基于新型趨近律的永磁同步電機(jī)非奇異終端滑?？刂?/h1>

2022-12-29 02:02:28朱其新黃旭朱永紅

機(jī)床與液壓訂閱 2022年23期 收藏

關(guān)鍵詞：模面同步電機(jī)滑模

朱其新，黃旭，朱永紅

(1.蘇州科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇蘇州 215009；2.蘇州科技大學(xué)建筑智慧節(jié)能江蘇省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇蘇州 215009；3.景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西景德鎮(zhèn) 333001)

0 前言

永磁同步電機(jī)(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM) 因具有高精度、高速度、推力大、散熱性能好等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于動(dòng)態(tài)性能和運(yùn)動(dòng)精度要求較高的進(jìn)給伺服系統(tǒng)中。高精度機(jī)床對(duì)于電機(jī)的性能要求很高，但是永磁同步電機(jī)由于缺少中間的傳動(dòng)環(huán)節(jié)，使非線性摩擦力、端部效應(yīng)、外部擾動(dòng)、齒槽效應(yīng)等不確定性因素作用到 PMSM 的動(dòng)子上，增加了抖振，降低了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。永磁同步電機(jī)因非線性、強(qiáng)耦合、多變量的特點(diǎn)，普通的線性控制方法已經(jīng)不能滿足其在實(shí)際生產(chǎn)中的需要。

滑?？刂?Sliding Mode Control，SMC)因不需要知道系統(tǒng)精確的模型，并且抗擾動(dòng)性強(qiáng)，一直是研究的熱點(diǎn)。它響應(yīng)速度快，可以使系統(tǒng)處于一種滑動(dòng)模態(tài)中，這種滑動(dòng)模態(tài)可以在不受系統(tǒng)參數(shù)和外部擾動(dòng)影響下進(jìn)行設(shè)計(jì)，所以魯棒性強(qiáng)，對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)變化和外部負(fù)載擾動(dòng)不敏感，而且對(duì)未建模動(dòng)態(tài)具有不變性，是當(dāng)前比較被認(rèn)可的一種非線性控制方法。由于滑模控制滑動(dòng)模態(tài)的特性，不可避免存在抖振，常見的抑制抖振的方法有邊界層法[1]、趨近律法以及和其他智能控制相結(jié)合的方法。高為炳[2]最先提出趨近律的概念，他提出的等速趨近律、冪次趨近律和指數(shù)趨近律對(duì)系統(tǒng)抖振的減小和趨近速度的提高有非常重要的意義。但是等速趨近律無(wú)法消除誤差，指數(shù)趨近律在接近滑模面的時(shí)候抖振很大。冪次趨近律因?yàn)椴淮嬖诜?hào)項(xiàng)，抖振減少，而且在接近滑模面的時(shí)候速度不會(huì)過快，也減少了抖振的產(chǎn)生，獲得了人們的關(guān)注。ROHITH[3]提出了分?jǐn)?shù)冪次趨近律，解決了抖振問題,保持了很好的魯棒性，系統(tǒng)響應(yīng)速度快，他從指數(shù)項(xiàng)入手，利用數(shù)學(xué)關(guān)系提高了滑模性能。YANG和CHEN[4]結(jié)合了快速趨近律以及雙冪次趨近律的優(yōu)點(diǎn)，提出了分段快速冪次趨近律的設(shè)計(jì)方案，分段對(duì)指數(shù)進(jìn)行討論，提高了整體的趨近速度。KANG等[5]抓住了雙冪次趨近律的特點(diǎn)，在靠近滑模面和遠(yuǎn)離滑模面的階段進(jìn)行分別討論，將反正切函數(shù)加入冪函數(shù)的指數(shù)，分段函數(shù)簡(jiǎn)單、連續(xù)并且光滑，從而減小了抖振，提高了速度。張瑤等人[6]證實(shí)了多冪次趨近律存在的合理性，并且多增加了一個(gè)指數(shù)項(xiàng)，進(jìn)一步提高了趨近速度。田野和蔡遠(yuǎn)利[7]設(shè)計(jì)了變指數(shù)趨近律，與雙冪次趨近律和多冪次趨近律進(jìn)行了對(duì)比，達(dá)到了自適應(yīng)的效果，但是實(shí)際應(yīng)用時(shí)，初始狀態(tài)容易產(chǎn)生奇異點(diǎn)。

