恒久的數(shù)學(xué)定理

王治鈞

西班牙數(shù)學(xué)家愛德華多

數(shù)學(xué)的意義是什么？

如果有人問，數(shù)學(xué)的意義是什么，你會(huì)怎么回答呢？有些數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)問題的回答是，數(shù)學(xué)本身就是意義。他們認(rèn)為，一套能自圓其說的邏輯系統(tǒng)本身就是意義，為什么一定要給它找一個(gè)“用處”？

有些數(shù)學(xué)家屬于諄諄善誘型，就像你的數(shù)學(xué)老師，他們會(huì)更溫和地告訴你：“你可能意識(shí)不到，數(shù)學(xué)蘊(yùn)藏于萬物之中?！笨茖W(xué)家、工程師利用數(shù)學(xué)理論獲得了現(xiàn)實(shí)中的進(jìn)步。建筑、人工智能、航天探測(cè)等領(lǐng)域更是離不開數(shù)學(xué)，不懂?dāng)?shù)學(xué)你造的橋可能會(huì)垮塌，飛船可能會(huì)出現(xiàn)故障，亦或給復(fù)雜山地的智能無人果園帶來損失。

還有一部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)問題的回答是：數(shù)學(xué)讓我們更好地認(rèn)識(shí)世界。

確實(shí)，數(shù)學(xué)不需要為某個(gè)“意義”而存在，它本身就是一套精美而又邏輯自圓其說的系統(tǒng)，是人類歷史上集眾人思想合力的偉大成就之一。數(shù)學(xué)的精美構(gòu)造幾乎滲透于萬事萬物當(dāng)中。

提起數(shù)學(xué)，你會(huì)想到什么？是隨處可見的阿拉伯?dāng)?shù)字，還是課本上復(fù)雜深?yuàn)W的數(shù)學(xué)公式？數(shù)學(xué)存在的意義是什么？數(shù)學(xué)家們是如何發(fā)掘一個(gè)數(shù)學(xué)定理的？讓我們聽聽西班牙數(shù)學(xué)家愛德華多（EduardoSáenz de Cabezón）是怎么說的。

走出混沌

如果我們更進(jìn)一步深入思考科學(xué)，去看看它背后有什么樣的奧妙，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，科學(xué)和藝術(shù)一樣，它的運(yùn)轉(zhuǎn)同樣離不開一定程度的直覺和創(chuàng)造力，而數(shù)學(xué)馴服了天馬行空的創(chuàng)造力和千絲萬縷的直覺。

拿一張A4紙對(duì)折50次后，紙的厚度幾乎相當(dāng)于地球到太陽的距離（約1500萬千米）。直覺會(huì)告訴你“這不可能”！但是如果你通過數(shù)學(xué)計(jì)算來驗(yàn)證一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這確實(shí)是真的。

這就是數(shù)學(xué)的意義——幫你走出混沌，更好地認(rèn)識(shí)世界！

其實(shí)，所有科學(xué)都是如此，既能夠幫助人類認(rèn)知世界之美，也能幫助人們避免某些糟糕的結(jié)果，這就是意義。有些科學(xué)對(duì)人類發(fā)揮直接作用，比如腫瘤學(xué)。有些只能遠(yuǎn)觀，然而它們卻是支撐其他學(xué)科發(fā)展的基石，數(shù)學(xué)就是這樣一門基礎(chǔ)科學(xué)。科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)來自蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)構(gòu)造本身的嚴(yán)謹(jǐn)，而數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)來自其研究成果無限追求邏輯的自圓其說。

