基于f-x域時(shí)頻非凸正則化低秩矩陣近似的共偏移距道集去噪方法

石戰(zhàn)戰(zhàn)，龐溯，王元君，池躍龍，周強(qiáng)

(1.樂(lè)山師范學(xué)院 人工智能學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000；2.成都理工大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000；3.成都理工大學(xué) 地球物理學(xué)院，四川 成都 610059；4.西華師范大學(xué) 國(guó)土資源學(xué)院，四川 南充 637002)

0 引言

地震信號(hào)不可避免受噪聲干擾[1-3],有效衰減地震噪聲能夠?yàn)楹罄m(xù)處理流程提供高保真疊前道集，能夠提高速度分析、偏移和反演等處理環(huán)節(jié)的準(zhǔn)確度。地震噪聲包括隨機(jī)噪聲和相干噪聲2類，不同類型地震噪聲具有不同的傳播規(guī)律和分布特征，需要采用不同的方法或算法進(jìn)行壓制[4]。其中,隨機(jī)噪聲表現(xiàn)為隨時(shí)間變化的高頻隨機(jī)震蕩，會(huì)降低地震信號(hào)的分辨率和同相軸的連續(xù)性[5]。

隨機(jī)噪聲壓制是地震信號(hào)處理的常規(guī)環(huán)節(jié)之一，雖然業(yè)內(nèi)已經(jīng)提出了眾多的去噪算法，但同時(shí)實(shí)現(xiàn)最大程度壓制隨機(jī)噪聲和最小程度損害有效信號(hào)依然是地球物理學(xué)界的一個(gè)開(kāi)放問(wèn)題[4]。已有的隨機(jī)噪聲壓制算法可以歸納為5類：①預(yù)測(cè)濾波算法，利用了信號(hào)空間方向具有可預(yù)測(cè)性，主要包括f-x域反褶積[6]、f-xEMD預(yù)測(cè)濾波[7]、t-x域預(yù)測(cè)濾波[8]等方法。這類算法的優(yōu)點(diǎn)是同時(shí)處理多道信號(hào)，能夠有效利用信號(hào)的道間相干性，有效壓制隨機(jī)噪聲，缺點(diǎn)是容易損害有效信號(hào)，尤其是陡傾同相軸。②基于信號(hào)分解的去噪算法，將含噪聲信號(hào)分解為不同分量，舍棄噪聲能量占主導(dǎo)的分量實(shí)現(xiàn)噪聲壓制；常用的分解算法主要有經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition, EMD)[7,9-10]和變分模態(tài)分解(variational mode decomposition,VMD)[11]2類。③基于稀疏變換的去噪算法，基于地震信號(hào)可以在變換域中被壓縮表示，有效信號(hào)表現(xiàn)為高幅度系數(shù)，而隨機(jī)噪聲為低幅度系數(shù)，采用閾值函數(shù)就能實(shí)現(xiàn)噪聲衰減；常用的變換算法包括Fourier和短時(shí)Fourier變換[12]、S和廣義S變換[13]、wavelet變換[14]、curvelet變換[15]和稀疏表示[16]等。④基于低秩方法的去噪算法，這類方法對(duì)地震信號(hào)作時(shí)頻分析或Hankel變換后，假設(shè)純凈完整的地震數(shù)據(jù)具有低秩特征，而混疊噪聲和缺失地震道會(huì)使數(shù)據(jù)的秩增加;主要包括矩陣低秩方法[4,12,17]和高維張量低秩去噪[18-19]2類,其缺點(diǎn)是矩陣低秩方法本質(zhì)是單道去噪不能有效利用信號(hào)的道間相干性，而高維去噪算法計(jì)算復(fù)雜度過(guò)高。⑤基于深度學(xué)習(xí)的去噪方法，利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(convolutional neural network, CNN)[20-23]、自編程機(jī)(Autoencoders)[24]或生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)(generative adversarial networks, GAN)[25]等網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)噪聲壓制,但深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)依賴大量帶標(biāo)簽的訓(xùn)練樣本，限制了深度學(xué)習(xí)去噪算法的廣泛應(yīng)用。

