基于MOPSO 算法的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)行軌跡優(yōu)化

劉雙龍，金曉怡，王安然，奚鷹

（1.201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院；2.201804 上海市 同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院 ）

0 引言

工業(yè)機(jī)器人的末端執(zhí)行器是機(jī)器人的一個(gè)重要組成部分，它通過(guò)直接抓取部件工作，其運(yùn)動(dòng)軌跡直接關(guān)系到工件的加工質(zhì)量。通過(guò)算法優(yōu)化末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以減少工作時(shí)間，簡(jiǎn)化工作過(guò)程，減少能量消耗，減少工作過(guò)程中的沖擊。

依據(jù)算法中優(yōu)化目標(biāo)個(gè)數(shù)的差異，優(yōu)化算法可以分為單目標(biāo)優(yōu)化和多目標(biāo)優(yōu)化。在優(yōu)化單個(gè)目標(biāo)時(shí)，時(shí)間通常作為優(yōu)化目標(biāo)，這樣就能得到一個(gè)軌跡，使機(jī)器人用最短的時(shí)間工作。付榮等[1]為了獲得運(yùn)行軌跡，利用3-5-3 多項(xiàng)式插值得到關(guān)節(jié)軌跡方程，然后利用粒子群優(yōu)化算法（PSO）進(jìn)行時(shí)間最優(yōu)的軌跡優(yōu)化，最后證明在運(yùn)行時(shí)間和平穩(wěn)性方面，這種算法能得到比通常的3-5-3 多項(xiàng)式插值更好的結(jié)果。

對(duì)于單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，利用粒子群算法可以快速高效地解決，但在多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中，往往某一特定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解對(duì)其他目標(biāo)函數(shù)來(lái)說(shuō)并不一定合適，故需要引入Pareto 最優(yōu)解集對(duì)解進(jìn)行篩選得到非劣解集[2]，并引入自適應(yīng)網(wǎng)格對(duì)非支配解集的粒子引導(dǎo)更新，確保粒子的多樣性。

本文中首先采用五次B 樣條曲線(xiàn)函數(shù)得到關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂的運(yùn)行軌跡曲線(xiàn)，然后根據(jù)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法（MOPSO）計(jì)算簡(jiǎn)便、參數(shù)易調(diào)等優(yōu)點(diǎn)，利用多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)對(duì)上述五次B 樣條運(yùn)行軌跡的多目標(biāo)優(yōu)化，最后通過(guò)對(duì)利用多目標(biāo)粒子群算法得到優(yōu)化后的各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)角度、角加速度和角加加速度的運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)，進(jìn)一步證明多目標(biāo)粒子群算法對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡優(yōu)化的可行性。

1 軌跡規(guī)劃

1.1 B 樣條曲線(xiàn)表達(dá)式

B 樣條曲線(xiàn)是由貝濟(jì)埃曲線(xiàn)（又稱(chēng)貝塞爾曲線(xiàn)、或貝茲曲線(xiàn)）進(jìn)一步演變得到的，該曲線(xiàn)不僅繼承了貝濟(jì)埃曲線(xiàn)的所有優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也補(bǔ)充了貝濟(jì)埃曲線(xiàn)所欠缺的局部可控性[3-4]。

一般B 樣條曲線(xiàn)用式（1）描述：

式中：di（i=0，1，…，n）——B 樣條曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)；i——B 樣條曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)的序號(hào)；P（u）——u 時(shí)刻曲線(xiàn)上的型值點(diǎn)，特別的時(shí)刻u 要與控制頂點(diǎn)的序號(hào)i 一一對(duì)應(yīng)。

B 樣條基函數(shù)為：

式中：k——B 樣條曲線(xiàn)的階數(shù)。

1.2 構(gòu)造五次B 樣條曲線(xiàn)軌跡

在得到的五次B 樣條曲線(xiàn)上確定某一指定點(diǎn)在坐標(biāo)系上的對(duì)應(yīng)位置P（u），需滿(mǎn)足3 個(gè)基本條件：（1）確定五次B 樣條曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)di；（2）保證曲線(xiàn)的次數(shù)k 已知；（3）確定各節(jié)點(diǎn)的矢量U。

