一種分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性的新方法

羅建國，李 攀，邱杰清，趙韻秋

（1.華北科技學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，北京 101601；2.河北省礦山設(shè)備安全監(jiān)測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 101601；3.華北科技學(xué)院研究生院，北京 101601）

1 引言

在工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)品的開發(fā)流程中，運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析是驗(yàn)證新型動作機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)方案可行性的必需環(huán)節(jié)。具備典型的工藝軌跡作為機(jī)器人產(chǎn)品能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)定功能的先決條件，也是使用動力學(xué)模型進(jìn)行仿真計(jì)算的重要依據(jù)。因此，在滿足產(chǎn)品基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的條件下，完成機(jī)器人動作機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡的規(guī)劃便形成了機(jī)構(gòu)運(yùn)動仿真分析的理論基礎(chǔ)和前提，而求解機(jī)構(gòu)的自由度對于判斷所設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)是否具有唯一的運(yùn)動軌跡至關(guān)重要，也是分析機(jī)構(gòu)運(yùn)動能力特性的關(guān)鍵指標(biāo)。當(dāng)前流行的自由度計(jì)算公式和方法主要是以古典機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象來開展的［1］。文獻(xiàn)［2］于1983年首次提出一種3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)以來，很多學(xué)者在機(jī)構(gòu)自由度分析領(lǐng)域做出了重要的貢獻(xiàn)，然而，計(jì)算一般機(jī)構(gòu)自由度所采用的G?K公式在機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中卻難以得到正確應(yīng)用，復(fù)雜機(jī)構(gòu)運(yùn)動特性分析過程中存在的缺陷和問題目前仍未得到有效地解決。在這種背景下，開發(fā)一種可靠的并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算理論并促生行之有效的機(jī)構(gòu)運(yùn)動能力特性分析方法，亦因此成為機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

目前，已有眾多學(xué)者就如何精確求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度提出了一些列方法。文獻(xiàn)［3?4］提出的基于約束螺旋理論的自由度分析方法和修正G?K公式，能夠有效地對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行數(shù)值求解并且具備良好的通用性。文獻(xiàn)［5］建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的新字符描述，采取螺旋參數(shù)化表達(dá)結(jié)合字符描述的手段完成了分支運(yùn)動螺旋系的自動求解，并且基于線性代數(shù)中的初等行變換和含“未定幾何關(guān)系”軸線之間的相對自由度，實(shí)現(xiàn)了空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)字化自動分析。文獻(xiàn)［6］基于分形理論和機(jī)構(gòu)拓?fù)鋱D，提出了一種簡單有效的混聯(lián)機(jī)器人構(gòu)型綜合理論和設(shè)計(jì)方法，并以三平移三自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)為例對該方法的正確性進(jìn)行了檢驗(yàn)。文獻(xiàn)［7］提出了一種可重構(gòu)空間五桿機(jī)構(gòu)，且利用螺旋理論分析和證明了可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)四種不同的運(yùn)動模式。文獻(xiàn)［8］基于R（3，3）幾何代數(shù)空間，提出了一種符號描述并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的自動化分析算法，對于分析機(jī)構(gòu)在特定參數(shù)和位置情況下的自由度及運(yùn)動情況十分有利。文獻(xiàn)［9］提出了一類含較少運(yùn)動副的四支鏈兩轉(zhuǎn)一移三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并基于極限約束力螺旋系的概念對所提出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動副數(shù)目是否為同類機(jī)構(gòu)中最少進(jìn)行了論證。

然而，現(xiàn)有的機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算方法及公式仍存在不足之處，主要體現(xiàn)在：（1）自由度計(jì)算結(jié)果的形式單一?，F(xiàn)有的計(jì)算方法多專注于機(jī)構(gòu)自由度的數(shù)值計(jì)算，未能兼顧符號解或者解析表達(dá)式的輸出形式；（2）計(jì)算結(jié)果模糊。機(jī)構(gòu)分支的自由度在很大程度上體現(xiàn)著其對于輸出構(gòu)件的約束作用，基于“集合求交運(yùn)算避開過約束”原理的自由度計(jì)算方法往往用于機(jī)構(gòu)整體自由度的計(jì)算，而一般的方法和公式未能避免過約束的重復(fù)計(jì)算，以至于影響了計(jì)算精度［10］。

值得一提的是，混聯(lián)機(jī)構(gòu)覆蓋了并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛性好、精度高以及串聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動空間大、靈巧性好的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又回避了單純串、并聯(lián)機(jī)構(gòu)各自的缺點(diǎn)，極大提高了機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)對于產(chǎn)品性能需求的適應(yīng)性，在學(xué)術(shù)界和工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛關(guān)注，已發(fā)展成機(jī)構(gòu)學(xué)研究領(lǐng)域的一個重要研究方向［11］。

