多目標(biāo)優(yōu)化問題在金融投資中的有效運用分析

仉 濤 李佳林

（1.中國社會科學(xué)院研究生院，北京 100871；2.河北地質(zhì)大學(xué)，山東 濟南 250101）

一、前言

投資者一直在尋找從投資中獲得收入的途徑。近年來，人們做出了許多努力，引導(dǎo)投資者以適當(dāng)?shù)姆绞竭M行投資，并提供了許多模式。投資組合優(yōu)化和多樣化已成為發(fā)展和理解金融市場和金融決策的工具，投資組合是為投資而持有的不同股票的組合。在金融市場上，投資者最關(guān)心的問題之一是如何選擇投資組合，使風(fēng)險最小化、收益最大化。股票收益率在不同時期存在差異，不存在穩(wěn)定過程。投資是有風(fēng)險的，因為股票未來收益的不確定性，所以一般來說，風(fēng)險是根據(jù)收益的方差來衡量的。選擇最優(yōu)投資組合的精確方法是低效的，因此需要考慮元啟發(fā)式算法來解決這個問題。降低投資組合風(fēng)險的最重要方法之一是進行多元化投資，并持續(xù)監(jiān)控投資組合中包括的股票和其他證券的狀態(tài)。這意味著，投資者總是檢查影響股票價格和其他類型證券的因素，并分析投資組合中的一家公司股票是否仍有未來增長的可能性，或者是否應(yīng)該出售股票并購買另一家具有更好增長機會和盈利能力的公司股票。

投資組合是投資者購買的股票或其他資產(chǎn)的正確組合。任何自然人或法人的投資組合的金錢價值為投資組合價值。對在證券交易所上市的投資公司進行定價的最重要因素是公司的投資組合價值。投資者投資組合的目的是容忍風(fēng)險，獲得最大的回報。最優(yōu)投資組合選擇（OPS）是金融科學(xué)和投資領(lǐng)域最重要的問題之一，在金融規(guī)劃和決策中有著廣泛的應(yīng)用。Harry Markowitz的投資組合選擇理論是這方面最主要也是最重要的成功。自從Markowitz提出了他的模型版本以來，人們對投資和投資組合的看法產(chǎn)生了許多變化和改進，并被用作投資組合優(yōu)化的有效工具。馬科維茨建議投資者既要考慮風(fēng)險，也要考慮收益，并在這兩個因素相互作用的基礎(chǔ)上，選擇各種投資機會之間的資本配置。然而，馬科維茨投資組合理論為資本配置提供了唯一的解決方案。在資本市場上，有數(shù)百種不同類型的資本質(zhì)量，從非常好到非常差，投資者面臨著信息涌入，因此很難選擇最好的。Markowitz模型通過使用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型進行求解，但當(dāng)現(xiàn)實世界中的約束（如大量資產(chǎn)、股票限制等）添加到模型中時，搜索空間變得很大且不連續(xù)，使用數(shù)學(xué)模型幾乎是不可能的。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)和優(yōu)化準(zhǔn)則，將優(yōu)化問題分為兩類，第一類包括單目標(biāo)優(yōu)化問題，第二組包括多目標(biāo)優(yōu)化問題。在第一組中，目標(biāo)是解決單個性能指標(biāo)的改進問題，其最小值和最大值完全反映解決方案的質(zhì)量。然而，有時不能依靠一個指標(biāo)來為優(yōu)化問題的假設(shè)解決方案打分。在這種情況下，我們必須定義多個目標(biāo)函數(shù)或性能指標(biāo)，并同時對其進行優(yōu)化。多目標(biāo)優(yōu)化是優(yōu)化問題中應(yīng)用最廣泛的研究技術(shù)之一。當(dāng)前問題的目標(biāo)是最大化回報率和最小化風(fēng)險。人們提出了許多方法來解決這些問題。一般可分為經(jīng)典方法和進化方法，第一種方法通常將多目標(biāo)問題簡化為單目標(biāo)問題，第二種方法以真正的多目標(biāo)方式解決多目標(biāo)優(yōu)化問題。

