基于Laplace變換的干氣密封軸向自由振動與強(qiáng)迫振動解析研究

滕黎明， 江錦波， 彭旭東， 陳 源,2， 李紀(jì)云

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，杭州 310014；2.中國計(jì)量大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，杭州 310018)

干氣密封因具有低泄漏、低功耗和長壽命等性能優(yōu)勢而在中高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中得到廣泛應(yīng)用，不過在實(shí)際運(yùn)行中，由于制造裝配誤差、轉(zhuǎn)軸振動、工況波動、端面變形及密封端面氣腔等存在，密封環(huán)將不可避免地會發(fā)生振動，進(jìn)而造成密封間隙的波動，甚至?xí)霈F(xiàn)密封端面嚴(yán)重磨損或過量泄漏等失效發(fā)生。隨著壓縮機(jī)、風(fēng)機(jī)、離心泵等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械進(jìn)一步提速，對干氣密封的動態(tài)穩(wěn)定性提出了更高的要求，但針對干氣密封動態(tài)性能優(yōu)化設(shè)計(jì)的指導(dǎo)文件國內(nèi)目前還相對匱乏。因此，提供準(zhǔn)確的干氣密封振動特性計(jì)算公式和方法對保障我國石化、能源及制藥等領(lǐng)域關(guān)鍵設(shè)備的可靠性和安全性具有重要戰(zhàn)略意義。

近幾十年來，許多學(xué)者針對干氣密封在受到外界瞬時或持續(xù)激勵下的浮動環(huán)自由振動和強(qiáng)迫振動特性展開研究。干氣密封振動特性的求解主要有兩種方法，一種是先基于攝動法[1-2]、階躍法[3-4]或直接頻率響應(yīng)法[5]等線性化方法獲得氣膜動特性系數(shù)，后代入運(yùn)動方程中獲得補(bǔ)償環(huán)振動響應(yīng)；另一種是聯(lián)立求解瞬態(tài)雷諾方程和運(yùn)動方程[6-10]，直接獲得補(bǔ)償環(huán)的振動響應(yīng)。線性化方法因在微幅振動下具有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率[11-12]，故在干氣密封振動特性分析研究中得到較高認(rèn)可。

在采用線性化方法分析干氣密封振動特性時，目前主要基于數(shù)值法獲得浮動環(huán)的振動特性[13-15]，進(jìn)而研究工況參數(shù)、激勵參數(shù)、氣膜參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)對密封環(huán)振動特性的影響。數(shù)值法研究的不足在于無法直觀地獲得各影響參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系及其影響規(guī)律，研究結(jié)論的適用性也受限于所選取計(jì)算參數(shù)的范圍，而解析法則更為直觀，且可獲得具有更大范圍適用性的研究結(jié)論。通過Laplace變換可將時域內(nèi)的振動微分方程轉(zhuǎn)換為頻域內(nèi)的代數(shù)方程，并在求得傳遞函數(shù)后作Laplace逆變換返回為時域問題，進(jìn)而可求得滿足初始條件的振動微分方程解析解，目前該法已被用于求解密封動特性的解析解。Ruan等[16-18]基于拉氏變換研究了螺旋槽干氣密封和動靜壓干氣密封在受到軸向和角向激勵下的密封環(huán)振動特性；Miller等[19]基于Laplace變換和Fourier變換開展了螺旋槽干氣密封動態(tài)特性的半解析求解；張強(qiáng)等[20]將拉氏變換和泰勒展開引入到蜂窩密封動力特性系數(shù)的計(jì)算中，顯著提高了計(jì)算效率。不過，上述工作并未明確給出密封環(huán)的自由振動和強(qiáng)迫振動響應(yīng)位移解析表達(dá)式，且對于不同特征方程根條件下的密封環(huán)振動位移解析解未能展開討論。實(shí)際上，當(dāng)密封的動態(tài)特征參數(shù)“阻尼-剛度-質(zhì)量”三者處于不同數(shù)值關(guān)系時，其對應(yīng)的干氣密封軸向振動位移響應(yīng)表達(dá)式各有不同。

不失一般性，本文以靜環(huán)撓性安裝(即靜環(huán)為浮動環(huán))干氣密封為研究對象，在軸向振動特性求解幾何和物理模型的基礎(chǔ)上，基于Laplace變換推導(dǎo)了浮動環(huán)軸向自由振動和強(qiáng)迫振動響應(yīng)的顯式解析表達(dá)式，分析了浮動環(huán)質(zhì)量、系統(tǒng)總剛度和系統(tǒng)總阻尼對干氣密封軸向自振特性及過渡階段響應(yīng)最大振幅和調(diào)節(jié)時間的影響；推導(dǎo)獲得了密封在軸向持續(xù)激勵下穩(wěn)定運(yùn)行階段的周期性擾動峰值顯式表達(dá)式，研究了浮動環(huán)質(zhì)量、激勵頻率、剛度和阻尼參數(shù)對密封振動周期峰的影響規(guī)律。研究結(jié)果為工程技術(shù)人員提供了可準(zhǔn)確預(yù)測干氣密封受擾后膜厚響應(yīng)規(guī)律的計(jì)算公式，并以軸向強(qiáng)迫振動周期峰為優(yōu)化目標(biāo)，給出了各影響因素的優(yōu)選范圍，為密封系統(tǒng)力學(xué)元件特性參數(shù)之間的協(xié)同優(yōu)化提供了理論指導(dǎo)。