結(jié)合多類方法構(gòu)造合成去噪算法是近年來(lái)隨機(jī)噪聲壓制領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究方向，尤其是稀疏變換與f-x域算法和低秩、降秩算法的結(jié)合，其目的是結(jié)合2類算法的優(yōu)勢(shì)，克服各自算法缺陷或假設(shè)條件。合成去噪算法主要包括：①結(jié)合f-x域算法與信號(hào)稀疏變換，如混合時(shí)頻分析技術(shù)[13]能夠同時(shí)壓制隨機(jī)噪聲和陡傾相干噪聲；②結(jié)合f-x域算法與信號(hào)分解算法,如f-xEMD[9]、f-xVMD[11]和f-xEMD預(yù)測(cè)濾波[7]克服了f-x域算法的平穩(wěn)信號(hào)假設(shè)條件；③結(jié)合f-x域算法與低秩算法，如Hankel低秩近似[26]能夠有效利用地震信號(hào)的f-x域特征，提高算法去噪能力；④結(jié)合信號(hào)分解和低秩算法，如經(jīng)驗(yàn)低秩近似算法[27]通過(guò)EMD將地震信號(hào)分解為若干低秩分量，避免了低秩近似算法的小分析窗要求；⑤結(jié)合稀疏分解和低秩算法，如地震信號(hào)的時(shí)頻譜具有低秩特征，時(shí)頻域低秩矩陣近似[4,12,17]能夠結(jié)合時(shí)頻分析和低秩矩陣近似2種算法優(yōu)勢(shì)，提高去噪能力。

低秩矩陣算法主要包括低秩稀疏分解(low-rank and sparse decomposition)和低秩近似(low-rank matrix approximation)。其中，低秩矩陣近似一般采用核范數(shù)正則化項(xiàng)，利用奇異值閾值(singular value thresholding, SVT)實(shí)現(xiàn)快速求解[28]。但SVT不能準(zhǔn)確估算矩陣的非零奇異值，而采用非凸正則項(xiàng)能夠提高奇異值估算的準(zhǔn)確性[29-31]。常用的非凸懲罰函數(shù)包括加權(quán)核范數(shù)[32]、Transformed Schatten-1[33]和p范數(shù)[31]3種。引入非凸正則化的缺點(diǎn)是低秩矩陣近似問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)榉峭购瘮?shù)，難以優(yōu)化，且受局部最小值干擾。Ankit和Selesnick[29]提出合理構(gòu)造非凸正則項(xiàng)，同時(shí)保證目標(biāo)函數(shù)為嚴(yán)格的凸函數(shù)。

共偏移距道集具有平緩(甚至近似水平)的同相軸結(jié)構(gòu)，滿足f-x域去噪線性同相軸假設(shè)前提。結(jié)合f-x域去噪、時(shí)頻分析和非凸正則化低秩矩陣近似這3種算法的優(yōu)勢(shì)，提出基于f-x域時(shí)頻低秩矩陣近似的共偏移距道集去噪方法。該方法能夠同時(shí)克服f-x域去噪的平穩(wěn)信號(hào)假設(shè)和時(shí)頻域稀疏低秩去噪算法難以利用信號(hào)的道間相干性這2種缺陷，同時(shí)利用多元回歸理論對(duì)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行估計(jì)，估算出最佳的奇異值閾值。通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)際地震資料試算驗(yàn)證，所提方法能夠有效壓制地震隨機(jī)噪聲，同時(shí)保持有效信號(hào)不受損害。

1 方法原理

1.1 共偏移距道集f-x域去噪

假設(shè)地震數(shù)據(jù)中混疊隨機(jī)噪聲，將有效信號(hào)和隨機(jī)噪聲分別記為s(t,x)和n(x,t)，則疊前地震道集可表示為

y(t,x)=s(t,x)+n(t,x),

(1)

式中:t和x分別表示時(shí)間坐標(biāo)和偏移距。進(jìn)一步假設(shè)地震信號(hào)由單個(gè)線性同相軸構(gòu)成：

y(t,x)=w(t-x/V)+n(t,x) ,

(2)

式中：w(t)為地震子波，V為速度。對(duì)式(2)等號(hào)兩端作Fourier變換，并利用Fourier變換的線性性質(zhì)可以得到：

Y(f,x)=W(f)eiωx/V+N(f,x) ,

(3)

