基于學(xué)習(xí)路徑分析的“小數(shù)的意義”單元整體教學(xué)

尚飛　章勤瓊

【摘? ?要】小數(shù)延續(xù)了整數(shù)的計(jì)數(shù)規(guī)則，是十進(jìn)制的反向延伸。從知識(shí)習(xí)得過(guò)程來(lái)看，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)整體；從數(shù)的組成角度而言，它們都是基于“計(jì)數(shù)單位”建構(gòu)的。因此，要從整體視角來(lái)關(guān)聯(lián)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，這是小數(shù)的數(shù)位意義。另外，整數(shù)表示整體，之前學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)分?jǐn)?shù)整體部分意義，小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式。引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)部分整體意義的理解，凸顯小數(shù)的單位量，并遷移到非十進(jìn)率情境表征小數(shù)的意義，可以幫助他們更好地理解小數(shù)的意義。

【關(guān)鍵詞】小數(shù)的意義；十進(jìn)制；一致性；學(xué)習(xí)路徑

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《2022年版課標(biāo)》）指出，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一大特點(diǎn)就是整體性。教材編寫(xiě)與教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)突出核心內(nèi)容，呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián)。從知識(shí)習(xí)得過(guò)程來(lái)看，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)整體；從數(shù)的組成角度而言，它們都是基于“計(jì)數(shù)單位”建構(gòu)的。數(shù)的發(fā)展過(guò)程就是計(jì)數(shù)單位的發(fā)展過(guò)程。整數(shù)和小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是十、個(gè)、十分之一等，分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位就是分?jǐn)?shù)單位。建構(gòu)整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)鍵是計(jì)數(shù)單位。［1］ 但從當(dāng)前的教材和教學(xué)來(lái)看，關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)都各有其不同的習(xí)得方法，這些知識(shí)和方法之間內(nèi)在的整體性、一致性不足。

“小數(shù)的意義”在《2022年版課標(biāo)》中被安排在第二、三學(xué)段進(jìn)行教學(xué)。第二學(xué)段結(jié)合具體情境初步認(rèn)識(shí)小數(shù)；第三學(xué)段結(jié)合具體情境探索并理解小數(shù)的意義，感悟計(jì)數(shù)單位?！靶?shù)的初步認(rèn)識(shí)”安排在“小數(shù)的意義”之前，那學(xué)生要認(rèn)識(shí)到什么程度？理解到什么程度？?jī)烧咧g有什么界限？在“小數(shù)的意義”教學(xué)前認(rèn)識(shí)了整數(shù)、分?jǐn)?shù)，認(rèn)識(shí)數(shù)的關(guān)鍵是理解數(shù)的建構(gòu)方法，那么如何體現(xiàn)所有數(shù)都是基于計(jì)數(shù)單位來(lái)建構(gòu)的？另外，對(duì)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”和“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)，會(huì)給“小數(shù)的意義”的學(xué)習(xí)帶來(lái)“助力”還是“阻礙”？綜觀各版本教材理解小數(shù)的意義，基本上有兩條路徑：一是把“1”平均分成10份，每份是1/10，也可以說(shuō)是0.1；把“1”平均分成100份，每份是1/100，也可以說(shuō)是0.01；把“1”平均分成1000份，每份是1/1000，也可以說(shuō)是0.001。如果只形成這樣的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在十進(jìn)分?jǐn)?shù)的改寫(xiě)中會(huì)遇到困難。二是以分?jǐn)?shù)的意義來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)，然而，分?jǐn)?shù)本身有多種不同意義，在小數(shù)的再認(rèn)識(shí)之前，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是“部分與整體”關(guān)系的意義。此時(shí)學(xué)生理解的分?jǐn)?shù)，是一種關(guān)系，并不是作為一個(gè)“數(shù)”。因此，學(xué)生并沒(méi)有認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，從“數(shù)”的意義把分?jǐn)?shù)與小數(shù)關(guān)聯(lián)，很難真正以計(jì)數(shù)單位來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義。從單元整體教學(xué)的角度來(lái)看小數(shù)的意義這一內(nèi)容的教學(xué)，怎樣能讓學(xué)生更好地理解小數(shù)的意義？下面基于學(xué)習(xí)路徑的分析，對(duì)這一單元如何進(jìn)行整體教學(xué)展開(kāi)思考。

