變邊界下考慮起始水力坡降的軟土固結(jié)數(shù)值解

姚寶寬, 陳 余, 馮翠霞, 李傳勛

(1.江蘇省地質(zhì)局 第三地質(zhì)大隊(duì),江蘇 鎮(zhèn)江 212001; 2.江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013; 3.上海申元巖土工程有限公司,上海 200011)

0 引 言

一般求解地基固結(jié)問題(如經(jīng)典Terzaghi固結(jié)模型)時(shí),常將天然地基排水邊界視作理想化的完全透水或完全不透水邊界,但真實(shí)的土層邊界透水性大多數(shù)是介于完全透水與完全不透水之間的。基于以上認(rèn)識(shí),文獻(xiàn)[1]在已有的部分排水邊界基礎(chǔ)上考慮邊界透水性與時(shí)間的相關(guān)性,提出土層邊界透水性能隨時(shí)間指數(shù)變化的變排水邊界。相比于完全透水邊界、完全不透水邊界及部分透水邊界,變排水邊界更具有普遍適用性,且其可退化為完全透水邊界。當(dāng)邊界排水能力強(qiáng)(界面參數(shù)大)時(shí),排水邊界的超靜孔壓值可以近似看作0,即當(dāng)邊界相關(guān)參數(shù)滿足一定條件時(shí),變排水邊界的固結(jié)模型可視為完全透水邊界模型。

目前,對(duì)于變邊界下的土體一維固結(jié)理論,已有一些研究成果。文獻(xiàn)[2]建立變邊界下均質(zhì)地基單面排水固結(jié)模型,并分析變邊界下土體固結(jié)性狀;文獻(xiàn)[3]利用ABAQUS有限元對(duì)變邊界下的成層地基固結(jié)進(jìn)行計(jì)算,分析變邊界與傳統(tǒng)邊界間的差異;文獻(xiàn)[4]考慮土體的非線性壓縮與滲透特性,得到變邊界下土體一維非線性固結(jié)模型解析解,進(jìn)一步分析變邊界對(duì)非線性固結(jié)性狀的影響;文獻(xiàn)[5]給出單級(jí)等速加載下,考慮變邊界影響的土層一維固結(jié)模型解析解;文獻(xiàn)[6]考慮土體的流變特性對(duì)固結(jié)的影響,建立變邊界下土體的一維流變模型,并給出其對(duì)應(yīng)的解析解,分析不同因素下固結(jié)性狀的異同;文獻(xiàn)[7]采用分?jǐn)?shù)階Kelvin模型描述土體的流變特性,建立變邊界下飽和黏性土體一維分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性固結(jié)模型,并給出相應(yīng)解;文獻(xiàn)[8]在城市固廢一維降解固結(jié)模型中考慮變邊界的影響,獲得模型解析解,并分析不同邊界下城市固廢降解固結(jié)性狀的差別。

上述基于變邊界的固結(jié)理論分析均認(rèn)為Darcy定律能有效地描述土中滲流,但室內(nèi)試驗(yàn)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)均表明軟黏土中滲流會(huì)出現(xiàn)偏離Darcy定律的現(xiàn)象[9-14]。若低水力坡降下黏性土中的水滲流被完全忽略,則土中水的滲流規(guī)律可近似為文獻(xiàn)[14]中提出的具有起始水力坡降的滲流模型。黏性土中滲流存在的起始水力坡降勢(shì)必導(dǎo)致土體固結(jié)過程與Darcy定律下有所不同。文獻(xiàn)[15]給出了基于起始水力坡降的土體固結(jié)差分解和近似解,在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[16-23]分別在考慮起始水力坡降的土體非線性固結(jié)、大變形非線性固結(jié)、流變固結(jié)等方面取得進(jìn)展,這些研究表明,土中滲流存在的起始水力坡降對(duì)土體固結(jié)過程影響甚大,其對(duì)固結(jié)的影響不容忽視。

目前已有的軟土固結(jié)相關(guān)研究成果均認(rèn)為土層的排水邊界為完全排水邊界或完全不排水邊界,同時(shí)考慮隨時(shí)間變化的變邊界和起始水力坡降的固結(jié)理論研究報(bào)道很少,因此,研究變邊界下考慮起始水力坡降的固結(jié)問題具有一定的理論和實(shí)際意義。本文引入隨時(shí)間指數(shù)變化的變邊界及軟黏土中存在的起始水力坡降,建立單層均質(zhì)土體的一維固結(jié)模型;利用有限差分方法對(duì)該固結(jié)模型進(jìn)行數(shù)值求解,分別獲得土層超靜孔壓、土層固結(jié)度的數(shù)值解;最后,利用數(shù)值解深入分析變邊界及起始水力坡降對(duì)固結(jié)性狀的影響。

