基于DTW-Wavelet的混凝土壩變形特征辨識方法

李 俊，王麗蓉，李 斌，高煥煥，張 群

(中國電建集團西北勘測設計研究院有限公司，陜西 西安 710065)

0 前 言

混凝土壩變形安全監(jiān)測數(shù)據(jù)是一種隨時間或空間變化的具有非平穩(wěn)、非線性特征的數(shù)據(jù)信號，是水壓、溫度、降雨、時效等因素的綜合反映[1]?；炷翂巫冃螖?shù)據(jù)特征辨識，是大壩安全監(jiān)測資料分析進而構建監(jiān)控模型、擬定預警指標、進行安全綜合評判等的前提和基礎。

混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)可看作由不同頻率構成的數(shù)字信號，庫水位、溫度等所引起的分量一般呈年周期性變化，對應的頻率較高；時效分量對應的信號表現(xiàn)為長周期低頻率[2]。王超等[3]利用小波多分辨率分析將結構的時變參數(shù)在多尺度上展開，截斷高頻細節(jié)成分，將結構時變參數(shù)識別問題轉化為時不變小波系數(shù)估計問題。

本文通過對大壩效應量監(jiān)測數(shù)據(jù)執(zhí)行小波多分辨率分析，辨識大壩效應量的周期性變化、趨勢性變化等特征，有助于剖析大壩的真實工作性態(tài)，從而更客觀地評估大壩安全狀況。

1 混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)小波多分辨分析

小波多分辨率分析的原理是構造一定的函數(shù)空間，將混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)序列分解到此空間中進行計算處理，實現(xiàn)信息重構。

1.1 小波多分辨率分析

小波多分辨率的前提是在空間中L2(R)，存在一個子空間Vj?L2(R)，j∈Z，滿足以下條件[4-8]：

(1)單調性

Vj?Vj-1，?j∈Z

(1)

(2)伸縮性

f(t)∈Vj?f(2t)∈Vj-1

(2)

(3)平移不變性

f(t)∈V0?f(t+n)∈V0,?n∈Z

(3)

(4)正交性

(4)

(5)逼近性

(5)

式中，Vj、Vj-1為尺度j、j-1上的尺度空間；Z為自然數(shù)集合；t為時間變量；m,n為時間平移量；φ(t)∈V0且積分值不為零；{φ(t-n)|n∈Z}是V0的標準正交基。

二尺度方程是小波多分辨率賦予尺度函數(shù)φ(t)和小波函數(shù)φ(t)最基本的特征，用來描述相關子空間下基函數(shù)φj-1,k(t)、φj,k(t)和φj-1,t(t)、φj,t(t)之間的相互關系，即

(6)

(7)

式中，φ(t)為尺度函數(shù)；φ(t)為小波函數(shù)。h(n)、g(n)分別為鄰近二尺度空間對應基函數(shù)的相關系數(shù)，計算公式為

h(n)=〈φ,φ-1,n〉,g(n)=〈φ,φ-1,n〉

(8)

則式(6)和式(7)，對于?j∈Z：

(9)

(10)

式中的h(n)、g(n)值不會隨尺度j的變化而變化。

1.2 混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)小波分解與重構

將二尺度方程在時間軸上按式(2)、式(3)進行伸縮、平移，則有

(11)

并進行內(nèi)積處理變換，可得小波變換重構系數(shù)公式

(12)

式中，cj,k、dj,k、cj-1,m分別為小波變換前后的重構系數(shù)；k為平移量。

圖1為小波多分辨率分析的分解結構。從圖1可以看出，多分辨率分析首先將混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)分解為低頻部分a1和高頻部分d1，再將低頻部分a1進一步分解為低頻部分a2和高頻部分d2，以此類推。重復上述步驟，可得到任意頻率下混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)序列的低頻和高頻部分，即

s=an+d1+d2+…+dn

(13)

式中，s為混凝土壩變形原始監(jiān)測數(shù)據(jù)序列；an為第n次分解后的低頻子序列；di為第i次分解后的高頻子序列，i=1，2，…，n。

圖1 混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)小波多分辨率分析結構

2 基于DTW的最優(yōu)小波分解層數(shù)確定

在小波多分辨率分解過程中，不同小波分解層數(shù)所辨識的高頻子序列和低頻子序列有較大差異，以往多根據(jù)低頻子序列的變化趨勢是否符合時效分量變化特征為標準確定最終分解層數(shù)，為提高辨識精度，減小主觀影響，本文提出以動態(tài)時間彎曲距離度量小波分解所得周期性變化的高頻子序列與環(huán)境量序列間的差異，以此為標準確定最優(yōu)分解層數(shù)。

動態(tài)時間彎曲距離(DynamicTimeWarping，DTW)最初用于識別語音的相似性[9-11]。DTW與傳統(tǒng)距離最大的區(qū)別在于其模糊性，DTW并不是嚴格對同一時刻的兩個測點進行距離度量，而是允許對應點間有相互錯動，使得兩組監(jiān)測序列能夠同步進行不是特別精確地匹配計算。

對于混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)序列X={x1，x2，…，xn}和環(huán)境量監(jiān)測數(shù)據(jù)序列Y={y1，y2，…，ym}，兩者之間的DTW為

(14)

Dmin=min{Ddtw(X,Rest(Y)),Ddtw(Rest(X),Rest(Y)),Ddtw(Rest(X),Y)}

(15)

