基于改進(jìn)CPSO算法的無(wú)刷直流電機(jī)PI控制器

顧亞明

（上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

0 引言

無(wú)刷直流電機(jī)（Brushless Direct Current motor，BLDC）具有控制靈活性、高轉(zhuǎn)矩、無(wú)噪聲操作、高效率和體積小等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)及日常生活中得到了廣泛應(yīng)用［1］。BLDC 的控制方式有模糊控制（Fuzzy Control）、比例積分控制（PI Control）和矢量控制（Field-Oriented Control，F(xiàn)OC）［2］等。目前，PI（Proportion Integration）控制器是BLDC 電機(jī)常用的速度控制器。

速度控制器的性能主要依賴于PI 參數(shù)的調(diào)整。調(diào)優(yōu)是通過(guò)尋找合適的PI 控制器的比例、積分參數(shù)，以滿足期望的控制效果。常規(guī)的Ziegler-Nichols 整定方法是Ziegler和Nichols 于1942 年提出來(lái)的，該方法是基于受控過(guò)程開(kāi)環(huán)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的某些特征參數(shù)進(jìn)行PI參數(shù)整定，進(jìn)行整定的經(jīng)驗(yàn)公式是基于帶有遲滯的一階慣性模型提出的。這種手動(dòng)調(diào)優(yōu)的方法也將花費(fèi)更多時(shí)間并可能損壞控制過(guò)程中所涉及的硬件。隨著智能優(yōu)化算法的興起，文獻(xiàn)［3］提出一種粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO），選擇積分平方誤差作為目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)直流無(wú)刷電機(jī)PI 控制器的參數(shù)優(yōu)化［3］，通過(guò)利用PSO 算法模仿鳥(niǎo)類生活的方式進(jìn)行PI參數(shù)優(yōu)化，解決了手動(dòng)參數(shù)整定需要消耗大量時(shí)間的問(wèn)題，且所尋參數(shù)優(yōu)于Z-N 整定方法的參數(shù)。文獻(xiàn)［4］提出利用花粉傳播算法（Flower Pollination Algorithm，F(xiàn)PA）進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化的方法，利用花粉算法對(duì)電機(jī)進(jìn)行不同負(fù)載及不同速度下的PI參數(shù)優(yōu)化并進(jìn)行比較，花粉算法優(yōu)化的參數(shù)能夠取得很好的控制效果［4］。隨著時(shí)間的推移，越來(lái)越多學(xué)者提出將遺傳算法、粒子群算法等智能尋優(yōu)算法應(yīng)用于PI控制器參數(shù)整定，這些算法的應(yīng)用也越來(lái)越成熟，但是這些單一的智能算法逐漸暴露出其缺點(diǎn)，例如：粒子群算法在粒子尋優(yōu)過(guò)程中容易陷入局部最優(yōu)、花粉算法在參數(shù)尋優(yōu)過(guò)程中收斂速度過(guò)慢等問(wèn)題。

目前，電機(jī)轉(zhuǎn)速的控制需求正朝著高精度、高效率的方向發(fā)展，因而對(duì)控制系統(tǒng)的可靠性提出了更高要求［5-6］。基于此，本文在PSO 算法對(duì)PI 控制器參數(shù)整定的基礎(chǔ)上，提出一種基于改進(jìn)后混沌粒子群算法的電機(jī)PI 控制器參數(shù)智能調(diào)節(jié)方法，解決了粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，提高了電機(jī)轉(zhuǎn)速控制效率。

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，本文證明了基于改進(jìn)后的混沌粒子群算法（Chaos Particle Swarm Optimization，CPSO）對(duì)電機(jī)PI控制器的參數(shù)優(yōu)化效果優(yōu)于Z-N 整定方法、PSO 算法以及FPA 算法。同時(shí)，該算法極大地改善了各項(xiàng)性能指標(biāo)，能夠更好地進(jìn)行電機(jī)轉(zhuǎn)速控制。

1 無(wú)刷直流電機(jī)數(shù)學(xué)模型

1.1 BLDC電機(jī)建模

三相電機(jī)的定子繞組分為星形聯(lián)接方式和三角形鏈接方式［7］，本文采用三相星形聯(lián)接的二二導(dǎo)通方式。假設(shè)每一相的電阻都相等，定子繞組的三相電壓可用式（1）表示。

式（1）中，R是相電阻，ia、ib、ic是相電流，Laa、Lbb、Lcc均為三相繞組自感率，Lab、Lbc、Lca均為三相繞組互感率，ea是a 相感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