由式(1)～(3)可知，t-x域線性同相軸映射為f-x域中的復(fù)諧波，且t-x域中地震信號(hào)為有效信號(hào)s和隨機(jī)噪聲n的疊加，這種加性關(guān)系在f-x域仍然成立。因此，對(duì)于t-x域中單一線性同相軸模型，f-x域中有效信號(hào)表現(xiàn)為規(guī)則諧波震蕩，而隨機(jī)噪聲則被映射為高波數(shù)隨機(jī)震蕩。通過(guò)將信號(hào)變換到f-x域，能夠增加信號(hào)和噪聲的分布差異。類似地，當(dāng)?shù)卣鹦盘?hào)由p個(gè)線性同相軸組成時(shí)，由Fourier變換的線性性質(zhì)可知，f-x域中地震信號(hào)表現(xiàn)為p個(gè)諧波的疊加，因此，對(duì)每一單頻分量做濾波處理就能夠分離地震噪聲。

傳統(tǒng)的f-x域去噪處理共炮點(diǎn)道集或共中心點(diǎn)(common mid-point, CMP)道集，而這2種道集中反射波為雙曲線同相軸，直達(dá)波、折射波和面波為傾斜同相軸，傾角各不相同，且面波存在頻散特征。因此，共炮點(diǎn)道集和CMP道集均不滿足f-x域去噪假設(shè)前提，直接采用f-x域去噪會(huì)損害傾斜(尤其是陡傾)同相軸。而共偏移距道集具有平緩甚至接近水平的同相軸結(jié)構(gòu)，基本滿足f-x域去噪的線性同相軸假設(shè)前提。因此，在共偏移距道集中執(zhí)行f-x域去噪，其去噪能力和有效信號(hào)保持能力必然會(huì)提高。

1.2 f-x域時(shí)頻低秩矩陣近似去噪方法

上述推導(dǎo)過(guò)程建立在固定子波和線性同相軸基礎(chǔ)上，假設(shè)地震信號(hào)為穩(wěn)定信號(hào)。但實(shí)際介質(zhì)為非均勻各向異性粘彈性介質(zhì)，地震子波隨能量傳播而變化，因而，地震信號(hào)不能被視為平穩(wěn)信號(hào)，要求引入非平穩(wěn)信號(hào)分析方法處理每一單頻分量。

時(shí)頻分析能夠從時(shí)間和頻率2個(gè)維度對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的變化特征進(jìn)行度量。常用的時(shí)頻分析方法主要有短時(shí)Fourier變換、廣義S變換、wavelet變換和Wigner-Ville分布等。其中，Wigner-Ville分布為chen類分布，雖具有高時(shí)頻分辨率的優(yōu)點(diǎn)，但受交叉項(xiàng)干擾，在地震信號(hào)分析處理領(lǐng)域應(yīng)用較少。短時(shí)Fourier變換、廣義S變換和wavelet變換為線性時(shí)頻分析方法，受測(cè)不準(zhǔn)原理制約，不能同時(shí)實(shí)現(xiàn)最佳的時(shí)間分辨率和頻率分辨率，但這類方法不受交叉項(xiàng)干擾，并且具有較高的計(jì)算效率，在地球物理學(xué)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。其中尤以廣義S變換同時(shí)兼具較好的時(shí)頻分辨率，且可以借助快速Fourier變換高效實(shí)現(xiàn)，本研究中將其用于分解f-x域中的每一單頻分量。

由于f-x域中地震信號(hào)為諧波的疊加，因此，記f-x域中某一單頻分量為Y(f0,x)，當(dāng)Y(f0,x)不受噪聲干擾時(shí)，其廣義S變換系數(shù)矩陣具有稀疏低秩特征，而當(dāng)Y(f0,x)受隨機(jī)噪聲干擾時(shí)，隨機(jī)噪聲會(huì)使廣義S變換系數(shù)矩陣的秩增加。因此，求解廣義S變換系數(shù)矩陣的低秩近似矩陣就能實(shí)現(xiàn)隨機(jī)噪聲分離。

