無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)帶雙層有界磁屏蔽任意位置圓形線圈的耦合系數(shù)計(jì)算

李中啟 林志遠(yuǎn) 楊 鵬 易吉良 黃守道

無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)帶雙層有界磁屏蔽任意位置圓形線圈的耦合系數(shù)計(jì)算

李中啟1,2林志遠(yuǎn)1楊 鵬1易吉良1黃守道2

（1. 湖南工業(yè)大學(xué)軌道交通學(xué)院 株洲 412007 2. 湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 長(zhǎng)沙 410082）

耦合系數(shù)是無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)的關(guān)鍵參數(shù)之一，準(zhǔn)確的耦合系數(shù)計(jì)算是優(yōu)化無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和提高傳輸效率的重要理論依據(jù)。目前還沒(méi)有帶雙層有界磁屏蔽任意位置圓形平面螺旋線圈之間的耦合系數(shù)計(jì)算方法。為此該文通過(guò)麥克斯韋方程組推導(dǎo)出雙層有界磁屏蔽條件下的矢量磁位表達(dá)式，利用邊界條件及空間幾何關(guān)系得到任意空間位置的耦合系數(shù)公式。與傳統(tǒng)的近似計(jì)算方法不同，該文所提出的耦合系數(shù)計(jì)算可以對(duì)圓形平面螺旋線圈間的耦合系數(shù)進(jìn)行精確的數(shù)值求解。最后，以?xún)蓚€(gè)圓形平面螺旋線圈間多種相對(duì)位置的變化情況為例，計(jì)算值、仿真值與實(shí)驗(yàn)值吻合良好，驗(yàn)證了所提計(jì)算方法的正確性。

無(wú)線電能傳輸 圓形線圈 磁屏蔽 耦合系數(shù)計(jì)算

0 引言

無(wú)線電能傳輸（Wireless Power Transfer, WPT）是一種在沒(méi)有任何物理連接的情況下電源和負(fù)載之間能量傳輸?shù)姆椒?。由于其方便、靈活、可靠和安全的優(yōu)勢(shì)，在電力電子領(lǐng)域引起了極大的關(guān)注，該技術(shù)有可能取代傳統(tǒng)的有線傳輸方法。目前正在研究將其納入工業(yè)設(shè)備[1]、軌道交通[2]、電動(dòng)汽車(chē)[3-6]、消費(fèi)電子[7-8]、生物醫(yī)學(xué)植入[9-10]和水下供電[11-12]中。然而，實(shí)際應(yīng)用中常常會(huì)面臨初級(jí)線圈與初級(jí)線圈發(fā)生錯(cuò)位偏移偏轉(zhuǎn)的情況，這會(huì)使WPT系統(tǒng)傳輸效率發(fā)生不同程度的變化。因此，研究初級(jí)線圈與次級(jí)線圈相對(duì)空間位置的變化對(duì)WPT耦合系數(shù)的影響具有重要意義。

隨著WPT應(yīng)用范圍的擴(kuò)大，其線圈結(jié)構(gòu)也各式各樣，例如，矩形平面線圈、圓形平面線圈和六邊形幾何形狀等。為應(yīng)對(duì)復(fù)雜的無(wú)線充電環(huán)境，加入了磁屏蔽材料來(lái)提升電磁屏蔽性能。在WPT中，耦合系數(shù)的大小與WPT效率緊密相關(guān)，而耦合系數(shù)和自感決定了互感。關(guān)于矩形平面線圈在WPT系統(tǒng)中的互感已有大量研究，分別通過(guò)Biot-Savart定律[13]、麥克斯韋方程[14]、傅里葉級(jí)數(shù)[15-16]、傅里葉-貝塞爾變換[17]和二階矢量位[18-19]對(duì)互感進(jìn)行近似計(jì)算。但在對(duì)稱(chēng)性上圓形線圈比矩形線圈更具優(yōu)勢(shì)，更加穩(wěn)定。

空氣介質(zhì)圓形線圈間的互感計(jì)算方面，文獻(xiàn)[20-21]通過(guò)將圓形平面線圈劃分為等分的多邊形對(duì)圓形平面線圈在空氣中的互感進(jìn)行精確計(jì)算，該方法的優(yōu)點(diǎn)是能夠預(yù)測(cè)邊形平面線圈的互感，但此方法當(dāng)越大時(shí)計(jì)算量越大。文獻(xiàn)[22]通過(guò)矢量磁位來(lái)計(jì)算兩平面線圈在空氣中水平偏移的互感。文獻(xiàn)[23]利用已知的橢圓積分，推導(dǎo)出水平偏移圓柱薄壁線圈在空氣中和環(huán)之間的互感近似值表達(dá)式。文獻(xiàn)[24-25]提出了基于諾依曼公式的任意空間位置的線圈間互感的改進(jìn)算法。文獻(xiàn)[26]基于Biot- Savart定律的分析模型，近似計(jì)算圓形和方形平面線圈在空氣中任意位置的互感。即使目前已有任意空間位置的互感計(jì)算方法的研究分析，但帶磁屏蔽材料的研究還很有限。