根據(jù)文獻(xiàn)[5]的五次B 樣條曲線(xiàn)軌跡的構(gòu)造方法，可得n+5 個(gè)與n+5 控制頂點(diǎn)有關(guān)的方程：

式中：D=[d0，d1，…，dn，…，dn+4]T；P=[P0，P1，…，Pn，ω0，ωf，a0，af]T；An——系數(shù)矩陣，

根據(jù)式（3）可以求出曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)：

事實(shí)上，許多運(yùn)動(dòng)約束和空間約束會(huì)對(duì)加工過(guò)程產(chǎn)生影響，但五次B 樣條插值曲線(xiàn)是采用各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)同一運(yùn)動(dòng)時(shí)間，并且沒(méi)有對(duì)任何加工條件進(jìn)行約束，因此我們采用多目標(biāo)粒子（MOPSO）算法，并將時(shí)間最短、能量消耗最小和沖擊最少作為約束條件，來(lái)確定運(yùn)動(dòng)軌跡的最佳規(guī)劃，提高加工的生產(chǎn)效率和裝置的使用壽命。

2 多目標(biāo)粒子群算法流程

多目標(biāo)粒子群（MOPSO）算法由CarlosA Coello Coello 等學(xué)者提出[6]，是基于單目標(biāo)粒子群算法的進(jìn)一步研究，將粒子群算法從單一約束問(wèn)題尋優(yōu)算法轉(zhuǎn)換為解決多個(gè)目標(biāo)約束的智能算法。

若無(wú)法確定該顆粒的最優(yōu)位置是否適于所有目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，多目標(biāo)粒子群算法將隨機(jī)搜尋所有最優(yōu)解中的粒子歷史最優(yōu)解[7]。在搜尋群體的歷史最優(yōu)解時(shí)，利用網(wǎng)格法劃分粒子的位置，依據(jù)網(wǎng)格中粒子密度進(jìn)行審查得到一個(gè)非劣解集，之后在非劣解集中進(jìn)一步審查粒子，最后對(duì)粒子進(jìn)行存檔[8]。整體的多目標(biāo)粒子群算法的流程如圖1 所示。

圖1 多目標(biāo)粒子群流程圖Fig.1 Flow chart of multi-objective particle swarm optimization

3 適應(yīng)度函數(shù)設(shè)置

3.1 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

本文所研究軌跡優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化目標(biāo)為時(shí)間最短、沖擊最小和能量消耗最少3 個(gè)目標(biāo)，定義的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

在處理多目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，將3 個(gè)目標(biāo)函數(shù)做加權(quán)求和處理，作為整體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的目標(biāo)函數(shù)為：

式中：Stotal——整體目標(biāo)函數(shù)；S1——時(shí)間目標(biāo)函數(shù)；S2——沖擊目標(biāo)函數(shù)；S3——能量消耗大??；λ1，λ2，λ3——3 個(gè)分目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重。本文所研究對(duì)象對(duì)時(shí)間間隔要求較高，故確定為λ1=0.4，λ2=0.3，λ3=0.3。

3.2 約束條件函數(shù)

在實(shí)際生產(chǎn)加工中，不僅要考慮機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)物理位置所能達(dá)到的運(yùn)動(dòng)極限、驅(qū)動(dòng)裝置性能限制、超負(fù)荷工作對(duì)機(jī)器人造成的不可逆?zhèn)Φ?，還要考慮其關(guān)節(jié)的強(qiáng)度極限[9]，因此本文工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特性，如角度、加速度和加加速度，不僅要考慮裝置的最大性能極限，還要考慮關(guān)節(jié)本身的強(qiáng)度極限。約束情況如表1 所示。

表1 機(jī)械臂各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)約束Tab.1 Robotic joint motion constraints of mechanical arm

工業(yè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)i 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在約束條件主要有

對(duì)于其中的非線(xiàn)性約束條件，本文利用自適應(yīng)網(wǎng)格法進(jìn)行處理，如圖2 所示。

圖2 自適應(yīng)網(wǎng)格法流程圖Fig.2 Flow chart of adaptive grid method

4 自適應(yīng)學(xué)習(xí)因子設(shè)置

4.1 自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重

本文中粒子的迭代學(xué)習(xí)過(guò)程由適應(yīng)加權(quán)控制，其值隨適應(yīng)函數(shù)值變化?？偟?yīng)可以通過(guò)適應(yīng)函數(shù)值控制，以避免在局部最優(yōu)解出現(xiàn)。調(diào)整后的權(quán)重方程為：