一、理解單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）單元內(nèi)容概述

人教版教材將“小數(shù)的意義”作為獨(dú)立單元進(jìn)行設(shè)置。北師大版教材沒(méi)有獨(dú)立的“小數(shù)的意義”單元，將其設(shè)置在四年級(jí)下冊(cè)第一單元“小數(shù)的意義和加減法”中。這兩個(gè)版本的教材分別將教學(xué)目標(biāo)定位如下。

人教版：使學(xué)生理解小數(shù)的意義，認(rèn)識(shí)小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，會(huì)讀、寫(xiě)小數(shù)，會(huì)比較小數(shù)的大??；使學(xué)生掌握小數(shù)的性質(zhì)和小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律；使學(xué)生會(huì)進(jìn)行小數(shù)和十進(jìn)復(fù)名數(shù)的相互改寫(xiě)；使學(xué)生能夠根據(jù)要求會(huì)用“四舍五入法”保留一定的小數(shù)位數(shù)，求出小數(shù)的近似數(shù)，并能把較大的數(shù)改寫(xiě)成用“萬(wàn)”或“億”作單位的數(shù)。

北師大版：進(jìn)一步認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義，會(huì)進(jìn)行十進(jìn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化；會(huì)用小數(shù)表示常見(jiàn)的量，能把較小的單位轉(zhuǎn)化為較大的單位；理解和掌握小數(shù)的數(shù)位順序表，認(rèn)識(shí)小數(shù)各個(gè)數(shù)位的計(jì)數(shù)單位及進(jìn)率關(guān)系；理解并掌握小數(shù)的性質(zhì)；能比較小數(shù)的大小。

通過(guò)對(duì)比得出，本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要有三個(gè)：理解小數(shù)的意義，認(rèn)識(shí)小數(shù)的計(jì)數(shù)單位；掌握小數(shù)的性質(zhì)并會(huì)比較小數(shù)的大??；知道小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律并會(huì)進(jìn)行名數(shù)的改寫(xiě)。

（二）單元核心目標(biāo)

“小數(shù)的意義”的教學(xué)重點(diǎn)是位值記數(shù)和“十分”“十進(jìn)”［2］，這是學(xué)生理解小數(shù)的核心內(nèi)容。小數(shù)是通過(guò)十進(jìn)分?jǐn)?shù)來(lái)定義的，可以看成十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種形式。另外，十進(jìn)制的位值原則是小數(shù)產(chǎn)生的根本性質(zhì)，這也是整數(shù)與小數(shù)能得以溝通的原因。［3］教學(xué)中需要做好十進(jìn)制從自然數(shù)向小數(shù)的過(guò)渡，即建立小數(shù)與“十分”“十進(jìn)”的聯(lián)系。對(duì)“十分”“十進(jìn)”的理解也就是對(duì)小數(shù)的意義的理解，有助于學(xué)生掌握小數(shù)的性質(zhì)、大小比較以及小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化等內(nèi)容。

小數(shù)是基于十進(jìn)位值制建構(gòu)的，認(rèn)識(shí)小數(shù)的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)基于十進(jìn)制的小數(shù)計(jì)數(shù)單位。如果把整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位有序排列在一起，如“102，101，100，10-1，10-2”，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是整數(shù)計(jì)數(shù)單位的自然延伸。認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位，又可以關(guān)聯(lián)“小數(shù)的意義”整個(gè)教學(xué)內(nèi)容，比如：了解小數(shù)的性質(zhì)，0.3=0.30，因?yàn)楹愕扔?jì)數(shù)單位變了，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)也變了；小數(shù)比大小，就是比較計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，可以和整數(shù)比大小建立聯(lián)系；小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)引起小數(shù)大小變化，從0.25到2.5，計(jì)數(shù)單位變了，但計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)沒(méi)有變；等等。所以把理解小數(shù)的意義和認(rèn)識(shí)小數(shù)的計(jì)數(shù)單位定為本單元的核心目標(biāo)。