f-x域時(shí)頻低秩矩陣近似去噪方法的計(jì)算流程為：①由共炮點(diǎn)道集或CMP道集抽取共偏移距道集；②逐道作Fourier變換，將共偏移距道集變換到f-x域；③對(duì)f-x域中每一單頻分量Y(f0,x)作廣義S變換；④對(duì)廣義S變換系數(shù)矩陣作低秩矩陣近似，分離隨機(jī)噪聲；⑤作逆廣義S變換重構(gòu)純凈單頻分量Y*(f0,x)；⑥逐道作逆Fourier變換，將共偏移距道集變換到t-x域。步驟③對(duì)f-x域中每一單頻分量的廣義S變換系數(shù)矩陣作低秩矩陣近似計(jì)算，能夠利用前述SVT優(yōu)化求解，無(wú)需將地震數(shù)據(jù)變換到高維空間，可提高去噪算法的計(jì)算效率。

1.3 非凸正則化低秩矩陣近似

低秩矩陣近似的目的是從含噪聲矩陣Y中估計(jì)純凈的低秩矩陣X:

Y=X+N, (X,Y,N∈Rm×n)

(4)

式中:N為噪聲矩陣，R為實(shí)數(shù)集，m和n分別為矩陣的行、列數(shù)。低秩矩陣近似是一個(gè)欠定的逆問(wèn)題，需要引入正則化項(xiàng)φ(·)對(duì)解空間進(jìn)行約束：

(5)

當(dāng)φ(x)=|x|時(shí)，式(5)為標(biāo)準(zhǔn)的核范數(shù)最小化問(wèn)題，可以通過(guò)SVT優(yōu)化求解。如前所述，標(biāo)準(zhǔn)核范數(shù)最小化問(wèn)題不能準(zhǔn)確估算非零奇異值。一種有效策略是適當(dāng)選擇非凸正則化項(xiàng)φ(·)，同時(shí)保證目標(biāo)函數(shù)Ψ(X)為嚴(yán)格凸函數(shù)。所選非凸正則化項(xiàng)φ(·)應(yīng)滿足文獻(xiàn)[29]中Assumption 1，其中一種常用的形式為

(6)

φ(·)的臨近算子(proximal operator)定義為

(7)

當(dāng)按照式(6)、式(7)取值時(shí)，最優(yōu)化問(wèn)題(式(5))存在唯一的全局最優(yōu)解：

(8)

式中：Y=UΣVT為Y的奇異值分解(singular value decomposition, SVD);a取0≤a<1/λ。

1.4 噪聲估計(jì)和最佳奇異值閾值

噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ可以通過(guò)多元回歸理論(multiple regression theory)進(jìn)行估計(jì)。定義yi=[Y]:,i([Y]:,i為Y的第i列)和Y?i=[y1,…,yi-1,yi,yi+1,…,yn]。假定yi可以由Y其余各列的線性組合表示：

yi=Y?iβi+ξi,

(9)

式中:ξi為誤差項(xiàng)。對(duì)每一個(gè)i∈{1,…,m}，回歸向量βi的最小二乘估計(jì)可以表示為

(10)

估算噪聲為

(11)

2 數(shù)值模擬

2.1 核范數(shù)正則化與非凸正則化對(duì)比

通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)比核范數(shù)正則化與非凸正則化。實(shí)驗(yàn)首先生成2個(gè)零均值單位方差的Gaussian獨(dú)立同分布(i.i.d.Gaussian distribution)隨機(jī)矩陣L100×10和R10×100，然后生成低秩矩陣Y0=LRT。向Y0中混入σ=6的隨機(jī)噪聲，對(duì)比傳統(tǒng)低秩矩陣近似(采用核范數(shù)正則化)和非凸正則化低秩矩陣近似(采用非凸正則化函數(shù))計(jì)算奇異值(圖1)。圖1中綠色點(diǎn)劃線和黑色虛線分別表示純凈低秩矩陣和噪聲矩陣的奇異值，可見(jiàn)當(dāng)矩陣混疊隨機(jī)噪聲后其秩必然增加;圖中藍(lán)色虛線和紅色實(shí)線分別為核范數(shù)正則化和非凸正則化低秩矩陣近似2種算法估算的奇異值，對(duì)比可見(jiàn)非凸正則化算法估算的奇異值與真實(shí)奇異值更為接近，估計(jì)出矩陣的秩與真實(shí)值相同。

