基于RLS的二次加權(quán)相關(guān)時延估計算法*

徐 菁,倪淑燕,廖育榮

(航天工程大學(xué) a.研究生學(xué)院;b.電子與光學(xué)工程系,北京 101400)

0 引 言

時延估計在測向定位領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用[1]。時延估計主要的方法有兩類:基于相關(guān)的時延估計算法[2-3]和自適應(yīng)時延估計算[4-5]。由于基于相關(guān)的時延估計算法運(yùn)算量小、容易實(shí)現(xiàn),所以得到了廣泛的應(yīng)用。

廣義互相關(guān)算法[6-8]在基本互相關(guān)算法基礎(chǔ)上,通過引入Roth、SCOT、PHAT等加權(quán)函數(shù),使相關(guān)譜峰更加尖銳,提高了時延估計精度。文獻(xiàn)[9]將SCOT加權(quán)函數(shù)和PHAT加權(quán)函數(shù)結(jié)合,聯(lián)合兩種加權(quán)函數(shù)估計時延。在信噪比高時廣義互相關(guān)算法可以獲得很好的時延估計性能,但在低信噪比(0 dB以下)條件下,該方法性能惡化嚴(yán)重。為了提高低信噪比下時延估計的精度,研究者們提出了自適應(yīng)時延估計算法、二次相關(guān)時延估計算法等[10]。自適應(yīng)時延估計一般采用最小均方誤差(Minimum Mean Square Error,LMS)算法,而基于LMS的自適應(yīng)時延估計算法在收斂速度和穩(wěn)定性之間存在矛盾,如文獻(xiàn)[11]犧牲收斂速度來改善穩(wěn)定性。但通過調(diào)節(jié)步長兼顧兩者時,文獻(xiàn)[12]只是驗(yàn)證了理論的正確性,并未深入探討。文獻(xiàn)[13-14]只考慮了高信噪比環(huán)境,也未對低信噪比環(huán)境進(jìn)一步分析。除此之外,二次相關(guān)也出現(xiàn)了很多改進(jìn)算法,如文獻(xiàn)[15-16]在引入窗函數(shù)的基礎(chǔ)上,利用希爾伯特插值法提高了時延估計的精度和穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[17]將二次相關(guān)與廣義互相關(guān)結(jié)合,文獻(xiàn)[18]還引入了最小二乘擬合;文獻(xiàn)[19]結(jié)合了相關(guān)峰精細(xì)插值和希爾伯特變換等。雖然這些算法有效地抑制了噪聲的影響,但時延估計的性能仍有待提高。

為了進(jìn)一步提高低信噪比下的時延估計性能,本文分別對兩路接收信號進(jìn)行RLS自適應(yīng)濾波,提高接收信號的信噪比,然后引入加權(quán)函數(shù),并利用二次相關(guān)法更準(zhǔn)確地估計時延。

1 相關(guān)法時延估計基本理論

1.1 廣義互相關(guān)法時延估計原理

假設(shè)兩路接收信號的數(shù)學(xué)模型如下:

式中:s(t)為輸入信號,d為接收信號x1(t)和x2(t)的時延;n1(t)和n2(t)分別為接收信號x1(t)和x2(t)的噪聲。

兩路接收信號的互相關(guān)函數(shù)可以表示為

假設(shè)n1(t)和n2(t)均為服從零均值、與信號相互獨(dú)立的高斯噪聲,則式(2)中Rsn2(τ)、Rn1s(τ-d)和Rn1n2(τ)都為零,即

根據(jù)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)τ=d時,互相關(guān)函數(shù)取最大值。因此,只要找出互相關(guān)函數(shù)最大值的位置τ,即為兩路接收信號的時延差。

廣義互相關(guān)法是在基本互相關(guān)法的基礎(chǔ)上,引入加權(quán)函數(shù),以降低噪聲的影響[20]。它是在頻域進(jìn)行的,對互功率譜進(jìn)行加權(quán)后再反變換到時域,得到廣義互相關(guān)函數(shù),即