以有效和系統(tǒng)地分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動能力特性為目標(biāo)，提出了基于“最短支鏈∕支鏈對”的“木桶原理分析法”。研究過程通過運(yùn)用主?副運(yùn)動理論和機(jī)構(gòu)輸入?輸出運(yùn)動綜合轉(zhuǎn)化公式，導(dǎo)出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動特性的一般計(jì)算結(jié)果表達(dá)式，并使用修正的G?K 公式對7 種不同姿態(tài)下的SPS∕SPU∕UPS 結(jié)構(gòu)的4?6 支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動特性進(jìn)行了分類對比研究，得到了并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性的影響因素和規(guī)律。借助等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)、廣義等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)分別描述并聯(lián)機(jī)構(gòu)和混聯(lián)機(jī)構(gòu)，并以實(shí)例演示了機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性的計(jì)算分析方法和結(jié)果。

采用的有關(guān)方法和結(jié)論為研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)、混聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動特性及其具體構(gòu)成、工作空間、奇異、耦合性等提供了一體化系統(tǒng)分析途徑，進(jìn)一步豐富了機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)工程領(lǐng)域的理論內(nèi)容，對于機(jī)器人產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和制造具有重要的應(yīng)用價(jià)值和研究意義。

2 隨運(yùn)動綜合轉(zhuǎn)化公式

基于主?副運(yùn)動理論，串聯(lián)機(jī)構(gòu)或并聯(lián)機(jī)構(gòu)的單一支鏈所對應(yīng)的輸入?輸出運(yùn)動綜合轉(zhuǎn)化公式的基本形式如式（1）～式（6）所示。

一階伴隨輸出平移運(yùn)動計(jì)算公式如下：

有關(guān)一階、二階伴隨運(yùn)動存在性，三階及以上伴隨運(yùn)動的不存在性，其他情形的輸入?輸出運(yùn)動綜合轉(zhuǎn)化的過程和規(guī)律參照以上過程，在此不再贅述。

3 一類并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型與姿態(tài)

關(guān)節(jié)、支鏈?zhǔn)谴?lián)機(jī)構(gòu)、并聯(lián)機(jī)構(gòu)、混聯(lián)機(jī)構(gòu)的基本組成元素，根據(jù)關(guān)節(jié)和支鏈的不同，對不同類型和情形的并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式進(jìn)行了定義，從而可為后續(xù)過程中，基于主?副運(yùn)動理論、支鏈輸入?輸出運(yùn)動綜合轉(zhuǎn)化公式對由SPS∕SPU∕UPS結(jié)構(gòu)組成的4?6支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行計(jì)算分析奠定概念基礎(chǔ)。

首先，定義兩種構(gòu)型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式：

A構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)：4?6支鏈a?SPS?b?SPU或者a?SPS?b?UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)（其中a≥0，b≥1，a+b=n，n=4∕5∕6）。

B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)：完全由SPS支鏈組成的4?6支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)n?SPS（n=4∕5∕6）。

其次，設(shè)定X1為支鏈與靜平臺的關(guān)節(jié)鉸接點(diǎn)，X3為支鏈與動平臺的關(guān)節(jié)鉸接點(diǎn)，O、E分別為靜平臺、動平臺的形心，定義七種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的空間結(jié)構(gòu)姿態(tài)：

C1態(tài)：并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈所在直線X1X3與X1O構(gòu)成的所有平面中有1個平面與靜平臺所在的水平面Oxy垂直，且X1O與X3E有1組平行，如圖1所示。

圖1 A∕B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于C1態(tài)示意圖Fig.1 The Schematic Diagram of A∕B Parallel Mechanism in C1 State

C2態(tài)：并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈所在直線X1X3與X1O構(gòu)成的所有平面中有2個平面與靜平臺所在的水平面Oxy垂直，且2個鉛垂面之間也相互垂直。另外，X1O與X3E有2組平行，且位于動靜平臺上的這兩組直線在各自平面內(nèi)相互垂直，如圖2所示。

圖2 A∕B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于C2態(tài)示意圖Fig.2 The Schematic Diagram of A∕B Parallel Mechanism in C2 StateC3態(tài)：并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈所在直線X1X3與X1O構(gòu)成的所有平面中有1個平面與靜平臺所在的水平面Oxy垂直，但X1O與X3E均不平行，如圖3所示。

圖3 A∕B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于C3態(tài)示意圖Fig.3 The Schematic Diagram of A∕B Parallel Mechanism in C3 State