在磁屏蔽材料圓形線圈間互感計(jì)算方面，文獻(xiàn)[27]使用電流鏡像法計(jì)算單邊單層無(wú)限大尺寸磁屏蔽材料上圓形線圈間互感。文獻(xiàn)[28]通過(guò)應(yīng)用貝塞爾-傅里葉變換和雙傅里葉變換推導(dǎo)了松耦合WPT系統(tǒng)中方形和圓形線圈互感計(jì)算的解析模型，并研究了自感、互感和耦合系數(shù)與基底的相對(duì)磁導(dǎo)率和線圈的線間距的關(guān)系。但該研究?jī)H考慮了線圈橫向錯(cuò)位帶雙邊單層無(wú)限大尺寸磁屏蔽材料的情況。文獻(xiàn)[29]提出一種基于電場(chǎng)強(qiáng)度和坐標(biāo)變換法的互感計(jì)算新解析方法，可以快速計(jì)算雙層電磁屏蔽基板上任意相對(duì)位置圓形線圈之間的互感。但該文獻(xiàn)假設(shè)磁屏蔽材料是無(wú)窮大模型，而實(shí)際應(yīng)用中磁屏蔽材料尺寸是有限的。綜上所述，目前帶多層有界磁屏蔽圓形線圈任意空間位置的耦合系數(shù)計(jì)算方法問(wèn)題還沒(méi)有解決。

本文建立雙層有界磁屏蔽圓形平面螺旋線圈在任意位置變化情況的耦合系數(shù)計(jì)算模型。首先，通過(guò)麥克斯韋方程組推導(dǎo)出矢量磁位，再利用邊界條件獲得等量關(guān)系求解出相應(yīng)系數(shù)；其次，通過(guò)空間幾何關(guān)系計(jì)算出旋轉(zhuǎn)參數(shù)；然后，通過(guò)諾依曼公式求解出互感與自感，從而計(jì)算出耦合系數(shù)；最后，通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提耦合系數(shù)計(jì)算方法的正確性。

1 耦合系數(shù)計(jì)算

本文耦合系數(shù)計(jì)算流程為：①系統(tǒng)模型具有磁屏蔽材料和空氣介質(zhì)，因此可通過(guò)磁屏蔽材料和空氣介質(zhì)的邊界將系統(tǒng)模型沿垂直方向劃分為六個(gè)區(qū)域；②通過(guò)麥克斯韋方程組推導(dǎo)出各個(gè)區(qū)域的矢量磁位；③利用相鄰區(qū)域的邊界條件建立等量關(guān)系，通過(guò)等量關(guān)系式求解出各個(gè)區(qū)域的未知系數(shù)；④通過(guò)諾依曼公式求解出互感表達(dá)式和自感表達(dá)式；⑤利用線圈間空間幾何關(guān)系求解出任意位置旋轉(zhuǎn)參數(shù)表達(dá)式；⑥將旋轉(zhuǎn)參數(shù)代入互感表達(dá)式得到任意位置互感表達(dá)式；⑦最后得到單邊雙層有界磁屏蔽圓形線圈間的耦合系數(shù)。

1.1 同軸線圈互感與自感計(jì)算

該模型使用兩個(gè)有限尺寸的磁屏蔽材料作為基底，建立雙層有界磁屏蔽圓形平面螺旋線圈的橫截面軸對(duì)稱(chēng)如圖1所示。由于該模型為軸對(duì)稱(chēng)模型，故建立柱坐標(biāo)系（,,）。圖中，兩個(gè)磁屏蔽材料均為圓形基底。r1、1和r2、2分別為兩個(gè)磁屏蔽材料的磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。1、2分別為初級(jí)次級(jí)線圈半徑，p、s分別為初級(jí)、次級(jí)線圈距離磁屏蔽材料高度。為方便計(jì)算，將該模型由=p，=0，=1，=1+D和=2分為六個(gè)區(qū)域。初級(jí)線圈通入正弦電流ejt激勵(lì)，其中，為電流幅值，為角頻率，為時(shí)間變化量。

圖1 雙層有界磁屏蔽圓形平面螺旋線圈的橫截面軸對(duì)稱(chēng)

根據(jù)圓形線圈產(chǎn)生的時(shí)變電磁場(chǎng)的特點(diǎn)，可得到矢量磁位。由于矢量磁位只有一個(gè)分量，并且沿方向呈均勻分布，則=。通過(guò)麥克斯韋方程組推導(dǎo)各區(qū)域矢量磁位（ =1, 2, 3, 4, 5, 6）滿(mǎn)足

