一種三次插值曲面的光滑拼接

師 晶

（閩南理工學(xué)院 信息管理學(xué)院，福建 石獅 362700）

作為計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（CAGD）的重要內(nèi)容，曲面造型不僅在理論上具有很高的研究?jī)r(jià)值， 而且在航空航天、工程設(shè)計(jì)、動(dòng)畫制作及計(jì)算機(jī)圖形設(shè)計(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，傳統(tǒng)的曲面造型方法已無(wú)法滿足曲面復(fù)雜化和多樣化的需要［1］。 因此，曲面拼接技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生，其理論思想和構(gòu)造方法幾乎滲透了所有的學(xué)科。

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（CAGD）中，用B 樣條或T 樣條構(gòu)造曲面因擬合效果好、 程序便于編寫而成為曲面造型的重要方法。但是，當(dāng)B 樣條曲面的控制頂點(diǎn)發(fā)生變化時(shí)， 整個(gè)曲面形狀容易發(fā)生扭曲和變形，且隨著階數(shù)升高，構(gòu)造曲面時(shí)的計(jì)算過(guò)程越來(lái)越復(fù)雜，曲面形狀的可調(diào)性越來(lái)越差［2-3］。 另外，在對(duì)多變等參矩形域進(jìn)行幾何裁剪時(shí)， 若采用T 樣條構(gòu)造曲面，則會(huì)產(chǎn)生一些難以處理的奇點(diǎn)，且細(xì)分后不能保持仿射不變性［4-5］，這些都不利于曲面造型［6-7］。 為了解決復(fù)雜曲面的拼接問(wèn)題， 筆者研究了一種帶形狀參數(shù)的三次插值曲面的連續(xù)性問(wèn)題， 利用三次插值曲線的幾何性質(zhì)和保凸性質(zhì)， 得到了曲線間的C1和C2連續(xù)定理和曲面間的G1拼接定理，給出了曲面的拼接方法及步驟， 通過(guò)曲面造型算例驗(yàn)證了方法的有效性。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

2 曲線的性質(zhì)

圖1 λ =2，μ 改 變時(shí)的曲線H(λ , μ)

圖2 μ = 0.2，λ改 變時(shí)的曲線H(λ , μ)

3 曲線拼接

圖3 () 為拐點(diǎn)時(shí) H(λ , μ) 的連續(xù)性

圖4 ( )為非拐點(diǎn)時(shí) H(λ , μ)滿足保凸性的連續(xù)性

4 曲面的性質(zhì)

圖5 3×3 個(gè)控制頂點(diǎn)的三次插值曲面

5 曲面拼接

設(shè)帶有2 個(gè)形狀參數(shù)的2 個(gè)三次插值曲面方程為

圖6 2 個(gè)相鄰三次插值曲面拼接網(wǎng)格

證明：與定理4、定理5 的證明過(guò)程類似，證明過(guò)程省略。

6 算法描述

步驟3：如果待拼接曲面片的個(gè)數(shù)大于2，轉(zhuǎn)步驟2，直到生成所有的待拼接曲面片，再執(zhí)行步驟4。否則，直接執(zhí)行步驟4。

步驟4：通過(guò)修改各拼接曲面片的形狀參數(shù)λk＞ 1,μk＞ 1(k=1,2)和法矢量模比例因子f調(diào)節(jié)拼接曲面的形狀，獲得滿意的圖形。

7 計(jì)算實(shí)例

在CAGD 中， 一張較復(fù)雜的曲面需要多個(gè)光滑曲面拼接。 利用三次插值曲面的拼接定理和插值算法，可以很方便地構(gòu)造一些較復(fù)雜的曲面。為了說(shuō)明插值算法的可行性和靈活性， 給出2 個(gè)曲面造型的算例。

7.1 算例一

由臺(tái)燈曲面的構(gòu)造可知， 臺(tái)燈曲面需要多個(gè)曲面片拼接而成。

生成臺(tái)燈燈罩曲面時(shí)， 先根據(jù)插值算法的步驟1 至步驟3 生成3 張待拼接曲面片。 由于這3 張待拼接曲面片在拼接處具有相同的切平面， 故不需生成過(guò)渡曲面。 再根據(jù)步驟4，通過(guò)修改各曲面片不同的形狀參數(shù)值及法矢量模比例因子f，調(diào)節(jié)組合曲面的形狀，獲得滿意的燈罩曲面圖形。

重復(fù)以上曲面的拼接步驟， 可分別實(shí)現(xiàn)多張燈柱、 燈座曲面片的拼接， G1得到如圖7 所示的臺(tái)燈曲面造型。

圖7 臺(tái)燈的曲面造型

7.2 算例二

由蘑菇板凳曲面的構(gòu)造可知， 蘑菇板凳曲面需要多個(gè)曲面片拼接而成。

生成蘑菇板凳曲面時(shí)， 可先根據(jù)插值算法的步驟1 至步驟3，生成8 張待拼接曲面片。 這8 張待拼接曲面片在拼接處具有相同的切平面， 故不需生成過(guò)渡曲面。 再根據(jù)步驟4，通過(guò)修改各曲面片不同的形狀參數(shù)值及法矢量模比例因子f調(diào)節(jié)組合曲面的形狀，獲得如圖8 所示的蘑菇板凳曲面造型。

圖8 蘑菇板凳的曲面造型

8 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)研究一種三次插值曲線的參數(shù)連續(xù)性，得到了這種曲線間的 C1和 C2連續(xù)條件。利用曲線的連續(xù)性得到了三次插值曲面的邊界性質(zhì)、凸包性、幾何不變性等性質(zhì)，給出了曲面間 C1的拼接定理及插值算法。通過(guò)算例說(shuō)明了算法的可行性和靈活性，增強(qiáng)了三次插值曲線的曲面造型能力。