1 干氣密封軸向振動特性求解模型

1.1 物理和幾何模型

典型的靜環(huán)撓性安裝干氣密封結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動學(xué)模型示意圖，如圖1所示。干氣密封的主要結(jié)構(gòu)包括固定安裝于轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)角速度為Ω)上的動環(huán)及撓性安裝于靜環(huán)座上的浮動靜環(huán)，動環(huán)和靜環(huán)端面之間有一層厚度為hb的氣膜隔開以實(shí)現(xiàn)非接觸運(yùn)行，靜環(huán)與靜環(huán)座之間設(shè)有剛度為ks的支撐彈簧和阻尼為cs的輔助密封圈，用以保證靜環(huán)的浮動性和追隨性。在動環(huán)端面上，從槽根半徑rg至外徑ro處開設(shè)有數(shù)量為Ng、深度為hg的對數(shù)螺旋槽，靠近內(nèi)徑ri處設(shè)有不開槽的密封壩，螺旋槽的螺旋角為β，槽區(qū)周向開槽寬度與密封堰寬度相等。氣膜可看成是具有一定剛度kzz和阻尼czz的“彈簧-阻尼”結(jié)構(gòu)，浮動靜環(huán)在氣膜、彈簧和輔助密封圈的共同作用下實(shí)現(xiàn)對動環(huán)軸向激勵的響應(yīng)，保持對動環(huán)擾動的追隨。在本文分析中，僅考慮軸向擾動，而忽略角向擾動；在強(qiáng)迫振動分析中，僅考慮動環(huán)受到軸向正弦激勵zr=Arzsinωt，其中:Arz為激勵振幅;ω為激勵頻率。

(a) 幾何結(jié)構(gòu)模型

(b) 運(yùn)動學(xué)模型圖1 靜環(huán)撓性安裝干氣密封結(jié)構(gòu)及運(yùn)動學(xué)模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the geometric structure and kinematic model of the flexibly mounted stator DGS

1.2 數(shù)學(xué)模型

1.2.1 軸向自由振動模型

干氣密封浮動靜環(huán)的軸向振動可分兩種情況討論：一是受到任意瞬時激勵的軸向自由振動；二是受到軸向持續(xù)激勵的強(qiáng)迫振動。僅考慮干氣密封浮動靜環(huán)的軸向激勵，忽略角向激勵對軸向響應(yīng)的影響，則浮動靜環(huán)軸向自由振動運(yùn)動方程為

(1)

根據(jù)式(1)，靜環(huán)加速度可表示為

(2)

式中:相對阻尼系數(shù)cm=c/m;相對剛度系數(shù)km=k/m。

對式(2)兩端同時作Laplace變換，將浮動環(huán)振動特性的時域問題轉(zhuǎn)換為頻域問題，利用第二微分性質(zhì)可得

-cm[sZ(s)-z(0)]-kmZ(s)

(3)

由式(3)可得傳遞函數(shù)Z(s)為

(4)

利用部分分式法對式(4)進(jìn)行Laplace逆變換，首先需將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為部分分式表達(dá)。令式(4)分母為零可得系統(tǒng)特征方程為

s2+cms+km=0

(5)

根據(jù)式(5)特征根的分布，可分為下列3種情況討論。

(1) 特征方程有一對共軛復(fù)根

(6)

傳遞函數(shù)式(4)可表示為

(7)

式中，k1，k2為待定系數(shù)，且k1，k2共軛，也即

k1,2=α±βi

(8)

式(7)的逆Laplace變換可表示為

z(t)=k1eλ1t+k2eλ2t=

(9)

根據(jù)Euler公式，式(9)中的復(fù)指數(shù)可化為三角函數(shù)形式，并將式(8)代入可得

(10)

待定系數(shù)k1,2可根據(jù)式(11)求解

ki=[(s-λi)Z(s)]s=λi

(11)

將式(4)、式(6)代入式(11)可得

(12)

則式(1)的解為

(13)

進(jìn)一步，式(13)可化為

z(t)=A(t)sin(ωdt+φ)

(14)

式中:A(t)為隨時間變化的振幅，在“位移-時間”圖中z=±A(t)即振蕩包絡(luò)線;ωd為阻尼振蕩頻率;φ為相位角

(15)

(16)

(17)

(2) 特征方程有兩個不等實(shí)根

(18)

傳遞函數(shù)式(4)的部分分式表達(dá)形式與式(7)相同，其中的待定系數(shù)k1,2利用式(11)確定。

(19)

由式(9)可得此時式(1)的解為

(20)

(3) 特征方程有兩個相等實(shí)根

(21)

傳遞函數(shù)式(4)可表示為

(22)

式中，k11，k12為待定系數(shù)。

式(22)的逆Laplace變換可表達(dá)為

z(t)=eλt(k12+k11t)

(23)

待定系數(shù)k11，k12可根據(jù)式(24)求解

(24)

將式(4)、式(21)代入式(24)可得

(25)

則式(1)的解為

(26)

1.2.2 軸向強(qiáng)迫振動模型

引入軸系跳動引起的軸向激勵運(yùn)動zr，不失分析一般性的前提下，假定其為式(27)所示的簡諧周期激勵

zr(t)=Arzsinωt

(27)

在式(27)所示簡諧激勵作用下，浮動靜環(huán)的軸向強(qiáng)迫振動運(yùn)動方程為

(28)

式中：F1=kzzArz；F2=czzωArz。令f1=F1/m，f2=F2/m。

靜環(huán)加速度可表示為

(29)

對式(29)等號兩端同時作Laplace變換，并利用第二微分性質(zhì)有

-cm[sZ(s)-z(0)]-kmZ(s)+

(30)

由式(30)可得

(31)

傳遞函數(shù)式(31)的部分分式形式可寫作

(32)

