基于馬爾可夫理論的艦炮裝備使用可用度預(yù)測方法

程文鑫，王寄明，郝兆鈞

(1.海裝裝備項目管理中心，北京 100036；2.中國船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院 武器系統(tǒng)研究所，北京 100191)

使用可用度是指某一武器系統(tǒng)或單個設(shè)備，在某種作戰(zhàn)使用環(huán)境下，在任一隨機時刻應(yīng)召時，可以備便和滿意地投入使用的預(yù)期時間百分比(是產(chǎn)品的能工作時間與能工作時間、不能工作時間的和之比[1])。因此，使用可用度是裝備戰(zhàn)備完好性的一個重要度量指標(biāo)，表征了裝備系統(tǒng)接收到作戰(zhàn)命令時具備作戰(zhàn)條件的能力。

對于使用可用度的分解，國內(nèi)曾提出一種基于大量統(tǒng)計分析結(jié)果之上的模型，該分解方法屬于解析法的一種[2]；而文獻[3]則借鑒了傳統(tǒng)可靠性模型理論，以可靠性公式相似的簡化模型，對復(fù)雜系統(tǒng)的可用度進行分析，一般用于輔助制定保障決策，其精度難以保證。

對于艦炮裝備，其作戰(zhàn)使用具備以下幾個特點：

1)產(chǎn)品組成復(fù)雜?，F(xiàn)代化艦炮武器系統(tǒng)往往具有機電液系統(tǒng)耦合、多專業(yè)技術(shù)綜合、多源信息融合等特點。

2)使用場景多樣。即在廠家、岸邊碼頭、近海區(qū)域、遠海區(qū)域均有使用或維護場景。

3)多種維修體制。不僅可由艦員實施艦上的維修保障，亦可由相關(guān)維修保障部門在岸上實施維修，或返廠維修。

因此，對于艦炮裝備，想要提前預(yù)知其在未來一段時間內(nèi)的作戰(zhàn)能力，需要考慮多種因素，較為困難。國內(nèi)曾研究了一種基于備件庫存的艦炮使用可用度建模與仿真方法，從三級備件庫存結(jié)構(gòu)和使用可用度著手，建立了使用可用度和備件保障度的關(guān)系模型，并進行了蒙特卡洛仿真[4]。

1 艦炮裝備可用度評估方法概述

目前，國內(nèi)關(guān)于可用度的評估，一部分學(xué)者從仿真的角度進行了大量的研究[5-7]。但這些研究尚未反映裝備在執(zhí)行任務(wù)中真實的使用場景和維修保障活動特點，以及保障資源之間的協(xié)作行為[8-9]。對于艦炮裝備而言，目前可用度的預(yù)測主要是通過對使用數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計、分析，計算其不同時間段的可用度估計值，然后采用線性擬合或者非線性擬合的方式給出其可用度的分布，從而實現(xiàn)對未來某時刻可用度的預(yù)測。此種方法需要事先約定以下假設(shè)：

1)裝備的使用數(shù)據(jù)真實、有效，且滿足一定的樣本量要求；

2)在規(guī)定的時間內(nèi)，裝備維修保障活動符合一定的規(guī)律；

3)針對不同平臺，其維修保障活動互相獨立，不存在交互關(guān)系。

然而按照目前的裝備維修保障現(xiàn)狀，往往存在以下問題：一是裝備的使用數(shù)據(jù)不滿足要求，不僅裝備的使用頻次和強度較低，且使用者對數(shù)據(jù)的記錄缺乏及時性；二是裝備的修復(fù)性維修活動難以預(yù)測，因此無法在給定的時間段內(nèi)對保障因素進行線性的分析；三是針對不同的裝載平臺，存在大量的保障資源借調(diào)使用的情況，這使得裝備的保障活動分析難度大大增加，傳統(tǒng)的可用度評估方法已經(jīng)無法針對多種狀態(tài)、多層次下的裝備開展預(yù)測。

綜上，現(xiàn)代化艦炮裝備的可用度評估，必須緊密結(jié)合裝備的多狀態(tài)、多層次以及維修保障復(fù)雜的特點，研究更加貼合裝備實際特點的方法開展可用度的預(yù)測。

2 艦炮裝備的馬爾可夫轉(zhuǎn)移過程

馬爾可夫過程(Markov process)是一類隨機過程，通過表征已知系統(tǒng)的開始狀態(tài)，以確定任意時刻系統(tǒng)所處狀態(tài)的概率[10]。

考慮由L種不可修部件串聯(lián)組成的多部件系統(tǒng)，每類部件的安裝數(shù)量為Zi，每種部件的初始庫存數(shù)為Si。不可修部件的備件需求產(chǎn)生時間與供應(yīng)時間相互獨立且服從指數(shù)分布，第i類部件的備件需求到達間隔時間服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，備件供應(yīng)時間服從參數(shù)為τi的指數(shù)分布。