假設(shè)每個(gè)繞組的所有自感都相等，同樣的，所有互感也相等，如式（2）所示。

式中，L是繞組自感，M是繞組互感。

將式（2）代入式（1），可得到式（3）。

對(duì)于一個(gè)平衡的三相定子繞組，在任何瞬間，所有相電流的總和為0，即ia+ib+ic=0。

將式（4）代入式（3）中，族中的無(wú)刷直流電機(jī)相電壓方程如式（5）所示。

由于相電壓不好測(cè)量，根據(jù)兩相導(dǎo)通之間的線電壓可得到式（6）。

電機(jī)的數(shù)學(xué)模型函數(shù)為直流電壓與角速度之間的關(guān)系。將電流用角速度表示，如式（7）所示。

式中，Kt為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)，J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，b為黏滯摩擦系數(shù)，Ω 為角速度。

因此，線電壓方程如式（8）所示。

式中，Ke為反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)。因此，可得傳遞函數(shù)如式（9）所示。

1.2 PI控制器設(shè)計(jì)

由于PI 控制器實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單，且具有魯棒性和可靠性，因此是當(dāng)今行業(yè)中使用最廣泛的方法［8］。本文采用PI控制方法對(duì)電機(jī)進(jìn)行控制，PI控制原理圖如圖1所示。

Fig.1 PI control schematic圖1 PI控制原理圖

由圖1 可以看出，目標(biāo)轉(zhuǎn)速與實(shí)際轉(zhuǎn)速相減產(chǎn)生誤差信號(hào)，誤差信號(hào)e被輸入到PI 控制器中，PI 控制器中的比例環(huán)節(jié)通過(guò)積分系數(shù)迅速對(duì)誤差進(jìn)行調(diào)整，但是結(jié)果還是會(huì)有一定的穩(wěn)態(tài)誤差；積分調(diào)節(jié)能夠很好地減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但是會(huì)減緩系統(tǒng)的控制速率。PI 控制器在連續(xù)時(shí)間域中的算法如式（10）所示。

式中，Kp是比例參數(shù)，Ti是積分時(shí)間常數(shù)。

在數(shù)字系統(tǒng)中實(shí)行采樣操作，則式（10）中的積分過(guò)程需要離散化，離散的PI表達(dá)式如式（11）所示。

式中，Kp為比例參數(shù)，Ki為積分時(shí)間常數(shù)，T為采樣周期。

實(shí)際上，實(shí)現(xiàn)一個(gè)理想的PI 控制器是不可能的。在設(shè)計(jì)PI控制器的方法中，Z-N 整定方法是PI控制器確定參數(shù)使用最廣泛的一種方法。Z-N 整定方法依賴于人從一個(gè)長(zhǎng)范圍的值中選擇合適的積分值，需要耗費(fèi)一定的人力與時(shí)間，且容易產(chǎn)生較大的超調(diào)誤差。隨著智能算法的成熟，將智能算法應(yīng)用于PI 參數(shù)整定也隨之成熟，因此通過(guò)使用先進(jìn)的優(yōu)化算法，可實(shí)現(xiàn)更接近理想的響應(yīng)［9］。

2 求解算法

2.1 粒子群算法

粒子群算法是受到鳥(niǎo)類群體活動(dòng)的啟發(fā)，模仿鳥(niǎo)類通過(guò)信息共享實(shí)現(xiàn)最優(yōu)路徑的行為而建立的一種算法［10］。

粒子是類似于鳥(niǎo)類的概念實(shí)體，每個(gè)粒子都有兩個(gè)狀態(tài)變量，即速度與當(dāng)前位置［11-12］。每個(gè)粒子的位置和速度都是隨機(jī)初始化的，在每次迭代之后，粒子的速度和位置都會(huì)進(jìn)行更新。粒子的速度更新公式如式（12）所示，位置更新公式如式（13）所示。

式中，Vid（k+1）為第i個(gè)粒子在第K+1 次迭代中維度d上的速度為第i個(gè)粒子在第K+1 次迭代中維度d上的位置；pbest為當(dāng)前個(gè)體粒子的最優(yōu)位置；gbest為群體最優(yōu)粒子的位置；ω 為慣性權(quán)重，用于平衡局部與全局尋優(yōu)；η1、η2為加速系數(shù)；r1、r2為0～1之間的隨機(jī)數(shù)。

2.2 改進(jìn)的混沌粒子群算法

隨著迭代次數(shù)的增加，傳統(tǒng)的粒子群算法暴露出容易陷入局部收斂的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)［13］、［14］提出混沌粒子群算法（CPSO），在粒子群算法基礎(chǔ)上引入混沌變異，在變異過(guò)程中可避免粒子產(chǎn)生重復(fù)解，改善了PSO 算法因重復(fù)粒子過(guò)多而產(chǎn)生局部收斂的問(wèn)題?；煦缌Ｗ尤核惴ǖ牧Ｗ踊煦缱儺惙绞饺缡剑?4）所示。