式中，k1，k2，k3，k4為待定系數(shù)。

由式(31)與式(32)恒等可得

(33)

解得各待定系數(shù)為

(34)

(35)

(36)

(37)

由第一線性性質(zhì)，式(32)的Laplace逆變換可表達(dá)為

(38)

式中，L-1{Z1(s)}的求解方法可類比軸向自由振動，分為3種情況討論。

Z1(s)的部分分式形式為

(39)

其中，特征根λ1,2如式(6)所示，待定系數(shù)A1,2如式(40)所示

(40)

則Z1(s)的逆Laplace變換為

(41)

由式(34)～式(38)、式(41)，歸并化簡可得浮動靜環(huán)振動響應(yīng)為：

z(t)=z0(t)+z1(t)+z2(t)

(42)

式中：z0(t)為初始條件響應(yīng)；z1(t)為自由伴隨振動；z2(t)為強(qiáng)迫響應(yīng)；具體表達(dá)式如下

(43)

(44)

(45)

Z1(s)的部分分式表達(dá)形式與式(39)相同，其中的特征根λ1,2如式(18)所示，待定系數(shù)A1,2如式(46)所示

(46)

則Z1(s)的逆Laplace變換為

(47)

由式(34)～式(38)、式(47)可得此時浮環(huán)振動響應(yīng)表達(dá)形式與式(42)相同。其中強(qiáng)迫響應(yīng)z2(t)不變，如式(45)所示；而初始條件響應(yīng)z0(t)與自由伴隨振動z1(t)分別為

(48)

(49)

Z1(s)的部分分式形式為

(50)

式中，特征根λ如式(21)所示，待定系數(shù)A11，A12如式(51)所示

(51)

則Z1(s)的逆Laplace變換為

(52)

由式(34)～式(38)、式(52)可得此時浮環(huán)振動響應(yīng)表達(dá)形式與式(42)相同。其中強(qiáng)迫響應(yīng)z2(t)不變，如式(45)所示；而初始條件響應(yīng)z0(t)與自由伴隨振動z1(t)分別為

(53)

(54)

2 結(jié)果討論與分析

基于第1章推導(dǎo)的靜環(huán)撓性安裝干氣密封軸向自由振動和強(qiáng)迫振動響應(yīng)解析表達(dá)式，研究了密封剛度和阻尼、激勵頻率、浮動環(huán)質(zhì)量等相關(guān)參數(shù)對干氣密封軸向自由振動和強(qiáng)迫振動特性的影響。在下述的算例中，除特別說明外，各參數(shù)的缺省值根據(jù)Ruan的研究確定：也即密封環(huán)內(nèi)徑ri=30 mm，外徑ro=42 mm，槽根半徑rg=33.6 mm，螺旋角β=20°，槽深hg=5 μm，槽數(shù)Ng=12；浮動環(huán)質(zhì)量m=0.2 kg，軸向氣膜剛度kzz=1.281 7×108N/m，軸向氣膜阻尼czz=1.739 9×104N·s/m，彈簧剛度ks=1×107N/m，輔助密封阻尼cs=1×103N·s/m，激勵頻率ω=376 rad/s。

2.1 干氣密封軸向自振穩(wěn)定性參數(shù)影響

干氣密封可看成是一個由“彈簧-阻尼-質(zhì)量”組成的振子系統(tǒng)，剛度、阻尼和質(zhì)量是影響密封自振穩(wěn)定性的3個關(guān)鍵參數(shù)。由于在軸向自由振動過程中沒有固定動環(huán)的持續(xù)激勵，故浮動環(huán)響應(yīng)位移即為氣膜厚度的變化，可通過浮動靜環(huán)響應(yīng)位移曲線的振幅、頻率和響應(yīng)時間來判斷密封軸向自振穩(wěn)定性。一般來說，響應(yīng)位移曲線的振幅越小，意味著阻尼程度越強(qiáng)；響應(yīng)時間越短，意味著響應(yīng)速度越快，對應(yīng)的密封系統(tǒng)自振穩(wěn)定性越好。

系統(tǒng)總阻尼對干氣密封靜環(huán)響應(yīng)位移的影響，如圖2所示?？梢钥闯?，總阻尼c對密封系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)影響顯著，當(dāng)總阻尼c>0時處于穩(wěn)定狀態(tài)(見圖2(a))，當(dāng)c≤0時處于不穩(wěn)定狀態(tài)(見圖2(b))。當(dāng)處于c>2(mk)1/2的過阻尼狀態(tài)時，靜環(huán)在初始位移擾動下的響應(yīng)曲線單調(diào)衰減，不發(fā)生振蕩；當(dāng)處于c=2(mk)1/2的臨界阻尼狀態(tài)時，靜環(huán)的響應(yīng)曲線形式與過阻尼狀態(tài)接近，也為一單調(diào)曲線，但響應(yīng)時間比過阻尼狀態(tài)顯著縮短；當(dāng)處于0

(a) c>0

(b) c≤0圖2 系統(tǒng)總阻尼對靜環(huán)響應(yīng)位移的影響Fig.2 Effect of total damping of system on displacement response of stator

當(dāng)c=0時靜環(huán)響應(yīng)曲線為無阻尼等幅振蕩，一般將其與負(fù)阻尼系統(tǒng)一同視為不穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)c<0時為負(fù)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)時間響應(yīng)關(guān)系式中會出現(xiàn)正指數(shù)，初始位移擾動下的靜環(huán)響應(yīng)是一發(fā)散的響應(yīng)過程，靜環(huán)響應(yīng)位移不能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，隨著時間的推移而逐漸發(fā)散。不同阻尼值時負(fù)阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)曲線也有所區(qū)別，當(dāng)阻尼絕對值較小時(-2(mk)1/2