C4態(tài)：并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈所在直線X1X3與X1O構(gòu)成的所有平面中有2個平面與靜平臺所在的水平面Oxy垂直，且2個鉛垂面之間也相互垂直，但X1O與X3E均不平行，如圖4所示。

圖4 A∕B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于C4態(tài)示意圖Fig.4 The Schematic Diagram of A∕B Parallel Mechanism in C4 State

C5態(tài)：并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈所在直線X1X3與X1O構(gòu)成的所有平面與靜平臺所在的水平面Oxy均不垂直，但X1O與X3E有1組平行，如圖5所示。

圖5 A∕B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于C5態(tài)示意圖Fig.5 The Schematic Diagram of A∕B Parallel Mechanism in C5 State

C6 態(tài)：并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈所在直線X1X3與X1O構(gòu)成的平面與靜平臺所在的水平面Oxy均不垂直，但X1O與X3E有2 組平行，且位于動靜平臺上的這兩組直線在各自平面內(nèi)相互垂直，如圖6所示。

圖6 A∕B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于C6態(tài)示意圖Fig.6 The Schematic Diagram of A∕B Parallel Mechanism in C6 State

C7態(tài)：并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈所在直線X1X3與X1O構(gòu)成d的平面與靜平臺所在的水平面Oxy均不垂直，且X1O與X3E均不平行，如圖7所示。

圖7 A∕B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于C7態(tài)示意圖Fig.7 The Schematic Diagram of A∕B Parallel Mechanism in C7 State

4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性“木桶原理分析法”

由木桶效應(yīng)的含義可知，構(gòu)成組織的各個部分往往是優(yōu)劣不齊的，而劣勢部分往往決定整個組織的水平。根據(jù)木桶原理的短板理論，針對有效和系統(tǒng)地分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動能力特性的問題，提出了基于“最短支鏈”或“最短支鏈對”的“木桶原理分析法”。

4.1 基本概念與方法

并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性由各支鏈輸出運(yùn)動能力特性的交集綜合而成。將受限最多且自身輸出運(yùn)動能力空間維度最少、同時(shí)與其他支鏈擁有最少共同輸出運(yùn)動能力特性的支鏈定義為“最短支鏈”。若同時(shí)存在2條及以上的“最短支鏈”，且該兩條支鏈相互間還存在特殊的空間構(gòu)造關(guān)系，則選取其中最有代表性且構(gòu)造關(guān)系特殊的2條支鏈組成“最短支鏈對”?！白疃讨ф湣被颉白疃讨ф湆Α钡妮敵鲞\(yùn)動能力特性對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動能力特性具有決定作用，即：（1）當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)各組成支鏈具有相同的結(jié)構(gòu)形式時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性則取決于空間位置和姿態(tài)受到約束限制最多的支鏈，若有1條支鏈屬于特殊狀態(tài)，那么，就可以對這一輸出運(yùn)動能力空間維度最少的支鏈展開分析，用其運(yùn)動能力特性的分析結(jié)果來等效獲得并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動能力特性；（2）當(dāng)有2條支鏈處于空間特殊狀態(tài)時(shí)，這2條支鏈的輸出運(yùn)動受限最多，則通過對這2條支鏈進(jìn)行綜合分析，將所有約束運(yùn)動去除后即可得到等效并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動能力特性。因此，通過對該1條或2條支鏈運(yùn)動能力特性進(jìn)行分析，便可以獲得整個并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動能力特性結(jié)果。

將這種通過分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)“最短支鏈”或“最短支鏈對”（簡寫為“最短支鏈／支鏈對”）的輸出運(yùn)動能力特性結(jié)果，進(jìn)而等效獲得對應(yīng)并聯(lián)支鏈輸出運(yùn)動能力特性的方法被定義為“木桶原理分析法”。應(yīng)用提出的“木桶原理分析法”，分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性的具體步驟如下：

（1）依據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性合成的“木桶原理”，確定此時(shí)機(jī)構(gòu)的“最短支鏈”。

（2）將固定坐標(biāo)系的構(gòu)建與“最短支鏈”關(guān)聯(lián)起來，盡量使固定坐標(biāo)系的水平軸與“最短支鏈”或“最短支鏈對”分別處于三維直角坐標(biāo)系的兩個鉛垂面上，并確定對應(yīng)的輸入運(yùn)動分量和主輸出運(yùn)動分量。

（3）根據(jù)“最短支鏈”兩端的關(guān)節(jié)鉸點(diǎn)分別與靜平臺、動平臺各自形心的連線是否平行，判別該廣義2轉(zhuǎn)動串聯(lián)機(jī)構(gòu)的第2級桿的桿長是否退化為零。

