平行四邊形的面積：從否認(rèn)到確認(rèn)

郜舒竹　李娟

【摘? ?要】“平行四邊形的面積”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程第三學(xué)段的內(nèi)容，具有承上啟下的地位和作用。教科書的設(shè)計(jì)是利用長(zhǎng)方形面積公式得到“平行四邊形的面積=底×高”，回答了平行四邊形面積公式“是什么”。這樣的設(shè)計(jì)缺失了針對(duì)“相鄰邊長(zhǎng)度乘積等于面積”以及“邊越長(zhǎng)—面越大”這兩個(gè)誤解的否認(rèn)過程。因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)當(dāng)嘗試設(shè)計(jì)“否認(rèn)”的認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷在多種可能性中進(jìn)行比較，通過否認(rèn)實(shí)現(xiàn)承認(rèn)與確認(rèn)的過程。應(yīng)當(dāng)注意的是，否認(rèn)不等于否定，“從否認(rèn)到確認(rèn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)立足于認(rèn)知活動(dòng)的開放性，讓“用數(shù)學(xué)的眼光看，用數(shù)學(xué)的思維想，用數(shù)學(xué)的語言說”真實(shí)地發(fā)生，讓認(rèn)知成為真正的“過程”，而不僅僅是走個(gè)“過場(chǎng)”。

【關(guān)鍵詞】面積；平行四邊形；否認(rèn)；確認(rèn)

小學(xué)數(shù)學(xué)課程中“平行四邊形的面積=底×高”這一內(nèi)容，常見于第三學(xué)段（五年級(jí)）“多邊形的面積”單元的起始課，以第二學(xué)段（三年級(jí)）“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”為認(rèn)知基礎(chǔ)。教科書的設(shè)計(jì)是通過“數(shù)方格”和“分、移、補(bǔ)”的活動(dòng)，讓學(xué)生直觀感知平行四邊形面積與相應(yīng)長(zhǎng)方形面積“形異量等”的等價(jià)關(guān)系，進(jìn)而利用長(zhǎng)方形面積公式得到“平行四邊形的面積=底×高”。

這樣的安排應(yīng)當(dāng)說符合“從已知到未知”的學(xué)科邏輯，回答了平行四邊形面積公式“是什么”和“為什么是”的問題。在此基礎(chǔ)上對(duì)公式進(jìn)行記憶，可以達(dá)到利用公式計(jì)算平行四邊形面積并解決相關(guān)問題的目的。但是，如果把課程與教學(xué)目標(biāo)指向?qū)W生的認(rèn)知過程和素養(yǎng)，那么僅有“是什么”和“為什么是”的學(xué)科邏輯是不夠的，還需要“如何知道并相信”的認(rèn)知邏輯。

一、承認(rèn)與否認(rèn)

人在認(rèn)識(shí)陌生事物的初期處于與自身熟悉的經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系的直覺階段，熟悉的經(jīng)驗(yàn)在思維中的存在形式也叫“圖式（Schema或Scheme）”。羅馬尼亞著名數(shù)學(xué)教育家、國(guó)際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)會(huì)（PME）創(chuàng)始人菲茨拜因（Efraim Fischbein，1920—1998）的研究表明，圖式是影響直覺過程中感知、推理與想象最重要的因素之一［1］。人會(huì)無意識(shí)地將思維中的圖式應(yīng)用于對(duì)陌生事物的認(rèn)識(shí)與理解，這樣的應(yīng)用可能是正面的、積極的，也可能是負(fù)面的、消極的。負(fù)面的、消極的影響往往表現(xiàn)為面對(duì)多種可能性難以取舍的茫然與徘徊。

因此人對(duì)“是什么”的承認(rèn)和確認(rèn)必然會(huì)伴隨著對(duì)“不是什么”的否認(rèn)與篩選。同樣，對(duì)“為什么是”的理解與對(duì)“為什么不是”的解釋一定是共生、并存的。排除了可能性中的“不是”，才能真正相信并確認(rèn)“是什么”和“為什么是”。因此對(duì)陌生對(duì)象的認(rèn)識(shí)，不單純是接受和承認(rèn)，還包括對(duì)諸多可能性進(jìn)行枚舉、比較和排除的否認(rèn)過程。

