分布參數(shù)系統(tǒng)源控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

周筆鋒 羅毅平 唐果寧

實(shí)際生活中,許多物理系統(tǒng)如熱擴(kuò)散、流體換熱器、化學(xué)工程、旋轉(zhuǎn)梁、可變幾何形狀、靜電微致動(dòng)器、集成和消防神經(jīng)元等都具有時(shí)空特性,它們的行為必須依賴于時(shí)間和空間位置,這些系統(tǒng)的時(shí)空過程稱為分布參數(shù)系統(tǒng)(Distributed parameter system,DPS)[1?9].針對(duì)此類系統(tǒng),學(xué)者們通常根據(jù)能量守恒定律構(gòu)建擬線性拋物型偏微分方程(Quasi-linear parabolic partial differential equation)進(jìn)行研究.所以,以擬線性拋物型偏微分方程建模研究分布參數(shù)系統(tǒng)一直是國(guó)內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者的重點(diǎn)研究課題[10?17].

針對(duì)分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制問題,許多學(xué)者提出了各類行之有效的方法,分布式控制[10?12]是最早提出的一種控制方式之一,如文獻(xiàn)[10]中,Luo 等針對(duì)分布參數(shù)系統(tǒng),設(shè)計(jì)分布式控制器,得出了分布參數(shù)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定控制器存在的充分條件.文獻(xiàn)[11]中,Ji 等以模型參考為基礎(chǔ),研究了馬爾科夫跳躍分布參數(shù)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題.分布式控制方法針對(duì)分布參數(shù)系統(tǒng)的所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制,雖然理論上能達(dá)到良好的控制效果,但是在實(shí)際工程中對(duì)分布參數(shù)系統(tǒng)的所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制往往是很難做到的.針對(duì)此類問題,又有學(xué)者提出了分布參數(shù)系統(tǒng)邊界控制方案[13?16],如文獻(xiàn)[13]中,Zhang 等針對(duì)一類非線性隨機(jī)分布參數(shù)系統(tǒng)的H∞邊界控制問題,提出了一種簡(jiǎn)單而有效的H∞邊界靜態(tài)輸出反饋(Static output feedback,SOF)控制方案,并進(jìn)行了邊界配置測(cè)量以保證具有H∞性能的均方意義上的局部指數(shù)穩(wěn)定.文獻(xiàn)[14]中,周延九等針對(duì)一類由半線性拋物型偏微分方程描述的分布參數(shù)系統(tǒng),提出基于邊界控制的控制策略研究了其鎮(zhèn)定問題.邊界控制方案對(duì)于低維空間(如一維)具有很好的效果,但隨著分布參數(shù)系統(tǒng)的空間維數(shù)增高,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行邊界控制會(huì)比較難實(shí)現(xiàn).基于此,有學(xué)者針對(duì)分布參數(shù)系統(tǒng)提出了中和控制方案,如在文獻(xiàn)[17]中,周筆鋒等針對(duì)具有時(shí)滯特性的分布參數(shù)系統(tǒng),提出并設(shè)計(jì)了中和控制器,討論了此類系統(tǒng)的穩(wěn)定問題.中和控制方案對(duì)于具有實(shí)體擴(kuò)散類的分布參數(shù)系統(tǒng)(如污染物擴(kuò)散),在找到對(duì)應(yīng) “解藥”后具有很好的控制效果,但對(duì)于能量類的擴(kuò)散(如熱傳遞)的分布參數(shù)系統(tǒng)模型,本文提出的源控制方案能達(dá)到更加優(yōu)越的效果.