二、多目標(biāo)投資組合優(yōu)化問題

現(xiàn)實世界中的許多決策問題都有多個目標(biāo)，往往相互沖突，并且可以歸結(jié)為多目標(biāo)優(yōu)化。解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的方法很多。在大多數(shù)情況下，目標(biāo)結(jié)果是一組帕累托最優(yōu)解。然而，通常尋找整個帕累托集的理論問題（例如，在帕累托集的連續(xù)基數(shù)的情況下）無法通過算法解決，因此該問題被重新表述為帕累托集的適當(dāng)近似的算法構(gòu)造。在過去的幾十年中，進化算法因其處理單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化問題（包括財務(wù)優(yōu)化問題）的內(nèi)在能力而備受關(guān)注。參考文獻[3]中討論了另一種稱為模擬退火的方法。禁忌搜索方法構(gòu)成了多目標(biāo)優(yōu)化問題的第三大類啟發(fā)式程序。Chang等人對用于解決單準(zhǔn)則投資組合選擇問題的不同啟發(fā)式技術(shù)的性能進行了比較。最近提出的進化多準(zhǔn)則算法性能的類似比較分析尚未報道。風(fēng)險在現(xiàn)代金融中扮演著重要的角色，包括風(fēng)險管理、資本資產(chǎn)定價和投資組合優(yōu)化。投資組合選擇的目的是找到一個在多個證券（投資）之間分配財富的最佳策略，并獲得最佳的風(fēng)險收益權(quán)衡。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的選擇、決策變量的定義以及特定情況下的特定約束條件，投資組合優(yōu)化問題可以以各種方式表述。除了預(yù)期收益和收益方差外，如Markowitz投資組合模型，額外的目標(biāo)函數(shù)可以包括投資組合中的證券數(shù)量、營業(yè)額、賣空金額、股息、流動性、超過基準(zhǔn)隨機變量的超額收益和其他。在銀行投資組合管理中，可以考慮其他標(biāo)準(zhǔn)，如最優(yōu)惠利率、處理成本、預(yù)期違約率、意外損失概率、長期和短期數(shù)量。例如，多目標(biāo)投資組合選擇問題可以包括以下目標(biāo)：（待最大化）投資組合回報、股息、銷售增長、流動性、投資組合回報高于基準(zhǔn)，以及（待最小化）與資產(chǎn)配置百分比、投資組合中證券數(shù)量、營業(yè)額的偏差（即調(diào)整成本），最大投資比例權(quán)重，賣空金額。我們考慮了兩個多目標(biāo)投資組合問題。第一個問題基于一個簡單的兩目標(biāo)投資組合模型，包括收益率的標(biāo)準(zhǔn)差和收益率的平均值，其中收益率Ri是股票i的一個月收益率，收益率是指百分比變化in值。第二個問題包括三個目標(biāo)，其中年度股息收益率加在上述兩個目標(biāo)上。

三、算法選擇的正當(dāng)性

1.FastPGA

FastPGA 是Eskandari和Geiger提出的名為快速帕累托遺傳算法的框架，該框架為多目標(biāo)優(yōu)化問題引入了一種新的適應(yīng)度分配和解決方案排序策略，其中每個解決方案的評估在計算上相對昂貴。新的排名策略基于根據(jù)優(yōu)勢度將解決方案分為兩個不同的類別。第一級非支配解的適應(yīng)度是通過將每個非支配解相互比較并指定使用擁擠距離計算的適應(yīng)度值來計算的?？紤]到支配解和支配解的數(shù)量，為第二秩中的每個支配解分配一個適應(yīng)值。引入了新的搜索算子，提高了算法的收斂性，減少了計算量。引入種群調(diào)節(jié)算子，根據(jù)需要動態(tài)調(diào)整種群大小，直到用戶指定的最大種群大小，即非支配解集的大小。FastPGA能夠在搜索的早期保存大量的解決方案評估，并在以后的幾代中以更有效的方式利用這些評估。特點：FastPGA中采用的調(diào)節(jié)算子提高了其快速收斂、接近帕累托最優(yōu)前沿和解決方案多樣性維護的性能。MOCeLL-Nebro等人提出了MOCeLL，這是一種基于GAs細(xì)胞模型的多目標(biāo)算法，其中大量使用了小鄰域的概念，即種群成員只能在繁殖循環(huán)中與其鄰近的鄰域進行交互。MOCell使用一個外部存檔來存儲在算法執(zhí)行期間發(fā)現(xiàn)的非支配解，然而，MOCell的主要特征是，許多解從存檔移回種群，替換隨機選擇的現(xiàn)有種群成員。這樣做的目的是希望利用搜索經(jīng)驗，找到具有良好收斂性和擴展性的帕累托前沿。MOCell首先創(chuàng)建一個空的帕累托前沿。帕累托前沿只是一個額外的群體（外部檔案），由許多非主導(dǎo)的解決方案組成。種群成員被安排在一個二維環(huán)形網(wǎng)格中，遺傳算子被依次應(yīng)用于它們，直到滿足終止條件。因此，對于每個種群成員，該算法包括從其鄰域中選擇兩個雙親，重組它們以獲得后代，對其進行變異，評估產(chǎn)生的種群成員，并將其插入輔助種群（如果它不受當(dāng)前種群成員支配）和帕累托前沿。最后，在每一代之后，舊的種群將被輔助種群替換，并調(diào)用一個反饋過程，用存檔中的解決方案替換固定數(shù)量的隨機選擇的種群成員。為了管理帕累托前沿的解插入，以獲得不同的集合，使用了基于擁擠距離的密度估計器。此措施還用于在解決方案已滿時從存檔中刪除解決方案。特征：該算法使用外部存檔來存儲搜索過程中發(fā)現(xiàn)的非支配群體成員；與其他多目標(biāo)優(yōu)化的細(xì)胞方法相比，MOCeLL最顯著的特點是成員從檔案到群體的反饋。

