基于相對軌道根數(shù)計(jì)算的測繪衛(wèi)星單點(diǎn)定位研究

趙峻天

(陜西能源職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 咸陽 712000)

衛(wèi)星軌道需要通過單點(diǎn)定位方法精確獲取，此過程結(jié)合IGS和鐘差，利用多個(gè)GPS接收器實(shí)現(xiàn)載波相位的觀測，預(yù)估衛(wèi)星地面站的立體坐標(biāo)、接收器的鐘差以及電離層等參數(shù)，單點(diǎn)定位技術(shù)現(xiàn)今已經(jīng)廣泛應(yīng)用于航空、海洋等諸多領(lǐng)域的相關(guān)測量[1-3]。

衛(wèi)星的運(yùn)行軌道對衛(wèi)星定位存在直接影響，但是當(dāng)前的測繪衛(wèi)星定位方法普遍存在軌道信息掌握不全面問題，導(dǎo)致定位出現(xiàn)較大偏差。為此，提出基于相對軌道根數(shù)計(jì)算的測繪衛(wèi)星單點(diǎn)定位方法。將衛(wèi)星的軌道以及飛行狀態(tài)作為軌道運(yùn)行參數(shù)[4]。為實(shí)現(xiàn)測繪衛(wèi)星單點(diǎn)定位、準(zhǔn)確定位衛(wèi)星單點(diǎn)位置，構(gòu)建J2攝動(dòng)模型，利用該模型預(yù)測衛(wèi)星軌道根數(shù)，以此判斷所需定位衛(wèi)星相對軌道狀態(tài)，再縮小定位范圍，在衛(wèi)星所處軌道中，實(shí)現(xiàn)測繪衛(wèi)星的單點(diǎn)定位。

1 基于相對軌道根數(shù)計(jì)算的測繪衛(wèi)星單點(diǎn)定位方法

1.1 基于J2攝動(dòng)模型的衛(wèi)星軌道根數(shù)預(yù)測方法

1.1.1 計(jì)算六根數(shù)變化率

設(shè)定初始軌道六根數(shù)為[φ0,φ0,j0,η0,?0,N0]，軌道六根數(shù)變化率計(jì)算公式為：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，u為衛(wèi)星在軌道路程的變化率；Kφ為地球平均赤道半徑；d表示求導(dǎo)。

1.1.2 計(jì)算t時(shí)刻軌道六根數(shù)

在非未知t時(shí)刻中，計(jì)算隨機(jī)時(shí)刻t的軌道六根數(shù)：

φ=φ0

(5)

φ=φ0

(6)

j=j0

(7)

η=j0+uη(t-t0)

(8)

?=?0+u?(t-t0)

(9)

N=N0+uN(t-t0)

(10)

使用上式可獲取隨機(jī)時(shí)刻的軌道六根數(shù)[φ,φ,j,η,?,N]，以此掌握衛(wèi)星所在軌道，縮小衛(wèi)星單點(diǎn)定位范圍。

1.2 基于相對軌道根數(shù)的衛(wèi)星單點(diǎn)位置預(yù)測

1.2.1 衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程

按照上小節(jié)所預(yù)測的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌道信息，在衛(wèi)星軌道(圖1)中，設(shè)定天球坐標(biāo)系為O-XYZ，坐標(biāo)系的原點(diǎn)為地球質(zhì)心點(diǎn)[5-7]。

由于地球自身質(zhì)量遠(yuǎn)大于衛(wèi)星質(zhì)量，因此衛(wèi)星對地球的引力的干擾是可以忽略不計(jì)的[8]。

(11)

式中，N為地球質(zhì)量，n為衛(wèi)星的質(zhì)量，矢量s為起始點(diǎn)為O的衛(wèi)星的位置，H為衛(wèi)星所在位置的高度。

圖1 衛(wèi)星軌道面

式(11)簡化成：

(12)

α=HN

(13)

其中，s3是衛(wèi)星軌道位置矢量s的模，表示地心距(地心向徑)，則：

(14)

轉(zhuǎn)換成標(biāo)量模式：

(15)

如上述所示，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方程屬于三元二階聯(lián)立微分方程組，必須使用6個(gè)積分常數(shù)求解方程[9-11]。