源控制方法是基于能量守恒定律.首先,將空間分成若干份,每份空間看成一個(gè)節(jié)點(diǎn),基于每個(gè)節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)間的能量傳遞,定義空間能量傳遞拓?fù)渚仃?這樣的系統(tǒng)就是一個(gè)分布參數(shù)模型.如在一個(gè)大型會(huì)議室中,設(shè)計(jì)中央空調(diào)的排風(fēng)口時(shí),通常想了解會(huì)議室各個(gè)區(qū)域的溫度的變化情況,使會(huì)議室內(nèi)各點(diǎn)溫度達(dá)到一致狀態(tài).將會(huì)議室內(nèi)空間分成干份,這樣,會(huì)議室的溫度變化情況就可以看作是一個(gè)分布參數(shù)系統(tǒng).然后,在系統(tǒng)空間的所有節(jié)點(diǎn)中,將能使能量產(chǎn)生量變?cè)搭^的節(jié)點(diǎn)空間定義為源節(jié)點(diǎn),其他節(jié)點(diǎn)稱為跟隨節(jié)點(diǎn).如前面的例子,中央空調(diào)的排風(fēng)口就是源節(jié)點(diǎn),其他的點(diǎn)是跟隨節(jié)點(diǎn).

本文所設(shè)計(jì)的源控制方法僅針對(duì)源節(jié)點(diǎn),根據(jù)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)設(shè)計(jì)控制器,同時(shí)通過反饋控制作用對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行二次調(diào)節(jié),而針對(duì)其他跟隨節(jié)點(diǎn),考慮分布參數(shù)系統(tǒng)的時(shí)空特性,由于源節(jié)點(diǎn)的逸散作用,跟隨節(jié)點(diǎn)同樣受到控制影響.與文獻(xiàn)[10?12]提出的分布式控制方法不同,分布式控制是要對(duì)系統(tǒng)的每一點(diǎn)進(jìn)行控制.所以,本文所提出的源控制方法在分布參數(shù)系統(tǒng)的實(shí)際控制上具有可操作性.進(jìn)而,本文針對(duì)分布參數(shù)系統(tǒng),對(duì)源節(jié)點(diǎn)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)與反饋調(diào)節(jié)結(jié)合,對(duì)跟隨節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生逸散控制作用,研究分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題就顯得尤為有意義.

基于此,本文將構(gòu)成分布參數(shù)系統(tǒng)的空間分成若干份,每份為一個(gè)節(jié)點(diǎn),在所有的節(jié)點(diǎn)中,將空間產(chǎn)生量變的源頭的節(jié)點(diǎn)定義為源節(jié)點(diǎn),跟隨源節(jié)點(diǎn)變化的節(jié)點(diǎn)為跟隨節(jié)點(diǎn),研究分布參數(shù)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.對(duì)于源節(jié)點(diǎn),根據(jù)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)結(jié)合反饋偏差調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)控制器,對(duì)跟隨節(jié)點(diǎn)考慮源節(jié)點(diǎn)控制的逸散作用.利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論并結(jié)合線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI)處理方法,得出了分布式參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定源控制器存在的充分條件.最后結(jié)合所給條件,給出一個(gè)數(shù)值仿真說明其有效性.

1 問題描述

考慮如下分布參數(shù)系統(tǒng).

1) 源節(jié)點(diǎn)

注1.矩陣G為系統(tǒng)擴(kuò)散?吸收因子矩陣,對(duì)于系統(tǒng)源節(jié)點(diǎn),系統(tǒng)擴(kuò)散因子大于吸收因子,即滿足GL ?GZL >0.

系統(tǒng)初始邊界條件為

其中,θ為?? 的單位外法向量.

2 控制器設(shè)計(jì)

定義1.分布參數(shù)系統(tǒng)源控制.將構(gòu)成分布參數(shù)系統(tǒng)的空間分成若干個(gè)子空間,每個(gè)子空間視為一個(gè)節(jié)點(diǎn),在系統(tǒng)所有的節(jié)點(diǎn)中,將空間產(chǎn)生量變?cè)搭^的節(jié)點(diǎn)定義為源節(jié)點(diǎn),跟隨源節(jié)點(diǎn)變化的節(jié)點(diǎn)為跟隨節(jié)點(diǎn).源控制為僅對(duì)系統(tǒng)源節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制作用,對(duì)于跟隨節(jié)點(diǎn),其控制作用為對(duì)源節(jié)點(diǎn)的控制逸散作用.