圖1 核范數(shù)正則化與非凸正則化對(duì)比分析

2.2 地質(zhì)模型與地震正演

為了驗(yàn)證所提基于f-x域時(shí)頻非凸正則化低秩矩陣近似的共偏移距道集去噪方法的有效性，建立如圖2a所示的5層地質(zhì)模型,地層速度分別為2 000、2 300、2 600、2 900和3 200 m/s，地層埋深分別為200、500、800和1 100 m。實(shí)驗(yàn)采用中間放炮、雙邊接收觀測(cè)系統(tǒng)模擬地震采集，道間距和炮間距均為50 m，每炮48道接收，共激發(fā)48炮。圖2b、c分別為第1炮正演共炮點(diǎn)道集和加噪炮集。為了增加實(shí)驗(yàn)難度，逐道加入不同幅度的隨機(jī)噪聲，含噪聲地震道信噪比在1～10 dB范圍隨機(jī)變化。共炮點(diǎn)道集中反射波均為雙曲線型同相軸，不同深度反射波傾角各不相同，因此，共炮點(diǎn)道集不能視為由線性同相軸疊加而成，不滿足f-x域去噪假設(shè)前提。圖2d為偏移距為50 m的共偏移距道集，道集中各地層反射波均為水平同相軸，滿足f-x域去噪假設(shè)前提。因此，在共偏移距道集中執(zhí)行f-x域去噪，其結(jié)果的精度必然提高。

圖2 地質(zhì)模型及其正演數(shù)據(jù)

2.3 共偏移距道集去噪算法對(duì)比

圖3所示為地震道集抽取共偏移距道集，在共偏移距道集中試算f-x域時(shí)頻非凸正則化低秩矩陣近似、時(shí)頻域低秩矩陣近似和f-x域反褶積3種算法。f-x域時(shí)頻非凸正則化低秩矩陣近似采用1.2節(jié)所述算法流程，去噪結(jié)果和濾波殘差分別如圖3a、b所示。與圖2d所示的含噪共偏移距道集對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，處理后隨機(jī)噪聲得到壓制，剖面信噪比提高，無(wú)明顯殘留隨機(jī)噪聲(圖3a)，殘差剖面符合隨機(jī)噪聲分布規(guī)律，無(wú)連續(xù)同相軸泄露(圖3b)，說(shuō)明f-x域時(shí)頻非凸正則化低秩矩陣近似算法兼具良好的去噪能力和有效信號(hào)保持能力。圖3c、d分別為時(shí)頻域低秩矩陣近似算法去噪結(jié)果和濾波殘差，該算法逐道處理各道地震數(shù)據(jù)，對(duì)單一地震道作廣義S換后，再對(duì)時(shí)頻譜做低秩矩陣近似計(jì)算?？梢钥闯?，處理后部分地震道殘留隨機(jī)噪聲(如圖3c中箭頭所示)，殘差剖面存在連續(xù)同相軸(如圖3d中箭頭所示)，說(shuō)明單道算法不能有效利用信號(hào)的道間相干性，去噪能力和有效信號(hào)保持能力有限。圖3e、f分別為f-x域反褶積去噪結(jié)果和濾波殘差，共偏移距道集滿足f-x域去噪的線性同相軸假設(shè)條件，該域中計(jì)算f-x域反褶積能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)壓制隨機(jī)噪聲和保持有效信號(hào)不被損害，殘差剖面上無(wú)殘留連續(xù)同相軸(圖3f)，但該算法去噪不徹底，處理結(jié)果中仍殘留小幅度隨機(jī)噪聲(圖3e)。通過(guò)對(duì)比可知，所提出的f-x域時(shí)頻非凸正則化低秩矩陣近似具有明顯優(yōu)勢(shì)。