從地球到月球的紙?zhí)葑?/p>

勾股定理

威爾-弗蘭多面體

尋找定理

不知道你有沒有聽過這句話：鉆石永恒。鉆石作為最堅(jiān)硬的寶石，在人類科學(xué)的時(shí)間尺度上，一顆鉆石幾乎可以持續(xù)到永遠(yuǎn)。你又是如何看待“永恒”這個(gè)詞的呢？在數(shù)學(xué)家眼中，數(shù)學(xué)定理才是流傳后世，禁得起時(shí)間考驗(yàn)的智慧瑰寶。商高（又名殷高，中國(guó)古代周朝數(shù)學(xué)家）和畢達(dá)哥拉斯（古希臘數(shù)學(xué)家）已經(jīng)塵歸塵、土歸土，但是勾股定理提起數(shù)學(xué)，你卻超越了這些人存在的時(shí)間，并將繼續(xù)向前。只要有一個(gè)直角和一個(gè)合適的斜邊相結(jié)合，勾股定理就呱呱墜地，屢試不爽讓人稱奇。

數(shù)學(xué)家們將自己的一生奉獻(xiàn)給了對(duì)定理的發(fā)掘。浩瀚無垠的數(shù)學(xué)理論中，哪些可能是有待證明的定理，哪些是無法驗(yàn)證的猜想，甚至哪些是錯(cuò)誤的理論呢？這個(gè)過程就像是在沙灘上尋找最美的貝殼，盡管有時(shí)你會(huì)撿到石頭或瓶蓋。一代又一代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的沙灘上發(fā)掘鉆石般長(zhǎng)久的定理，這其中的過程不止一支筆、一張紙的論證。

由正六邊形組成的蜂巢

比如，蜂巢定理的發(fā)掘前后跨越了1700年之久。如果有一個(gè)無限大的二維平面，我們要用形狀一致的元素不留任何縫隙地覆蓋它，哪個(gè)形狀才是最佳選擇？我們可以用方形，也可以用三角形，但圓形就需要被淘汰，因?yàn)閳A形會(huì)留下縫隙。數(shù)學(xué)家們追求的是不留縫隙，周長(zhǎng)最短，覆蓋面積最大的最優(yōu)圖形。公元4 世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家佩波斯提出，正六邊形——例如苯與石墨的分子結(jié)構(gòu)、龜殼、蜂巢等，就是覆蓋二維平面的最佳結(jié)構(gòu)。但佩波斯并沒有去驗(yàn)證這個(gè)想法，所以這個(gè)理論被人們稱為蜂巢猜想。直到1999年，數(shù)學(xué)家黑爾斯證明了正六邊形就是最優(yōu)選擇，而此時(shí)已是這個(gè)猜想提出的1700年以后了。

于是“正六邊形是最優(yōu)解”這個(gè)猜想從此作為“蜂窩定理”流傳，不但有力推動(dòng)了建筑、計(jì)算機(jī)學(xué)科的發(fā)展，還影響到超市貨物的擺放、雞蛋盒的制作，在提高人們生活質(zhì)量的同時(shí)，更在視覺上增添了秩序之美。

如果在三維空間中提出這個(gè)問題呢？如果我想用一個(gè)元素填充三維空間不留縫隙，誰是最優(yōu)圖形？立方體是一個(gè)選擇，而曲面體就不可以了，會(huì)留下縫隙。開爾文爵士，即熱力學(xué)第二定律的提出者認(rèn)為，最好的結(jié)構(gòu)是截角八面體，但他并沒有證明這個(gè)想法。所以人們把他提出的“截角八面體是填充三維空間的最佳結(jié)構(gòu)”這一理論稱為開爾文猜想。

基于“威爾-弗蘭多面體”結(jié)構(gòu)建造的“水立方”

有人支持開爾文，也有數(shù)學(xué)家持反對(duì)意見。在反復(fù)研究且嘗試論證這一理論的100年后，終于有人找到了更好的選擇——數(shù)學(xué)家威爾和弗蘭發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)構(gòu)，并將它命名為威爾-弗蘭多面體。它看起來像是個(gè)奇怪的物件，但其實(shí)沒有那么特別，這種結(jié)構(gòu)在自然界中隨處可見，非常有趣。鑒于它的幾何特性，北京奧運(yùn)會(huì)的“水立方”就采用這種結(jié)構(gòu)建造。接下來，如果沒有人發(fā)現(xiàn)更好的結(jié)構(gòu)，威爾- 弗蘭多面體就是迄今為止人類發(fā)掘出的最佳圖形。如果這個(gè)多面體在100年甚至1700 年后，被某位數(shù)學(xué)家證明就是最佳選擇，那么它就會(huì)像勾股定理一樣流傳后世，成為“威爾-弗蘭多面體定理”。