除趨近律的設(shè)計(jì)，滑模面的選取也是消除抖振的有效方法。滑?？刂频聂敯粜灾饕w現(xiàn)在趨近階段，而達(dá)到階段既存在抖動(dòng)又有不確定的外在因素，導(dǎo)致系統(tǒng)的魯棒性下降，所以滑模面的設(shè)計(jì)非常重要。常見的滑模面有線性滑模面、終端滑模面[8-9]、高階滑模面[10-13]和積分滑模面[14]等。線性滑模面和積分滑模面只能實(shí)現(xiàn)指數(shù)收斂，不能保證在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。DEEPIKA等[15]利用線性面和終端滑模面組合的方式，設(shè)計(jì)出非線性超曲面終端滑模面，但是沒有考慮到奇異點(diǎn)的問題。梅紅和王勇[16]提出了新型終端滑模面，在滑模面引入符號(hào)函數(shù)，重疊了趨近和到達(dá)階段，但是收斂時(shí)間有待提高。YU等[17]設(shè)計(jì)了一種終端滑模面，通過切換函數(shù)，在快要接近零點(diǎn)的時(shí)候避免奇異點(diǎn)，然而影響了收斂性。

基于如上討論，本文作者針對(duì)永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)，選取非奇異終端滑模面，設(shè)計(jì)新型冪次趨近律。該趨近律根據(jù)滑模兩個(gè)不同的收斂階段，運(yùn)用切換函數(shù)改變趨近律的冪次值，使得該滑模變量在兩個(gè)階段都有較快的收斂速度。同時(shí)，增加一項(xiàng)指數(shù)項(xiàng)，進(jìn)一步保證趨近律在遠(yuǎn)離滑模面階段的快速性。

1 三相永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

假定永磁同步電機(jī)是理想狀態(tài)，并作以下假設(shè)[18-19]：

(1)永磁體的磁動(dòng)勢(shì)固定不變；

(2)電機(jī)反電勢(shì)是正弦形式的；

(3)電機(jī)轉(zhuǎn)子上不存在阻尼繞組；

(4)電機(jī)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和氣隙磁場(chǎng)都是按正弦分布，且不考慮磁場(chǎng)的所有諧波；

(5)三相定子繞組在定子空間中呈對(duì)稱分布，三相繞組中的各個(gè)電樞電阻均相等，三相繞組中的各個(gè)電感也均相等；

(6)不考慮電機(jī)鐵芯的永磁飽和因素，同時(shí)不考慮電機(jī)中的渦流損耗；

(7)不考慮電機(jī)周圍環(huán)境溫度對(duì)電機(jī)的影響。

文中選擇id=0的控制方式，所以選取d-q坐標(biāo)系下進(jìn)行研究。在d-q坐標(biāo)系下永磁同步電機(jī)的模型[19]為

Uq=Rsiq+λq+ωeλd

(1)

Ud=Rsid+λd+ωeλd

(2)

λq=Lqiq

(3)

λd=Ldid+Lmdidf

(4)

ωe=npωr

(5)

式中：id、iq分別為定子電流 d、q軸分量；Ud、Uq分別為定子電壓 d、q軸分量；Rs為定子電阻；Ld、Lq分別為定子d、q軸電感；ωe為轉(zhuǎn)子電角速度；ωr為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；λd、λq為d、q軸定子磁鏈；Lmd為d 軸的互感；idf為d軸等效磁化電流；np為極對(duì)數(shù)。

永磁同步電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩和機(jī)械轉(zhuǎn)矩方程分別為

Te=3np[Lmdidfiq+(Ld-Lq)idiq]/2

(6)

Te=Jωr+Tl

(7)

式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩;Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