若上述的這兩條連線平行，則該廣義2轉(zhuǎn)動串聯(lián)機(jī)構(gòu)的第2級桿的桿長退化為零，此時(shí)不存在由2個轉(zhuǎn)動輸入運(yùn)動綜合而成的一階伴隨移動運(yùn)動。

（4）依據(jù)“最短支鏈／支鏈對”輸入運(yùn)動分量，分析并確定“最短支鏈／支鏈對”全部一階伴隨輸出運(yùn)動分量。

（5）依據(jù)“最短支鏈／支鏈對”的輸入運(yùn)動分量及其全部一階伴隨運(yùn)動，對其二階伴隨輸出運(yùn)動分量進(jìn)行判別分析。

（6）綜合（2）～（5）的結(jié)果，得到代表并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性的“最短支鏈／支鏈對”的輸出運(yùn)動能力特性的全部構(gòu)成，獲得并聯(lián)機(jī)構(gòu)對應(yīng)的主輸出運(yùn)動自由度M?DOF、伴隨輸出運(yùn)動自由度P?DOF（通過伴隨運(yùn)動性質(zhì)和空間維度來區(qū)分，但是不區(qū)分一階、二階伴隨運(yùn)動，按空間三維轉(zhuǎn)動、三維移動的吸收原則和合并原則得到）、輸出運(yùn)動自由度O?DOF（通過輸出運(yùn)動性質(zhì)和空間維度來區(qū)分，但是不區(qū)分主運(yùn)動、伴隨運(yùn)動，按空間三維轉(zhuǎn)動、三維移動的吸收原則、合并原則得到）。

情形1?1（Q11）：A 構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)（P（A）），同時(shí)處于C1 態(tài)（C1），描述為Q11=P(A)⊕C2，如圖1所示。

按照前面給出的方法分析可以得知：

（4）由n條支鏈構(gòu)成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動能力特性，可以由構(gòu)成該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的n條支鏈的輸出運(yùn)動能力特性的交集綜合運(yùn)算分析得到，其表達(dá)式如式（10）所示。

4.2 實(shí)例分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，第K條支鏈的輸入運(yùn)動能力轉(zhuǎn)化為輸出運(yùn)動能力特性的過程以式（7）表示。其中，第K條支鏈的輸入運(yùn)動能力特性由支鏈上的S、P、U關(guān)節(jié)的輸入運(yùn)動能力特性集合而成，如式（8）所示。

此時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的M?DOF=5、P?DOF=3、O?DOF=5。

情形1?2（Q12）：A 構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)（P（A）），同時(shí)處于C2 態(tài)（C2），描述為Q12=P(A)⊕C2，如圖2所示。

依據(jù)前述方法分析可知：

（1）依據(jù)選取的“最短支鏈對”的空間狀態(tài)，將固定坐標(biāo)系的x軸、y軸分別與兩正交鉛垂平面和水平面的交線重合，該“最短支鏈對”移動關(guān)節(jié)的運(yùn)動所沿著x軸、y軸方向的分量將均不存在，故只有沿著z軸方向的移動運(yùn)動分量。

（2）“最短支鏈對”由于2個平行繞x軸、y軸的轉(zhuǎn)動輸入而產(chǎn)生的沿著y軸、x軸方向的一階伴隨移動輸出運(yùn)動不存在，只有沿著z軸方向的一階伴隨移動輸出。

（3）對支鏈上各關(guān)節(jié)輸入運(yùn)動與一階伴隨輸出運(yùn)動進(jìn)行綜合分析，可知“最短支鏈對”不存在二階伴隨輸出運(yùn)動。

結(jié)合前面分析結(jié)果得到“最短支鏈對”的輸出運(yùn)動能力特性結(jié)果表示，如式（11）所示。

此時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的M?DOF=4、P?DOF=1、O?DOF=4。

情形1?3（Q13）：B 構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)（P（B）），同時(shí)處于C1 態(tài)（C1），描述為Q13= P(B)⊕C1，如圖1所示。

借鑒情形1?1的分析過程和方法，可以得知：

（1）“最短支鏈”為SPS構(gòu)造，將固定坐標(biāo)系的x軸與兩垂直平面構(gòu)成平面的交線重合，該支鏈沿著y軸方向移動輸入運(yùn)動分量將不存在，而有沿著x、z軸方向的移動運(yùn)動分量。

（2）“最短支鏈”有2個平行繞x軸的轉(zhuǎn)動輸入而產(chǎn)生的沿著y、z軸方向的一階伴隨移動輸出運(yùn)動將不存在，但由于兩個平行繞y軸的轉(zhuǎn)動輸入而產(chǎn)生的沿著x、z軸方向的一階伴隨移動輸出運(yùn)動將存在。