由于所求矢量磁位為有限值，當(dāng)→0時(shí)，wr→0，Y1(wr)→∞，故B=0，則區(qū)域1, 2, 4, 6可推導(dǎo)為

根據(jù)邊界條件，矢量磁位在某一截?cái)鄥^(qū)域=時(shí) (,)=0。式（4）～式（7）含指數(shù)函數(shù)部分不為0，故有J1(wh)=0，根據(jù)此條件可求解出特征值w。區(qū)域3、5含有磁屏蔽材料與空氣兩部分，此處以區(qū)域3為例，結(jié)合式（2）和式（3）可得

由于磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量和磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量具有連續(xù)性，則當(dāng)=時(shí)，其邊界條件滿(mǎn)足

聯(lián)立式（10）和式（11）得到系數(shù)3和3分別為

令1(pr)=AJ1(pr)+BY1(pr)，則式（9）可改寫(xiě)為

式中，特征值q和p亦可通過(guò)1(ph)=0這一條件求解。同理可得區(qū)域5的關(guān)系式為

根據(jù)相鄰區(qū)域間的邊界條件的連續(xù)性，與磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量和磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量的連續(xù)性可以得到

雖然所求解為無(wú)窮級(jí)數(shù)，但存在J1(wr)與Y1(wr)使得無(wú)窮級(jí)數(shù)快速收斂。為化簡(jiǎn)推導(dǎo)，可以近似將解列寫(xiě)為有限項(xiàng)求和解。以1(,)為例得

根據(jù)Bessel函數(shù)的正交性可進(jìn)一步對(duì)式（30）化簡(jiǎn)為

其中

將式（31）代入式（19）計(jì)算可得

同理，式（20）～式（28）可以改寫(xiě)為

利用消元法或克萊姆法則或Matlab計(jì)算出2、3、4、5、6、1、2、3、4、5，其中、、、、為中間變量，即

式（43）可根據(jù)Lommel積分公式進(jìn)一步求解得

式中，2為沿次級(jí)線圈所在圓形的積分路徑。由于線圈為平面螺旋線圈，互感計(jì)算可近似為同心圓與同心圓間的互感，即

然而，實(shí)際線圈為多匝線圈，故總互感為

式中，1與2分別為初級(jí)線圈和次級(jí)線圈的匝數(shù)；、分別對(duì)應(yīng)初級(jí)線圈和次級(jí)線圈處于第幾匝的線圈。

自感是由導(dǎo)體本身電流的變化而產(chǎn)生的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，在其計(jì)算方面，可以巧妙的將其理解為兩個(gè)規(guī)格一致的平面螺旋線圈距離無(wú)限接近時(shí)的互感，故依舊可以使用上述互感計(jì)算模型來(lái)計(jì)算自感。此處以初級(jí)線圈為例，由于兩平面螺旋線圈無(wú)限接近，計(jì)算時(shí)令s=p，代入式（49）計(jì)算得

即可得到單匝線圈的自感，再代入式（50）得到多匝線圈的自感為

1.2 任意位置旋轉(zhuǎn)參數(shù)計(jì)算

為實(shí)現(xiàn)對(duì)平面螺旋線圈的任意位置的互感計(jì)算，需求出以1為圓心、以為半徑的圓Coil在點(diǎn)上的切線A與次級(jí)線圈在點(diǎn)上切線d間的夾角，即矢量磁位與線元d的夾角。任意相對(duì)位置雙層有界磁屏蔽圓形線圈互感計(jì)算系統(tǒng)框圖如圖2所示，為方便求解，構(gòu)建以1為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系。次級(jí)線圈繞軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為（0°≤ ≤90°），沿軸平移距離，其余參數(shù)與第1.1節(jié)一致。