當(dāng)采用id=0的矢量控制策略時(shí)，該電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程可化簡(jiǎn)為

λd=λq

(8)

λq=Lqiq

(9)

(10)

至此就完成了永磁同步電機(jī)的解耦,本文作者通過設(shè)計(jì)永磁同步電機(jī)的速度環(huán)滑?？刂破鳎赞D(zhuǎn)速誤差為輸入、電流為輸出，實(shí)現(xiàn)對(duì)永磁同步電機(jī)的控制。

2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

滑?？刂破髟O(shè)計(jì)主要分為兩個(gè)階段：切換函數(shù)(滑模面)的設(shè)計(jì)；趨近律設(shè)計(jì)。趨近律設(shè)計(jì)主要針對(duì)的是系統(tǒng)從無(wú)窮遠(yuǎn)處趨近于滑模面的過程，而滑模面的設(shè)計(jì)是針對(duì)從滑模面趨向于零點(diǎn)的過程。為減小抖振和增加趨近速度，可以從趨近律設(shè)計(jì)和滑模面設(shè)計(jì)兩個(gè)方面同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化。

2.1 滑模面設(shè)計(jì)

滑模面也叫切換函數(shù)，它決定了滑動(dòng)模態(tài)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能。

線性滑模面具有如下形式:

s=λ1x1+λ2x2+…+λnxn

(11)

其中：{λ1，…，λn}滿足赫爾維茨條件。

線性滑模面的優(yōu)點(diǎn)是設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，并且能夠通過調(diào)節(jié)滑模面系數(shù)達(dá)到漸近穩(wěn)定，缺點(diǎn)是不能完全保證在有限時(shí)間達(dá)到原點(diǎn)，不太適用于復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。

終端滑模面引入了終端吸引子[20]的概念，可以使系統(tǒng)沿著滑模面在有限的時(shí)間達(dá)到原點(diǎn)。它克服了線性滑模面的缺點(diǎn)，并進(jìn)一步提高了趨近速度。其基本形式為

(12)

(13)

其中：p>q>0；β>0。

在實(shí)際工程問題中，在計(jì)算的時(shí)候會(huì)面臨奇異點(diǎn)的問題，例如電機(jī)瞬間啟動(dòng)的加速度或者是輸入電流會(huì)很大，由此促使了非奇異終端滑模面[23]的產(chǎn)生：

(14)

其中：h>g>0；α>0。

文中選取式(13)所示的非奇異終端滑模面，將它與普通線性滑模面做對(duì)比，結(jié)果如圖1所示。

圖1 線性滑模面和非奇異終端滑模面的對(duì)比

由圖1可以看出：非奇異終端滑模以非?？斓乃俣鹊竭_(dá)了s=0的滑模面上，它對(duì)于提高系統(tǒng)性能具有積極的作用。

2.2 改進(jìn)的新型趨近律

趨近律的概念由高為炳教授最先提出，它起初在數(shù)學(xué)中指的是一種到達(dá)條件，后面因?yàn)榱己玫目箶_動(dòng)，并且不依賴模型的特性，被運(yùn)用到控制之中。恰當(dāng)?shù)剡x取趨近律能夠保證運(yùn)動(dòng)的品質(zhì)以及減小抖振。

常見的趨近律有以下4種：

(1)等速趨近律：

(2)指數(shù)趨近律：

(3)冪次趨近律：

(4)一般趨近律：

很多文獻(xiàn)中所采用的趨近律都是以上4種趨近律的組合，從而能達(dá)到一加一大于二的效果。趨近速度和抖振是兩個(gè)相互影響的考量因素。本文作者在雙冪次趨近律的基礎(chǔ)上，引入了切換函數(shù)，分情況改善趨近效果。在|s|<1的情況下，通過引入終端因子項(xiàng)，減小抖振。在|s|>1的情況下，通過增加一個(gè)指數(shù)項(xiàng)，提高趨近速度。又因?yàn)榉瞧娈惤K端滑模面的要求，其最后形式為

(15)