對于理想的彈簧振子(系統(tǒng)阻尼為零)，若將其移開平衡位置，系統(tǒng)會在平衡位置附近持續(xù)振動，振幅與振動能量均保持不變(見圖2(b))，這是因?yàn)閺椥栽谡駝舆^程中能夠儲存勢能，而物體慣性則儲存動能，二者可以相互轉(zhuǎn)換。但對于實(shí)際干氣密封振動系統(tǒng)，端面間氣膜存在軸向阻尼，且受工況條件與端面結(jié)構(gòu)的影響，其阻尼值可能為正也可能為負(fù)。考慮系統(tǒng)阻尼后，系統(tǒng)的機(jī)械能便不再守恒，損失的能量用于克服阻尼力做功，故系統(tǒng)軸向總阻尼c反映了系統(tǒng)耗散振動能量的能力。當(dāng)c超過臨界阻尼時，系統(tǒng)偏離平衡位置后會逐漸回復(fù)到平衡位置且受強(qiáng)阻尼力的作用系統(tǒng)不會發(fā)生振動，但阻尼不宜過大否則類似于剛性連接，系統(tǒng)趨于平衡的時間過長。若c不夠大，阻尼力不足以阻止振動越過平衡位置，系統(tǒng)將作振幅逐漸衰減的周期性振動，且c越小振動過程中的振幅越大(見圖2(a))。當(dāng)c<0時，阻尼力與系統(tǒng)振動相對速度的方向不再相反，而是相同，且速度越大阻尼力也越大。此時，系統(tǒng)內(nèi)由于負(fù)阻尼形成了補(bǔ)充振動能量的能源，系統(tǒng)若偏離平衡位置會自發(fā)地產(chǎn)生和維持振動，不能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

系統(tǒng)總剛度對靜環(huán)響應(yīng)位移的影響，如圖3所示?？梢钥闯觯到y(tǒng)軸向總剛度k的取值不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)，而會影響系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振幅、頻率和響應(yīng)時間。當(dāng)系統(tǒng)總阻尼較大時(c=1.584 9×104N·s/m)，適當(dāng)提高軸向總剛度k，可使系統(tǒng)由過阻尼狀態(tài)過渡到臨界阻尼或欠阻尼狀態(tài)，有利于縮短系統(tǒng)響應(yīng)時間，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性；而在系統(tǒng)總阻尼較小時(c=1.584 9×103N·s/m)，增大軸向總剛度k，過渡過程的振幅和頻率也會加大，不利于系統(tǒng)穩(wěn)定。

(a) 較大系統(tǒng)阻尼

(b) 較小系統(tǒng)阻尼圖3 系統(tǒng)總剛度對靜環(huán)響應(yīng)位移的影響Fig.3 Effect of total stiffness of system on displacement response of stator

正如前文所言，振動實(shí)際是動能和勢能的轉(zhuǎn)換，機(jī)械系統(tǒng)必須同時具有慣性與彈性，這樣才能有動能和勢能，而慣性取決于質(zhì)量，彈性取決于剛度。慣性大，動能狀態(tài)的變化要難；剛度小，勢能狀態(tài)的變化要難。給定了系統(tǒng)的質(zhì)量與剛度后，振動過程中能量的轉(zhuǎn)換速率就隨之確定，也即無阻尼自然振蕩頻率ωn(或稱為系統(tǒng)固有頻率，ωn=(k/m)1/2)。故提高系統(tǒng)軸向總剛度k能顯著增加欠阻尼系統(tǒng)過渡過程振蕩的頻率。而k對系統(tǒng)響應(yīng)曲線振幅產(chǎn)生影響主要是由于改變了系統(tǒng)的阻尼程度。在系統(tǒng)軸向總阻尼c一定的情況下，調(diào)節(jié)k可以改變彈性恢復(fù)力與阻尼力的相對大小。當(dāng)系統(tǒng)阻尼力較大時，提高彈性恢復(fù)力以有效克服運(yùn)動阻礙可使系統(tǒng)快速回到平衡位置(見圖3(a))。而當(dāng)系統(tǒng)阻尼力較小時，提高彈性恢復(fù)力會增加系統(tǒng)儲存的振動能量，增大過渡過程振蕩的強(qiáng)度(見圖3(b))。

浮動環(huán)質(zhì)量m對阻尼振蕩頻率和靜環(huán)響應(yīng)位移的影響，如圖4所示。浮動環(huán)質(zhì)量m也主要是影響靜環(huán)響應(yīng)曲線的振幅、頻率和響應(yīng)時間，而不改變系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。浮動環(huán)質(zhì)量m的增大可使系統(tǒng)由過阻尼狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榍纷枘釥顟B(tài)。由式(16)可知，在欠阻尼狀態(tài)下增加軸向總剛度k，阻尼振蕩頻率ωd單調(diào)增加，而質(zhì)量對阻尼振蕩頻率的影響則有所不同。令ωd對m的偏導(dǎo)數(shù)為零可得m=0.5c2/k。將m=0.5c2/k代入式(3)可得ωd=k/c。故浮動環(huán)質(zhì)量m存在一極值點(diǎn)0.5c2/k使ωd取得最大值k/c，此時響應(yīng)曲線從零時刻至首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間最短。如圖4(a)所示，超過m的極值點(diǎn)后，若再繼續(xù)增加浮動環(huán)質(zhì)量，則系統(tǒng)振動的振幅增大，阻尼振蕩頻率減小，即阻尼程度和響應(yīng)速度同時下降，動態(tài)性能指標(biāo)劣化，自振穩(wěn)定性降低。