其中，Rest(X)={x2，x3，…，xn}，Rest(Y)={y2，y3，…，ym}。

從式(14)和式(15)可以看出，DTW是一種遞歸計算過程，計算較為繁瑣。為提高計算效率，做如下簡化：首先構造一個大小為n×m的矩陣，稱為彎曲矩陣，如圖2所示。每一個方格代表效應量與環(huán)境量的匹配關系，值為w(xi，yj)，稱之為基距離?；嚯x函數(shù)有很多，通?？梢员硎緸?/p>

(16)

式中，N為最高維度值；xin和yjn分別表示xi和yj在第n維的值；一般情況下取m=3。

圖2 混凝土壩變形與環(huán)境量監(jiān)測數(shù)據(jù)DTW彎曲矩陣

由圖2可知，混凝土壩變形與環(huán)境量監(jiān)測序列上兩測值點間的對應關系轉換為彎曲矩陣中從一個角點到另一個角點的彎曲路徑，對應的數(shù)據(jù)點距離記為W，則W=[w1，w2，…，wk]，k為彎曲路徑經(jīng)過的方格數(shù)，可得如下關系

max(m,n)≤k≤m+n

(17)

定義函數(shù)fw(xi，yj)為

wl=fw(xi,yj),1≤i≤m,1≤j≤n,1≤l≤k

(18)

混凝土壩變形與環(huán)境量監(jiān)測數(shù)據(jù)序列之間的DTW計算可以轉換為求解彎曲矩陣中最小彎曲距離的問題，即

(19)

式中，arg min(*)表示使*最小時，其自變量取值。

混凝土壩變形與環(huán)境量之間的最小彎曲距離DTW(X,Y)可用于度量兩監(jiān)測序列間的差異性。

3 混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)特征辨識實現(xiàn)流程和步驟

借助小波多分辨率分析，結合DTW實現(xiàn)混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)特征辨識流程如圖3所示，主要步驟如下：

(1)根據(jù)混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)序列的特征，選擇合適的小波基函數(shù)，對監(jiān)測數(shù)據(jù)序列進行不同層數(shù)的小波分解，得到低頻子序列ai～a1和高頻子序列dij～di1。

(2)將不同分解層數(shù)下的子序列進行區(qū)分，篩選出周期性變化的高頻子序列予以疊加作為監(jiān)測數(shù)據(jù)的周期性分量Xi。

(3)對比不同分解層數(shù)下，周期性分量與環(huán)境量序列間差異性，按照式(19)計算第(2)步中所合成的各個分解層數(shù)下的周期性分量與庫水位、溫度監(jiān)測序列的動態(tài)時間彎曲距離DTW(Xi,W)、DTW(Xi,T)。選擇DTW(Xi,W)和DTW(Xi,T)均值最小的分解層數(shù)作為最優(yōu)分解層數(shù)k。

(4)基于最優(yōu)分解層數(shù)k，選擇其中周期性變化的高頻子序列相加，其結果代表由環(huán)境量引起的周期性分量；趨勢性明顯的低頻子序列ak即為時效分量。

圖3 混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)特征辨識流程

4 工程實例

某水庫大壩溢流壩段為混凝土重力壩，共分為12個壩段。在溢流壩段壩頂布置有一條激光準直測線，每個壩段布置一個測點，編號為LA-1～LA-12，用以監(jiān)測各壩段壩頂水平位移情況，測點布置情況見圖4。應用本文所述方法，對該溢流壩段的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行特征辨識分析，驗證方法的可行性和有效性。

按照圖3所示流程，對該大壩溢流壩段壩頂水平位移測點LA-2從2009年6月30日至2018年12月26日的監(jiān)測數(shù)據(jù)進行小波多分辨率分析，辨識其特征分量。選用工程中常用的db4小波基函數(shù)對監(jiān)測數(shù)據(jù)序列進行分解，分解層數(shù)n=5～15，辨識周期性分量，如圖5所示。根據(jù)式(19)分別計算不同分解層數(shù)高頻周期性分量與庫水位、氣溫間的DTW(Xi,W)和DTW(Xi,T)，如圖6所示。

圖4 溢流壩段激光準直測點布置

圖5 不同分解層數(shù)周期性分量過程線

圖6 不同分解層數(shù)下周期性分量與庫水位、氣溫偏差度

從圖6中可以看出，當分解層數(shù)n=5～9時，周期性分量與庫水位、氣溫的DTW(Xi,W)和DTW(Xi,T)均較小，且變化平穩(wěn)；當n≥10時，周期性分量與庫水位、氣溫的DTW(Xi,W)和DTW(Xi,T)增加較大，隨著分解層數(shù)的增加有逐漸減小的趨勢。綜合考慮，選取最優(yōu)分解層數(shù)k=9，所辨識的周期性分量及時效分量如圖7所示。

圖7 最優(yōu)分解層數(shù)(k=9)下周期性分量與時效分量

5 結 論

本文所提出的變形特征辨識方法是基于小波多分辨率分解混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，引入動態(tài)時間彎曲距離用于度量周期性分量和環(huán)境量間的差異性，實現(xiàn)了混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)更為客觀、高效的特征辨識，將該方法的特點總結如下：

(1)該方法依據(jù)根據(jù)混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)中蘊含的水壓、溫度、時效等不同時頻特征，利用小波多分辨率特性進行辨識，具有很強的理論基礎，可靠性較高。

(2)該方法引入動態(tài)時間彎曲距離用于度量周期性分量和環(huán)境量間的差異性，作為小波分解層數(shù)的判別條件，減小了人為干預，使得辨識結果更具有客觀性。

(3)將該方法用于實際工程中，所辨識得到的周期性分量和時效分量符合一般規(guī)律，說明將其應用于混凝土壩變形特征辨識是可行的，有效的。