（三）核心目標(biāo)具體化

1.小數(shù)的意義

小數(shù)的意義在學(xué)生理解小數(shù)知識(shí)中具有核心作用。對(duì)小數(shù)的意義的理解程度直接影響學(xué)生小數(shù)知識(shí)的掌握程度。從小數(shù)的意義層面講，小數(shù)意義可以分為數(shù)位意義和整體部分意義兩個(gè)維度。具體內(nèi)涵如下。

數(shù)位意義就是理解小數(shù)的構(gòu)數(shù)系統(tǒng)，在學(xué)習(xí)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)知道只有將“1”平均分成10份才能產(chǎn)生小數(shù)，其中的幾份就是零點(diǎn)幾。在這個(gè)基礎(chǔ)上，學(xué)生需要知道“1”可以繼續(xù)細(xì)分產(chǎn)生更小的數(shù)，每一個(gè)小數(shù)的計(jì)數(shù)單位都可以繼續(xù)“十分”得到更小的計(jì)數(shù)單位。

整體部分意義就是理解小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種形式，即理解小數(shù)的具體內(nèi)涵，通過(guò)小數(shù)反映部分與整體的關(guān)系，包括小數(shù)與整體部分意義的聯(lián)結(jié)，小數(shù)在不同情境下內(nèi)涵的反映。

2.認(rèn)識(shí)小數(shù)的計(jì)數(shù)單位

認(rèn)識(shí)小數(shù)計(jì)數(shù)單位的內(nèi)涵，包括：（1）知道“1”繼續(xù)細(xì)分可以產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位，能使小數(shù)大小比較和整數(shù)大小比較建立聯(lián)系，它們比的都是相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。（2）知道“小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小變化”的根本原因是計(jì)數(shù)單位變了，這個(gè)變化的規(guī)律，是由于有十進(jìn)制，還有計(jì)數(shù)單位的意義。（3）知道單位換算的本質(zhì)就是等量代換，即大小不變——“計(jì)數(shù)單位變了，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)也發(fā)了變化”。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

小學(xué)階段學(xué)生接觸的數(shù)有整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)，其中小數(shù)的學(xué)習(xí)是整個(gè)數(shù)系統(tǒng)的重要組成部分。理解小數(shù)的意義需要從整個(gè)數(shù)系統(tǒng)去思考，要像理解整數(shù)一樣，去理解小數(shù)的計(jì)數(shù)單位以及構(gòu)數(shù)系統(tǒng)。劉加霞教授將學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的理解水平進(jìn)行了如下劃分：（1）事實(shí)性水平——只知道所學(xué)內(nèi)容是什么；（2）概念性水平——能解釋為什么；（3）方法性水平——能溝通知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，形成概括性認(rèn)識(shí)；（4）主體性水平——能靈活運(yùn)用，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。

依據(jù)四個(gè)水平，對(duì)認(rèn)識(shí)小數(shù)的水平進(jìn)行了描述，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。有超過(guò)80%的學(xué)生處于事實(shí)性水平與概念性水平，能達(dá)到方法性水平與主體性水平的很少。學(xué)生具體的表現(xiàn)水平如表1。

基于上述測(cè)評(píng)和統(tǒng)計(jì)分析，可以確定學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和理解難點(diǎn)（如表2）。

因此，知道小數(shù)的本質(zhì)是“十分”，是學(xué)生理解小數(shù)意義的認(rèn)知起點(diǎn)；用多種表征描述小數(shù)和把小數(shù)應(yīng)用到像時(shí)間這樣的非十進(jìn)率的情境中，是學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

基于對(duì)小數(shù)的兩種意義，以及學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)和理解難點(diǎn)的分析，對(duì)于“小數(shù)的意義”的學(xué)習(xí)，可以確定如下學(xué)習(xí)路徑。

