隨鉆伽馬成像測井快速正演方法及數(shù)值模擬*

呂 偉，張 龍，宋殿光，馮思恒，周 俊

(1.四川天石和創(chuàng)科技有限公司 四川 成都 610091； 2.中石油川慶鉆探工程有限公司鉆采工程技術(shù)研究院 四川 廣漢 618300)

0 引 言

隨鉆地質(zhì)導(dǎo)向技術(shù)在當今水平井施工中，特別是在復(fù)雜油藏水平井施工中得到了廣泛的應(yīng)用，并在提高油層鉆遇率及采收率方面發(fā)揮著越來越重要的作用。該技術(shù)通過井下傳感器測量的地質(zhì)及工程參數(shù)實時識別地下構(gòu)造及屬性信息，不斷修正導(dǎo)向模型及井軌跡[1-3]，指導(dǎo)鉆頭順利中靶及最大限度地在目的層中鉆進。

隨鉆伽馬成像測井因其測量信息具有方位性，能實現(xiàn)沿井周的掃描成像，精細地描述地層構(gòu)造，在地質(zhì)導(dǎo)向作業(yè)中得到越來越多的應(yīng)用[4-6]。該類儀器能準確識別儀器與地層的位置關(guān)系，以及儀器相對地層界面的鉆進方向，并能有效識別儀器所鉆地層處的構(gòu)造及屬性信息，進而幫助地質(zhì)導(dǎo)向師及時修正地質(zhì)導(dǎo)向模型及調(diào)整井眼軌跡，提升油氣儲層鉆遇率。

為方便掌握隨鉆伽馬成像測井的響應(yīng)特征，提升該類儀器在地質(zhì)導(dǎo)向應(yīng)用中的效果，有必要對其在水平井中的響應(yīng)特征進行正演模擬。目前對伽馬測井響應(yīng)正演模擬多采用蒙特卡羅方法[7-8]，但該方法計算量大，速度慢，尤其是模擬伽馬成像測井，需要的計算量更大，無法滿足地質(zhì)導(dǎo)向作業(yè)的實時性要求。為實現(xiàn)快速正演計算，前人在正演模型簡化方面做了很多工作，如通過將探測區(qū)域簡化成圓形[9]、球形[10]或錐形體[11-13]等，實現(xiàn)自然伽馬和方位伽馬測井的快速正演計算，但少見有伽馬成像測井快速正演計算方面的工作。本文在前人研究基礎(chǔ)上，開發(fā)了一種伽馬成像測井快速正演計算方法，并通過對幾種典型模型的數(shù)值模擬，分析了伽馬成像測井響應(yīng)的特征規(guī)律。

1 快速正演方法

1.1 地層模型簡化

通常情況下，局部地層為多層水平層狀結(jié)構(gòu)，由于伽馬儀器的探測深度有限，可將多層地層模型簡化成三層地層，即儀器所在層以及上下圍巖，如圖1所示。

圖1 三層地層模型

1.2 正演模型

伽馬成像正演模型如圖2所示。將探測器的探測范圍定義為錐形體范圍，根據(jù)地層界面與探測區(qū)域的相交關(guān)系，可得到圍巖與目的層各自對探測器響應(yīng)的貢獻，將兩者的貢獻合成后，即得到探測器的總響應(yīng)。

圖2 成像正演模型

圖中方位1和方位4分別對應(yīng)儀器的0°和180°方位，即正上方和正下方所對應(yīng)的方位，方位2和方位3對應(yīng)的方位分別為θ2和θ3，θ2和θ3這兩個方位之間的伽馬響應(yīng)均為純目的層響應(yīng)。分別得到這4個位置的響應(yīng)后，再通過插值計算，可得到0°到180°之間所有方位的響應(yīng)值。很明顯，180°到360°和0°到180°之間的方位響應(yīng)是對稱的，因此，只需求取0°到180°的方位響應(yīng)即可。圖2給出的是探測區(qū)域與上下圍巖都相交的情況，當只與一個圍巖相交時，做對應(yīng)簡化即可。

1.3 正演算法

圖2中所示的4個方位中，方位2和3為純目的層的伽馬響應(yīng)，方位1和4的計算方法相同。因此，下面僅給出方位1的響應(yīng)計算方法。

方位1處的錐形探測區(qū)域與地層相交可以分兩種情況考慮，如圖3所示。

圖3 錐形探測區(qū)域與地層相交情況

當探測器探測范圍內(nèi)不受鄰層影響時，距探測器距離為r的體單元產(chǎn)生的伽馬通量密度可表示為[14]

(1)

