基于CIA的雷達(dá)互補(bǔ)稀疏頻率序列集設(shè)計(jì)

洪 升， 付勇強(qiáng)， 李銘暉， 張妤歆

(南昌大學(xué)信息工程學(xué)院， 江西南昌330031)

0 引 言

互補(bǔ)序列集[1](Complementary Sets of Sequences, CSS)具備理想的非周期自相關(guān)特性，因此被廣泛應(yīng)用于通信[2]、雷達(dá)[3]等領(lǐng)域，受到了許多研究學(xué)者的關(guān)注。

隨著雷達(dá)系統(tǒng)與通信系統(tǒng)的迅速發(fā)展，頻譜資源日益緊張，工作在甚高頻和超高頻雷達(dá)會面臨同頻干擾[4]。針對此問題，雷達(dá)稀疏頻率序列設(shè)計(jì)得到了廣泛關(guān)注，其思想是將雷達(dá)序列干擾頻帶設(shè)置為阻帶，降低雷達(dá)在該頻帶上的功率。這種設(shè)計(jì)提高了頻帶的利用率和雷達(dá)系統(tǒng)的抗干擾能力。因此，設(shè)計(jì)較低旁瓣的稀疏頻率序列問題受到了廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[5]利用乘數(shù)近似法(Proximal Method of Multipliers, PMM)設(shè)計(jì)低旁瓣單個稀疏頻率序列。但是該文獻(xiàn)是基于峰值旁瓣電平(Peak Sidelobe Level, PSL)準(zhǔn)則抑制序列自相關(guān)旁瓣，在求解自相關(guān)函數(shù)最大值時(shí)難以處理。文獻(xiàn)[6]采用循環(huán)迭代算法(Cyclic Iterative Algorithm, CIA)設(shè)計(jì)具備低距離旁瓣的單個稀疏頻率序列，并進(jìn)一步將該算法擴(kuò)展到具備低旁瓣的正交稀疏頻率序列集設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[7-8]提出基于CIA的正交稀疏頻率序列設(shè)計(jì)。同時(shí)考慮序列旁瓣性能和稀疏頻譜性能，利用CIA迭代求解最優(yōu)序列的閉式解，并在每次迭代中利用FFT變換，降低了運(yùn)算的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[9]采用一種結(jié)合最速下降方法的迭代算法對單個稀疏頻率序列設(shè)計(jì)和正交稀疏頻率序列集設(shè)計(jì)，該算法通過沿梯度方向搜索，提高了算法的收斂速度。文獻(xiàn)[10]將序列集的PSL作為目標(biāo)函數(shù)，頻率阻帶功率和序列恒模作為約束并建立優(yōu)化問題。然后利用塊逐次最小化(Block Successive Upper-bound Minimization, BSUM)算法求解該問題，并得到具有良好相關(guān)特性和稀疏頻率特性的正交序列集，該算法每次迭代都可利用FFT計(jì)算，收斂速度快。上述文獻(xiàn)[5-10]中的研究大都是針對單個稀疏頻率序列或正交稀疏頻率序列集進(jìn)行設(shè)計(jì)，只有少數(shù)文獻(xiàn)針對互補(bǔ)稀疏頻率(Complementary Sparse Frequency, CSF)序列集進(jìn)行設(shè)計(jì)。例如，文獻(xiàn)[4，11]優(yōu)化設(shè)計(jì)了CSF序列集，分別采用功率譜密度(Power Spectrum Density, PSD)為約束、積分旁瓣電平(Integrated Sidelobe Level, ISL)為目標(biāo)函數(shù)以及ISL為約束，PSD為目標(biāo)函數(shù)建立兩個非線性優(yōu)化模型，然后運(yùn)用MATLAB優(yōu)化工具箱中“fmincon”函數(shù)中的內(nèi)點(diǎn)法求解。該方法將非線性約束問題近似轉(zhuǎn)化為線性約束問題進(jìn)行求解，所求取的解為原非線性約束問題的次優(yōu)解，并且直接提取該次優(yōu)解的相位以滿足恒模約束。而CIA是經(jīng)典的優(yōu)化算法，在每次迭代中可直接得到優(yōu)化變量閉式解。因此，該算法收斂速度快，性能高，被廣泛運(yùn)用于單個序列稀疏頻譜優(yōu)化設(shè)計(jì)[6]和正交稀疏頻率序列集優(yōu)化設(shè)計(jì)[6-8]。本文進(jìn)一步將CIA擴(kuò)展到CSF序列集的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。建立針對CSF序列集的加權(quán)積分旁瓣電平(Weighted ISL, WISL)數(shù)學(xué)模型和稀疏頻譜數(shù)學(xué)模型，將二者的加權(quán)和作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，然后采用CIA對該模型進(jìn)行求解，在每次迭代過程中，給出了滿足恒模約束的CSF序列集閉式解。仿真結(jié)果表明，相比于文獻(xiàn)[11]算法，CIA所優(yōu)化的序列集具有更好的自相關(guān)特性和稀疏頻率特性，收斂速度更快，且可靈活控制自相關(guān)旁瓣的抑制范圍，具有廣泛的適應(yīng)性。