由此,式(4)和(5)中,UL與Ug滿足

3 主要結(jié)論

通過構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii 函數(shù),結(jié)合LMI,由Green 公式和矩陣不等式處理法,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論,可以得出所討論系統(tǒng)狀態(tài)漸近穩(wěn)定的結(jié)果.

定理1.在假設(shè)1 條件下,關(guān)于系統(tǒng)源系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)(1)及跟隨系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)(2),對(duì)于任意給定的正定矩陣P,Q,若存在矩陣K,使得如下線性矩陣不等式成立

則系統(tǒng)(1)和(2)在給出的邊界條件和源控制器(10)和(11)下是漸近穩(wěn)定的,符號(hào) “?”代表矩陣的對(duì)稱項(xiàng).

證明.構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii 函數(shù)

則V

定理1 給出了非線性分布參數(shù)系統(tǒng)源控制鎮(zhèn)定性的充分條件,下面對(duì)一般線性分布參數(shù)系統(tǒng)這一特殊情形,給出相應(yīng)系統(tǒng)鎮(zhèn)定的一個(gè)推論.

對(duì)于源節(jié)點(diǎn):

對(duì)于跟隨節(jié)點(diǎn):

推論1.對(duì)于源節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)(14)及跟隨節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)(15),任意給定的正定矩陣P,Q,若存在矩陣K,使得如下線性矩陣不等式成立:

則系統(tǒng)(14)和(15)在給出的邊界條件以及源控制器(10)和(11)下是漸近穩(wěn)定的,符號(hào) “?” 代表矩陣的對(duì)稱項(xiàng).

證明.構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii 函數(shù)

證明參考定理1. □

4 數(shù)值仿真

為了說明問題,考慮如下分布參數(shù)系統(tǒng)及控制系統(tǒng)

應(yīng)用定理1 所提出的方法,通過MATLAB 軟件中的LMI 工具箱,可以得到控制系統(tǒng)參數(shù):K= ? 4.9603,B=[?1,?3,?3.8]T,φ=diag{0.4569,0.0152,0.0012},即,Ψ=diag{?1,?3,?3.8}.

給定系統(tǒng)的初始條件:w1(x,0)=exp(0.7×(?x+5)),w2(x,0)=10×sin(x),w3(x,0)=sin(2×x),w4(x,0)=0.1×sin(3×x),圖1 和圖2 分別給出了系統(tǒng)源節(jié)點(diǎn)狀態(tài)和系統(tǒng)跟隨的狀態(tài)圖.

圖1 系統(tǒng)源節(jié)點(diǎn) WL(x,t) 狀態(tài)圖Fig.1 The system state of source nodesWL(x,t)

圖2 系統(tǒng)跟隨節(jié)點(diǎn) Wg(x,t) 狀態(tài)圖Fig.2 The system state of following nodesWg(x,t)

5 小結(jié)

本文將構(gòu)成分布參數(shù)系統(tǒng)的空間分成若干份,每份為一個(gè)節(jié)點(diǎn),在所有的節(jié)點(diǎn)中,將能產(chǎn)生量變的源頭定義為源節(jié)點(diǎn),跟隨源節(jié)點(diǎn)變化的節(jié)點(diǎn)定義為跟隨節(jié)點(diǎn),由此構(gòu)建分布參數(shù)系統(tǒng)模型.對(duì)于源節(jié)點(diǎn),根據(jù)經(jīng)驗(yàn)函數(shù)結(jié)合反饋偏差調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)控制器;對(duì)于跟隨節(jié)點(diǎn),考慮源節(jié)點(diǎn)控制的逸散作用,設(shè)計(jì)控制器,利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論并結(jié)合LMI 處理方法,得出了分布式參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定源控制器存在的充分條件.最后結(jié)合所給條件,給出一個(gè)數(shù)值仿真并說明其有效性.