從系統(tǒng)級對多部件串聯(lián)系統(tǒng)建模，因為是串聯(lián)系統(tǒng)，只要有一個部件故障，系統(tǒng)便會立即停止工作。所以有L種部件，系統(tǒng)的故障狀態(tài)便有L個。假設(shè)系統(tǒng)從正常工作到發(fā)生故障會經(jīng)歷L+1個典型的狀態(tài)。系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程用隨機過程{Y(t)=D(t);t≥0}表示，其中，D(t)表示t時刻系統(tǒng)處于的狀態(tài)，D(t)∈{D0,D1,…,DL}，D0表示系統(tǒng)處于初始的完好狀態(tài)(正常工作狀態(tài))；Di(1≤j≤L)表示系統(tǒng)因部件j故障導(dǎo)致的故障狀態(tài)。多部件系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖1所示。αj表示系統(tǒng)從D0狀態(tài)轉(zhuǎn)移到Dj狀態(tài)的轉(zhuǎn)移率，βj表示系統(tǒng)從故障的Dj狀態(tài)轉(zhuǎn)移到D0狀態(tài)的轉(zhuǎn)移率，其中αj與βj需要進行庫存充足過程狀態(tài)歸并處理之后計算得出，此部分將在下文分情況討論。

部件i在m狀態(tài)的轉(zhuǎn)移率表達式為

(1)

當(dāng)0

(2)

(3)

需要對以上不可修部件i在供應(yīng)能力有限的情況下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程進行庫存充足過程狀態(tài)歸并處理，即對隨機過程{Xi(t)=Gi(t);t≥0}進行狀態(tài)歸并：將沒有出現(xiàn)備件短缺(即備件庫存數(shù)大于等于0)的狀態(tài)歸并為一個狀態(tài)，這些狀態(tài)的Si(t)≥0。對于其他狀態(tài)，即出現(xiàn)備件短缺(即備件庫存數(shù)小于0，導(dǎo)致系統(tǒng)不可用)的狀態(tài)，則不進行任何操作。

將歸并后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程用一組新的連續(xù)時間馬爾科夫鏈{PXi(t)=Oi(t);t≥0}來表示，其中，PXi(t)表示隨機過程Xi(t)的馬爾可夫鏈，Oi(t)表示系統(tǒng)可用數(shù)，因為此時研究對象為一個系統(tǒng)，所以此時Oi(t)也表示系統(tǒng)是否可用，當(dāng)系統(tǒng)可用時，Oi(t)取值為1；否則為-1。歸并后，3組馬爾科夫鏈之間存在一定的轉(zhuǎn)化關(guān)系，如圖3所示。

3 艦炮裝備可用度預(yù)測方法設(shè)計

基于前文的分析，可利用基于馬爾可夫轉(zhuǎn)移過程理論，對系統(tǒng)級的可用度預(yù)測方法進行設(shè)計。

步驟1給出其假設(shè)條件：

1)系統(tǒng)中各部件是串聯(lián)結(jié)構(gòu)，即只要有一個部件發(fā)生故障，系統(tǒng)就會立即停止工作；

2)可修件的故障間隔時間與維修時間相互獨立且服從指數(shù)分布，第i類部件的故障間隔時間服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布，維修時間服從參數(shù)為μi的指數(shù)分布；

3)不可修件的備件需求產(chǎn)生時間與供應(yīng)時間相互獨立且服從指數(shù)分布，第i類部件的備件需求到達間隔時間服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布(部件因故障而產(chǎn)生需求，所以不可修件的備件需求到達時間等價于可修件的故障間隔時間)，備件供應(yīng)時間服從參數(shù)為τi的指數(shù)分布；

4)采用的庫存策略為及時送修策略，即(s-1,s)策略，只要部件發(fā)生故障，便立即送修或進行更換；

5)故障件的更換時間遠小于備件的供應(yīng)時間，忽略不計備件的更換時間；

6)系統(tǒng)工作時間連續(xù)；

7)部件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程相互獨立，互不影響。

步驟2用D(t)定義系統(tǒng)的狀態(tài)，建立系統(tǒng)的馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程。

步驟3用Di(t)定義部件i的狀態(tài)，建立部件i的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，并確定轉(zhuǎn)移率矩陣Qi。

步驟4根據(jù)分析過程確定{Xi(t)=Gi(t);t≥0}、{PXi(t)=Oi(t);t≥0}以及{Y(t)=D(t);t≥0}這3組隨機過程的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

步驟5利用3組的轉(zhuǎn)化關(guān)系以及Qi，求解{Y(t)=D(t);t≥0}的轉(zhuǎn)移率矩陣Q。

步驟6計算系統(tǒng)的瞬時概率矩陣P(t)，其中Ci表示部件i的馬爾科夫模型狀態(tài)集中的狀態(tài)數(shù)。

(4)

步驟7通過方程組(5)計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率矩陣π：

(5)

步驟8計算系統(tǒng)的瞬時可用度A(t)：

A(t)=p0(t).