且兩個平行繞z軸的轉(zhuǎn)動輸入而產(chǎn)生的沿著x、y軸方向的一階伴隨移動輸出運(yùn)動也將存在，所以該支鏈具有沿著x、y、z軸方向的一階伴隨移動輸出運(yùn)動。

（3）對支鏈上各關(guān)節(jié)輸入運(yùn)動與一階伴隨輸出運(yùn)動做進(jìn)一步綜合分析，可以得知支鏈存在繞x、y、z軸的二階伴隨轉(zhuǎn)動輸出運(yùn)動。

將此時(shí)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)視為一個等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性表示如式（13）所示。

此時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的M?DOF=5、P?DOF=6、O?DOF=6。

情形1?4（Q14）：B 構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)（P（B）），同時(shí)處于C2 態(tài)（C2），描述為Q14= P(B)⊕C2，如圖2所示。

借鑒情形1?2的分析過程和方法，可以得知：

（1）“最短支鏈對”均為SPS構(gòu)造，將固定坐標(biāo)系的x軸、y軸分別與兩正交鉛垂平面和水平面的交線重合，該“最短支鏈對”移動關(guān)節(jié)的運(yùn)動所沿著x軸、y軸方向的分量都將不存在，而只有沿著z軸方向的移動運(yùn)動分量。

（2）“最短支鏈對”有2組分別平行繞x、y軸的轉(zhuǎn)動輸入而產(chǎn)生的沿著y、x軸方向的一階伴隨移動輸出運(yùn)動將不存在，由于兩個平行繞z軸的轉(zhuǎn)動輸入而產(chǎn)生的沿著x、y軸方向的一階伴隨移動輸出運(yùn)動還將存在，所以該“最短支鏈對”仍具有沿著x、y、z軸方向的一階伴隨移動輸出。

（3）對支鏈上各關(guān)節(jié)輸入運(yùn)動與一階伴隨輸出運(yùn)動進(jìn)行綜合分析，可知“最短支鏈對”存在繞x、y軸的二階伴隨轉(zhuǎn)動輸出運(yùn)動。

結(jié)合前面分析結(jié)果得到“最短支鏈對”所代表的并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性結(jié)果表示如式（14）所示。

此時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的M?DOF=4、P?DOF=5、O?DOF=6。

機(jī)構(gòu)中存在相當(dāng)數(shù)量的不起限制作用的過約束，但一般的自由度計(jì)算公式將這部分自由度重復(fù)計(jì)算，從而導(dǎo)致自由度計(jì)算不能得到正確的結(jié)果。

鑒于修正的G?K公式在進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度數(shù)值求解方面的有效性和良好的通用性，將借助修正的G?K公式對所列4種情形的機(jī)構(gòu)自由度進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與采用所提出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性分析方法得到的分析結(jié)果進(jìn)行對比研究，從而可以對上述4種情形分析結(jié)果的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。

經(jīng)過黃真修正的G?K公式如下：

式中：M—機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目；n—構(gòu)件數(shù)目；g—運(yùn)動副數(shù)目；fi—第i個運(yùn)動副的自由度數(shù)目；d—機(jī)構(gòu)的階數(shù)；λ—公共約束數(shù)目；ν—多環(huán)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在公共約束因素后的冗余約束數(shù)目；ζ—機(jī)構(gòu)的局部自由度數(shù)目。

式（10）、式（12）、式（14）提出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性“木桶原理分析法”結(jié)合主?副運(yùn)動理論和機(jī)構(gòu)輸入?輸出綜合轉(zhuǎn)化公式分析得來，是并聯(lián)機(jī)構(gòu)在4種情形下的輸出運(yùn)動能力特性一般計(jì)算結(jié)果的表達(dá)式。

對于上述4種情形并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式，分別采用修正的G?K公式和機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性一般計(jì)算結(jié)果的表達(dá)式對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行計(jì)算分析，計(jì)算結(jié)果對比，如表1所示。

由表1可知，采取機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性表達(dá)式計(jì)算所得的機(jī)構(gòu)自由度結(jié)果包括M?DOF、P?DOF和O?DOF。而基于修正的G?K公式計(jì)算所得的自由度分析結(jié)果則只有一個（M），且該結(jié)果與基于輸入?輸出運(yùn)動綜合轉(zhuǎn)化公式計(jì)算所得機(jī)構(gòu)自由度結(jié)果中的M?DOF相同。因此，經(jīng)過比較可以發(fā)現(xiàn)：在機(jī)構(gòu)自由度分析方面，基于輸入?輸出運(yùn)動綜合轉(zhuǎn)化公式的機(jī)構(gòu)自由度分析方法表現(xiàn)的更加全面、深入和具體，其能夠有效彌補(bǔ)現(xiàn)有并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析理論的不足，可以為并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間、奇異、耦合特性的一體化系統(tǒng)研究提供更加適當(dāng)?shù)耐緩健?/p>