式(1)中：J為探測器處的伽馬通量密度，單位為伽馬光子數(shù)/(s·cm2)；a為放射性物質(zhì)伽馬射線的放射性強度，單位為伽馬光子數(shù)/(g ·s)；q為巖石中放射性物質(zhì)含量，單位為g/g；ρ為地層密度，單位為 g/cm3；μ為地層對伽馬射線的吸收系數(shù)，單位為1/cm。利用式(1)對半徑為r0的半球體進行積分，得到半徑為r0、錐角為θ0的均勻錐形區(qū)域?qū)μ綔y器產(chǎn)生的伽馬通量為:

(2)

對于圖3中左圖所示的相交情況，將錐形體分成A、B、C三部分，各部分的伽馬通量可通過下面積分得到:

(3)

(4)

則方位1處的總伽馬通量表達式為J1=JA+JB+C。上述公式中，d0為探測器到邊界的距離，r0為儀器的探測半徑，θ0為錐形體的錐角，在公式推導(dǎo)中用到了金格函數(shù)Φ(x)[15]

(5)

對于圖3中右圖所示的相交情況，將錐形體分成D、E、F三部分，各部分的伽馬通量可通過下面積分得到

(6)

(7)

(8)

則方位1處的總伽馬通量表達式為

J1=JD+JE+JF

利用上面伽馬通量表達式，考慮不同地層與錐形體相交情況，圖2所示4個方位的伽馬探測器響應(yīng)表達式可寫成如下形式：

1)只與上圍巖界面相交

(9)

2)只與下圍巖界面相交

(10)

3)與上下圍巖界面均相交

(11)

得到GR(1)～GR(4)后，選擇正弦函數(shù)作為擬合函數(shù)，對GR(1)～GR(2)之間和GR(3)～GR(4)之間的方位進行插值，進而得到0°到180°之間方位的伽馬值。各方位處的伽馬響應(yīng)值擬合公式為：

(12)

2 數(shù)值模擬

2.1 參數(shù)的工程簡化

2.2 數(shù)值模擬

參考文獻[17]中通過蒙特卡羅方法模擬得出的伽馬探測半徑在0.15～0.2 m的結(jié)論，本文模擬中選定伽馬探測半徑為0.2 m，錐形體的錐角大小則參考文獻[13]，選定為90°。

首先考察儀器鉆進軌跡朝一個方向穿過目的層時的情況，設(shè)定目的層厚為0.4 m，上下圍巖放射性參數(shù)為100 API，中間目的層放射性參數(shù)為20 API，軌跡從上向下接近于水平穿過目的層的模型及成像結(jié)果如圖4所示。

圖4 儀器從上向下穿過地層成像圖

圖4下方為模型，上方為按水平位移展示的成像圖。從成像結(jié)果可以看出，隨著軌跡從上向下穿過地層，順著圖像出現(xiàn)的順序觀察，將0°方位附近區(qū)域比作人的嘴角位置，則地層界面附近圖像呈現(xiàn)出嘴角向下，類似于哭臉的形態(tài)，且該形態(tài)與界面兩側(cè)地層放射性高低無關(guān)，只與穿過界面的方向有關(guān)，但通過觀察該圖像顏色沿井軌跡的變化趨勢，如顏色是從紅色變化到藍色，還是從藍色變化到紅色，可以判斷出穿過的界面兩側(cè)的地層放射性高低。

保持地層模型參數(shù)不變，將圖4中井軌跡改為從下向上反向穿過地層，成像圖的形態(tài)應(yīng)該與圖4剛好呈水平左右鏡像形態(tài)(這里不再重復(fù)展示)，則軌跡穿過界面時圖像應(yīng)該呈嘴角上揚，即類似于笑臉的形態(tài)。由此可見，根據(jù)軌跡穿過界面時圖像呈現(xiàn)出笑臉還是哭臉形態(tài)，以及顏色的變化趨勢，可以判斷出儀器是從上向下還是從下向上穿過界面，以及界面兩側(cè)的地層放射性高低。

將層厚增大到2 m，其余地層模型參數(shù)不變，考察軌跡從上圍巖進入目的層后，分別沿靠近目的層上邊界和下邊界水平鉆進一段距離后，再返回上圍巖的情況，模型及成像圖如圖5和圖6所示。

圖5 軌跡從上圍巖進入目的層后靠近上界面穿行再返回上圍巖成像圖

圖6 軌跡從上圍巖進入目的層后靠近下界面穿行再返回上圍巖成像圖

觀察圖5，當軌跡向下進入目的層時，在界面處呈現(xiàn)出哭臉的形態(tài)，隨后靠近上界面穿行，此時方位0°附近的響應(yīng)受上圍巖和目的層的共同影響，因此響應(yīng)值介于兩者之間，由于探測深度所限，方位180°附近的響應(yīng)僅受目的層單一影響，因此響應(yīng)值等于目的層實際值，當軌跡穿過上界面再回到上圍巖時，界面處呈現(xiàn)出笑臉形態(tài)。整幅圖像看起來就像是一只閉著的眼睛。