平行四邊形面積對(duì)小學(xué)五年級(jí)學(xué)生來說，是新的、陌生的認(rèn)識(shí)對(duì)象，與之最為接近的經(jīng)驗(yàn)自然源于長(zhǎng)方形的面積。平行四邊形與長(zhǎng)方形相比較，可以說是異同并存，從形狀上看都是四邊形，而且具有對(duì)邊相等且平行等諸多共同的性質(zhì)。學(xué)生在三年級(jí)就已經(jīng)熟悉“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”，從視覺上看，長(zhǎng)與寬是長(zhǎng)方形相鄰兩邊及其長(zhǎng)度，因此在思維中自然形成的圖式是“長(zhǎng)方形面積等于相鄰兩邊長(zhǎng)度乘積”。如果長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)度分別為3厘米和4厘米，那么面積為“3厘米×4厘米=12厘米²”。這樣的圖式會(huì)無意識(shí)地影響到學(xué)生對(duì)平行四邊形面積的認(rèn)識(shí)（如圖1）。當(dāng)面對(duì)相鄰兩邊長(zhǎng)度分別是3厘米和4厘米的平行四邊形時(shí)，學(xué)生會(huì)自然而然地認(rèn)為面積也是“3厘米×4厘米=12厘米²”。

此類直覺認(rèn)知并不荒謬，也不能視為錯(cuò)誤。對(duì)于相鄰兩邊長(zhǎng)度分別為3厘米和4厘米的長(zhǎng)方形（如圖2），默認(rèn)的面積單位為“邊長(zhǎng)1厘米正方形的面積”，因此運(yùn)用“行數(shù)×列數(shù)”得到長(zhǎng)方形面積為“3厘米×4厘米=12厘米²”［2］。

同樣，如果把相鄰兩邊長(zhǎng)度分別為3厘米和4厘米的平行四邊形（如圖3），按照類似方式等分為12個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的菱形（小平行四邊形），并且規(guī)定每一個(gè)小菱形的面積為“1平方厘米”，那么這個(gè)平行四邊形面積自然也是“行數(shù)×列數(shù)”，即“3厘米×4厘米=12厘米²”。

學(xué)生應(yīng)用長(zhǎng)方形面積認(rèn)知的經(jīng)驗(yàn)得到了平行四邊形面積是“相鄰兩邊長(zhǎng)度乘積”，這就成為與“平行四邊形的面積=底×高”不同的另一種可能性，這種可能性不僅合情，而且合理。相信并且承認(rèn)“平行四邊形的面積=底×高”的前提，是對(duì)這種可能性的否認(rèn)。

二、對(duì)“相鄰邊長(zhǎng)度乘積”的否認(rèn)

數(shù)學(xué)中的演繹推理通常遵循“從給定到確定”的模式，從給定的條件得到確定的結(jié)論。平行四邊形面積公式如何確定，取決于給定的前提條件，即如何定義面積單位。圖2中長(zhǎng)方形面積計(jì)算中的“1平方厘米”是邊長(zhǎng)1厘米正方形的面積，圖3中平行四邊形面積計(jì)算中的“1平方厘米”是邊長(zhǎng)1厘米菱形的面積（如圖4）。

首先需要澄清這兩個(gè)圖形面積是否相等，二者是否具有“形異量等”的等價(jià)關(guān)系。比較的方法是多樣的，比如可以在方格紙中畫圖或剪紙等。用動(dòng)態(tài)變化的眼光看，這兩個(gè)圖形的關(guān)系實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致形變，邊長(zhǎng)1厘米正方形兩條豎直的邊沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，邊長(zhǎng)保持不變，但面積變小了，而且隨著旋轉(zhuǎn)的繼續(xù)，面積會(huì)越來越?。ㄈ鐖D5）。

通過這樣的比較活動(dòng)可以形成兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)：第一，邊長(zhǎng)相等的正方形面積與非正方形的菱形面積并不相等，不具有“形異量等”的等價(jià)關(guān)系。第二，給定正方形邊長(zhǎng)，那么正方形的形狀和大小（面積）隨之確定；但給定菱形邊長(zhǎng)，其形狀和大?。娣e）不能隨之確定。

類似的結(jié)論同樣適用于長(zhǎng)方形與平行四邊形的關(guān)系，給定長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形的形狀和大小（面積）隨之確定；而給定平行四邊形相鄰兩邊長(zhǎng)度，其形狀和面積不能隨之確定（如圖6）。

由此可知，如果采用邊長(zhǎng)1厘米的菱形面積作為面積單位“1平方厘米”，就會(huì)出現(xiàn)“同一名稱、所指多樣”的歧義現(xiàn)象。通常所說的“單位”可以有兩種理解，第一是主觀的非標(biāo)準(zhǔn)單位（Nonstandard Unit），第二是客觀的標(biāo)準(zhǔn)單位（Standard Unit）［3］。非標(biāo)準(zhǔn)單位具有因人而異的差異性和多樣性；標(biāo)準(zhǔn)單位則要求確定性和一致性，確定性指的是時(shí)間意義的不變性，一致性指的是空間意義的處處相同。邊長(zhǎng)1厘米的不同菱形面積未必相等，具有不確定性和不一致性，可以作為具體問題中的非標(biāo)準(zhǔn)單位，但不能成為標(biāo)準(zhǔn)單位。邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積具有“邊長(zhǎng)相等、大小一致”的確定性和一致性，可以成為標(biāo)準(zhǔn)單位。