表1 A/B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)在C1/C2狀態(tài)下的自由度分析Tab.1 DOF Analysis of A/B Parallel Mechanism in C1/C2 State

參照4 種情形給出如下定義：Q21=P(A)⊕C3、Q22=P(A)⊕C4、Q23=P(B)⊕C3、Q24=P(B)⊕C4，借鑒參考對應(yīng)的分析方法，采用修正的G?K公式進(jìn)一步對其驗(yàn)證分析，得到如表2所示的有關(guān)結(jié)論。

表2 A/B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)在C3/C4狀態(tài)下的自由度分析Tab.2 DOF Analysis of A/B Parallel Mechanism in C3/C4 State

同理，可以給出如下定義：Q31=P(A)⊕C5、Q32=P(A)⊕C6、Q33=P(B)⊕C5、Q34=P(B)⊕C6，借鑒對應(yīng)的分析方法，得到如表3所示的有關(guān)結(jié)論。

表3 A/B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)在C5/C6狀態(tài)下的自由度分析Tab.3 DOF Analysis of A/B Parallel Mechanism in C5/C6 State

此外，還可以給出情形4?1（Q41）的定義：A構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)或者B 構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)（P(A∕B)），同時(shí)處于C7 狀態(tài)（C7），描述為Q41=P(A∕B)⊕C7，如圖7所示。

此時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈上均存在沿x、y、z軸方向的移動輸入運(yùn)動和繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動輸入運(yùn)動。通過各支鏈輸出末端運(yùn)動能力特性的交集綜合計(jì)算分析，可知并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在沿x、y、z軸方向的一階伴隨移動輸出運(yùn)動，存在繞x、y、z軸的二階伴隨轉(zhuǎn)動輸出運(yùn)動，其輸出運(yùn)動能力特性的一般表示如式（16）所示。

對該情形的并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用修正的G?K公式計(jì)算分析，得到的有關(guān)結(jié)論，如表4所示。

表4 A/B構(gòu)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)在C7狀態(tài)下的自由度分析Tab.4 DOF Analysis of A/B Parallel Mechanism in C7 State

根據(jù)表1～表4內(nèi)的比較結(jié)果顯示：

（1）m?SPU?n?SPS∕m?UPS?n?SPS（m≥1，n≥0，m+n=4∕5∕6）并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于不同的空間姿態(tài)和構(gòu)造形態(tài)時(shí)，其自由度主要受兩個因素的影響：①由支鏈所在的直線、支鏈靜平臺連接點(diǎn)與靜平臺形心的連線所構(gòu)成的平面，與靜平臺所在的平面是否垂直；②由支鏈靜平臺連接點(diǎn)和靜平臺形心所形成的連線，與由同一支鏈動平臺連接點(diǎn)和動平臺形心所形成的連線是否平行。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于C1、C2兩種狀態(tài)時(shí)，M?DOF=4∕5，P?DOF=1∕3，O?DOF=4∕5；處于C3、C4兩種狀態(tài)時(shí)，M?DOF=4∕5，P?DOF=5∕6，O?DOF=6；處于C5、C6 兩種狀態(tài)時(shí)，M?DOF=6，P?DOF=3∕5，O?DOF=6；處于C7狀態(tài)時(shí)，M?DOF=6，P?DOF=6，O?DOF=6。

（2）并聯(lián)機(jī)構(gòu)n?SPS（n=4∕5∕6）處于不同空間姿態(tài)和構(gòu)造形態(tài)時(shí)，其自由度同樣受兩因素影響：①由支鏈所在直線、支鏈靜平臺連接點(diǎn)與靜平臺形心的連線所構(gòu)成的平面，與靜平臺所在的平面是否垂直；②由支鏈靜平臺連接點(diǎn)和靜平臺形心所形成的連線，與由同一支鏈動平臺連接點(diǎn)和動平臺形心所構(gòu)成的連線是否平行。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于C1、C2、C3、C4四種狀態(tài)時(shí)，M?DOF=4∕5，P?DOF=5∕6，O?DOF=6；處于C5、C6兩種狀態(tài)時(shí)，M?DOF=6，P?DOF=5∕6，O?DOF=6；處于C7狀態(tài)時(shí)，M?DOF=6，P?DOF=6，O?DOF=6。