(a) 阻尼振蕩頻率

(b) 靜環(huán)響應(yīng)位移圖4 浮動環(huán)質(zhì)量對阻尼振蕩頻率和靜環(huán)響應(yīng)位移的影響Fig.4 Influence of floating ring mass on damping oscillation frequency and stator displacement response

2.2 干氣密封欠阻尼系統(tǒng)過渡階段自振穩(wěn)定性

對于過阻尼或臨界阻尼系統(tǒng)，在初始位移擾動下，浮動環(huán)在進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)之前并不存在振蕩的過渡階段，而在欠阻尼系統(tǒng)中則存在呈衰減振蕩的過渡階段，有必要研究干氣密封在過渡振蕩階段的自振穩(wěn)定性及其影響因素。由2.1節(jié)分析可知，系統(tǒng)的阻尼程度和響應(yīng)速度一般難以同時達(dá)到最佳狀態(tài)，為定量地評價欠阻尼系統(tǒng)中軸向總剛度k與浮動環(huán)質(zhì)量m對干氣密封浮動環(huán)自由振動過渡階段動態(tài)性能的影響，定義了欠阻尼系統(tǒng)過渡階段的響應(yīng)最大振幅σ與振蕩調(diào)節(jié)時間ts兩個參數(shù)。

干氣密封浮動環(huán)自振過渡階段響應(yīng)最大振幅和振蕩調(diào)節(jié)時間的定義示意圖(k=1.584 9×108N/m,c=1.584 9×103N·s/m)，如圖5所示。響應(yīng)最大振幅σ為過渡振蕩階段浮動環(huán)運(yùn)動后出現(xiàn)的首個響應(yīng)位移峰值的絕對值，σ值越小，意味著密封端面發(fā)生碰撞的幾率就越低；振蕩調(diào)節(jié)時間ts為靜環(huán)響應(yīng)曲線達(dá)到并保持在允許波動帶范圍內(nèi)所需的最短時間，ts值越小，意味著膜厚達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時間越短。

圖5 干氣密封浮動環(huán)響應(yīng)最大振幅與調(diào)節(jié)時間定義Fig.5 Definition of maximum response amplitude and adjusting time of DGS floating ring response

為確保評價基準(zhǔn)的統(tǒng)一，本文中允許波動帶范圍設(shè)為±Δ·hb，其中Δ為相對偏差，hb為平衡膜厚。根據(jù)式(14)，當(dāng)t≥ts時有

(55)

其中，a表示為

(56)

在響應(yīng)最大振幅處，靜環(huán)響應(yīng)位移隨時間的變化率為零，欠阻尼狀態(tài)下令dz(t)/dt=0可得

A(t)ωdcos(ωdt+φ)=0

(57)

由A(t)恒為正，式(57)可進(jìn)一步化為

sin(ωdt+φ+θ)=0

(58)

其中，阻尼角θ滿足

(59)

欠阻尼狀態(tài)下有0

由式(58)可得，浮動靜環(huán)響應(yīng)曲線的峰值時間tp為

(60)

將峰值時間tp代入z(t)可得該時刻的靜環(huán)響應(yīng)位移

z(tp)=

(61)

靜環(huán)響應(yīng)的最大振幅σ即z(tp)的絕對值。

特別地，不考慮靜環(huán)零時刻運(yùn)動初速度時，則有

(62)

可見，若不計(jì)及靜環(huán)零時刻的運(yùn)動初速度，無量綱最大振幅|σ/z(0)|完全由系統(tǒng)阻尼特性所決定，而當(dāng)靜環(huán)具有軸向運(yùn)動初速度時，無量綱最大振幅|σ/z(0)|還將受運(yùn)動初始值的影響。運(yùn)動初速度對靜環(huán)響應(yīng)位移和無量綱最大振幅的影響(k=1.584 9×108N/m,c=1.584 9×103N·s/m)，如圖6所示。如圖6(b)所示，z′(0)=0為一左連續(xù)的跳躍間斷點(diǎn)，這是運(yùn)動初速度與初位移方向的差異所致。零初速度下，最大振幅出現(xiàn)在初位移方向的異側(cè)，且由于阻尼作用，最大振幅小于初位移的絕對值。當(dāng)運(yùn)動初速度不為零且與初位移異向時，與零初速度的情況相同，最大振幅也出現(xiàn)在初位移方向的異側(cè)，但隨著運(yùn)動初速度絕對值的增大，最大振幅逐漸增大，且相較于初位移，運(yùn)動初速度對最大振幅起主導(dǎo)作用，最大振幅將逐漸超過初位移的絕對值。當(dāng)運(yùn)動初速度與初位移同向時，浮動環(huán)開始運(yùn)動后其位移絕對值先逐漸增大至最大振幅位置，故最大振幅出現(xiàn)在初位移方向的同側(cè)，且始終大于初位移的絕對值。在運(yùn)動初速度z′(0)的絕對值相同時，由于運(yùn)動初速度與初位移異向時的峰值時間tp相對同向時滯后，因此導(dǎo)致速度和位移異向時的最大振幅將始終小于兩者同向時的狀態(tài)，這也從側(cè)面反映了阻尼對振蕩的削弱作用。

(a) 靜環(huán)響應(yīng)位移

(b) 無量綱最大振幅圖6 運(yùn)動初速度對靜環(huán)響應(yīng)位移及最大振幅的影響Fig.6 Effect of initial velocity of motion on displacement and maximum amplitude of stator response