1.2 廣義二次相關(guān)時延估計

二次相關(guān)法主要通過自相關(guān)運(yùn)算提高信噪比,從而改善時延估計的性能。在對兩路接收信號進(jìn)行互相關(guān)得到R12(τ)的同時,對其中一路接收信號x1(t)進(jìn)行自相關(guān)得到R11(τ),之后再對R12(τ)和R11(τ)進(jìn)行互相關(guān)[21]。其中,第一路接收信號的自相關(guān)函數(shù)為

因?yàn)閚1(t)為服從零均值、與信號相互獨(dú)立的高斯噪聲,所以式(5)進(jìn)一步化簡為

與式(2)結(jié)合,得到二次相關(guān)函數(shù):

當(dāng)τ=d時,二次互相關(guān)函數(shù)為最大值,即估計的時延。廣義二次相關(guān)算法主要是計算傅里葉變換后兩路接收信號的自功率譜和互功率譜,將加權(quán)函數(shù)與互功率譜相結(jié)合,并與自功率譜進(jìn)行結(jié)合得到二次互功率譜;再進(jìn)行傅里葉反變換得到廣義二次相關(guān)函數(shù);最后對互相關(guān)函數(shù)的譜圖進(jìn)行峰值檢測,得到估計的時延。

2 基于RLS的二次加權(quán)相關(guān)時延估計

2.1 算法結(jié)構(gòu)設(shè)計

為了進(jìn)一步提高低信噪比條件下的時延估計性能,本文在廣義二次相關(guān)法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn),設(shè)計了基于RLS的二次加權(quán)相關(guān)時延估計算法。首先利用RLS自適應(yīng)濾波降低噪聲影響,之后在二次相關(guān)時引入二次加權(quán)函數(shù),提高算法在低信噪比的估計精度。該算法結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示,其中()*表示取共軛。

圖1 基于RLS的二次加權(quán)相關(guān)時延估計算法結(jié)構(gòu)

根據(jù)圖1,該算法的步驟如下:

Step1進(jìn)行預(yù)濾波處理,利用RLS自適應(yīng)濾波算法對兩路接收信號x1和x2進(jìn)行濾波,得到濾波信號y1和y2,提高抗噪性。

Step2計算第一路接收信號的自功率譜Gy1y1和兩路接收信號的互功率譜Gy1y2,對互功率譜Gy1y2加權(quán)得到G＇y1y2。

Step3將Gy1y1和G＇y1y2進(jìn)行二次相關(guān)得到GGG＇,并引入加權(quán)函數(shù),得到G＇GG＇。

Step4最后進(jìn)行傅里葉反變換得到RRR,并進(jìn)行峰值檢測估計出時延。

2.2 RLS濾波過程

RLS算法進(jìn)行濾波的基本原理是利用當(dāng)前時刻得到的參數(shù),在已獲得前一時刻濾波器權(quán)向量的最小二乘估計權(quán)值的情況下進(jìn)行迭代,計算出當(dāng)前時刻濾波器權(quán)向量的最小二乘估計權(quán)值[22]。

RLS濾波算法的代價函數(shù)為

對上式進(jìn)行求導(dǎo),可得權(quán)值的迭代方程為

式中:w(n)為第n次迭代的權(quán)值;k(n)為n時刻的增量;e(n)為預(yù)測誤差,其表達(dá)式為

式中:d(n)為參考信號,也可以稱為期望信號;y(n)為輸出信號。實(shí)際上,選擇期望信號有兩種方式:第一種方式是將經(jīng)過延遲的輸入信號作為期望信號;第二種方式是將需要估計的信號作為期望信號,即d(n)=x(n)=s(n)+v1(n),噪聲v2(n)作為自適應(yīng)濾波器的輸入信號,其中v2(n)與v1(n)相關(guān),與s(n)無關(guān)。結(jié)合本文的算法,這里選擇第二種方式作為自適應(yīng)濾波中的期望信號。

增量的表達(dá)式為

式中:λ為遺忘因子,且是小于等于1的正數(shù);g(n)=T(n-1)x(n),相關(guān)矩陣T(n)按照下式迭代:

2.3 二次加權(quán)的互相關(guān)函數(shù)設(shè)計

進(jìn)行RLS自適應(yīng)濾波之后,兩路接收信號開始二次相關(guān)。在第一次進(jìn)行互相關(guān)時,參照廣義互相關(guān)中的ROTH加權(quán)函數(shù)進(jìn)行加權(quán),加權(quán)函數(shù)如下:

結(jié)合上式,可得第一次加權(quán)互相關(guān)函數(shù)為

第一次互相關(guān)進(jìn)行加權(quán)后,與第一路接收信號的自相關(guān)進(jìn)行第二次互相關(guān)可以得到GRR。然后進(jìn)行第二次加權(quán),同樣參照廣義互相關(guān)中的ROTH加權(quán)函數(shù)進(jìn)行加權(quán),加權(quán)函數(shù)如下:

結(jié)合上式,可得第二次加權(quán)互相關(guān)函數(shù)為

2.4 復(fù)雜度分析

根據(jù)2.2節(jié)RLS濾波算法部分的分析,RLS濾波進(jìn)行一次迭代需要3L2+3L+1次乘法、2L2+2L次加法以及1次除法,因此可得在RLS濾波的過程中所需的計算量為O(L2)。在進(jìn)行傅里葉變換時,需要L/2×lbL次乘法,L×lbL次加法,所以需要的計算量為O(L×lbL),計算功率譜函數(shù)和進(jìn)行加權(quán)時所需的計算量為O(L2)。由此,可以得到該算法所需的計算量為O(L2)。

3 仿真與分析

結(jié)合上述的信號模型,給出以下的仿真條件:采樣頻率為8 kHz;信號是幅度為8、頻率為1.5 kHz的余弦信號;RLS濾波器的階數(shù)為32;權(quán)向量的初始值為0;相關(guān)矩陣的初始值為10;兩路接收信號間的時延為1.9 ms。下面利用廣義互相關(guān)法、廣義二次相關(guān)法和基于RLS的二次加權(quán)相關(guān)法在不同信噪比下進(jìn)行時延估計。

信噪比為5 dB時,利用三種算法進(jìn)行時延估計,仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 SNR=5 dB的三種算法仿真圖

在0 dB時,利用三種算法進(jìn)行時延估計,仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 SNR=0 dB的三種算法仿真圖

在-5 dB時,利用三種算法估計時延,仿真結(jié)果如圖4所示。不同信噪比下,利用三種算法估計的誤差如表1所示。觀察圖2～4和表1可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)信噪比較高時,三種時延估計算法的精度都較高;信噪比降低時,廣義互相關(guān)法和廣義二次相關(guān)法的性能急劇下降,次峰與主峰相差不大,甚至淹沒了主峰,導(dǎo)致估計的精度差。而新算法將RLS自適應(yīng)濾波算法和二次相關(guān)法結(jié)合,并引入加權(quán)函數(shù),銳化了互相關(guān)函數(shù)的譜峰,減小了次峰的波動。與前兩種相比,該方法能更準(zhǔn)確地估計時延,抑制噪聲的影響。

表1 三種算法時延估計誤差對比

圖4 SNR=-5 dB的三種算法仿真圖

為了進(jìn)一步分析三種算法的性能,在信噪比為-10～10 dB時進(jìn)行蒙特卡洛實(shí)驗(yàn),得出三種算法實(shí)驗(yàn)估計的均方誤差如圖5所示。從圖中可以看出,廣義互相關(guān)法的穩(wěn)定性最差,廣義二次相關(guān)法次之,基于RLS的二次加權(quán)相關(guān)法最好。在信噪比較高時,廣義互相關(guān)法、廣義二次相關(guān)法和基于RLS的二次相關(guān)法的估計的誤差都比較小;隨著信噪比的降低,廣義互相關(guān)法的性能下降最嚴(yán)重,廣義二次相關(guān)的性能也有所下降,而基于RLS的二次加權(quán)相關(guān)法仍保持著良好的估計性能。

圖5 三種算法的均方誤差比較

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于RLS的二次加權(quán)相關(guān)時延估計算法,避免了在低信噪比環(huán)境下時延估計算法性能差的缺點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與廣義互相關(guān)法和廣義二次相關(guān)法相比,該算法估計時延的性能更好,譜峰更加尖銳,而且提高了抗噪性和估計性能。