2.AbYSS

Nebro等人引入了AbYSS，它基于分散搜索，使用一個稱為參考集的小群體，將其群體成員組合起來構(gòu)造新的解決方案。此外，可以通過應(yīng)用局部搜索方法來改進這些新的群體成員。對于局部搜索，使用一種簡單的（1+1）進化策略，該策略基于變異算子和帕累托優(yōu)勢檢驗。參考集由分散解組成的初始總體初始化，并通過考慮局部搜索改進產(chǎn)生的解進行更新。深淵結(jié)合了三種最先進的進化算法的思想，用于多目標(biāo)優(yōu)化。一方面，按照帕累托存檔進化策略（PAES）采用的方案，使用外部存檔來存儲搜索期間發(fā)現(xiàn)的非支配解決方案，但使用NSGA-II的擁擠距離作為小生境度量，而不是PAES使用的自適應(yīng)網(wǎng)格；另一方面，從初始集選擇解決方案以構(gòu)建參考集時，采用了強度帕累托進化算法2（SPEA2）。使用的密度估計。特點：它使用外部檔案存儲搜索期間發(fā)現(xiàn)的非支配群體成員；深淵的顯著特征是，在分散搜索的重新啟動階段，人口成員從檔案中反饋到初始集，以及在搜索的不同部分組合兩種不同的密度估計器。

3.NSGA-II

將累積距離定義為適應(yīng)度共享等方法的替代功能，使用二進制競賽選擇運算保存和歸檔在前面的算法步驟（elitism）中獲得的非支配解NSGA-II的組件如下：（1）創(chuàng)建初始總體并根據(jù)控制條件對其進行排序；（2）計算適應(yīng)度標(biāo)準(zhǔn)；（3）計算群距離；（4）進行交叉和變異以產(chǎn)生新的子代；（5）將初始種群交叉和變異，得到的種群相結(jié)合。即首先用前一步組合的群體中的最佳成員替換父群體，低階成員替換先前的父群體，然后根據(jù)群距離對其進行排序。對初始總體和結(jié)果總體進行排序。然后刪除總體的較低階部分。在下一步中，將根據(jù)群距離對剩余種群進行排序。在這里，排序是在立面內(nèi)執(zhí)行的。迭代所有這些步驟，直到獲得所需的生成（或最佳條件）。NSGAⅡ算法的偽代碼本文提出的算法基本指令是對金融投資的各種不同項目進行選擇，以洪水般的資本作為投資者投資于不同類型的資本。投資組合提供多樣化的風(fēng)險敞口，以最小化風(fēng)險，同時最大限度地提高效率。許多方法可以用來解決投資組合優(yōu)化問題。其中一種方法是將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題。該方法可分為兩個子類型。第一種方法選擇最重要的準(zhǔn)則之一作為目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化，而其余的函數(shù)定義為狹義條件。第二種方法僅根據(jù)多個標(biāo)準(zhǔn)創(chuàng)建一個評估函數(shù)。第一種方法由Markowitz定義，稱為標(biāo)準(zhǔn)均值-方差模型。在這個模型中，被定義為目標(biāo)函數(shù)和平均資本收益的組合風(fēng)險的大小被認(rèn)為是可以制定如下的約束條件。