圖3 共偏移距道集去噪算法對(duì)比

抽取圖3所示去噪結(jié)果的第4道地震數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析(圖4)?？梢钥闯觯篺-x域時(shí)頻非凸正則化低秩矩陣近似具有較好的保幅去噪能力，處理結(jié)果無(wú)明顯殘留噪聲(圖4c)，殘差剖面無(wú)有效信號(hào)泄露(圖4d)；時(shí)頻域低秩矩陣近似去噪算法會(huì)損害有效信號(hào)，圖4e中箭頭所示反射波幅度低于真實(shí)幅度(圖4a)，殘差剖面泄露有效信號(hào)(圖4f中箭頭所示)；f-x域反褶積壓制隨機(jī)噪聲能力有限，處理后仍殘留較大幅度隨機(jī)噪聲(圖4g)。為了定量對(duì)比3種算法的有效性，計(jì)算了3種算法去噪結(jié)果的相對(duì)誤差，分別為11.697%、37.418%和21.913%，進(jìn)一步說(shuō)明了本文算法具有明顯優(yōu)勢(shì)。

圖4 單道對(duì)比3種共偏移距道集去噪算法

2.4 共偏移距道集和共炮點(diǎn)道集處理結(jié)果對(duì)比

將圖3a所示共偏移距道集f-x域時(shí)頻非凸正則化低秩矩陣近似算法處理結(jié)果反變換回共炮點(diǎn)道集。在共炮點(diǎn)道集對(duì)比共偏移距道集算法處理結(jié)果和濾波殘差如圖5a、b所示，同樣可以說(shuō)明共偏移距道集近似滿足f-x域去噪算法的線性同相軸假設(shè)，處理后隨機(jī)噪聲得到壓制，且有效信號(hào)保持良好。為了進(jìn)一步說(shuō)明共偏移距道集算法的優(yōu)勢(shì)，在共炮點(diǎn)道集中對(duì)f-x域時(shí)頻非凸正則化低秩矩陣近似算法進(jìn)行試算。去噪結(jié)果和濾波殘差分別如圖5c、d所示，可以發(fā)現(xiàn)，時(shí)頻稀疏低秩近似算法雖然具有較好的去噪能力，但因共炮點(diǎn)道集不滿足f-x域去噪算法假設(shè)前提，兩者結(jié)合不能發(fā)揮各自算法優(yōu)勢(shì)，處理后剖面仍殘留隨機(jī)噪聲(圖5c)，有效信號(hào)保持能力不足，殘差剖面泄露連續(xù)同相軸。對(duì)比結(jié)果說(shuō)明，共偏移距道集近似滿足f-x域去噪算法的線性同相軸假設(shè)，在該域中進(jìn)行去噪處理能夠提高算法的處理效果。

圖5 共偏移距道集和共炮點(diǎn)道集處理結(jié)果對(duì)比

3 應(yīng)用實(shí)例

利用某區(qū)實(shí)際地震數(shù)據(jù)，驗(yàn)證所提f-x域時(shí)頻非凸正則化低秩矩陣近似算法的有效性。該數(shù)據(jù)震源為30.06來(lái)復(fù)槍，井深25 cm；測(cè)量?jī)x器采用L40A 100 Hz檢波器和BISON 24096型96道工程地震儀。圖6a為第1001炮共炮點(diǎn)道集，可以看出剖面受隨機(jī)噪聲干擾嚴(yán)重(圖中箭頭所示)，同時(shí)，該數(shù)據(jù)還受面波和低頻干擾污染，共炮點(diǎn)道集中，直達(dá)波和面波具有傾斜同相軸特征，反射波為雙曲線同相軸，不滿足f-x域去噪的線性同相軸假設(shè)前提。圖6b為偏移距為15 m的共偏移距道集，剖面表現(xiàn)為平緩的同相軸結(jié)構(gòu)特征，各波型均為近似水平的同相軸。因此，共偏移距道集基本滿足f-x域去噪的線性同相軸假設(shè)前提，在該域中進(jìn)行去噪處理，能夠發(fā)揮去噪算法的優(yōu)勢(shì)。

圖6 實(shí)際地震數(shù)據(jù)