1 優(yōu)化模型的建立

1.1 WISL優(yōu)化模型

定義一個復(fù)恒模序列集Z，包含M個序列，每個序列長度為N，序列集可以表示為

Z={z1,z2,…,zM}

(1)

其中zm=[zm(1),zm(2),…,zm(N)]T。將序列集Z中的序列按照如下方式進(jìn)行堆疊：

(2)

式中，0N×1為一個長度為N的全零列向量，q∈L×1為堆疊后的列向量；顯然L=(2M-1)N。按照上述堆疊方式，可得：序列q的非周期自相關(guān)函數(shù)在時(shí)延[-N+1,N-1]的范圍內(nèi)等于序列集{z1,z2,…,zM}各序列的自相關(guān)之和。堆疊序列q的自相關(guān)函數(shù)表示為

(3)

PSL和ISL是目前優(yōu)化旁瓣的兩種主要指標(biāo)。若以PSL為優(yōu)化指標(biāo)，會使序列的旁瓣電平隨著序列長度增加而增大，而ISL為優(yōu)化指標(biāo)相對較為穩(wěn)定[7]。本文考慮一般性，選用WISL指標(biāo)優(yōu)化序列旁瓣?；谖墨I(xiàn)[12]討論，利用Parseval定理可知，序列z的WISL可以表示為

(4)

式中，Φ(wp)表示自相關(guān)序列的離散傅里葉變換。Φ(wp)可表示為

(5)

其中γk,k=0,1,…,L-1為自相關(guān)序列的加權(quán)系數(shù)，且γk=γ-k。通常，將γk的取值設(shè)為0或1，以對待優(yōu)化的旁瓣區(qū)域進(jìn)行選擇。

因此，為得到自相關(guān)旁瓣最小化的恒模序列集，將式(4)中的WISL作為目標(biāo)函數(shù)，使其最小化，并添加序列的恒模約束，可建立序列集旁瓣優(yōu)化模型如下：

s.t. |zm(n)|=1,n=1,…,N,m=1,2,…,M

(6)

(7)

(8)

(9)

為保證矩陣Γ為半正定矩陣，設(shè)式(9)中γ0≥λmin，λmin為矩陣γ0Γ中對角元素全為0矩陣的最小特征值[12]。

由文獻(xiàn)[12]可知，式(7)中CSF序列集的WISL可進(jìn)一步近似等價(jià)為

(10)

將式(10)代入式(6)中，序列集的WISL優(yōu)化模型可重新寫成

s.t.|zm(n)|=1,n=1,…,N,m=1,2,…,M

‖αp‖2=MN,p=1,…,2L

(11)

1.2 PSD優(yōu)化模型

為了使設(shè)計(jì)的CSS具有稀疏頻率特性，本文通過優(yōu)化序列集以抑制頻率阻帶內(nèi)的能量(Energy in the Frequency Stopband, EFS)。

假設(shè)序列集Z的頻率阻帶為

(12)