圖2 任意相對(duì)位置雙層有界磁屏蔽圓形線圈互感計(jì)算系統(tǒng)框圖

設(shè)次級(jí)線圈平面法向量為

根據(jù)式（53）可以得到正交向量為

通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算求解出同時(shí)垂直于向量與向量的向量為

顯然，向量與向量均在次級(jí)線圈平面上，將向量、單位向量化為

根據(jù)式（56）、式（57）及坐標(biāo)2(, 0, 0)可得次級(jí)線圈的參數(shù)方程為

式（58）結(jié)合幾何關(guān)系可求出1長(zhǎng)度為

分別對(duì)式（58）和式（60）中參數(shù)、求導(dǎo)得到圓Coil與次級(jí)線圈的任意點(diǎn)的切向量為

通過(guò)式（61）和式（62）可以求出任意空間的旋轉(zhuǎn)參數(shù)，即夾角的余弦為

式中，0°≤ ≤90°，為擴(kuò)大通式可求解的角度范圍，可通過(guò)圓形線圈的對(duì)稱(chēng)性對(duì)式（63）改寫(xiě)為

式中，0°≤ ≤180°。

1.3 耦合系數(shù)計(jì)算

結(jié)合1.2節(jié)任意位置旋轉(zhuǎn)參數(shù)cos與式（49），可推導(dǎo)出任意位置單匝線圈的互感公式為

綜合所述，可以得到互感ps與初級(jí)線圈自感1、次級(jí)線圈自感2，則耦合系數(shù)為

2 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提式（66）的有效性，通過(guò)有限元仿真軟件Ansys Maxwell搭建有限元仿真模型如圖3所示。由于本文討論無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)在任意空間位置的耦合系數(shù)，故仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證部分，將通過(guò)改變次級(jí)線圈的位置，測(cè)出其對(duì)應(yīng)的互感與自感，分析耦合系數(shù)仿真值、實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值之間的誤差。本節(jié)設(shè)置次級(jí)線圈垂直偏移、水平偏移、角度偏轉(zhuǎn)和水平偏移+角度偏轉(zhuǎn)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，其對(duì)應(yīng)的線圈各狀態(tài)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D4所示。同時(shí)為測(cè)量實(shí)驗(yàn)耦合系數(shù)中的互感值，研制了一套收發(fā)線圈裝置，實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示，收發(fā)線圈與磁屏蔽材料的參數(shù)見(jiàn)表1。

圖3 有限元仿真模型

圖4 線圈各狀態(tài)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置

表1 線圈與磁屏蔽材料參數(shù)

Tab.1 Coil and magnetic shielding material parameters

（續(xù)）

通過(guò)TH2829A阻抗分析儀進(jìn)行電感測(cè)量，其電流頻率設(shè)為85kHz。實(shí)驗(yàn)耦合系數(shù)中的互感測(cè)量方法：首先通過(guò)初級(jí)線圈與次級(jí)線圈同相連接，得到線圈兩端的電感為e1=1+2+2e；再將初級(jí)線圈與次級(jí)線圈反相連接，得到線圈兩端的電感為e2=1+2-2e。因此，初級(jí)線圈與次級(jí)線圈之間的互感=|e1-e2|/4。其中1為初級(jí)線圈自感，2為次級(jí)線圈自感。實(shí)驗(yàn)互感測(cè)量原理如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)互感測(cè)量原理

2.1 垂直偏移

次級(jí)線圈沿軸正方向從s=27mm處以步長(zhǎng)Ds=10mm依次進(jìn)位至s=117mm，次級(jí)線圈垂直偏移示意圖如圖7所示。圖中，虛線為次級(jí)線圈上一時(shí)刻位置，實(shí)線為偏移后的相對(duì)位置。由于實(shí)際磁屏蔽材料間隙非常小，對(duì)耦合系數(shù)影響很小，故本文后續(xù)計(jì)算與仿真數(shù)據(jù)均以D=0進(jìn)行計(jì)算。

圖7 次級(jí)線圈垂直偏移示意圖

測(cè)得垂直偏移時(shí)的耦合系數(shù)仿真值、計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值及誤差見(jiàn)表2。表2中，D為次級(jí)線圈與初級(jí)線圈的距離，1、2和3分別為計(jì)算耦合系數(shù)、仿真耦合系數(shù)和實(shí)驗(yàn)耦合系數(shù)。1為計(jì)算的耦合系數(shù)與仿真耦合系數(shù)之間的誤差，2為計(jì)算的耦合系數(shù)與實(shí)驗(yàn)耦合系數(shù)之間的誤差。1和2表達(dá)式分別為

表2 垂直偏移時(shí)的耦合系數(shù)及誤差

Tab.2 Coupling coefficients and errors at vertical offsets

由于自感原則上不會(huì)變化，通過(guò)1.1節(jié)介紹的自感計(jì)算方法計(jì)算出初級(jí)線圈自感1=37.492mH，次級(jí)線圈自感2=36.877mH。

分析表2可得，次級(jí)線圈與初級(jí)線圈垂直距離為100mm時(shí)，計(jì)算的耦合系數(shù)與仿真耦合系數(shù)誤差1=3.71%外，計(jì)算的耦合系數(shù)與實(shí)驗(yàn)耦合系數(shù)之間的誤差2=5.14%，其余誤差均不大于4.42%，體現(xiàn)出仿真、計(jì)算與實(shí)驗(yàn)具有較好的一致性。在次級(jí)線圈垂直偏移的情況下，結(jié)合表2數(shù)據(jù)繪制出各項(xiàng)耦合系數(shù)隨垂直距離變化曲線如圖8所示。

分析圖8可知，次級(jí)線圈與初級(jí)線圈距離越近，耦合系數(shù)越高。隨著沿軸正方向距離的增大，磁通量減小，耦合系數(shù)逐漸減小，且隨著垂直距離的增大，耦合系數(shù)下降的趨勢(shì)也逐漸減小，這是由于在增加相同步長(zhǎng)時(shí)，距離越遠(yuǎn)，磁通量的改變?cè)叫　?/p>

圖8 耦合系數(shù)隨垂直距離變化曲線

2.2 水平偏移

次級(jí)線圈垂直距離s保持不變，此處設(shè)定s= 77mm，p=17mm。初級(jí)線圈與次級(jí)線圈之間垂直距離D=60mm。對(duì)次級(jí)線圈以步長(zhǎng)為10mm沿軸正負(fù)方向水平偏移，范圍為-50～50mm，次級(jí)線圈水平偏移示意圖如圖9所示。