首先，認(rèn)識(shí)小數(shù)的數(shù)位意義并進(jìn)行表征。第一，結(jié)合面積模型、立體模型等不同模型理解小數(shù)“十分”本質(zhì)。第二，在構(gòu)造數(shù)的規(guī)則上，小數(shù)和整數(shù)都是由各個(gè)數(shù)位的位值相加構(gòu)成，這與整數(shù)的構(gòu)數(shù)保持一致。第三，根據(jù)列出的數(shù)軸、面積、群組、貨幣以及抽象的數(shù)位位值情境下的小數(shù)示例，能互相聯(lián)結(jié)在每一種情境中說(shuō)出各個(gè)數(shù)位的計(jì)數(shù)單位，會(huì)用不同表征方式表示同一個(gè)小數(shù)。表征小數(shù)是理解小數(shù)的重要活動(dòng)，通過(guò)多樣化的表征，促使學(xué)生以不同思維方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化思考，最終抽象出它們的共同屬性，回歸到數(shù)位位值意義。在這個(gè)不斷轉(zhuǎn)化抽象的過(guò)程中，概念就形成了。

其次，能理解小數(shù)的整體部分意義。對(duì)整體部分意義的理解關(guān)鍵在于凸顯小數(shù)的單位量。在三年級(jí)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生知道分母就是把單位量平均分成幾份，分子表示的是其中的份數(shù)，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候特別強(qiáng)調(diào)單位“1”的量。然而在學(xué)習(xí)小數(shù)內(nèi)容時(shí)，弱化了單位量的教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)整體部分意義的理解有困難。所以，教師要加強(qiáng)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)聯(lián)，重視小數(shù)中單位量的概念，可以提供多元化的情境凸顯小數(shù)的單位量，讓學(xué)生理解小數(shù)中的單位量其實(shí)就是分?jǐn)?shù)中的整體“1”。

因此，可以分為以下三個(gè)方面逐步進(jìn)行理解：第一，在純小數(shù)中凸顯單位量，純小數(shù)中沒(méi)有整數(shù)部分的干擾，通過(guò)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的聯(lián)系，讓學(xué)生明晰0.3的單位量是1；第二，在連續(xù)型和離散型情境中充分體驗(yàn)十等分概念，比如情境可以是線段、月餅等連續(xù)型的，也可以是一盒餅干（包含10片、100片）等離散型情境，這樣學(xué)生不僅知道0.1=1/10，還會(huì)關(guān)注把單位量分成了10份、100份，其中的1份有可能是單個(gè)的，也有可能是多個(gè)的，加深對(duì)整體部分意義的理解；第三，在多元化情境中感知小數(shù)點(diǎn)兩邊數(shù)的大小及大小單位之間的關(guān)系，除了長(zhǎng)度情境，盡可能提供離散型情境，小數(shù)點(diǎn)左邊表示的是幾個(gè)一，小數(shù)點(diǎn)右邊表示的是不超過(guò)“1”的部分，這個(gè)不超過(guò)“1”的部分還要看單位量來(lái)確定每份的數(shù)量，有助于理解十等分及整體部分的意義。

四、單元整體教學(xué)思考

綜上所述，結(jié)合單元學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，我們對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了優(yōu)化調(diào)整，把小數(shù)的意義分成兩個(gè)模塊來(lái)進(jìn)行教學(xué)：一是數(shù)位意義。從小數(shù)意義的本質(zhì)“十分”引入，理解數(shù)位意義，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)從整數(shù)到小數(shù)，由離散性特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為連續(xù)性特點(diǎn)，也就形成了小數(shù)的稠密性特征。二是整體部分意義。設(shè)計(jì)多元化情境強(qiáng)化小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系。突出整體部分意義的教學(xué)，意在讓學(xué)生形成“小數(shù)就是分?jǐn)?shù)的一種特殊表示形式，兩者之間是等價(jià)的”的認(rèn)識(shí)。每個(gè)模塊設(shè)置2～3課時(shí)，共6課時(shí)，與整合前教材課時(shí)相同。重點(diǎn)是讓學(xué)生從多元化角度理解小數(shù)，建立小數(shù)是分?jǐn)?shù)的另一種特殊表示形式的概念。本單元具體教學(xué)內(nèi)容的安排如表3所示。

參考文獻(xiàn)：

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（1.內(nèi)蒙古包頭市九原區(qū)世紀(jì)路第一小學(xué)? ?014060

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