式中，K是迭代次數(shù)，xidmax是維度d上第i個(gè)粒子位置坐標(biāo)的最大值，Z（k+1）是第K+1 次Logistic 混沌方程。式（14）中的Logistic 混沌方程是個(gè)典型的混沌系統(tǒng)，如式（15）所示。

式中，μ為L(zhǎng)ogistic 參數(shù)，其范圍在0～4 之間。當(dāng)μ=4，且0≤Z（0）≤1（Z（0）≠0.5）時(shí)，Z的取值永遠(yuǎn)不會(huì)重復(fù)。

混沌粒子群算法雖然解決了粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，但是混沌粒子群算法的變異概率始終保持不變。若變異概率較低，當(dāng)種群多樣性較小時(shí)，則易陷入局部最優(yōu)。

為了衡量種群多樣性，引入了信息熵的概念。當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的混亂程度越高，該系統(tǒng)的信息熵也越高，且越接近于1，因此信息熵可作為系統(tǒng)多樣性的一個(gè)度量。一個(gè)系統(tǒng)的信息熵如式（16）所示。

式中，u是所有輸出的集合，Pi是第i 類輸出的概率函數(shù)。

在粒子群算法中，n 維空間中有m 個(gè)粒子，文獻(xiàn)［15］、［16］引入了信息熵來(lái)改進(jìn)算法，這些算法以粒子適應(yīng)度的多樣性來(lái)衡量粒子的多樣性。當(dāng)種群的粒子坐標(biāo)差異較大時(shí)，由于適應(yīng)度函數(shù)的緣故，這些粒子計(jì)算出來(lái)的適應(yīng)度差異較小，則信息熵偏高。若在此時(shí)選擇變異，粒子可能會(huì)偏離原來(lái)的尋優(yōu)軌跡，延長(zhǎng)了粒子尋找最優(yōu)點(diǎn)的時(shí)間。本文根據(jù)粒子各維度的坐標(biāo)差異，引入粒子在維度d上的概率函數(shù)確定方法，如式（17）所示。

式中，xid是第i個(gè)粒子在維度d上的位置坐標(biāo)，xid min是第i個(gè)粒子在維度d上位置坐標(biāo)的最小值，P（xid）是相應(yīng)位置坐標(biāo)的概率函數(shù)。

根據(jù)一個(gè)維度上所有粒子的概率值，用式（16）計(jì)算種群在這一維度上的信息熵。在計(jì)算的同時(shí)，需要對(duì)信息熵進(jìn)行歸一化處理，如式（18）所示。

式中，xid是第i個(gè)粒子在維度d上的位置坐標(biāo)，m是粒子個(gè)數(shù)，P（xid）是相應(yīng)位置坐標(biāo)的概率函數(shù)。

由于混沌變異會(huì)產(chǎn)生不好的效果，因此設(shè)定一個(gè)信息熵的變異值Emax。若某一維度上的粒子信息熵超過(guò)了信息熵的變異值，對(duì)該維度上適應(yīng)度較差的80%的粒子進(jìn)行混沌變異。若沒(méi)有超過(guò)信息熵的變異值，則認(rèn)為該維度上的粒子還未出現(xiàn)局部收斂的情況，從而有效解決了混沌粒子群算法容易偏離正確軌道的問(wèn)題。

本文將改進(jìn)后的CPSO 算法應(yīng)用于BLDC 電機(jī)的閉環(huán)速度控制，算法實(shí)現(xiàn)流程如圖2所示。

為實(shí)現(xiàn)超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)時(shí)間等時(shí)域指標(biāo)的統(tǒng)一優(yōu)化，本文將積分平方誤差與時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則的和作為適應(yīng)度函數(shù)。基于積分平方誤差準(zhǔn)則優(yōu)化的參數(shù)能夠抑制大誤差，基于時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則優(yōu)化的參數(shù)能夠減少系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間，即在有限的迭代次數(shù)內(nèi)尋求誤差最小的閉環(huán)速度控制方法，如式（19）所示。

該算法對(duì)PI 控制器的參數(shù)優(yōu)化流程如圖2 所示。初始粒子個(gè)數(shù)為10，粒子迭代次數(shù)為50，慣性權(quán)重ω 為0.9，加速系數(shù)η1為1.2，η2為0.2，Emax為0.8。

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析與討論

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，本文采用無(wú)刷直流電機(jī)作為仿真模型。BLDC 電機(jī)仿真模型如圖3所示。

Fig.2 Improved CPSO algorithm flow圖2 改進(jìn)后的CPSO算法流程

Fig.3 Simulation model of BLDC motor圖3 BLDC電機(jī)仿真模型

圖3 中，Kt是電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)，Kt=0.2 kg.m/A；L為等效電感，L=0.36 mH；J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J=0.2 kg.m2；b為黏滯摩擦系數(shù)，b=0.004 N.m.sec/rad；R 為等效電阻，R=0.026 ohm；Ke為反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)，Ke=0.21 V/rpm。