（3）基于支鏈輸入?輸出運(yùn)動綜合轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行求交綜合運(yùn)算所得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的M?DOF、P?DOF、O?DOF具體數(shù)值，與通過修正的G?K公式計(jì)算得到的機(jī)構(gòu)自由度分析結(jié)果M值不完全相同，表現(xiàn)為：有的M值與O?DOF數(shù)值相同，有的M與M?DOF數(shù)值相同。其原因是G?K公式不能揭示輸入運(yùn)動與輸出運(yùn)動之間的綜合轉(zhuǎn)化關(guān)系和規(guī)律。

深入探索以上對比研究分析的結(jié)果，可以總結(jié)得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性的影響因素和規(guī)律，即：（1）水平面內(nèi)一個或兩個方向的主輸出移動運(yùn)動是否存在由支鏈的空間姿態(tài)決定；（2）水平面內(nèi)一個方向的一階伴隨移動運(yùn)動是否存在取決于動平臺的空間姿態(tài)；（3）動平臺上的關(guān)節(jié)位置、動平臺結(jié)構(gòu)和動平臺的空間姿態(tài)共同決定了水平面內(nèi)2個方向的一階伴隨移動運(yùn)動是否存在；（4）構(gòu)建固定坐標(biāo)系使某一個或兩個支鏈分別位于其鉛垂面上，可令機(jī)構(gòu)水平面內(nèi)1個或2個輸出主運(yùn)動分量消失；而選擇靜平臺平面與固定坐標(biāo)系的水平面重合，能達(dá)到使機(jī)構(gòu)水平面內(nèi)1個或2個一階伴隨移動輸出分量消失的效果。

5 混聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性分析

混聯(lián)機(jī)構(gòu)兼具串聯(lián)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，令其具備較高的開發(fā)價(jià)值和推廣前景。依據(jù)串聯(lián)機(jī)構(gòu)與并聯(lián)機(jī)構(gòu)的連接方式不同，可以將混聯(lián)機(jī)構(gòu)分成三類，即：串?并?串、并?串?并、并?串式（等同于串?并式）。將機(jī)構(gòu)的運(yùn)動關(guān)節(jié)以方框代替，并以線段連接表示機(jī)構(gòu)的支鏈，以此來繪制機(jī)構(gòu)的平面拓?fù)涫疽鈭D。其中，串聯(lián)、并聯(lián)機(jī)構(gòu)的平面拓?fù)涫疽鈭D，如圖8、圖9所示。并?串?并、并?串、串?并?串形式混聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)涫疽鈭D，如圖10～12所示。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)或關(guān)節(jié)拓?fù)涫疽鈭D，如圖13所示。圖10、圖11、圖12所對應(yīng)的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的廣義等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)涫疽鈭D，如圖14～圖16所示。

圖8 串聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)涫疽鈭DFig.8 The Topological Schematic Diagram of Series Mechanism

圖9 并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)涫疽鈭DFig.9 The Topological Schematic Diagram of Parallel Mechanism

圖10 并?串?并形式混聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)涫疽鈭DFig.10 The Topological Schematic Diagram of Hybrid Mechanism with Parallel?Series?Parallel Forms

圖11 并?串形式混聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)涫疽鈭DFig.11 The Topological Schematic Diagram of Hybrid Mechanism with Parallel?Series Forms

圖12 串?并?串形式混聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)涫疽鈭DFig.12 The Topological Schematic Diagram of Hybrid Mechanism with Series?Parallel?Series Forms

圖13 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)或關(guān)節(jié)拓?fù)涫疽鈭DFig.13 The Topological Schematic Diagram of Equivalent Series Mecha?nism or Joint of Parallel Mechanism

圖14 并?串?并形式混聯(lián)機(jī)構(gòu)廣義等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)涫疽鈭DFig.14 The Topological Schematic Diagram of Generalized Series Mech?anism of Hybrid Mechanism with Parallel?Series?Parallel Forms

圖15 并?串形式混聯(lián)機(jī)構(gòu)廣義等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)涫疽鈭DFig.15 The Topological Schematic Diagram of Generalized Series Mech?anism of Hybrid Mechanism with Parallel?Series Forms

圖16 串?并?串形式混聯(lián)機(jī)構(gòu)廣義等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)涫疽鈭DFig.16 The Topological Schematic Diagram of Generalized Series Mech?anism of Hybrid Mechanism with Series?Parallel?Series Forms

針對2SPS?3SPU?RR 混聯(lián)機(jī)構(gòu)，建立的直角固定坐標(biāo)系，可知該機(jī)構(gòu)由并聯(lián)機(jī)構(gòu)2SPS?3SPU和串聯(lián)支鏈RxRy構(gòu)成，如圖17所示。

圖17 2SPS?3SPU?RR混聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.17 2SPS?3SPU?RR Hybrid Mechanism