欠阻尼系統(tǒng)在初位移擾動下系統(tǒng)軸向總剛度k與浮動環(huán)質(zhì)量m對過渡階段特征參數(shù)的影響，如圖7所示。其中相對偏差Δ=2%，平衡膜厚hb=3 μm。響應(yīng)最大振幅σ隨著k，m的增大都呈現(xiàn)單調(diào)遞增的變化趨勢且曲線連續(xù)，在較小的軸向總剛度和浮動環(huán)質(zhì)量條件下能獲得較小的響應(yīng)振幅，這是由于對于系統(tǒng)的阻尼特性而言，k和m的影響規(guī)律相同。根據(jù)式(59)、式(62)，系統(tǒng)軸向總阻尼一定時，k，m增大都將使阻尼角θ減小并趨近于π/2，同時響應(yīng)曲線的振幅隨tanθ的減小而增大。由式(55)可知，振蕩調(diào)節(jié)時間ts是響應(yīng)曲線振幅、阻尼振蕩頻率和允許波動帶范圍三者共同作用的結(jié)果，振蕩調(diào)節(jié)時間隨軸向總剛度和浮動環(huán)質(zhì)量的增大呈現(xiàn)階梯式非連續(xù)變化規(guī)律。隨著k和m的增大，響應(yīng)曲線振幅增大，若當(dāng)前振蕩周期的幅值超出了允許波動帶范圍，振蕩調(diào)節(jié)時間ts就從當(dāng)前周期躍變至下一周期，這是造成振蕩調(diào)節(jié)時間非連續(xù)而呈階梯狀上升的主要原因。由圖4可知：阻尼振蕩頻率隨k的增大而單調(diào)遞增，故在兩個非連續(xù)躍變點(diǎn)之間k的增大會使得振蕩調(diào)節(jié)時間逐漸減??；而阻尼振蕩頻率隨m的增大呈現(xiàn)先增后減的變化規(guī)律，故m≤0.5c2/k時在兩個非連續(xù)躍變點(diǎn)之間振蕩調(diào)節(jié)時間隨m增大而減小，當(dāng)m>0.5c2/k時隨m增大而增大，且增大的速率逐漸加快。值得注意的是，振蕩調(diào)節(jié)時間在隨剛度和質(zhì)量增大的首個階梯內(nèi)都獲得最小值，此時對應(yīng)的響應(yīng)最大振幅也較小，也即存在最佳的k和m使得系統(tǒng)兼具較好的阻尼特性和響應(yīng)速度。

(a) 系統(tǒng)軸向總剛度

(b) 浮動環(huán)質(zhì)量圖7 零初速度下剛度與質(zhì)量對最大振幅及調(diào)節(jié)時間的影響Fig.7 Effects of stiffness and mass on maximum amplitude and adjusting time at zero initial velocity

綜上所述，在對干氣密封軸向自由振動穩(wěn)定性的影響方面，系統(tǒng)軸向總阻尼起著決定性作用，其數(shù)值的變化可使得系統(tǒng)在穩(wěn)定態(tài)和非穩(wěn)態(tài)之間轉(zhuǎn)變；系統(tǒng)軸向總剛度和浮動環(huán)質(zhì)量的改變不會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)狀態(tài)，而會影響響應(yīng)曲線的最大振幅和振蕩調(diào)節(jié)時間。

2.3 干氣密封軸向強(qiáng)迫振動特性

相比于傳統(tǒng)機(jī)械強(qiáng)迫振動研究中主要關(guān)注質(zhì)量體的響應(yīng)運(yùn)動，干氣密封強(qiáng)迫振動研究中更關(guān)注氣膜厚度的變化量，因其是決定干氣密封穩(wěn)定性與密封性的關(guān)鍵。在受到固定動環(huán)的軸向激勵后，干氣密封膜厚變化量是靜環(huán)響應(yīng)位移和動環(huán)軸向激勵之差。干氣密封膜厚變化量與軸向強(qiáng)迫振動各參數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系，如圖8所示。根據(jù)式(42)，浮動環(huán)的響應(yīng)位移是初始條件響應(yīng)z0、自由伴隨振動z1和強(qiáng)迫響應(yīng)z2三者相加的結(jié)果，其中強(qiáng)迫響應(yīng)z2是頻率等于動環(huán)激勵頻率的等幅振動；初始條件響應(yīng)z0即為2.1節(jié)和2.2節(jié)中討論的由初位移和初速度決定的軸向自由振動，為研究方便起見，取z0=0；自由伴隨振動z1則只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)(m，k，c)和激勵的大小和頻率，而與運(yùn)動初始條件無關(guān)。即使在零初始條件下，也有自由振動和強(qiáng)迫響應(yīng)相伴發(fā)生。

圖8 干氣密封軸向強(qiáng)迫振動參數(shù)關(guān)系示意圖Fig.8 Schematic diagram of the relationship between axial forced vibration parameters of DGS

為驗(yàn)證干氣密封軸向強(qiáng)迫振動響應(yīng)解析表達(dá)式推導(dǎo)的正確性，將本文解析推導(dǎo)獲得的靜環(huán)響應(yīng)位移和膜厚變化量計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[21]中的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證，結(jié)果如圖9(a)、圖9(b)所示?？梢钥闯?，本文所提供的解析表達(dá)式對于靜環(huán)響應(yīng)位移和膜厚變化量的計(jì)算與文獻(xiàn)結(jié)果完全吻合。進(jìn)一步，圖9(c)示出了與文獻(xiàn)[22]中膜厚振幅均方根試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比結(jié)果。可以看出，本文計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值相近且趨勢一致，但隨著平衡膜厚的增大，發(fā)現(xiàn)計(jì)算偏差亦逐漸增大。這是由于膜厚擾動振幅較大時，氣膜壓力非線性凸顯，此時將氣膜視為具有一定線性化剛度kzz與阻尼czz的“彈簧-阻尼”結(jié)構(gòu)將帶來系統(tǒng)誤差，但本文的方法仍可有效預(yù)測密封系統(tǒng)振動行為的趨勢，驗(yàn)證了本文中相關(guān)解析推導(dǎo)過程的正確性。

