǎn)，本文提出了一種以直接POD和POD-LSE 時(shí)間系數(shù)的FCD 偏差代替直接殘差的方法，即基于POD-LSE-FCD 的異常數(shù)據(jù)檢測方法，該方法的流程圖見圖1。

圖1 POD-LSE-FCD 法邏輯流程圖

研究結(jié)果表明，LSE 時(shí)間系數(shù)能夠準(zhǔn)確反映能耗監(jiān)測平臺(tái)的性能特征。如果直接POD 和POD-LSE 時(shí)間系數(shù)的FCD 偏差存在較大的差異，則表明直接計(jì)算整個(gè)域數(shù)據(jù)的時(shí)間系數(shù)可能不是正確的系數(shù)。因此，可以根據(jù)上述原理檢測異常的能耗數(shù)據(jù)。直接POD 和POD-LSE 時(shí)間系數(shù)的FCD 標(biāo)準(zhǔn)差由式（17）計(jì)算：

2 POD-LSE-FCD 異常數(shù)據(jù)檢測方法實(shí)例分析

本文應(yīng)用Matlab 自編程序?qū)崿F(xiàn)了POD-LSE-FCD算法，以大連某高校校園節(jié)能監(jiān)測與管理平臺(tái)的創(chuàng)新園大樓的照明與插座分項(xiàng)實(shí)際監(jiān)測用電量數(shù)據(jù)為例，驗(yàn)證了基于POD-LSE-FCD 的異常數(shù)據(jù)檢測方法的有效性。該建筑群分為中央主樓、西側(cè)學(xué)生實(shí)驗(yàn)樓、東側(cè)創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)基地，該建筑共有10 個(gè)照明與插座用電監(jiān)測點(diǎn)，應(yīng)用這10 個(gè)支路的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，應(yīng)用2017 年3月1 日-2018 年2 月28 日的逐日數(shù)據(jù)構(gòu)成10×365 維能耗數(shù)據(jù)矩陣。

2.1 POD-LSE 時(shí)間系數(shù)在全域和選定域一致性的驗(yàn)證法

全域是指所有測點(diǎn)，選定域指的是從所有測點(diǎn)中選取的測點(diǎn)。為了應(yīng)用本征正交分解降維需驗(yàn)證全域時(shí)間系數(shù)和選定域時(shí)間系數(shù)的一致性，本文應(yīng)用實(shí)測能耗數(shù)據(jù)進(jìn)行了多次模擬計(jì)算與驗(yàn)證，POD-LSE 的詳細(xì)流程圖如圖2 所示。

圖2 POD-LSE 法邏輯流程圖

如圖2 所示，第一部分的全域時(shí)間系數(shù)和選定域時(shí)間系數(shù)由式（4）的最大特征值計(jì)算確定，第二部分的時(shí)間系數(shù)根據(jù)選定域數(shù)據(jù)和參考時(shí)間系數(shù)的線性隨機(jī)估計(jì)由式（6）和式（7）確定。參考時(shí)間系數(shù)是由選定的無數(shù)據(jù)異常的能耗數(shù)據(jù)樣本段計(jì)算確定的（2017 年3 月1 日-2017 年6 月1 日），在計(jì)算樣本段以外的時(shí)間區(qū)域內(nèi)，若存在異常能耗數(shù)據(jù)，則該異常數(shù)據(jù)點(diǎn)的POD 時(shí)間系數(shù)的趨勢將顯示出明顯的誤差。

根據(jù)式（3），本文計(jì)算了不同時(shí)間跨度協(xié)方差矩陣，結(jié)果顯示不同時(shí)間跨度協(xié)方差矩陣的特征值的能量分布高度一致。協(xié)方差矩陣第i 個(gè)特征值的能量占比表示為Eip，由式（18）計(jì)算。圖3 為由10×10 協(xié)方差矩陣計(jì)算出的10 個(gè)特征值的能量分布，這表明最大特征值即第1 個(gè)特征值捕獲了超過81.04%的能量。

圖3 特征值能量分布圖

根據(jù)圖3，單一的時(shí)間跨度并不代表所有情況，需要驗(yàn)證不同時(shí)間跨度異常數(shù)據(jù)檢測結(jié)果的區(qū)別。本文計(jì)算了所有測點(diǎn)和選定測點(diǎn)在相同時(shí)間端內(nèi)的時(shí)間系數(shù)向量，兩個(gè)時(shí)間系數(shù)向量具有相同的維度。圖4（a）、圖4（b）和圖4（c）分別為時(shí)間跨度Span=14，Span=28 和Span=56 時(shí)直接POD 和POD-LSE 時(shí)間系數(shù)計(jì)算結(jié)果對比圖。

圖4 不同時(shí)間跨度的時(shí)間系數(shù)分布圖

由圖4 可見，隨著時(shí)間跨度Span 的增加，全域POD 時(shí)間系數(shù)和選定域POD 時(shí)間系數(shù)曲線趨于一致，而線性隨機(jī)估計(jì)的POD-LSE 時(shí)間系數(shù)與全域POD 時(shí)間系數(shù)和選定域POD 時(shí)間系數(shù)雖然處于不同的坐標(biāo)系，其動(dòng)態(tài)變化趨勢卻保持一致性。

圖5 顯示了當(dāng)時(shí)間跨度Span=28 時(shí)，部分時(shí)間的時(shí)間系數(shù)與能耗數(shù)據(jù)。由圖5 可以看出，盡管時(shí)間系數(shù)與能耗數(shù)據(jù)處于不同的坐標(biāo)軸且量綱不一致，兩組數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)變化趨勢卻顯示了明顯的一致性，異常數(shù)據(jù)的檢測正是基于正常情況下時(shí)間系數(shù)與能耗數(shù)據(jù)變化趨勢一致這一特性。