其中：

式中：k1>0；k2>0；a>1；0g；p>q,且p和q為正奇數(shù)。

根據(jù)滑模的存在條件[22]，構(gòu)建李雅普諾夫不等式：

(16)

雙冪次和新型趨近律在線性滑模面的條件下對(duì)比如圖2和圖3所示。雙冪次趨近律設(shè)計(jì)的控制器輸出為u1,其輸出轉(zhuǎn)速響應(yīng)為n1,文中設(shè)計(jì)的控制器輸出為u2,其輸出轉(zhuǎn)速響應(yīng)為n2。對(duì)比圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)：文中提出的新型趨近律有更快的響應(yīng)速度，振動(dòng)也得到了有效的抑制。

圖2 控制器輸出u的對(duì)比 圖3 轉(zhuǎn)速響應(yīng)n的對(duì)比

2.3 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)狀態(tài)方程為

(17)

其中：ω*為給定轉(zhuǎn)速；ω為實(shí)際轉(zhuǎn)速。

聯(lián)立式(7)和式(10)，再代入式(17)，注意到φf=Lmdidf，可得：

(18)

對(duì)滑模面求導(dǎo)得：

(19)

式(15)(18)(19)聯(lián)立得到控制器的函數(shù)：

k2|s|bsgn(s)+k3s]

(20)

3 仿真與結(jié)果分析

3.1 仿真模型的搭建

為驗(yàn)證文中滑?？刂扑惴ǖ恼_性，搭建如圖4所示的永磁同步電機(jī)Simulink仿真結(jié)構(gòu)。速度控制器分別用雙冪次趨近律和文中提出的新型趨近律進(jìn)行控制，最后進(jìn)行仿真結(jié)果的對(duì)比。

圖4 永磁同步電機(jī)仿真結(jié)構(gòu)

電機(jī)具體參數(shù):定子電阻R=2.46 Ω;d、q軸電感Ld=Lq= 6.35 mH;永磁磁鏈φa= 0.175 Wb;轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J= 1.02 g·m2;黏滯摩擦因數(shù)B=0.000 1;極對(duì)數(shù)P=4;額定轉(zhuǎn)速3 000 r/min，逆變器開關(guān)頻率為15 kHz。

3.2 仿真結(jié)果的分析

圖5 永磁同步電機(jī)啟動(dòng)響應(yīng)比較 圖6 系統(tǒng)跟蹤動(dòng)態(tài)響應(yīng)

為對(duì)比調(diào)速系統(tǒng)的跟蹤效果，文中給出了正弦輸入信號(hào)，其幅值為100，頻率為1 Hz,其余參數(shù)仍然不變，其仿真波形如圖6所示。

由圖6可以看出：采用文中提出的趨近律的電機(jī)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速跟蹤響應(yīng)曲線更加光滑，抖振更少。

綜上可知，新型趨近律的終端滑模控制器比雙冪次趨近律的終端滑?？刂破髟谡w性能上更優(yōu)。

4 結(jié)論

本文作者以永磁同步電機(jī)為對(duì)象，設(shè)計(jì)了新型的速度控制器。通過對(duì)比幾種滑模面，根據(jù)控制對(duì)象非線性的特性，選擇非奇異終端滑模面，提高了趨近速度。在趨近律的選取方面，綜合比較了幾種常見趨近律的優(yōu)缺點(diǎn)，選擇了雙冪次趨近律進(jìn)行改進(jìn)。根據(jù)趨近階段遠(yuǎn)離滑模面和接近滑模面的兩個(gè)階段，使用切換函數(shù)，引入終端因子，在增加速度的同時(shí)減小了抖振。同時(shí)增加了指數(shù)項(xiàng)，在遠(yuǎn)離滑模面的階段大大提高了趨近速度。仿真結(jié)果表明：該新型滑?？刂品椒ǖ木C合性能更好。本文作者在設(shè)計(jì)中沒有考慮擾動(dòng)的影響，如何估計(jì)和補(bǔ)償擾動(dòng)的影響則有待于進(jìn)一步研究。

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