圖9 次級(jí)線圈水平偏移示意圖

測(cè)得耦合系數(shù)仿真值、計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值及誤差分析見(jiàn)表3。表3中，為次級(jí)線圈垂直距離s=77mm時(shí)水平偏移量。

分析表3可知，計(jì)算的耦合系數(shù)與仿真耦合系數(shù)之間的誤差除次級(jí)線圈水平偏移至軸正半軸50mm處誤差1=2.09%外，其余誤差均不大于1.65%。計(jì)算耦合系數(shù)與實(shí)驗(yàn)耦合系數(shù)之間誤差除次級(jí)線圈水平偏移至軸負(fù)半軸50mm處誤差2= 5.6%外，其余誤差均不大于2.65%。體現(xiàn)了仿真值、計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值具有很好的一致性。在次級(jí)線圈水平偏移的情況下，結(jié)合表3數(shù)據(jù)繪制出各項(xiàng)耦合系數(shù)隨水平距離變化曲線如圖10所示。

表3 垂直距離s=77mm,p=17mm,D=60mm時(shí)水平偏移的耦合系數(shù)及誤差

圖10 耦合系數(shù)隨水平偏移距離變化曲線

分析圖10可知，耦合系數(shù)最高處次級(jí)線圈水平偏移距離為0mm，隨著次級(jí)線圈水平偏移距離的增加，磁通量減少，耦合系數(shù)逐漸降低。

2.3 角度偏轉(zhuǎn)

次級(jí)線圈與軸的距離s不變，此處設(shè)定s= 77mm。初級(jí)線圈與次級(jí)線圈圓心之間垂直距離D= 60mm，次級(jí)線圈繞軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為，步長(zhǎng)為10°，次級(jí)線圈垂直偏轉(zhuǎn)示意圖如圖11所示。

實(shí)驗(yàn)分析了范圍為0°～90°的耦合系數(shù)仿真值、計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值見(jiàn)表4。為次級(jí)線圈垂直距離s=77mm時(shí)垂直偏轉(zhuǎn)量。

圖11 次級(jí)線圈垂直偏轉(zhuǎn)示意圖

表4 垂直距離s=77mm,D=60mm時(shí)垂直偏轉(zhuǎn)的耦合系數(shù)及誤差

Tab.4 Coupling coefficients and errors for vertical deflection at a vertical distance zs=77mm and Dz=60mm

分析表4可知，計(jì)算的耦合系數(shù)與仿真耦合系數(shù)之間的誤差1除旋轉(zhuǎn)角度為50°時(shí)誤差為4%外，其余誤差均不大于3.98%。計(jì)算耦合系數(shù)與實(shí)驗(yàn)耦合系數(shù)之間的誤差2除旋轉(zhuǎn)角度為80°時(shí)誤差為5.29%外，其余誤差均不大于3.21%。由于旋轉(zhuǎn)角度為90°時(shí)，理論上將次級(jí)線圈視為垂直于初級(jí)線圈的細(xì)線，則磁通量應(yīng)為零。但在仿真模型中，由于存在接口銜接部分的微小突起，故仿真時(shí)具有微小的磁通量。由于此處磁通量沒(méi)有實(shí)際意義，故未作實(shí)驗(yàn)對(duì)照組以及誤差分析，仿真值、計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值具有良好的一致性。在次級(jí)線圈垂直偏轉(zhuǎn)的情況下，結(jié)合表4數(shù)據(jù)繪制出各項(xiàng)耦合系數(shù)隨垂直偏轉(zhuǎn)角度變化曲線如圖12所示。

圖12 耦合系數(shù)隨垂直偏轉(zhuǎn)角度變化曲線

分析圖12可知，次級(jí)線圈垂直偏轉(zhuǎn)角度為0°～50°時(shí)，耦合系數(shù)無(wú)明顯下降，且在次級(jí)線圈垂直偏轉(zhuǎn)角度為10°～40°時(shí)，耦合系數(shù)有微小提升，這是由于次級(jí)線圈比初級(jí)線圈大。在垂直偏轉(zhuǎn)10°～40°時(shí)，次級(jí)線圈向面的投影面積基本在初級(jí)線圈內(nèi)，且在偏轉(zhuǎn)過(guò)程中內(nèi)徑逐漸減小，與初級(jí)線圈逐漸對(duì)齊，磁通量有微小的提升，故有此現(xiàn)象。次級(jí)線圈垂直偏轉(zhuǎn)角度為50°～90°與初級(jí)線圈對(duì)齊面積減小，故耦合系數(shù)逐漸下降。

2.4 水平偏移加角度偏轉(zhuǎn)