通過比較得到的結(jié)論是，應(yīng)當(dāng)選取邊長(zhǎng)1厘米的正方形面積作為面積測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)單位。用這個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)單位測(cè)量長(zhǎng)方形和平行四邊形面積，就會(huì)發(fā)現(xiàn)圖1中對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度相等的長(zhǎng)方形和平行四邊形面積是不相等的。至此就完成了平行四邊形面積公式認(rèn)識(shí)的第一步，否認(rèn)了“相鄰兩邊長(zhǎng)度乘積等于面積”。

接下來需要認(rèn)識(shí)等底等高平行四邊形與長(zhǎng)方形二者“形異量等”的等價(jià)關(guān)系，這樣的關(guān)系具有“邊長(zhǎng)不等—面積相等”的反直覺特征，表現(xiàn)為“邊越長(zhǎng)—面越大”或“邊越短—面越小”的直覺誤解。因此對(duì)二者關(guān)系的認(rèn)識(shí)，首先不是對(duì)相等的承認(rèn)，而是對(duì)不等的否認(rèn)。

三、對(duì)“邊越長(zhǎng)—面越大”的否認(rèn)

小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中對(duì)等底等高平行四邊形與長(zhǎng)方形二者“形異量等”等價(jià)關(guān)系認(rèn)識(shí)的主要活動(dòng)為“分、移、補(bǔ)”，先將平行四邊形分割出一個(gè)三角形，而后平移到另一側(cè)，補(bǔ)齊成為長(zhǎng)方形（如圖7）。

這樣的設(shè)計(jì)指向的是特殊的平行四邊形面積與相應(yīng)長(zhǎng)方形面積的“相等”和“為什么相等”，并沒有指向“邊越長(zhǎng)—面越大”的直覺誤解。同時(shí)，教科書中圖示的平行四邊形的高位于平行四邊形內(nèi)部（以下簡(jiǎn)稱：形內(nèi)高），對(duì)于高位于形外（以下簡(jiǎn)稱：形外高）的情況也未涉及（如圖8）。

格式塔（Gestalt）心理學(xué)創(chuàng)始人之一，著名科學(xué)家愛因斯坦的生前好友，德國(guó)心理學(xué)家韋特海默（Max Wertheimer，1880—1943）在《有效思考》一書中，描述了其在德國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的觀察與發(fā)現(xiàn)：當(dāng)學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了圖7中“分、移、補(bǔ)”的過程，得到了“平行四邊形的面積=底×高”的結(jié)論之后，對(duì)于圖8中長(zhǎng)方形和平行四邊形面積的等價(jià)關(guān)系仍然拒絕接受，認(rèn)為圖8中平行四邊形面積大于長(zhǎng)方形面積，理由是平行四邊形看上去比長(zhǎng)方形“更長(zhǎng)”，而且無法將左側(cè)平行四邊形轉(zhuǎn)化為右側(cè)的長(zhǎng)方形［4］。許多研究都表明，像這樣“邊越長(zhǎng)—面越大”的直覺誤解是極其普遍的［5］。因此，對(duì)平行四邊形與長(zhǎng)方形二者“形異量等”關(guān)系的認(rèn)識(shí)，僅有“分、移、補(bǔ)”的“動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化”過程是不夠的，還需要“靜態(tài)對(duì)比”中的想象與推理。

面對(duì)同樣的認(rèn)識(shí)對(duì)象，動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化與靜態(tài)對(duì)比的認(rèn)知過程是不同的：前者是同一對(duì)象時(shí)間意義上的先后變化，著重于“變與不變”的關(guān)系；后者是兩個(gè)對(duì)象構(gòu)成元素之間的對(duì)應(yīng)，關(guān)注的是“相異與相同”的關(guān)系。舉例來說，圖9中兩個(gè)正方形（實(shí)線與虛線），用靜態(tài)對(duì)比的眼光看，是兩個(gè)不同的對(duì)象，表現(xiàn)為空間位置和擺放方式的不同。