(a) 靜環(huán)相對位移

(b) 膜厚擾動率

(c) 膜厚振幅均方根圖9 零初始條件下干氣密封強(qiáng)迫振動響應(yīng)正確性驗(yàn)證Fig.9 Verification of forced vibration response of DGS under zero initial condition

對于c>0的情況，無論受何種初始條件的作用，由于阻尼的存在，初始條件響應(yīng)z0(t)與自由伴隨振動z1(t)都會在極短的時間內(nèi)衰減為零，靜環(huán)持續(xù)的振動只有與外界激勵有關(guān)的強(qiáng)迫響應(yīng)z2(t)。

分別引入兩個由外界激勵以及系統(tǒng)本身物理性質(zhì)決定的相位角θ1和θ2以簡化式(45)的形式

(63)

則靜環(huán)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振動方程式(45)可化為

(64)

由靜環(huán)響應(yīng)運(yùn)動z(t)與軸向激勵運(yùn)動zr(t)相減可得膜厚變化量Δz(t)為

(65)

膜厚變化量Δz(t)的振幅X即為氣膜在軸向激勵zr作用下，長周期穩(wěn)定運(yùn)行階段的周期軸向擾動峰值，簡稱為“周期峰”[23]。

(66)

式(65)可化為

(67)

由輔助角公式可得

(68)

將式(66)代入式(68)，可得到靜環(huán)撓性安裝干氣密封在受到軸向持續(xù)激勵作用下膜厚變化的周期峰X為

(69)

周期峰X反映了干氣密封在受到軸向持續(xù)激勵下保持長周期動態(tài)穩(wěn)定運(yùn)行的能力，較小的周期峰可避免因膜厚過大或過小而造成的過量泄漏或端面碰磨失效。由式(69)可知，無量綱周期峰X/Arz與軸向激勵頻率ω、浮動環(huán)質(zhì)量m、彈簧剛度ks、輔助密封阻尼cs、氣膜剛度kzz以及氣膜阻尼czz6個因素相關(guān)。式(69)分別對以上6個變量求偏導(dǎo)并令其為零，可得到周期峰X關(guān)于各變量的極大值和極小值。

根據(jù)式(69)獲得的周期峰X隨各影響因素的變化曲線，如圖10所示。顏色加深區(qū)域?yàn)楦蓺饷芊馍婕暗膮?shù)變化范圍。由式(69)可知，周期峰關(guān)于激勵頻率的函數(shù)X=f(ω)為一偶函數(shù)，圖10(a)所示的“X-ω”圖線關(guān)于ω軸對稱，這說明軸向激勵的相位對周期峰沒有影響。ω=0為函數(shù)X=f(ω)的極大值點(diǎn)，而在ω>0的小范圍區(qū)間內(nèi)還存在一極小值點(diǎn)，即低頻時X隨ω呈先減小后增大的變化規(guī)律，這與陳源等所得的結(jié)論一致。激勵頻率ω趨近于無窮時，周期峰X將趨近于軸向激勵振幅Arz，也即干氣密封在受到軸向持續(xù)高頻激勵時，動環(huán)振動的速度方向變化過快，浮動靜環(huán)不能及時跟隨動環(huán)運(yùn)動，將處于準(zhǔn)靜止?fàn)顟B(tài)。

(a) 軸向激勵頻率

(b) 浮動環(huán)質(zhì)量

(c) 彈簧剛度

(d) 輔助密封阻尼

(e) 軸向氣膜剛度

(f) 軸向氣膜阻尼圖10 各因素對干氣密封強(qiáng)迫振動周期峰的影響Fig.10 Influence of various factors on the forced vibration period peak of DGS

對于浮動環(huán)質(zhì)量m，函數(shù)X=f(m)在m>0的區(qū)間內(nèi)同時存在極小值與極大值點(diǎn)，隨著m的增大，周期峰X呈現(xiàn)出先減后增再逐漸減小并最終趨近于Arz的規(guī)律，即在質(zhì)量無限大時靜環(huán)將由于慣性幾乎不跟隨動環(huán)的激勵，此時周期峰等于動環(huán)軸向激勵的振幅。不過實(shí)際干氣密封中的石墨靜環(huán)質(zhì)量一般為0.1～20.0 kg，處于曲線極小值點(diǎn)的左側(cè)或附近，周期峰X隨m的增大呈現(xiàn)出單調(diào)遞減或先減后增的變化規(guī)律，該極小值點(diǎn)是浮動環(huán)質(zhì)量m的最優(yōu)值，如式(70)所示。為獲得較好的軸向動態(tài)追隨性，建議選取密度較大的浮動環(huán)材料，不過當(dāng)質(zhì)量超過式(70)所示的優(yōu)選值后，繼續(xù)增大質(zhì)量則會使干氣密封的軸向動態(tài)追隨性迅速惡化。

(70)