式中：f——當(dāng)前適應(yīng)度值；favg——平均適應(yīng)度值；fmin——最小適應(yīng)度。

由式（8）可知，自適應(yīng)權(quán)重的取值由當(dāng)前適應(yīng)度、平均適應(yīng)度和最小適應(yīng)度值來(lái)決定，可通過(guò)控制迭代速度，以避免局部最大或最小值出現(xiàn)。除此之外，通過(guò)對(duì)權(quán)重的自適應(yīng)控制，可以避免發(fā)生全局最優(yōu)解強(qiáng)，但局部最優(yōu)解弱的情況；或者局部最優(yōu)解強(qiáng)，但全局最優(yōu)解弱的情況。

4.2 異步學(xué)習(xí)因子

學(xué)習(xí)因子c1負(fù)責(zé)自我認(rèn)知部分，c2負(fù)責(zé)社會(huì)認(rèn)知部分。c1=0 時(shí)稱(chēng)為無(wú)私型算法，這導(dǎo)致群體多樣性的喪失，從而陷入局部最優(yōu)解；c2=0 時(shí)稱(chēng)為自我認(rèn)識(shí)型算法，完全缺失社會(huì)認(rèn)知部分，沒(méi)有社會(huì)信息的共享，算法的收斂相對(duì)緩慢。為了避免這2種情況發(fā)生，可以引入異步學(xué)習(xí)因子，限制粒子群的更新速度。異步學(xué)習(xí)因子公式為：

將本文中的各權(quán)重與學(xué)習(xí)因子代入多目標(biāo)粒子群算法后得到的相應(yīng)優(yōu)化結(jié)果見(jiàn)表2，優(yōu)化后的五次B 樣條插值軌跡的控制頂點(diǎn)見(jiàn)表3。

表2 MOPSO 算法尋優(yōu)之后與尋優(yōu)之前的時(shí)間序列對(duì)比Tab.2 Time series comparison of MOPSO algorithm before and after optimization

表3 MOPSO 算法尋優(yōu)之后的控制頂點(diǎn)Tab.3 Control points of MOPSO algorithm after optimization

由粒子群算法得到新的運(yùn)行控制點(diǎn)，代入MATLAB 軟件進(jìn)行五次B 樣條曲線(xiàn)的繪制，得到新的機(jī)器人在指定末端位置和初始位置情況下的各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)特征曲線(xiàn)，如圖3 所示。

圖3 優(yōu)化后的運(yùn)動(dòng)特性曲線(xiàn)Fig.3 Motion characteristic curve after optimization

利用多目標(biāo)粒子群算法，以沖擊最小、運(yùn)行時(shí)間最短和能量消耗最少為約束條件得出優(yōu)化后的各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)特征曲線(xiàn)。分析優(yōu)化后的各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)，在各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間限制在20 s 左右時(shí)，根據(jù)角加速度和角加速度曲線(xiàn)的變化趨勢(shì)可知，優(yōu)化后的軌跡平穩(wěn)且起伏少，可進(jìn)一步證實(shí)多目標(biāo)粒子群算法對(duì)工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的優(yōu)化效果。

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了多目標(biāo)粒子群（MOPSO）算法原理，通過(guò)五次B 樣條曲線(xiàn)得到各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)特征，將能量消耗最少、沖擊最小和時(shí)間最短作為多目標(biāo)約束條件，采用Pareto 臨時(shí)最優(yōu)邊界面和自適應(yīng)網(wǎng)格法對(duì)約束條件進(jìn)行迭代優(yōu)化，并且引入自適應(yīng)適應(yīng)系數(shù)和異步學(xué)習(xí)因子來(lái)控制迭代速度，可以防止優(yōu)化過(guò)程中的局部最優(yōu)解等問(wèn)題。

運(yùn)用MATLAB 得到優(yōu)化后的各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)特征曲線(xiàn)和新的控制頂點(diǎn)以及各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，進(jìn)一步驗(yàn)證了該算法對(duì)工業(yè)機(jī)器人添加運(yùn)動(dòng)約束的優(yōu)化可行性。