生活中的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)對(duì)人類的影響不止高科技，也與生活有關(guān)。超市貨物擺放呈現(xiàn)的幾何形狀，小小雞蛋盒表現(xiàn)出的可視化空間圖形設(shè)計(jì)，讓數(shù)學(xué)的“秩序”和“協(xié)調(diào)”之美滲透于生活之中。那么還有哪些人類的日?；顒?dòng)，離不開數(shù)學(xué)知識(shí)呢？我們來看一個(gè)例子。

如果你面前有100個(gè)蘋果，而你只能按順序一個(gè)一個(gè)去選擇，那么第幾個(gè)蘋果，有可能會(huì)是最大的一個(gè)呢？如果你選了第一個(gè)蘋果，可能會(huì)錯(cuò)過后面大量更大的蘋果。但如果你一直惦記著“后面還有更大的”，而放棄了前99個(gè)蘋果，第100個(gè)有可能是最小的。只要蘋果多于兩個(gè)，直接選第一個(gè)或者最后一個(gè)，都是有風(fēng)險(xiǎn)的。

但我們?nèi)绻麖臄?shù)學(xué)的角度看問題，運(yùn)用概率知識(shí)，就能夠提出一個(gè)不靠直覺或運(yùn)氣，而是通過精確計(jì)算得出的解決方案。不妨從這堆蘋果里選出一部分看一看，這樣你就能了解這些蘋果大概有多大。然后，再從剩下的蘋果里，選出一個(gè)比你看到的最大的蘋果要大的蘋果。

那么先看一看的這部分蘋果又該選多少個(gè)呢？我們計(jì)算一下就會(huì)發(fā)覺這個(gè)數(shù)值是37%。也就是100個(gè)蘋果中的前37 個(gè)只看不選，從后63個(gè)當(dāng)中選，是最有可能選出最大蘋果的方案。它雖然不能幫你作出絕對(duì)正確的選擇，但是至少可以讓你避免因?yàn)榕逻x不到大的而一拖再拖，最后一無所獲，或者太過心急直接選了第一個(gè)，錯(cuò)過后面更大的選擇這種局面。這就是前文所說的——數(shù)學(xué)，既能夠幫助人們認(rèn)識(shí)世界之美，也能夠幫助人們避免一些糟糕的結(jié)果。

數(shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)

既然數(shù)學(xué)如此無處不在，那么第一個(gè)提出“數(shù)學(xué)”的人是誰呢？數(shù)學(xué)到底是人類智慧發(fā)明創(chuàng)造的產(chǎn)物，還是原本就蘊(yùn)含于自然界之中，像所有山川河流一樣是自然界的一部分？如果在森林中有很多樹，但是沒有人去數(shù)它，那么數(shù)字還存在嗎？這些問題，讓人類對(duì)“數(shù)學(xué)”更加著迷，對(duì)它的探尋更加深入，于是有些數(shù)學(xué)家就像我們開篇所提到的那樣，視數(shù)學(xué)為自然界的精髓，提出“數(shù)學(xué)本身就是意義”。正如笛卡爾所說的：我思，故我在。

數(shù)學(xué)蘊(yùn)藏于萬物，支撐科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和秩序美。數(shù)學(xué)不僅是肉眼可見的數(shù)字、橋梁，更是久經(jīng)時(shí)間考驗(yàn)的定理。當(dāng)人類被自我認(rèn)知所困，數(shù)學(xué)是人類走出混沌的地圖。它的意義是它本身，更是永恒的智慧結(jié)晶。

（責(zé)任編輯 / 李曉霏 美術(shù)編輯 / 周游）