1 邊界條件分析及固結(jié)模型建立

1.1 控制方程

軟土地基一維固結(jié)模型如圖1所示。

圖1 軟土地基一維固結(jié)模型

無(wú)限均布荷載q0施加于均質(zhì)黏土層表面,黏土層厚度為H。考慮到起始水力坡降i0的存在,滲流模型[14]為:

(1)

其中:i為水力坡降;kv為黏土層的滲透系數(shù);v為黏土層中水的流速。除邊界條件和滲流模型外,采用與Terzaghi一維固結(jié)理論相同的基本假定,考慮起始水力坡降,得到軟土移動(dòng)邊界以上土體的一維固結(jié)控制方程[20]為:

(2)

其中:cv為土體的固結(jié)系數(shù);u為土中的超靜孔壓;t為固結(jié)時(shí)間;z為深度。

1.2 固結(jié)模型的定解條件

土層頂面是隨時(shí)間指數(shù)變化的變排水邊界,該變邊界處超靜孔壓為:

u(0,t)=q0e-b t

(3)

其中,b為界面排水系數(shù),其值反映土體的排水能力,可通過實(shí)驗(yàn)反演得到,其值越大,邊界排水性越好。

起始水力坡降致使排水固結(jié)過程中存在著滲流移動(dòng)邊界,土層底面是不透水邊界,若移動(dòng)邊界到達(dá)土層底面,則不透水邊界處孔壓為:

(4)

其中,γw為水的重度。若移動(dòng)邊界未到達(dá)土層底面,記t時(shí)刻移動(dòng)邊界到透水面的距離為h,則滲流鋒面即z=h處,u、i應(yīng)滿足的邊界條件為:

u(h,t)=q0

(5)

(6)

2 單面排水下模型數(shù)值解

2.1 控制方程無(wú)量綱化

(7)

固結(jié)模型邊界條件采用無(wú)量綱變量表示為:

(8)

2.2 差分方程的建立與求解

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

求解(13)式可得到第1時(shí)段的時(shí)間間隔T2。在此基礎(chǔ)上,可利用(9)～(12)式計(jì)算滲流前鋒以上土層中的超靜孔壓。

(14)

(15)

(16)

3 差分解的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文差分解的可靠性,將本文差分解與已有的特殊情況下解析解作對(duì)比分析。

3.1 與考慮i0的完全透水邊界對(duì)比

b的取值大小反映本文模型的邊界透水性能,b越大,土層排水面的透水能力越強(qiáng)。令b取無(wú)窮大值(B→∞),則變邊界可以退化為完全透水邊界。文獻(xiàn)[20]給出了完全透水邊界下考慮i0的軟土一維固結(jié)解析解。

取M=100,Δτ=10-5,B=105,利用本文差分解計(jì)算R為0.2、1.2時(shí)的移動(dòng)邊界及超靜孔壓隨時(shí)間變化的曲線,同時(shí)利用文獻(xiàn)[20]解析解進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果如圖2所示。

圖2 B=105時(shí)差分解與解析解的對(duì)比

從圖2可以看出,差分解與解析解非常接近,存在稍許偏差是由于差分解自身精度的影響,以及文獻(xiàn)[20]的解析解本身僅是近似解析解。

3.2 與Darcy定律下變排水邊界對(duì)比

考慮i0的滲流模型當(dāng)i0=0時(shí)即退化為Darcy滲流模型。令差分解中的i0趨近于0(R→0),將考慮i0的滲流模型計(jì)算結(jié)果與Darcy定律下變邊界的固結(jié)解析解進(jìn)行對(duì)比分析,進(jìn)一步驗(yàn)證本文差分解的可靠性。文獻(xiàn)[2]中Darcy滲流單面排水下變邊界的固結(jié)解析解與本文差分解對(duì)比如圖3所示。

圖3 i0=10-5時(shí)差分解與Darcy定律下解析解的超靜孔壓對(duì)比

從圖3可以看出,當(dāng)i0取值很小時(shí),本文考慮i0的差分解與Darcy定律下考慮變邊界的解析解結(jié)果一致,這進(jìn)一步說明了本文差分解的可靠性。