抽取共偏移距道集試算3種算法(圖7)。圖7a、b分別為f-x域時(shí)頻非凸正則化低秩矩陣近似算法去噪結(jié)果和濾波殘差，與原始共偏移距道集(圖6b)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，該算法能夠有效壓制隨機(jī)噪聲和低頻干擾，去噪后剖面信噪比提高，無(wú)殘留隨機(jī)噪聲(圖7a)；且該算法在去噪同時(shí)未損害有效信號(hào)，殘差剖面無(wú)連續(xù)同相軸泄露(圖7b)，說(shuō)明該算法能夠結(jié)合f-x域去噪與時(shí)頻域低秩矩陣近似2種算法的優(yōu)勢(shì)，提高去噪和有效信號(hào)保持能力。圖7c、d為時(shí)頻域低秩矩陣近似算法去噪結(jié)果和濾波殘差，結(jié)果顯示隨機(jī)噪聲得到一定壓制，但剖面仍殘留小幅度隨機(jī)噪聲(如圖7c中箭頭所示)，殘差剖面符合隨機(jī)噪聲分布規(guī)律(圖7d)，其原因是傳統(tǒng)時(shí)頻域低秩矩陣近似算法處理單道地震信號(hào)，沒(méi)有利用信號(hào)道間相干性。圖7e、f分別為f-x域反褶積去噪結(jié)果和濾波殘差，該算法能夠有效壓制隨機(jī)噪聲，但有效信號(hào)保持能力不足，處理后同相軸結(jié)構(gòu)發(fā)生改變(如圖7e中箭頭所示)，其原因是f-x域反褶積要求待處理信號(hào)為平穩(wěn)信號(hào)，而實(shí)際地震信號(hào)為非平穩(wěn)信號(hào)。通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)試算對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提算法能夠有效壓制隨機(jī)噪聲，同時(shí)保持有效信號(hào)不被破壞。

圖7 實(shí)際數(shù)據(jù)共偏移距道集去噪算法對(duì)比

為了突出共偏移距道集地震去噪算法的優(yōu)勢(shì)，分別在共偏移距道集和共炮點(diǎn)道集試算本文算法。為了便于對(duì)比，將共偏移距道集算法處理結(jié)果和濾波殘差變換到共炮點(diǎn)道集，圖8a、b顯示處理后隨機(jī)噪聲得到壓制，剖面無(wú)大幅度隨機(jī)噪聲殘留，殘差剖面無(wú)明顯連續(xù)同相軸泄露。圖8c、d為共炮點(diǎn)道集處理結(jié)果和濾波殘差，剖面殘留隨機(jī)噪聲幅度大于共偏移距道集算法，殘差剖面殘留明顯的連續(xù)同相軸。以上結(jié)果說(shuō)明共偏移距道集同相軸結(jié)構(gòu)平緩，甚至接近于水平同相軸，較共炮點(diǎn)道集和CMP道集相比更為符合f-x域去噪假設(shè)前提，在共偏移距道集進(jìn)行去噪處理能夠較好地發(fā)揮算法性能。

圖8 實(shí)際數(shù)據(jù)共偏移距道集和共炮點(diǎn)道集處理結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

1)f-x域去噪算法假設(shè)地震剖面由線性同相軸疊加而成，共炮點(diǎn)道集和CMP道集中直達(dá)波、折射波和面波為傾斜同相軸，反射波為雙曲線同相軸，且不同地層各波型同相軸傾角不同，甚至互相干涉疊加。地震道集不能視為由線性同相軸疊加而成。當(dāng)處理共炮點(diǎn)道集和CMP道集時(shí)，f-x域去噪算法會(huì)損害傾斜(尤其是陡傾)同相軸。而共偏移距道集具有平緩甚至接近水平的同相軸結(jié)構(gòu)，基本滿足線性同相軸假設(shè)條件，在共偏移距道集道集中執(zhí)行f-x域去噪能夠提高算法性能。

2)f-x反褶積等f(wàn)-x域去噪算法假設(shè)地震信號(hào)為平穩(wěn)信號(hào)，而實(shí)際地震信號(hào)為非平穩(wěn)信號(hào)，不滿足算法假設(shè)條件，需要將非平穩(wěn)信號(hào)去噪算法引入f-x域。時(shí)頻分析是一種有效的非平穩(wěn)信號(hào)分析方法，且時(shí)頻域數(shù)據(jù)具有稀疏低秩特征。將時(shí)頻稀疏低秩近似去噪引入f-x域，能夠克服傳統(tǒng)f-x域去噪算法的平穩(wěn)信號(hào)假設(shè)條件。多道地震信號(hào)同時(shí)處理，能夠利用信號(hào)道間相干性提高去噪能力。