次級(jí)線圈與軸的距離s不變，此處設(shè)定s= 77mm。初級(jí)線圈與次級(jí)線圈圓心之間垂直距離D= 60mm，次級(jí)線圈繞軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為，此處設(shè)定 =-20°，對(duì)次級(jí)線圈以步長(zhǎng)為10mm沿軸正負(fù)方向水平偏移，范圍為-50～50mm，次級(jí)線圈水平偏移加角度偏轉(zhuǎn)示意圖如圖13所示。

圖13 次級(jí)線圈水平偏移加角度偏轉(zhuǎn)示意圖

測(cè)得s=77mm， =-20°時(shí)耦合系數(shù)仿真值、計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值及誤差分析見(jiàn)表5。表中，為次級(jí)線圈垂直距離s=77mm，垂直偏轉(zhuǎn) =-20°時(shí)水平偏移量。

表5s=77mm,D=60mm, =-20°時(shí)耦合系數(shù)計(jì)算值、仿真值和實(shí)驗(yàn)值及誤差

Tab.5 Calculated, simulated and experimental values of coupling coefficients and errors for zs=77mm, Dz=60mm and a =-20°

分析表5可知，除計(jì)算的耦合系數(shù)與仿真耦合系數(shù)誤差1在沿軸負(fù)方向40mm時(shí)為5.15%外，其余計(jì)算的耦合系數(shù)與仿真耦合系數(shù)間誤差1≤4.99%。計(jì)算耦合系數(shù)與實(shí)驗(yàn)耦合系數(shù)間誤差2≤4.71%。仿真值、計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值具有較好的一致性。在沿軸負(fù)方向水平偏移時(shí)，計(jì)算的耦合系數(shù)與仿真耦合系數(shù)間誤差1比沿軸正方向水平偏移時(shí)計(jì)算的耦合系數(shù)與仿真耦合系數(shù)間誤差1大，這是由于仿真模型閉合線圈的銜接處的導(dǎo)線在旋轉(zhuǎn)后偏下，仿真值偏大，因此誤差相對(duì)較大。在次級(jí)線圈水平偏移加角度偏轉(zhuǎn)的情況下，結(jié)合表5數(shù)據(jù)繪制出各項(xiàng)耦合系數(shù)隨水平偏移距離變化曲線如圖14所示。

分析圖14可知，耦合系數(shù)最高處次級(jí)線圈水平偏移距離為0mm，隨著次級(jí)線圈水平偏移距離的增加，磁通量減少，耦合系數(shù)逐漸降低，且次級(jí)線圈沿軸正半軸水平偏移時(shí)耦合系數(shù)比次級(jí)線圈沿軸負(fù)半軸水平偏移時(shí)耦合系數(shù)下降的趨勢(shì)小，這是由于次級(jí)線圈繞軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°，沿軸正半軸水平偏移時(shí)所接收到的磁通量大于次級(jí)線圈沿軸負(fù)半軸水平偏移時(shí)所接收到的磁通量，故有此 現(xiàn)象。

圖14 耦合系數(shù)隨水平偏移距離變化曲線

3 結(jié)論

本文提出了一種無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)帶雙層有界磁屏蔽圓形平面螺旋線圈任意空間位置的耦合系數(shù)計(jì)算方法。通過(guò)麥克斯韋方程組推導(dǎo)出矢量磁位公式，利用各區(qū)域的邊界條件得到各區(qū)域的矢量磁位的對(duì)應(yīng)關(guān)系式，最后推導(dǎo)出耦合系數(shù)計(jì)算公式，并通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。本文提出的耦合系數(shù)計(jì)算模型可以實(shí)現(xiàn)線圈間任意空間位置，且?guī)щp層有界不同材質(zhì)磁屏蔽材料的計(jì)算，比現(xiàn)有圓形平面螺旋線圈的耦合系數(shù)計(jì)算模型更具一般性。研究結(jié)果為線圈設(shè)計(jì)和參數(shù)優(yōu)化提供了理論依據(jù)，對(duì)下一步雙邊雙層有界磁屏蔽耦合系數(shù)的研究也具有一定借鑒意義。

[1] 蘇玉剛, 劉家鳴, 王智慧, 等. 磁耦合機(jī)構(gòu)拾取線圈平面金屬的影響及其抑制方法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2022, 37(3): 578-588.

Su Yugang, Liu Jiaming, Wang Zhihui, et al. Influence analysis of metal in the same plane with pickup coil on magnetic coupler and suppression method[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(3): 578-588.

[2] 陳凱楠, 蔣燁, 檀添, 等. 軌道交通350kW大功率無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)研究[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2022, 37(10): 2411-2421, 2445.

Chen Kainan, Jiang Ye, Tan Tian, et al. Research on 350kW high power wireless power transfer system for rail transit[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(10): 2411-2421, 2445.

[3] 趙靖英, 張振遠(yuǎn), 張珂. 基于∞非線性控制器的電動(dòng)汽車(chē)無(wú)線充電系統(tǒng)的副邊控制設(shè)計(jì)與參數(shù)優(yōu)化[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2022, 37(3): 566-577.

