等質(zhì)量5衛(wèi)星中心構(gòu)型模型與計(jì)算

陳 劍 李培茂 張曉勇 謝馥勵(lì) 畢 鵬

（1.西南科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院 四川綿陽(yáng) 621010；2.四川中煙工業(yè)有限責(zé)任公司綿陽(yáng)卷煙廠 四川綿陽(yáng) 621000；3.西南科技大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院 四川綿陽(yáng) 621010）

人類對(duì)星星（天體）的觀察和研究已有幾千年歷史并將一直持續(xù)進(jìn)行。天體力學(xué)的誕生使人們對(duì)星星（天體）的研究進(jìn)入新的歷史階段。牛頓N體問(wèn)題是天體力學(xué)的基本問(wèn)題之一，作為研究天體系統(tǒng)運(yùn)行的一種力學(xué)模型，對(duì)它的研究有助于人類對(duì)自然界中基本天文現(xiàn)象的理解和預(yù)測(cè)，如海王星的發(fā)現(xiàn)。中心構(gòu)型是天體力學(xué)上一個(gè)古老且重要的問(wèn)題，對(duì)中心構(gòu)型的研究在理解N體問(wèn)題的復(fù)雜性方面起著“中心”作用［1］，對(duì)人們解釋天體的運(yùn)行具有非常重要的意義，如天體的碰撞、膨脹、周期軌道以及同形運(yùn)動(dòng)等，有太空“停車位”之稱的著名的拉格朗日點(diǎn)就是中心構(gòu)型一個(gè)非常顯著的應(yīng)用。另外，中心構(gòu)型能生成牛頓運(yùn)動(dòng)方程的唯一顯式解，決定碰撞附近天體的行為以及影響積分流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等［2］。

1859年，Maxwell構(gòu)造土星環(huán)模型時(shí)，近似地把土星環(huán)看作是由等質(zhì)量且位于正n邊形的頂點(diǎn)上的n個(gè)無(wú)窮小天體（衛(wèi)星）組成，它們圍繞中心的土星做剛體旋轉(zhuǎn)。這是人們首次考慮限制1＋n體問(wèn)題的中心構(gòu)型，即關(guān)于一個(gè)大的天體以及n個(gè)無(wú)窮小天體（衛(wèi)星）的中心構(gòu)型問(wèn)題，對(duì)它的研究可用于解釋、預(yù)測(cè)及模擬小天體（衛(wèi)星）的運(yùn)行及相互影響等。

Moeckel［3］研究了n顆衛(wèi)星中心構(gòu)型及其線性穩(wěn)定性，并給出了一個(gè)判定準(zhǔn)則。Casasayas等［4］給出了n顆衛(wèi)星中心構(gòu)型模型的一個(gè)新的推導(dǎo)，并且在衛(wèi)星質(zhì)量相等的情況下證明了對(duì)于足夠多的衛(wèi)星只有唯一的構(gòu)型。Albouy等［6］證明了等質(zhì)量4衛(wèi)星中心構(gòu)型模型一定對(duì)稱。Oliveira［8］證明了若4顆衛(wèi)星中的某兩顆衛(wèi)星對(duì)徑，構(gòu)型一定是對(duì)稱的，且這兩顆衛(wèi)星不能相鄰，而另外兩顆衛(wèi)星質(zhì)量相等，同時(shí)還得到了構(gòu)型的個(gè)數(shù)。Deng等［10］研究了4衛(wèi)星對(duì)稱中心構(gòu)型。Chen等［11］研究了4衛(wèi)星的對(duì)徑中心構(gòu)型，發(fā)展和推廣了Oliveira的結(jié)果。古往今來(lái)，中心構(gòu)型以及限制1＋n體問(wèn)題的中心構(gòu)型引起了眾多專家和學(xué)者的關(guān)注，并得到了大量的建設(shè)性成果［12-20］。

1 n顆衛(wèi)星中心構(gòu)型模型

設(shè)無(wú)窮大天體位于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)上且質(zhì)量為1，n個(gè)無(wú)窮小天體（衛(wèi)星）位于qk處且質(zhì)量為mk＝εμk（k＝1，2，…n），其中μk＞0，ε＞0為趨于零的無(wú)窮小參數(shù)。對(duì)于平面n顆衛(wèi)星的所有中心構(gòu)型，衛(wèi)星都位于一個(gè)以無(wú)窮大天體為中心的共軌圓上。若以從原點(diǎn)到qi的半徑和原點(diǎn)到qi＋1的半徑之間的夾角θi作為坐標(biāo)（第n顆與第1顆之間形成的夾角記為θn），n顆衛(wèi)星的中心構(gòu)型模型（系統(tǒng)）為：

函數(shù)f（θ）的圖像及函數(shù)f′（θ）的圖像如圖1、圖2所示。

圖1 函數(shù)f（θ）的圖像Fig.1 Image of function f（θ）

圖2 函數(shù)f′（θ）的圖像Fig.2 Image of function f′（θ）

本文給出了等質(zhì)量對(duì)徑5衛(wèi)星中心構(gòu)型模型，即5顆衛(wèi)星質(zhì)量相等且位于以無(wú)窮大天體為圓心的共軌圓上，其中某兩顆衛(wèi)星位于該圓的一條直徑的兩端，即對(duì)徑。應(yīng)用部分對(duì)稱條件，得到對(duì)稱模型及其解的情況，再?gòu)奶厥獾揭话?，討論了模型的解?/p>