對比觀察圖6，兩者的不同在于軌跡進入目的層后靠近下界面穿行。由于目的層厚度遠大于儀器探測深度，則在軌跡位置處于目的層中部區(qū)域時，所有方位的響應(yīng)值均只受目的層單一影響，當靠近下邊界后水平鉆進時，方位0°和方位180°附近的響應(yīng)值與圖5中靠近上界面穿行時的恰好相反，顏色對調(diào)，其余部分的圖像均與圖5相同，這樣在目的層內(nèi)呈現(xiàn)出與目的層實際值對應(yīng)的顏色區(qū)域?qū)⒎轿?80°附近的響應(yīng)值對應(yīng)的顏色區(qū)域包裹起來的形態(tài)，整幅圖像看起來就像是一只睜著的眼睛。

保持地層模型參數(shù)不變，考察儀器從下圍巖進入目的層后，分別沿靠近目的層上邊界和下邊界水平鉆進一段距離后，再返回下圍巖的情況，模型及成像圖如圖7和圖8所示。

圖7 軌跡從下圍巖進入目的層后靠近下界面穿行再返回下圍巖成像圖

圖8 軌跡從下圍巖進入目的層后靠近上界面穿行再返回下圍巖成像圖

觀察圖7，當軌跡向上進入目的層時，在層界面處呈現(xiàn)出笑臉的形態(tài)，隨后靠近下界面穿行，方位0°附近的響應(yīng)等于目的層實際值，方位180°附近的響應(yīng)受下圍巖和目的層共同影響，則在目的層內(nèi)呈現(xiàn)出與目的層實際值對應(yīng)的顏色區(qū)域?qū)⒎轿?80°附近響應(yīng)值對應(yīng)的顏色區(qū)域夾在中間的形態(tài)，軌跡向下返回下圍巖時，層界面處呈現(xiàn)出哭臉的形態(tài)。

對比觀察圖8，在層界面處圖像的形態(tài)與圖7相同，在目的層內(nèi)圖像的形態(tài)為圖5和圖6的結(jié)合，呈現(xiàn)出與目的層實際值對應(yīng)的顏色區(qū)域?qū)⒎轿?°附近響應(yīng)值對應(yīng)的顏色區(qū)域一分為二的形態(tài)。

3 結(jié) 論

本文在自然伽馬測量理論的基礎(chǔ)上，根據(jù)伽馬成像測量的原理特點，建立了伽馬成像正演模型。該模型確定了4個關(guān)鍵方位，每個方位處的伽馬響應(yīng)均通過對錐形體進行積分得到。利用得到的4個方位處的伽馬響應(yīng)值，選擇正弦函數(shù)作為插值函數(shù)，對其余方位處的伽馬值進行插值，最終得到所有方位處的伽馬值。該方法只需對解析公式進行編程計算，具有實時性的優(yōu)點，方便與地質(zhì)導(dǎo)向作業(yè)相結(jié)合。利用本算法對地質(zhì)導(dǎo)向作業(yè)中常見的幾種正演模型進行了模擬，通過對模擬結(jié)果的分析，發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

1)順著圖像出現(xiàn)的順序觀察，當井軌跡從上向下穿過層界面時，在界面附近呈現(xiàn)出類似哭臉的形態(tài)；軌跡從下向上穿過界面時，則呈現(xiàn)出笑臉的形態(tài)，且該形態(tài)與界面兩側(cè)的地層放射性高低無關(guān)，但通過觀察顏色的變化趨勢，可以判斷界面兩側(cè)地層的放射性高低。

2)在軌跡穿過上界面向下鉆進目的層后，再從目的層向上穿出上界面情況下，當目的層中軌跡靠近上界面穿行且儀器探測不到下界面時，整幅圖像看起來就像是一只閉著的眼睛；當目的層中軌跡靠近下界面穿行且儀器探測不到上界面時，整幅圖像看起來就像是一只睜著的眼睛。

3)在軌跡穿過下界面向上鉆進目的層后，再從目的層向下穿出下界面情況下，當目的層中軌跡靠近下界面穿行且儀器探測不到上界面時，在目的層內(nèi)呈現(xiàn)出與目的層實際值對應(yīng)的顏色區(qū)域?qū)⒎轿?80°附近響應(yīng)值對應(yīng)的顏色區(qū)域夾在中間的形態(tài)；當目的層中軌跡靠近上界面穿行且儀器探測不到下界面時，在目的層內(nèi)呈現(xiàn)出與目的層實際值對應(yīng)的顏色區(qū)域?qū)⒎轿?°附近響應(yīng)值對應(yīng)的顏色區(qū)域一分為二的形態(tài)。

這些規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，使我們對伽馬成像的響應(yīng)特點有了更深入的理解和認識，為實現(xiàn)更好的地質(zhì)導(dǎo)向應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。