四、多目標(biāo)優(yōu)化問題在金融投資中的有效運用

現(xiàn)代投資組合理論是一種完善的投資組合管理方法，它提供了如何選擇具有最優(yōu)可行預(yù)期收益的投資組合。均值-方差模型是現(xiàn)代投資組合理論的基石，其中風(fēng)險定義為預(yù)期投資組合收益的可能變化。然后，在此模型基礎(chǔ)上提出了絕對偏差投資組合優(yōu)化模型，半絕對偏差投資組合優(yōu)化模型，均值-var模型，均值-cvar模型，多期半方差模型和非線性期貨套期保值模型。在庫存和增加資產(chǎn)方面，建立了基于庫存和增量貸款總組合風(fēng)險最小化的貸款優(yōu)化決策模型。以庫存組合和增量組合的總收益最大化為目標(biāo)，構(gòu)建了貸款決策優(yōu)化模型。建立了基于最大收益概率的增量投資組合最優(yōu)決策模型，通過建立銀行凈值變化、增量資產(chǎn)負(fù)債和股票資產(chǎn)負(fù)債期限之間的函數(shù)關(guān)系，可以實現(xiàn)所有資產(chǎn)負(fù)債組合風(fēng)險免疫利率管理的最佳條件。而構(gòu)建了動態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化調(diào)度的一般模型，并將該模型應(yīng)用于優(yōu)化調(diào)度。為了解決投資組合優(yōu)化問題，提出并可以使用各種工具和算法，包括經(jīng)典優(yōu)化算法和智能優(yōu)化算法（元啟發(fā)式）。近幾十年來，股票投資組合問題一直是工業(yè)工程、計算機、金融、運籌學(xué)領(lǐng)域的許多研究人員關(guān)注的問題，并且?guī)缀跏峭ㄟ^met啟發(fā)式算法解決的經(jīng)典問題，如遺傳、粒子群、蜂群、蟻群和模因?qū)W。此外，投資組合優(yōu)化的元啟發(fā)式方法，其中遺傳算法使用不同的股票投資組合，其風(fēng)險以不同的方式計算。目標(biāo)函數(shù)是多函數(shù)的，約束是非線性的，與遺傳算法和粒子群算法相比，該算法具有更好的解。此外，在使用TOPSIS應(yīng)用方法解決了相同的問題。問題設(shè)計投資組合優(yōu)化就是選擇一種金融資產(chǎn)組合，使風(fēng)險最小化，使投資收益最大化。

風(fēng)險成分和資本收益是最優(yōu)投資組合中的兩個重要問題。最佳資本的選擇通常是通過風(fēng)險和回報之間的交換來完成的，如果資本的風(fēng)險更大，投資者將期望更高的回報。投資組合中出現(xiàn)的問題涉及到形成有利可圖的投資組合的各種因素。投資者為了避免利潤中的風(fēng)險，主要建議在投資組合中使用幾股而不是一股，因為在這種情況下，可以通過另一股的利潤來降低風(fēng)險并彌補一股的損失。選擇投資組合應(yīng)考慮多種因素，但還有其他重要因素：投資目標(biāo)和投資條件。這意味著投資者在形成每個投資組合之前必須確定風(fēng)險偏好的程度。這個程度可以改變股票的命運。同時，投資者的目的和投入資金的數(shù)量也非常重要。投資組合選擇是將投資者的資本最優(yōu)地分配給若干候選證券，傳統(tǒng)上，通過Markowitz均值-方差模型，該問題被公式化為一個優(yōu)化問題。在這個模型中，平均值被用來衡量投資回報，方差被用來衡量風(fēng)險。一旦給出了每種證券的預(yù)期單位收益及其協(xié)方差矩陣，如果平均值和風(fēng)險的權(quán)重給定，則投資組合選擇問題可以表述為一個受線性約束的二次優(yōu)化問題。因此，在建立方差模型之前，需要估計輸入?yún)?shù)，包括每個證券的預(yù)期單位收益和協(xié)方差矩陣；確定均值和方差的權(quán)重。在實踐中，輸入?yún)?shù)通常通過經(jīng)驗觀察或主觀研究進行估計。然而，輸入?yún)?shù)的小擾動可能會導(dǎo)致所選投資組合績效的大偏差。

此外，如何確定均值和方差的權(quán)重也是一個挑戰(zhàn)。將該問題轉(zhuǎn)化為一個組合優(yōu)化問題，并提出了一種遺傳算法來求解該問題。使用基數(shù)約束進一步討論了最小交易批次，其中基數(shù)約束是約束要選擇的投資組合數(shù)量。該問題也被表述為一個混合整數(shù)優(yōu)化問題，并引入了一個定制的遺傳算法來解決該問題。