用動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化的眼光看，它是同一個(gè)正方形旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的不同狀態(tài)（左側(cè)虛線正方形繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)成為右側(cè)實(shí)線正方形），運(yùn)動(dòng)過程中圖形的形狀、大小保持不變（如圖10）。這樣的運(yùn)動(dòng)實(shí)質(zhì)是在思維中發(fā)生的，是一種“想象性運(yùn)動(dòng)（Fictive Motion）”［6］。

對(duì)于圖8中的平行四邊形和長(zhǎng)方形，如果用靜態(tài)對(duì)比的眼光看，是兩個(gè)形狀、位置均不相同的圖形。這時(shí)如果運(yùn)用“盈虧互補(bǔ)”的方法，在平行四邊形左側(cè)“虧”的部分補(bǔ)上一個(gè)直角三角形，長(zhǎng)方形右側(cè)補(bǔ)上同樣的三角形，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)組合圖形（直角梯形）形狀、大小完全相同（如圖11）。

應(yīng)用“等量加（減）等量仍然是等量”的基本事實(shí)，立刻可以知道原來的平行四邊形和長(zhǎng)方形面積具有“形異量等”的等價(jià)關(guān)系。類似的方法還可以是“無中生有”地想象兩個(gè)圖形之間不存在的梯形是存在的，分別補(bǔ)到平行四邊形和長(zhǎng)方形上，同樣發(fā)現(xiàn)兩個(gè)組合圖形（陰影部分）形狀、大小完全相同（如圖12），因此推理出補(bǔ)之前的長(zhǎng)方形與平行四邊形面積相等。

靜態(tài)對(duì)比的認(rèn)識(shí)過程，彌補(bǔ)了動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化的不足，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)“邊越長(zhǎng)—面越大”這一誤解的否認(rèn)，認(rèn)識(shí)到邊的長(zhǎng)度不能成為面積大小的制約因素。在此基礎(chǔ)上，使用類似的方法可以進(jìn)一步意識(shí)到?jīng)Q定平行四邊形（包括長(zhǎng)方形）面積的因素為“寬度”與“高度”，得到“寬度與高度分別相等的平行四邊形面積相等”的結(jié)論（如圖13）。

由此可以認(rèn)識(shí)到“平行四邊形的面積=底×高”中的“底”實(shí)質(zhì)是此類圖形的寬度，“高”其實(shí)是此類圖形的高度。給定平行四邊形的寬度和高度，雖然平行四邊形的形狀不能確定，但面積能夠確定，這樣的認(rèn)識(shí)就成為相信并確認(rèn)“平行四邊形的面積=底×高”的思想基礎(chǔ)。

四、“從否認(rèn)到確認(rèn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)

“從否認(rèn)到確認(rèn)”作為一種“如何知道”的認(rèn)知方式，可以廣泛地應(yīng)用于不同課程內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)。教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)是依據(jù)認(rèn)知對(duì)象對(duì)認(rèn)知過程和認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行的設(shè)計(jì)。如果把“是什么”視為認(rèn)知對(duì)象，那么認(rèn)知過程首先是對(duì)多種可能性進(jìn)行比較與選擇的認(rèn)知活動(dòng)。比較與選擇的活動(dòng)首先不是承認(rèn)“是什么”，而是對(duì)可能性中“不是什么”的否認(rèn)，在此基礎(chǔ)上形成對(duì)認(rèn)知對(duì)象“是什么”的承認(rèn)與確認(rèn)。這樣的認(rèn)知過程與認(rèn)知活動(dòng)可以概括為“枚舉—否認(rèn)—承認(rèn)—確認(rèn)”的基本框架。

l枚舉：依據(jù)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)枚舉“可能是什么”。

l否認(rèn)：通過對(duì)諸多可能性的比較和篩選，得到“不可能是什么”。

l承認(rèn)：在篩選的基礎(chǔ)上承認(rèn)“應(yīng)當(dāng)是什么”。

l確認(rèn)：在承認(rèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步證實(shí)并確信“一定是什么”。

這一認(rèn)知過程所遵循的思維邏輯是“為知是什么，先知不是什么”，強(qiáng)調(diào)否認(rèn)是承認(rèn)與確認(rèn)的前提，對(duì)“是”的承認(rèn)與確認(rèn)需要經(jīng)歷對(duì)“不是”的否認(rèn)。事實(shí)上，這樣的思維方式在人的日常經(jīng)驗(yàn)中普遍存在。比如購(gòu)物時(shí)，對(duì)某商品產(chǎn)生購(gòu)買愿望，通常不是立刻付款取貨，而是貨比三家，“再看看”其他商家的類似商品?！霸倏纯础逼鋵?shí)就是枚舉可能性的過程，通過對(duì)多種可能性的比較，在否認(rèn)若干可能性后，才會(huì)確認(rèn)應(yīng)當(dāng)購(gòu)買的商品。將這種應(yīng)用廣泛且行之有效的思維邏輯應(yīng)用于學(xué)生的認(rèn)知過程與活動(dòng)，無疑對(duì)學(xué)生認(rèn)知能力的提升是十分有益的。圖14用流程圖的形式呈現(xiàn)這樣“從否認(rèn)到確認(rèn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)框架。