(6)

步驟9計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度A：

A=π0.

(7)

4 可用度預(yù)測方法驗證

為了驗證筆者提出方法的準(zhǔn)確性，收集了若干型艦炮裝備的外場實裝數(shù)據(jù)，分別通過統(tǒng)計學(xué)方法以及基于馬爾可夫模型的預(yù)測方法，給出了各個裝載平臺下的可用度值。

對于統(tǒng)計固有可用度，即按照固有可用度的定義，對實裝數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，計算得到系統(tǒng)的MTBF、MTTR后，根據(jù)固有可用度的計算公式Ao=MTBF/(MTBF+MTTR)進行計算，得到統(tǒng)計固有可用度的值，并作為真值，記為NS；對于模型固有可用度，即按照式(7)給出的穩(wěn)態(tài)可用度公式，計算系統(tǒng)的模型固有可用度，并作為評估值，記為NM。

通過收集某使用方的實裝數(shù)據(jù)，在系統(tǒng)級下計算了22個系統(tǒng)的統(tǒng)計固有可用度以及模型固有可用度，并以各試驗類型進行統(tǒng)計分析，計算結(jié)果如表1所示。表中A～F代表不同試驗條件下的系泊航行試驗，G、H代表不同試驗條件下的陸上聯(lián)調(diào)試驗。

表1 基于裝備試驗數(shù)據(jù)可用度計算結(jié)果

為了評估馬爾可夫方法計算出的可靠性指標(biāo)是否具有準(zhǔn)確性，引入公式來對指標(biāo)進行評估。準(zhǔn)確率K的評估公式為

(8)

如果K>80%，則表明馬爾可夫方法計算得出的可靠性指標(biāo)是可信的。

按照式(8)計算基于試驗數(shù)據(jù)的可用度的準(zhǔn)確率K值，其結(jié)果如表2所示。

表2 基于試驗數(shù)據(jù)可用度計算結(jié)果的K值對比

統(tǒng)計模型可用度比模型固有可用度計算出的數(shù)值稍低，但準(zhǔn)確率K均超過80%；統(tǒng)計使用可用度比模型的使用可用度計算出的數(shù)值也稍低，準(zhǔn)確率K也仍然超過80%。通過表2的結(jié)果可以看出，馬爾可夫計算出的可靠度是可信的，在傳統(tǒng)的統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)上做出了一定的變化，從而用另外的角度對艦隊系統(tǒng)的可靠性、維修性等數(shù)據(jù)進行了評估預(yù)測，為今后的可靠性預(yù)測提供了理論基礎(chǔ)和計算方法。

5 結(jié)束語

筆者以構(gòu)建艦炮武器系統(tǒng)多部件狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程為主體，構(gòu)建不可修多部件系統(tǒng)的馬爾可夫轉(zhuǎn)移過程，然后基于馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，提出了系統(tǒng)可用度的預(yù)測方法，給出了其瞬時可用度和穩(wěn)態(tài)可用度的求解方法。為了驗證該方法的準(zhǔn)確性，收集了某使用方的實裝數(shù)據(jù)，并通過統(tǒng)計學(xué)方法計算了穩(wěn)態(tài)可用度的真值，驗證了模型可用度的求解準(zhǔn)確率。

通過固有可用度評估的驗證，艦炮武器系統(tǒng)多部件馬爾可夫過程模型能夠有效地反映艦炮武器系統(tǒng)在不同環(huán)境、任務(wù)剖面上的系統(tǒng)內(nèi)各類部件及備件庫存狀態(tài)變化過程，更加準(zhǔn)確地反映了艦炮武器系統(tǒng)使用可用度的動態(tài)變化情況，可為更完善地開展艦炮武器系統(tǒng)使用可用度評估工作中的數(shù)據(jù)收集、處理環(huán)節(jié)提供工程性指導(dǎo)。

筆者提出的基于馬爾可夫理論的艦炮裝備使用可用度預(yù)測方法為近似計算方法，且需要事先針對任務(wù)剖面進行重新擬定。如何充分利用系統(tǒng)任務(wù)過程中各單機的工作信息，精確地折算為系統(tǒng)任務(wù)信息，是未來對于系統(tǒng)可靠度評估工作研究的重點與熱點內(nèi)容。