圖5 時(shí)間系數(shù)與能耗數(shù)據(jù)趨勢對比圖

2.2 POD-LSE-FCD 異常數(shù)據(jù)檢測方法實(shí)例的分析結(jié)果

通過比較直接POD 和POD-LSE 時(shí)間系數(shù)的FCD，對實(shí)時(shí)能耗數(shù)據(jù)異常值檢測方法進(jìn)行了評價(jià)。若將時(shí)間跨度設(shè)為28，只需要確定1 個(gè)參數(shù)——步長。若步長設(shè)定為Step=7，則每次使用7 個(gè)新數(shù)據(jù)和21個(gè)歷史數(shù)據(jù)來計(jì)算FCD。同時(shí)，在正常情況下選擇的參考時(shí)間系數(shù)的維度與步長相同，應(yīng)用該算法可檢測出異常的能耗數(shù)據(jù)。直接POD 和POD-LSE 時(shí)間系數(shù)的FCD 標(biāo)準(zhǔn)差由式（17）計(jì)算，圖6,圖7 和圖8 分別為不同步長Step=14，Step=7 和Step=4 的異常數(shù)據(jù)檢測測結(jié)果。

圖6 異常數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)檢測結(jié)果（Step=14）

圖7 異常數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)檢測結(jié)果（Step=7）

圖8 異常數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)檢測結(jié)果（Step=4）

如圖6 所示，當(dāng)Step=14 時(shí)，檢測結(jié)果顯示在Step No.=12 時(shí)，即第12 步時(shí)，直接POD 和POD-LSE 時(shí)間系數(shù)的FCD 標(biāo)準(zhǔn)差SD=8.04%，明顯高于其余計(jì)算步驟的標(biāo)準(zhǔn)差，該數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間為[Start time:End timetime]=[171:198]；如圖7 所示，當(dāng)Step=7 時(shí)，檢測結(jié)果顯示在Step No.=11 和Step Noo.=24 時(shí)，即第11步和第24 步時(shí)，直接POD 和POD-LSE 時(shí)間系數(shù)的FCD 標(biāo)準(zhǔn)差分別為SD=-12.41%和SD=15.76%，明顯高于其余計(jì)算步驟的標(biāo)準(zhǔn)差，這兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間分別為[Start time:End timetime]=[78:105]和[Start time:End timetime]=[169:196]；如圖8 所示，當(dāng)Step=4 時(shí)，檢測結(jié)果顯示在Step No.=19 和Step No.=42 時(shí)，即第19步和第42 步時(shí)，直接POD 和POD-LSE 時(shí)間系數(shù)的FCD 標(biāo)準(zhǔn)差分別為SD=-13.58%和SD=11.66%，明顯高于其余計(jì)算步驟的標(biāo)準(zhǔn)差，這兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間分別為[Start time:End timetime]=[77:104] 和[Start time:End time-time]=[169:196]。

由圖6，圖7 和圖8 還可以看出，當(dāng)時(shí)間跨度Span=28 時(shí)，不同步長檢測異常值結(jié)果略有不同。當(dāng)Step=14 時(shí)，只檢測出1 個(gè)異常數(shù)據(jù)點(diǎn)，而當(dāng)Step=7 和Step=4 時(shí)，檢測出2 個(gè)異常數(shù)據(jù)點(diǎn)且2 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置一致。檢測出異常值的步驟，其直接POD 和POD-LSE 時(shí)間系數(shù)的FCD 標(biāo)準(zhǔn)差SD 均大于8%，明顯高于其余計(jì)算步驟的標(biāo)準(zhǔn)差。綜上，當(dāng)檢測時(shí)間跨度Span=28 時(shí)，步長Step=7 時(shí)最為合適，與Step=14相比較更能準(zhǔn)確地檢測出異常值的位置，與Step=4 相比減少了計(jì)算量。

3 結(jié)論

本文提出了POD-LSE-FCD 能耗數(shù)據(jù)異常值檢測方法，該方法將本征正交分解，線性隨機(jī)估計(jì)和分型關(guān)聯(lián)維數(shù)相結(jié)合。將該方法應(yīng)用于大連市某高校能耗監(jiān)測數(shù)據(jù)，通過比較直接POD 和POD-LSE 時(shí)間系數(shù)的FCD，對實(shí)時(shí)能耗數(shù)據(jù)異常值檢測方法進(jìn)行了評價(jià)。分別模擬計(jì)算了當(dāng)時(shí)間跨度Span=28 時(shí)，不同步長Step=14，Step=7 和Step=4 的異常數(shù)據(jù)檢測測結(jié)果，得出以下結(jié)論：

1）當(dāng)時(shí)間跨度Span=28 時(shí)，不同步長檢測異常值結(jié)果略有不同：當(dāng)Step=14 時(shí)，只檢測出1 個(gè)異常數(shù)據(jù)點(diǎn)。當(dāng)Step=7 和Step=4 時(shí)，檢測出2 個(gè)異常數(shù)據(jù)點(diǎn)，且兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置一致。

2）檢測出異常值的步驟，直接POD 和POD-LSE時(shí)間系數(shù)的FCD 標(biāo)準(zhǔn)差均大于8%，明顯高于其余計(jì)算步驟的標(biāo)準(zhǔn)差。

3）當(dāng)檢測時(shí)間跨度Span=28 時(shí)，步長Step=7 時(shí)最為合適，與Step=14 相比較更能準(zhǔn)確地檢測出異常值的位置，與Step=4 相比減少了計(jì)算量。

綜上，POD-LSE-FCD 法可以準(zhǔn)確并快速的檢測出能耗異常數(shù)據(jù)，適宜應(yīng)用于iBES 建筑能耗監(jiān)測平臺(tái)異常數(shù)據(jù)診斷。