Zhao Jingying, Zhang Zhenyuan, Zhang Ke. Control design and parameter optimization on secondary side of electric vehicle wireless charging system based on∞nonlinear controller[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(3): 566-577.

[4] 周瑋, 藍(lán)嘉豪, 麥瑞坤, 等. 無(wú)線充電電動(dòng)汽車(chē)V2G模式下光儲(chǔ)直流微電網(wǎng)能量管理策略[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2022, 37(1): 82-91.

Zhou Wei, Lan Jiahao, Mai Ruikun, et al. Research on power management strategy of DC microgrid with photovoltaic, energy storage and EV-wireless power transfer in V2G mode[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(1): 82-91.

[5] 劉闖, 郭贏, 葛樹(shù)坤, 等. 基于雙LCL諧振補(bǔ)償?shù)碾妱?dòng)汽車(chē)無(wú)線充電系統(tǒng)特性分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2015, 30(15): 127-135.

Liu Chuang, Guo Ying, Ge Shukun, et al. Characteri- stics analysis and experimental verification of the double LCL resonant compensation network for elec- trical vehicles wireless power transfer[J]. Transa- ctions of China Electrotechnical Society, 2015, 30(15): 127-135.

[6] 陳琛, 黃學(xué)良, 譚林林, 等. 電動(dòng)汽車(chē)無(wú)線充電時(shí)的電磁環(huán)境及安全評(píng)估[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2015, 30(19): 61-67.

Chen Chen, Huang Xueliang, Tan Linlin, et al. Elec- tromagnetic environment and security evaluation for wireless charging of electric vehicles[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2015, 30(19): 61-67.

[7] Zhu Jiaqi, Ban Yongling, Xu Ruimin, et al. An NFC- CPT-combined coupler with series-none compensation for metal-cover smartphone applications[J]. IEEE Journal of Emerging and Selected Topics in Power Electronics, 2021, 9(3): 3758-3769.

[8] 姚若玉, 曲小慧, 郁繼棟, 等. 自適應(yīng)電池充電曲線的三線圈電池?zé)o線充電器[J]. 電力系統(tǒng)自動(dòng)化, 2022, 46(7): 170-177.

Yao Ruoyu, Qu Xiaohui, Yu Jidong, et al. Three-coil wireless battery charger with self-adaptation to battery charging curve[J]. Automation of Electric Power Systems, 2022, 46(7): 170-177.

[9] Sedehi R, Budgett D, Jiang Jincheng, et al. A wireless power method for deeply implanted biomedical devices via capacitively-coupled conductive power transfer[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2021, 36(2): 1870-1882.

[10] Narayanamoorthi R. Modeling of capacitive resonant wireless power and data transfer to deep biomedical implants[J]. IEEE Transactions on Components, Packaging and Manufacturing Technology, 2019, 9(7): 1253-1263.

[11] Yang Lei, Zhang Yuanqi, Li Xiaojie, et al. Analysis and design of four-plate capacitive wireless power transfer system for undersea applications[J]. CES Transactions on Electrical Machines and Systems, 2021, 5(3): 202-211.

[12] 蘇玉剛, 錢(qián)林俊, 劉哲, 等. 水下具有旋轉(zhuǎn)耦合機(jī)構(gòu)的電場(chǎng)耦合無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)及參數(shù)優(yōu)化方法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2022, 37(10): 2399-2410.

Su Yugang, Qian Linjun, Liu Zhe, et al. Underwater electric-filed coupled wireless power transfer system with rotary coupler and parameter optimization method[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(10): 2399-2410.

[13] Kim J, Son H C, Kim D H, et al. Efficiency of magnetic resonance WPT with two off-axis self-resonators[C]// 2011 IEEE MTT-S International Microwave Work- shop Series on Innovative Wireless Power Trans- mission: Technologies, Systems, and Applications, Kyoto, Japan, 2011: 127-130.

[14] Itaya T, Miki K, Takehira N, et al. Eddy current distribution for a rectangular coil arranged parallel to a moving conductor slab[J]. IET Science, Measure- ment & Technology, 2012, 6(2): 43-51.

[15] Kushwaha B K, Rituraj G, Kumar P. 3-D analytical model for computation of mutual inductance for different misalignments with shielding in wireless power transfer system[J]. IEEE Transactions on Transportation Electrification, 2017, 3(2): 332-342.

[16] 李中啟, 李晶, 全倡輝, 等. 無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)帶磁屏蔽任意位置矩形線圈的互感計(jì)算[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2022, 37(17): 4294-4305.

Li Zhongqi, Li Jing, Quan Changhui, et al. Mutual inductance calculation of arbitrarily positioned rectangular coils with magnetic shielding in wireless power transfer systems[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2022, 37(17): 4294-4305.

[17] Luo Zhichao, Wei Xuezhe. Theoretical analysis of planar spiral coils between two multilayer media for electric vehicle wireless charging[J]. Energies, 2018, 11(4): 693.