假設(shè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)2SPS?3SPU滿足前面分析Q12= P(A)⊕C2條件，串聯(lián)支鏈上的轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)軸線分別平行于固定坐標(biāo)系的x、y軸。借助表1中Q12= P(A)⊕C2的分析結(jié)論，可得機(jī)構(gòu)并聯(lián)部分的輸出運(yùn)動能力特性可用式（17）表示。

混聯(lián)機(jī)構(gòu)的廣義等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)Gs的輸出運(yùn)動能力特性可以通過輸入?輸出運(yùn)動綜合轉(zhuǎn)化公式計(jì)算得到，如式（19）所示。其中，符號“Δˉ”代表運(yùn)動元素域移動運(yùn)算，符號“Δ?”代表運(yùn)動元素域轉(zhuǎn)動運(yùn)算，符號“?”代表運(yùn)動元素域并運(yùn)算，對應(yīng)運(yùn)動域括號外的下標(biāo)()x、()y、()z表示只選取運(yùn)動沿著或繞該下標(biāo)所示軸方向的區(qū)間域。

依據(jù)式（19）的計(jì)算分析結(jié)果，可以得知混聯(lián)機(jī)構(gòu)的M?DOF=4，P?DOF=5，O?DOF=6。

本例證明了以等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)或關(guān)節(jié)代替分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動能力特性和以廣義等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)代替分析混聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動能力特性的研究路線是正確的，基于“最短支鏈∕支鏈對”的并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性“木桶原理分析法”能夠在解決混聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性分析問題過程中發(fā)揮重要作用。

6 結(jié)論

提出了基于“最短支鏈∕支鏈對”的并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性“木桶原理分析法”，同時(shí)基于主?副運(yùn)動理論，運(yùn)用機(jī)構(gòu)輸入?輸出運(yùn)動綜合轉(zhuǎn)化公式和解析分析，針對7種不同姿態(tài)下的SPS∕SPU∕UPS結(jié)構(gòu)的4?6支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動特性進(jìn)行了分類對比研究。并借助等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)、廣義等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)的概念，對2SPS?3SPU?RR混聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動特性進(jìn)行了分析計(jì)算，得到如下結(jié)論：

（1）支鏈的空間姿態(tài)是水平面內(nèi)一個或兩個方向的主輸出移動運(yùn)動是否存在的決定因素。構(gòu)建固定坐標(biāo)系令某一個或兩個支鏈分別位于其鉛垂面上，可以使機(jī)構(gòu)水平面內(nèi)1個或2個輸出主運(yùn)動分量消失。最短支鏈的空間姿態(tài)是水平面內(nèi)x/y方向的主輸出移動運(yùn)動分量是否存在的決定因素；最短支鏈對的空間姿態(tài)對于水平面內(nèi)x、y方向主輸出移動運(yùn)動是否存在具有決定作用。

（2）動平臺的空間姿態(tài)決定著水平面內(nèi)一個方向的一階伴隨移動運(yùn)動是否存在；動平臺上關(guān)節(jié)位置、動平臺結(jié)構(gòu)和動平臺空間姿態(tài)共同決定著水平面內(nèi)2個方向的一階伴隨移動運(yùn)動是否存在。最短支鏈∕支鏈對兩端關(guān)節(jié)鉸點(diǎn)到所在動、靜平臺形心的連線是否平行，決定了水平面內(nèi)x∕y方向的一階伴隨移動運(yùn)動是否存在。最短支鏈對兩端關(guān)節(jié)鉸點(diǎn)到所在動、靜平臺形心的連線在各自平臺平面內(nèi)是否正交，以及最短支鏈對兩端關(guān)節(jié)鉸點(diǎn)到所在動、靜平臺形心的連線是否均分別平行，決定了水平面內(nèi)x、y方向的一階伴隨移動運(yùn)動是否存在。

（3）構(gòu)建固定坐標(biāo)系使某一個或兩個支鏈分別位于其鉛垂面上，可令機(jī)構(gòu)水平面內(nèi)1個或2個輸出主運(yùn)動分量消失；而選擇靜平臺平面與固定坐標(biāo)系的水平面重合，能達(dá)到使機(jī)構(gòu)水平面內(nèi)1個或2個一階伴隨移動輸出分量消失的效果。

（4）并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以用等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)或關(guān)節(jié)代替分析其輸出運(yùn)動能力特性，而混聯(lián)機(jī)構(gòu)可以用廣義等效串聯(lián)機(jī)構(gòu)代替分析其運(yùn)動能力特性?；炻?lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性計(jì)算實(shí)例證明了基于“最短支鏈∕支鏈對”的并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動能力特性“木桶原理分析法”在系統(tǒng)分析機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動特性的有效性。