4 固結(jié)性狀分析

本文固結(jié)模型的主要影響因素為起始水力坡降和隨時(shí)間改變的排水邊界。

計(jì)算模型參數(shù)取值見表1所列。

表1 計(jì)算模型參數(shù)取值

下面重點(diǎn)討論考慮起始水力坡降與Darcy滲流下固結(jié)性狀之間的差異,以及變排水邊界下與完全透水邊界下固結(jié)性狀之間的差異,分析起始水力坡降、排水面透水性對(duì)固結(jié)性狀的影響。

4.1 R對(duì)固結(jié)性狀的影響

圖4 R對(duì)移動(dòng)邊界的影響

超靜孔壓隨時(shí)間和深度的消散曲線如圖5所示。從圖5a可以看出:Darcy定律下(R=0)軟土地基的超靜孔壓隨時(shí)間消散最快,且其最終能完全消散至0;但R≠0時(shí),土中超靜孔壓即使在固結(jié)完成后仍不會(huì)完全消散;隨著R取值增大,相同時(shí)刻的超靜孔壓也不斷增大,且固結(jié)完成時(shí)的超靜孔壓殘留值也不斷增大。從圖5b可以看出,相同深度處超靜孔壓隨著R值增大而增大,超靜孔壓的最終殘留值也不斷增大。

圖5 R對(duì)超靜孔壓消散的影響

不同R值下土層平均固結(jié)度Up與Tv的關(guān)系曲線如圖6所示。當(dāng)R=0時(shí)變排水邊界下Up最終能達(dá)到100%,且相同Tv下其Up最大。由于i0的存在,超靜孔壓不會(huì)完全消散,Up不能達(dá)到100%,但超靜孔壓達(dá)到穩(wěn)定值所需的時(shí)間隨R值增大而變短。

圖6 R對(duì)固結(jié)度的影響

4.2 B對(duì)固結(jié)性狀的影響

具有不同排水能力的變邊界下滲流前鋒隨時(shí)間的下移曲線如圖7所示。B值代表透水邊界透水能力隨時(shí)間的變化程度,在不同排水邊界下,移動(dòng)邊界隨時(shí)間的下移曲線各不相同,這說明邊界條件對(duì)超靜孔壓的消散過程影響較大,B越大,移動(dòng)邊界到達(dá)底部的時(shí)間越短。

圖7 B對(duì)移動(dòng)邊界的影響

關(guān)于移動(dòng)邊界的固結(jié)性狀,可從z/H=0.5處超靜孔壓隨時(shí)間消散過程進(jìn)一步得到驗(yàn)證。B對(duì)超靜孔壓消散的影響如圖8所示。

圖8 B對(duì)超靜孔壓消散的影響

從圖8a可以看出:z/H=0.5處的超靜孔壓開始消散的時(shí)間各不相同,B值越大,超靜孔壓開始消散的時(shí)間越短,且其消散曲線越接近完全透水邊界的消散曲線;相同時(shí)間下完全透水邊界下z/H=0.5處超靜孔壓最小,但由于具有相同的R值,該點(diǎn)處的最終超靜孔壓均到達(dá)相同值。

從圖8b可以看出：相同深度處完全透水邊界下超靜孔壓值最小;隨著B值減小,相同深度處的超靜孔壓值逐漸增大;B值越大,超靜孔壓沿深度分布曲線越接近于完全排水邊界下的分布曲線。

上述超靜孔壓消散的特征可進(jìn)一步在固結(jié)度曲線中得到驗(yàn)證。超靜孔壓消散速率越快,Up越大。

B對(duì)土層平均固結(jié)度Up的影響如圖9所示。從圖9可以看出,相同時(shí)間下B值越大,Up越大,越接近于完全透水邊界下的固結(jié)度曲線。這樣的固結(jié)性狀完全與超靜孔壓消散表現(xiàn)出的固結(jié)性狀一致。

圖9 B對(duì)土層平均固結(jié)度的影響

5 結(jié) 論

(1)本文給出同時(shí)考慮變排水邊界和起始水力坡降的軟土一維固結(jié)數(shù)值解,為實(shí)際考慮上述影響的軟土固結(jié)計(jì)算提供了可供參考的方法。

(2)考慮隨時(shí)間變化的變邊界與完全透水邊界相比,土層中的超靜孔壓消散速率和土層的固結(jié)速率均會(huì)明顯降低,邊界透水能力越強(qiáng),固結(jié)曲線越接近于完全透水邊界下的固結(jié)曲線。

(3)變邊界下起始水力坡降對(duì)固結(jié)性狀的影響與完全透水邊界相比,并未發(fā)生根本性改變,只是固結(jié)速率進(jìn)一步變緩。