對于彈簧剛度ks和輔助密封阻尼cs，在其橫軸正半軸范圍內(nèi)，周期峰X隨著ks和cs的增大都先略有減小，后迅速增大直至趨于激勵振幅Arz?？紤]到實(shí)際干氣密封的參數(shù)范圍[24-25]一般為ks=103～107N/m，cs=101～105N·s/m，周期峰X隨彈簧剛度ks和輔助密封阻尼cs的增大都呈先略有減小后迅速增大的變化規(guī)律，其中極小值點(diǎn)如式(71)和式(72)所示，也即當(dāng)所選取的ks和cs小于極小值點(diǎn)時，ks和cs對周期峰影響不大，而當(dāng)其超過極小值點(diǎn)時，周期峰迅速增大。為了獲得較好的干氣密封動態(tài)追隨性，建議彈簧剛度和輔助密封阻尼都應(yīng)不超過式(71)和式(72)所示的優(yōu)選值。

(71)

(72)

對于軸向氣膜剛度kzz和氣膜阻尼czz，其周期峰曲線的變化規(guī)律相似且與前述4個變量有著明顯差別，當(dāng)氣膜動態(tài)特征參數(shù)趨于無窮時，周期峰X都將趨近于零而非軸向激勵振幅Arz，這是因?yàn)楫?dāng)剛度和阻尼無窮大時，氣膜類似為一剛性體，此時膜厚將基本不變。周期峰關(guān)于kzz和czz的曲線都存在一對稱軸，且在對稱軸處取得極大值，其中“X-czz”曲線關(guān)于czz=-cs對稱，而“X-kzz”曲線則關(guān)于kzz=-(ks-mω2)對稱。對于軸向氣膜阻尼，由于輔助密封阻尼cs為正值，其對稱軸恒在czz軸負(fù)半軸，故在干氣密封實(shí)際設(shè)計(jì)中，周期峰隨軸向氣膜阻尼的增大單調(diào)遞減，較大的軸向氣膜阻尼有利于提高密封追隨性。對于軸向氣膜剛度，其對稱軸相對原點(diǎn)的位置取決于彈簧剛度ks、浮動環(huán)質(zhì)量m和激勵頻率ω的大小。軸向氣膜剛度的設(shè)計(jì)應(yīng)盡量遠(yuǎn)離對稱軸數(shù)值，特別是當(dāng)ks-(ks-mω2)時，增大軸向氣膜剛度才有利于密封追隨性。

密封氣膜類似于一“剛度-阻尼”結(jié)構(gòu)，其氣膜剛度與彈簧剛度、氣膜阻尼與輔助密封阻尼之間存在著最佳匹配的問題。干氣密封強(qiáng)迫振動中剛度參數(shù)或阻尼參數(shù)對周期峰的共同影響,如圖11所示。從剛度參數(shù)或阻尼參數(shù)的匹配來看，氣膜剛度與彈簧剛度、氣膜阻尼與輔助密封阻尼之間不存在明顯的交互影響；當(dāng)氣膜剛度或氣膜阻尼一定時，周期峰隨著彈簧剛度或輔助密封阻尼的增大都呈現(xiàn)出先略減小后迅速增大的變化規(guī)律；當(dāng)彈簧剛度或輔助密封阻尼一定時，由于在計(jì)算參數(shù)下-(ks-mω2)<0，周期峰隨著氣膜剛度或氣膜阻尼的增大都單調(diào)遞減。對于剛度而言，當(dāng)彈簧剛度小于式(71)所給出的優(yōu)選值，軸向氣膜剛度越大時，能獲得較小的周期峰；對于阻尼而言，提高軸向氣膜阻尼并采用減摩手段盡可能減小輔助密封阻尼可有效提高靜環(huán)撓性安裝干氣密封的動態(tài)追隨性?？傮w上，在本文計(jì)算參數(shù)條件下，系統(tǒng)剛度參數(shù)對周期峰的影響明顯大于阻尼參數(shù)的影響。

(a) 剛度影響

(b) 阻尼影響圖11 剛度或阻尼參數(shù)對干氣密封強(qiáng)迫振動周期峰的共同影響Fig.11 Joint influence of stiffness or damping parameters on the forced vibration period peak of DGS

3 結(jié) 論

(1) 系統(tǒng)軸向總阻尼對干氣密封軸向自由振動穩(wěn)定性起決定作用；對于過阻尼系統(tǒng)，適當(dāng)減小系統(tǒng)軸向總阻尼，增加系統(tǒng)軸向總剛度和浮環(huán)質(zhì)量，使其過渡到臨界阻尼或是欠阻尼狀態(tài)有利于提升系統(tǒng)響應(yīng)速度。

(2) 提出了響應(yīng)最大振幅和調(diào)節(jié)時間兩個參數(shù)以表征欠阻尼狀態(tài)下干氣密封自由振動過渡階段的性能，獲得了響應(yīng)最大振幅和調(diào)節(jié)時間的解析表達(dá)式，存在最佳的系統(tǒng)總剛度和浮動環(huán)質(zhì)量使密封兼具最短的調(diào)節(jié)時間和較小的最大振幅。

(3) 推導(dǎo)獲得了干氣密封軸向強(qiáng)迫振動穩(wěn)定運(yùn)行階段周期峰的解析表達(dá)式，無量綱周期峰與軸向激勵頻率、浮動環(huán)質(zhì)量、彈簧剛度、輔助密封阻尼、氣膜剛度和氣膜阻尼等6個因素緊密相關(guān)。

(4) 在干氣密封涉及的參數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)彈簧剛度和輔助密封阻尼低于某一閾值時，其數(shù)值變化對周期峰無明顯影響，一旦超過某一閾值，密封軸向動態(tài)追隨性迅速惡化；較大的軸向氣膜阻尼有利于提高密封追隨性，而只有當(dāng)軸向氣膜剛度大于(mω2-ks)時，增大軸向氣膜剛度才有利于密封追隨性。