“從否認(rèn)到確認(rèn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)，立足于開放性的認(rèn)知活動(dòng)。否認(rèn)是以多樣的可能性為前提，這一過程具有主觀的差異性。比如，對(duì)于“分?jǐn)?shù)意義”的理解重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)與單位的關(guān)系，不同的單位會(huì)得到不同數(shù)的表達(dá)。舉例來看：

一個(gè)半蘋果平均分給3人，每人得到多少？

面對(duì)這樣貌似簡(jiǎn)單的問題，自然而然的答案是每人分得“半個(gè)蘋果”或“1/2個(gè)蘋果”。事實(shí)上，這一問題的答案并不確定，存在多種可能性，無論是“半個(gè)蘋果”還是“1/2個(gè)蘋果”，是將“一個(gè)蘋果”看作單位。如果改變看“一”的眼光，這個(gè)答案也會(huì)隨之改變。比如把“兩個(gè)蘋果”看作單位，每人分得的半個(gè)蘋果就是“兩個(gè)蘋果的1/4”。表1枚舉了常見的四種可能性。

這些可能性顯示出答案的開放性，這樣的開放性表現(xiàn)為“同量不同數(shù)”，每人分得蘋果的“量”是確定的，但表達(dá)這個(gè)量的“數(shù)”是多樣的。多樣的表達(dá)并無對(duì)錯(cuò)之分，這就說明否認(rèn)不是否定，而是依據(jù)人的習(xí)慣、偏好和需求對(duì)諸多可能性進(jìn)行比較與選擇。正如前文中對(duì)邊長(zhǎng)1厘米小菱形面積作為面積單位的否認(rèn)，并不是否定其成為面積單位的可能性，而是因?yàn)槠湫螤?、大小的不確定性和不一致性，否認(rèn)其作為面積測(cè)量中的標(biāo)準(zhǔn)單位。事實(shí)上，任何平面圖形都可以成為比較圖形大小的非標(biāo)準(zhǔn)單位。

將一個(gè)半蘋果平均分給3人，每人分得“1/2”，即便不寫出單位，也會(huì)明晰是一個(gè)蘋果的1/2，原因在于作為離散量的蘋果，把“一個(gè)”視為單位是最自然的。但自然并不等于唯一正確，對(duì)于其他答案的否認(rèn)，原因是不注明單位就容易出現(xiàn)意義模糊或誤解。因此表1中的答案都是正確的，從語言表達(dá)與交流追求簡(jiǎn)潔、清晰的習(xí)慣，人們更偏愛的是1/2。因此“從否認(rèn)到確認(rèn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)，應(yīng)當(dāng)避免“是非分明—非對(duì)即錯(cuò)”的二元思維，許多情況下的否認(rèn)，不是“不對(duì)”，而是“不當(dāng)”或“不習(xí)慣”。

總之，數(shù)學(xué)課程與教學(xué)應(yīng)當(dāng)融入“從否認(rèn)到確認(rèn)”的認(rèn)知活動(dòng)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為在多種可能性中進(jìn)行比較和篩選的過程，使學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光看，

用數(shù)學(xué)的思維想，用數(shù)學(xué)的語言說”的活動(dòng)真實(shí)地發(fā)生，讓認(rèn)知成為真正的“過程”，而不僅僅是走個(gè)“過場(chǎng)”。

參考文獻(xiàn)：

［1］FISHBEIN E.Intuitions and schemata in mathematical reasoning［J］.Educational Studies in Mathematics，1999，38（3）：11–50.

［2］郜舒竹，李娟.“長(zhǎng)×寬”為什么等于“長(zhǎng)方形的面積”［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2022（6）：4-9，14.

［3］郜舒竹.看“一”的眼光［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2020（11）：4-8.

［4］WERTHEIMER M. Productive thinking［M］. Basel：Springer Nature Switzerland AG，2020：51.

［5］鄭倩，郜舒竹.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直覺與誤解［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2018（11）：4-5.

［6］郜舒竹，馮林.例說“數(shù)學(xué)的眼光”［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2022（1/2）：4-9.

（1.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048

2.首都師范大學(xué)教育學(xué)院? ?100037）