根據(jù)上述參數(shù)和式（9）可得直流無(wú)刷電機(jī)的數(shù)學(xué)模型公式，如式（20）所示。

本文采用積分誤差準(zhǔn)則作為目標(biāo)函數(shù)，設(shè)定花粉算法的切換概率P 為0.8，粒子數(shù)量為10，迭代次數(shù)為50，Emax為0.8，變異比例為80%。

首先對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速目標(biāo)值為4 000 轉(zhuǎn)的系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，通過(guò)Z-N 算法、PSO 算法、FPA 算法與改進(jìn)后的CPSO算法優(yōu)化的參數(shù)如表1所示。

Table 1 Values at 0～4 000rpm表1 0～4 000rpm參數(shù)

通過(guò)MATLAB 仿真，種群ISE 值優(yōu)化過(guò)程如圖4所示。

Fig.4 Optimization process of population ISE value圖4 種群ISE值優(yōu)化過(guò)程

通過(guò)圖4 可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，ISE 的數(shù)值也在不斷減小。最終在迭代完成后，獲得的最小適應(yīng)度值為55 240.738。

改進(jìn)后的CPSO 算法與Z-N 算法、PSO 算法、FPA 算法在電機(jī)從0到4 000rpm 的輸出響應(yīng)如圖5所示。

Fig.5 Output response based on improved CPSO algorithms and 3 other algorithms圖5 改進(jìn)后的CPSO算法與另外3種算法輸出響應(yīng)

本文采用的上升時(shí)間tr是指響應(yīng)曲線從零時(shí)刻到首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，通常定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間，穩(wěn)定時(shí)間ts是指控制對(duì)象的整體誤差達(dá)到2%以內(nèi)所需的時(shí)間，超調(diào)量Overshoot 則是指控制系統(tǒng)出現(xiàn)的最大偏差與穩(wěn)態(tài)值的占比。通過(guò)MATLAB計(jì)算出系統(tǒng)的上升時(shí)間tr、穩(wěn)定時(shí)間ts、超調(diào)量Overshoot 如表2所示。

本文還采用平方誤差積分準(zhǔn)則（ISE）如式（21）所示，時(shí)間乘平方誤差準(zhǔn)則（ITSE）如式（22）所示，絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則（IAE）如式（23）所示，以及時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則（ITAE）如式（24）所示。

Table 2 Comparison results of performance at 0～4 000rpm表2 0～4 000rpm性能對(duì)比結(jié)果

式中，e（t）為實(shí)際輸出與期望輸出的偏差，t為時(shí)間。通過(guò)MATLAB 進(jìn)行計(jì)算，得到的系統(tǒng)性能對(duì)比結(jié)果如表3所示。

Table 3 Comparison results of system performance表3 系統(tǒng)性能對(duì)比結(jié)果

從圖5、表2 中可明顯看出：基于改進(jìn)后CPSO 算法的PI 控制系統(tǒng)的超調(diào)和穩(wěn)態(tài)時(shí)間小于基于另外3 種算法的系統(tǒng)，上升時(shí)間與另外3 種算法大致相同。從表3 可以看到，本文方法在ISE、IAE、ITSE、ITAE 4 個(gè)性能指標(biāo)上的值均優(yōu)于其他3 種算法。由此可知，經(jīng)過(guò)改進(jìn)CPSO 算法優(yōu)化后的參數(shù)，在電機(jī)轉(zhuǎn)速?gòu)? 到4 000rpm 的控制系統(tǒng)中的控制效果和性能指標(biāo)明顯優(yōu)于另外3種算法優(yōu)化的參數(shù)。

4 結(jié)語(yǔ)

為提高PI 控制器的性能，許多智能算法都在不斷地更新迭代，如FPA 算法、PSO 算法已證明了其在確定PI 控制器參數(shù)方面的有效性。本文將信息熵與混沌粒子群算法的原理相結(jié)合，采用改進(jìn)后的混沌粒子群算法對(duì)電機(jī)控制系統(tǒng)的PI控制器參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)與優(yōu)化，并利用MATLAB 進(jìn)行直流無(wú)刷電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，對(duì)于電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)，改進(jìn)后的混沌粒子群算法在控制電機(jī)速度方面的效果優(yōu)于其他3 種算法，從而減小了系統(tǒng)誤差，并控制系統(tǒng)具有更小的超調(diào)量。實(shí)驗(yàn)證明了采用基于改進(jìn)后的混沌粒子群算法對(duì)BLDC 的PI 控制器參數(shù)調(diào)節(jié)與優(yōu)化是有效的，能夠獲得更好的控制效果，為BLDC 電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)提供了一個(gè)新方法。