2 等質(zhì)量對(duì)徑5衛(wèi)星中心構(gòu)型模型

當(dāng)5顆衛(wèi)星的質(zhì)量相等時(shí)，模型（1）演化為：

下面分別針對(duì)相鄰衛(wèi)星對(duì)徑和相間衛(wèi)星對(duì)徑兩種情況研究模型（2）。

2.1 相鄰兩衛(wèi)星對(duì)徑

不失一般性，假設(shè)θ1＝π，θ2＋θ3＋θ4＋θ5＝π，如圖3所示。注意到f（π）＝0，f（π-θ）＝-f（π＋θ），f（2π-θ）＝-f（θ）以及θ5＝π-θ2-θ3-θ4，模型（2）轉(zhuǎn)化為：

圖3 相鄰兩衛(wèi)星對(duì)徑Fig.3 Consecutive satellites being diametrically opposite

2.1.1 對(duì)稱模型

由于該系統(tǒng)較復(fù)雜，首先考慮θ3＝θ4時(shí)的特殊情況，此時(shí)方程（6）變?yōu)閒（π＋θ2＋θ3）＋f（θ2＋θ3）＝0，根據(jù)f（θ）的性質(zhì)2f（π-θ）＝-f（π＋θ），有f［π-（θ2＋θ3）］＝f（θ2＋θ3）。令即可得，易求得，所以由于，因此而θ3＝θ4，所以θ5＝θ2，此時(shí)模型對(duì)稱。又由方程組式（3）-式（7）等價(jià)于以下方程組：

即g（θ）在內(nèi)只有唯一零點(diǎn)，且屬于

2.1.2 一般模型

因?yàn)樵诘荣|(zhì)量條件下，對(duì)稱模型是最有可能產(chǎn)生中心構(gòu)型的情況。而前面已經(jīng)證明了對(duì)稱情況不存在中心構(gòu)型，所以推測(cè)一般模型也不存在中心構(gòu)型，即方程組式（3）-式（7）也是無(wú)解的。由于模型的復(fù)雜性，理論分析較為困難，利用MATLAB編程解方程組式（3）-式（7），可得到當(dāng)3，4，5）時(shí)，方程組確實(shí)無(wú)解，也就是說(shuō)當(dāng)衛(wèi)星質(zhì)量相等時(shí)，不存在某相鄰兩衛(wèi)星對(duì)徑的中心構(gòu)型。

2.2 相間兩衛(wèi)星對(duì)徑

不失一般性，設(shè)θ1＋θ2＝π，θ3＋θ4＋θ5＝π，如圖4所示。注意到f（π）＝0，f（π-θ）＝-f（π＋θ），f（2π-θ）＝-f（θ）以及θ2＝π-θ1，θ5＝π-θ3-θ4，則模型（2）轉(zhuǎn)化為：

圖4 相間兩衛(wèi)星對(duì)徑Fig.4 Alternate satellites being diametrically opposite

這里模型（2）的第5個(gè)方程可由前4個(gè)方程得到，因此消去。因θ3＋θ4＋θ5＝π，所以θ3，θ5中至少有一個(gè)小于

2.2.1 對(duì)稱模型

又由式（9）和式（11）可得：f（θ3）-f（π-θ3）＝f（θ5）-f（π-θ5）。

令l（θ）＝f（θ）-f（π-θ），l′（θ）＝f′（θ）＋f′（π-θ），l″（θ）＝f″（θ）-f″（π-θ），由于f?（θ）＞0，?θ∈（0，2π），即f″（θ）在（0，2π）內(nèi)單調(diào)遞增。若，此時(shí)θ＜π-θ＜π，就有f″（θ）＜f″（π-θ），即l″（θ）＜0，所以l′（θ）在上單調(diào)遞減。而，即l′（θ）＞0，所以上單調(diào)遞增。由于，可得θ3＝θ5，即構(gòu)型是對(duì)稱的。此時(shí)，式（9）-式（12）等價(jià)于如下方程組：

所以m（θ）＝0在內(nèi)存在唯一解且屬于

2.2.2 一般模型

同樣，因?yàn)樵诘荣|(zhì)量條件下，對(duì)稱模型是最有可能產(chǎn)生中心構(gòu)型的情況。而上面已經(jīng)證明了對(duì)稱模型不存在中心構(gòu)型，所以可推測(cè)一般情況下也不存在中心構(gòu)型，即方程組式（9）-式（12）也是無(wú)解的。由于模型的復(fù)雜性，理論分析較為困難，利用MATLAB編程解方程組式（9）-式（12），可得到當(dāng)或時(shí)，系統(tǒng)確實(shí)無(wú)解，亦即當(dāng)5衛(wèi)星質(zhì)量相等時(shí)也不存在相間兩衛(wèi)星對(duì)徑的中心構(gòu)型。

3 結(jié)論

應(yīng)用對(duì)稱模型方法及計(jì)算機(jī)仿真建模，從特殊到一般，研究了等質(zhì)量對(duì)徑5衛(wèi)星中心構(gòu)型。證明了當(dāng)5顆衛(wèi)星質(zhì)量相等且其中某兩顆衛(wèi)星（無(wú)論相鄰還是相間）對(duì)徑時(shí)，中心構(gòu)型方程都無(wú)解，即不存在等質(zhì)量對(duì)徑5衛(wèi)星中心構(gòu)型。文中所用方法及所得結(jié)果，豐富了對(duì)限制1＋n體問(wèn)題中心構(gòu)型的認(rèn)識(shí)，為人們研究和探索衛(wèi)星及人造衛(wèi)星在空間的分布提供了有意義的理論依據(jù)。