其中，(fn1,fn2)表示歸一化頻率(即頻率取值范圍為從0到1)范圍，Ns為頻率阻帶個數(shù)。

對長度為N的序列進(jìn)行頻域變換，考慮正負(fù)頻率，變換后的頻譜序列長度為2N。對序列的頻譜序列進(jìn)行加權(quán)，定義頻譜序列的加權(quán)向量為

wf=[wf(1),…,wf(2N)]T

(13)

假設(shè)阻帶內(nèi)的頻譜序列加權(quán)系數(shù)為1，通帶內(nèi)的頻譜序列加權(quán)系數(shù)為0，即

(14)

于是，序列集在頻率阻帶內(nèi)的能量EFS可由下式計(jì)算：

(15)

為抑制序列集在頻率阻帶內(nèi)的能量，以序列集的EFS為目標(biāo)函數(shù)，使其最小化，并添加序列集的恒模約束，從而建立CSF序列集的頻譜優(yōu)化模型

s.t.|zm(n)|=1,n=1,…,N,m=1,2,…,M

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]的推導(dǎo)，式(16)中的目標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)為

(17)

為方便地從堆疊序列q中快速地選擇出第m個序列zm，定義選擇矩陣

Sm=[0N×(2m-2)N,IN×N,0N×(L-(2m-1)N)]

(18)

從而有

zm=Smq

(19)

(20)

將式(20)替換式(16)中的目標(biāo)函數(shù)，EFS的優(yōu)化模型可表示為

s.t.|zm(n)|=1,n=1,…,N,m=1,2,…,M

(21)

1.3 聯(lián)合優(yōu)化模型

為了使雷達(dá)的發(fā)射序列集同時(shí)具有低自相關(guān)旁瓣和稀疏頻譜特性，需對序列集的WISL和EFS進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。聯(lián)合式(11)和式(21)，可建立CSF序列集聯(lián)合優(yōu)化問題為

s.t.|zm(n)|=1，n=1,…,N,m=1,2,…,M

‖αp‖2=MN,p=1,…,2L

(22)

2 CIA求解

針對式(22)中的優(yōu)化問題，本文采用CIA進(jìn)行求解，其主要思想是交替迭代優(yōu)化不同的變量。式(22)中的優(yōu)化問題有3個優(yōu)化變量q(或{zm}m=1,2,…,M)，{bm}m=1,2,…,M和V，其中變量{bm}m=1,2,…,M和V為輔助變量，且相互獨(dú)立。交替迭代優(yōu)化的過程為：首先，固定變量q，求解{bm}m=1,2,…,M和V；然后，利用更新后的{bm}m=1,2,…,M和V，求解變量q。上述兩個步驟不斷地交替迭代。該兩個步驟是每次迭代的主要步驟，具體的求解過程如下：

(23)

其中，const1表示與bm無關(guān)常數(shù)項(xiàng)。

由式(23)可得變量bm的閉式解為

(24)

(25)

其中，

(26)

(27)

(28)

式中，

(29)

其中，Cm,n表示矩陣C的第m行第n列元素。

結(jié)合式(29)，式(28)可進(jìn)一步寫為

(30)

(31)

Ρ=[1,N]∪[2N+1,3N]∪…

∪[2(M-1)N+1,(2M-1)N]

(32)

將式(31)代入式(30)有

const5

(33)

式中，const5表示與q(或zm)無關(guān)的常數(shù)項(xiàng)。

(34)

由式(33)和式(34)可得第二步的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(35)

式中，const7=const5+const6。

由式(35)可得到優(yōu)化變量q中的第m個序列zm的閉式解為

(36)

循環(huán)迭代上述步驟，便可得到基于CIA的CSF序列集優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，如表1所示。

表1 CIA算法流程

3 實(shí)驗(yàn)仿真分析

為驗(yàn)證本文所提CIA算法的有效性、所設(shè)計(jì)CSF序列集良好的相關(guān)性和稀疏頻率特性，定義兩個關(guān)于序列集的性能評估指標(biāo)，分別為WISL和平均通帶阻帶功率比(Average Passband Stopband Power Ratio, APSPR)。具體地，WISL和APSPR指標(biāo)可由下式來計(jì)算：