[18] 郝寬勝, 黃松嶺, 趙偉, 等. 基于二階矢量位的矩形截面回折線圈阻抗和脈沖磁場(chǎng)的解析建模與計(jì)算[J]. 物理學(xué)報(bào), 2011, 60(7): 784-793.

Hao Kuansheng, Huang Songling, Zhao Wei, et al. Analytical modelling and calculation of impedance and pulsed magnetic field for rectangular meander coil based on second order potential[J]. Acta Physica Sinica, 2011, 60(7): 784-793.

[19] 吳德會(huì), 何天府, 王曉紅, 等. 感應(yīng)電能傳輸中矩形螺線線圈互感耦合的解析建模與分析[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2018, 33(3): 680-688.

Wu Dehui, He Tianfu, Wang Xiaohong, et al. Analytical modeling and analysis of mutual indu- ctance coupling of rectangular spiral coils in inductive power transfer[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2018, 33(3): 680-688.

[20] Tavakkoli H, Abbaspour-Sani E, Khalilzadegan A, et al. Mutual inductance calculation between two coaxial planar spiral coils with an arbitrary number of sides[J]. Microelectronics Journal, 2019, 85: 98-108.

[21] Y?ld?r?z E, Kemer S B. Novel semi-analytical method for mutual inductance calculation of the thin spiral disk coils[J]. IET Electric Power Applications, 2019, 13(10): 1607-1612.

[22] Song Kaihong, Feng Jian, Zhao Ran, et al. A general mutual inductance formula for parallel non-coaxial circular coils[J]. Applied Computational Electro- magnetics Society Journal, 2019, 34(9): 1385-1390.

[23] Compter J. Mutual inductance and forces between two non-coaxial co-planar circular thin-wall air coils[J]. Compel, 2019, 38(1): 216-231.

[24] Wang Yiming, Xie Xu, Zhou Yan, et al. Calculation and modeling analysis of mutual inductance between coreless circular coils with rectangular cross section in arbitrary spatial position[C]//2020 IEEE 5th Infor- mation Technology and Mechatronics Engineering Conference (ITOEC), Chongqing, China, 2020: 1258- 1267.

[25] Qian Libo, Chen Mengfei, Cui Kexue, et al. Modeling of mutual inductance between two misalignment planar coils in wireless power transfer[J]. IEEE Microwave and Wireless Components Letters, 2020, 30(8): 814-817.

[26] Luo Zhichao, Wei Xuezhe. Mutual inductance analysis of planar coils with misalignment for wireless power transfer systems in electric vehicle[C]//2016 IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference (VPPC), Hangzhou, China, 2016: 1-6.

[27] Roshen W A. Effect of finite thickness of magnetic substrate on planar inductors[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 1990, 26(1): 270-275.

[28] Luo Zhichao, Wei Xuezhe. Analysis of square and circular planar spiral coils in wireless power transfer system for electric vehicles[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2018, 65(1): 331-341.

[29] Zhang Xueyi, Quan Changhui, Li Zhongqi. Mutual inductance calculation of circular coils for an arbitrary position with electromagnetic shielding in wireless power transfer systems[J]. IEEE Transa- ctions on Transportation Electrification, 2021, 7(3): 1196-1204.

Calculation of The Coupling Coefficient of an Arbitrarily Positioned Circular Coil for Wireless Power Transfer System with a Double-Layered Finite Magnetic Shield

1,21112

（1. College of Railway Transportation Hunan University of Technology Zhuzhou 412007 China 2. College of Electrical and Information Engineering Hunan University Changsha 410082 China）

The coupling coefficient is one of the critical parameters in the wireless power transfer system. Its accurate calculation is vital for optimizing the structure of the wireless power transfer system and enhancing the transfer efficiency. However, there is no method for calculating the coupling coefficient between circular planar spiral coils with double-layered finite magnetic shields at an arbitrary position. In this paper, the expression of vector magnetic potential under the condition of a double-layer finite magnetic shield is derived from Maxwell's equations. Moreover, the equation of the coupling coefficient for an arbitrary position is obtained using the boundary conditions and geometric spatial relations. Different from the traditional approximate calculation method, the proposed coupling coefficient calculation can solve the exact coupling coefficient between circular planar spiral coils. Finally, taking various relative positions between two circular planar spiral coils as an example, the calculation, simulation, and experimental results are in good agreement, which verifies the correctness of the proposed calculation method.

Wireless power transfer, circular coils, magnetic shield, calculation of coupling coefficients

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220478

TM724

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11901188）、湖南省教育廳項(xiàng)目（20B186, 18A272）和湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2019JJ60055）資助。

2022-04-01

2022-06-08

李中啟 男，1985年生，博士，研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闊o(wú)線電能傳輸技術(shù)。E-mail: lizhongqi@hnu.edu.cn

黃守道 男，1962年生，教授，博士，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樘胤N電機(jī)本體及控制、無(wú)線電能傳輸技術(shù)。E-mail: hsd1962@hnu.edu.cn（通信作者）

（編輯 陳 誠(chéng)）