(37)

(38)

式中，Pp為序列集的通帶平均功率，Ps為序列集的阻帶平均功率。WISL越小，序列集的相關(guān)性能越好；APSPR越大，序列集的頻譜特性越好。以式(37)和式(38)為衡量指標(biāo)，將本文所提算法CIA和文獻(xiàn)[11]算法進(jìn)行比較。為了保證比較的公平性，兩種算法的初始序列保持相同，均采用隨機(jī)相位的單模序列集。除了WISL和APSPR之外，亦評估了本文CSF序列集設(shè)計(jì)算法的運(yùn)算速度。所有的仿真均在一臺CPU為3.60 GHz，i7-4790，內(nèi)存為8 GB的PC機(jī)上用Matlab軟件運(yùn)行計(jì)算的。

3.1 CSF序列集優(yōu)化設(shè)計(jì)

假設(shè)所設(shè)計(jì)CSF序列集中序列個數(shù)和各序列長度分別為M=2，N=143，加權(quán)系數(shù)η=0.012 2,自相關(guān)函數(shù)加權(quán)系數(shù)為

(39)

算法終止條件為優(yōu)化變量q的迭代誤差精度ε=10-5或總迭代時(shí)間t=15 000 s。將頻率進(jìn)行歸一化，設(shè)置5個頻率阻帶，分別為[0.04,0.21],[0.23,0.25],[0.28,0.37],[0.39,0.49],[0.52,0.56]；剩下的頻率范圍為頻率通帶。圖1為本文算法和文獻(xiàn)[11]算法優(yōu)化得到的CSF序列集的自相關(guān)函數(shù)。圖中，本文算法與文獻(xiàn)[11]算法均可設(shè)計(jì)較低旁瓣的CSF序列集；且本文算法和文獻(xiàn)[11]算法設(shè)計(jì)CSF序列集的WISL均是-3.91 dB。圖2和圖3分別為本文算法和文獻(xiàn)[11]算法優(yōu)化CSF序列集的兩個序列的PSD。圖2和圖3中灰色陰影區(qū)域?yàn)樗O(shè)定的5個阻帶區(qū)域，由圖可知，在設(shè)定的頻率阻帶區(qū)域，經(jīng)兩種算法優(yōu)化后序列具備較低的幅度(能量)。具體地，本文算法設(shè)計(jì)的APSPR分別是24.40 dB，24.47 dB，文獻(xiàn)[11]所設(shè)計(jì)兩個序列的APSPR分別是24.06 dB，24.06 dB。將圖1、圖2和圖3中兩種算法所設(shè)計(jì)序列的WISL和APSPR相比較，可知，在WISL性能相同的情況下，本文所提算法的APSPR性能優(yōu)于文獻(xiàn)[11]中的算法。

圖1 互補(bǔ)稀疏頻率序列集的自相關(guān)

圖2 CSF序列1的PSD

圖3 CSF序列2的PSD

進(jìn)一步地，考慮CSF序列集M=3，序列長度N=143的情況。此時(shí)，加權(quán)系數(shù)設(shè)為η=0.012 4，自相關(guān)函數(shù)加權(quán)系數(shù)為式(39)，算法的終止條件分別設(shè)置為ε=10-5或t=24 000 s。將該情況(M=3)和圖1～3中情況(M=2)下，兩種算法所設(shè)計(jì)CSF序列集的WISL和APSPR值總結(jié)在表2中。由表2可知，當(dāng)序列個數(shù)為M=2和M=3時(shí)，兩種算法在WISL基本相同(本文算法WISL甚至稍優(yōu)于文獻(xiàn)[11]算法的情況下，本文算法的阻帶能量抑制能力優(yōu)于文獻(xiàn)[11]算法。由此可知，本文算法優(yōu)化得到的CSF序列集具有更低自相關(guān)旁瓣特性以及更好的稀疏頻率特性。

表2 CIA和文獻(xiàn)[11]算法設(shè)計(jì)CSF序列集的數(shù)據(jù)對比dB

3.2 算法收斂速度

圖4 不同收斂精度ε下的算法運(yùn)行時(shí)間

為進(jìn)一步對比兩種算法優(yōu)化設(shè)計(jì)CSF序列集的收斂速度，研究了兩種算法在不同收斂精度ε下的運(yùn)行時(shí)間。序列集的WISL和EFS間的加權(quán)系數(shù)設(shè)置為η=0.012 2，自相關(guān)函數(shù)加權(quán)系數(shù)和頻率阻帶通帶設(shè)置與3.1節(jié)實(shí)驗(yàn)相同，兩種算法設(shè)計(jì)的序列個數(shù)和長度為M=2，N=143。圖4給出了兩種算法在不同收斂精度下所需要的時(shí)間，橫坐標(biāo)表示不同的收斂精度ε。由于文獻(xiàn)[11]算法在收斂精度ε=10-5條件下，運(yùn)行時(shí)間過長，因此僅記錄前5個收斂精度下算法的運(yùn)行時(shí)間。由圖可知，兩種算法的運(yùn)行時(shí)間都隨著收斂精度的提高而增加。然而，在相同的收斂精度下，本文算法CIA設(shè)計(jì)CSF序列集所需的時(shí)間小于文獻(xiàn)[11]算法。因此，本文算法優(yōu)化設(shè)計(jì)CSF序列集的收斂速度快于文獻(xiàn)[11]算法。

3.3 部分旁瓣抑制的CSF序列集設(shè)計(jì)

實(shí)際情況中的一些特殊場景需要在特定的延遲范圍內(nèi)抑制CSF序列集的自相關(guān)旁瓣，而非在全部延遲范圍內(nèi)抑制自相關(guān)旁瓣。此時(shí)，文獻(xiàn)[11]的設(shè)計(jì)算法失效，而本文算法可以有效實(shí)現(xiàn)CSF序列集自相關(guān)旁瓣在指定區(qū)域內(nèi)的優(yōu)化和稀疏頻譜優(yōu)化。

假定優(yōu)化設(shè)計(jì)一個CSF序列集，其序列個數(shù)和長度分別為M=2，N=143；且需要在k∈[40,60]∪[80,100]延遲范圍內(nèi)抑制CSF序列集旁瓣，k表示延遲點(diǎn)。則可將式(37)中自相關(guān)旁瓣加權(quán)系數(shù)修改為

(40)

圖5 部分旁瓣抑制的CSF序列集自相關(guān)

假設(shè)所要求的頻率阻帶范圍和3.1節(jié)中的要求相同。設(shè)定算法的終止條件為ε=10-6或t=25 000 s，加權(quán)系數(shù)為η=0.001。圖5為CIA算法優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的CSF序列集的自相關(guān)函數(shù)。由圖可知，在所設(shè)定的旁瓣抑制范圍k∈[40,60]∪[80,100]和對稱范圍k∈[-60,-40]∪[-100,-80]內(nèi)，CSF的旁瓣得到了有效抑制。圖中，在設(shè)定的旁瓣抑制范圍內(nèi)，自相關(guān)旁瓣可抑制至-50 dB，全部延遲范圍內(nèi)的WISL為-33.35 dB。圖6和圖7分別為所設(shè)計(jì)的序列1和序列2的PSD。由圖可知，所設(shè)計(jì)序列滿足所設(shè)定的阻帶頻譜要求，且兩個序列的APSPR分別為26.52 dB和27.32 dB。由于文獻(xiàn)[11]算法不可對部分自相關(guān)旁瓣進(jìn)行抑制；因此，本文算法相比文獻(xiàn)[11]算法更具廣泛性。

圖6 CSF序列1的PSD

圖7 CSF序列2的PSD

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于CIA的雷達(dá)CSF序列集優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該算法以最小化序列WISL和各序列EFS之間的加權(quán)為目標(biāo)，引入輔助變量，將輔助變量和待優(yōu)化的序列集變量進(jìn)行迭代優(yōu)化。由于在每次迭代中都可以求出恒模序列集的閉式解，方便快速地解決了恒模約束的困難。和已有算法相比較，本文算法優(yōu)化性能高、收斂速度快，并且具備更廣泛的應(yīng)用性。