衛(wèi)星軌道極坐標(biāo)方程積分為：

(16)

使用活力公式將其轉(zhuǎn)換成：

(17)

式中，β為活力轉(zhuǎn)換后衛(wèi)星軌道極坐標(biāo)方程。

可獲?。?/p>

(18)

式中，衛(wèi)星穿過近地點(diǎn)的平均角速度是m。為了利于積分，使用輔助變量D，其代表偏近點(diǎn)角。

將和橢圓中心連線、近地點(diǎn)方向的夾角設(shè)成偏近地角F。則：

cosF=scosg+φφ

(19)

其中，g是真近地角。使用橢圓軌道方程能夠獲?。?/p>

(20)

以此導(dǎo)出的表達(dá)式是：

φcosF=φ-s

(21)

將上式導(dǎo)進(jìn)位置微分方程，可獲?。?/p>

(22)

積分可獲?。?/p>

F-φsinF=mt+H0

(23)

式中，積分常數(shù)為H0。

式(23)即為開普勒積分，屬于開普勒方程。其能夠描述偏近地角F與時(shí)間的關(guān)系。

若F的值是0，ε便表示衛(wèi)星穿過近地點(diǎn)的時(shí)間，計(jì)算過程中，使用平近點(diǎn)角N取代ε：

(24)

式中，若初始時(shí)刻t的值為0，N0為衛(wèi)星的平近點(diǎn)角。

1.2.2 衛(wèi)星星歷計(jì)算

按照衛(wèi)星的軌道根數(shù)，分析衛(wèi)星在某時(shí)間中的方位和速度，此過程即為衛(wèi)星星歷計(jì)算[12]。開普勒方程是：

F-φsinF=N

(25)

式(25)屬于超越方程，使用迭代法可求解F。將方程兩側(cè)微分，轉(zhuǎn)換為：

(26)

設(shè)置初始值F0=N，迭代方法是：

(27)

迭代停止條件是：

(28)

其中，F(xiàn)t、Nt依次是t時(shí)刻的偏近地角、平近點(diǎn)角。

使用橢圓的圓錐曲線方程，能夠獲取真近地角g與偏近地角F的關(guān)系：

(29)

1.2.3 衛(wèi)星單點(diǎn)位置和速度計(jì)算

根據(jù)衛(wèi)星的正常運(yùn)行情況可以推測，在軌道平面上衛(wèi)星以順時(shí)針方向按照橢圓形軌跡飛行[13-15]。設(shè)定當(dāng)時(shí)間為t時(shí)，對應(yīng)的衛(wèi)星位置為s，并設(shè)定該位置為定向矢量。若近地點(diǎn)方向的單位矢量為Q，以及與之垂直的單位矢量為P，則衛(wèi)星的位置矢量可表示為：

s(X,Y,Z)=scosg·Q+ssing·P

(30)

導(dǎo)進(jìn)cosg、sing，獲?。?/p>

s(X,Y,Z)=

(31)

通過衛(wèi)星位置微分計(jì)算衛(wèi)星的速度：

(32)

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與結(jié)果分析

為測試所提方法的有效性，使用國際空間站的觀測數(shù)據(jù)作為所提方法測試數(shù)據(jù)。將所提方法的測試數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比對，以此判斷研究方法的應(yīng)用效果。

本次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用MGEX網(wǎng)所采集到的BDS和GPS、觀測時(shí)段為2020年1月1日-6月30日的數(shù)據(jù)，本次實(shí)驗(yàn)的測站分布如圖2所示。

圖2 測站分布圖

利用所提方法在以上測站位置對衛(wèi)星進(jìn)行定位。本實(shí)驗(yàn)主要對N(北)、S(南)、E(東)三個(gè)方向進(jìn)行定位，測試時(shí)長為14h，多個(gè)測站位置的定位平均誤差(m)結(jié)果如下：

根據(jù)圖3～圖5的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，所提方法在N、S、E三個(gè)方向的定位結(jié)果精度較高。N方向的定位誤差在±0.05m范圍內(nèi)；S方向定位誤差最為理想，在14h的測試時(shí)間段內(nèi)，其誤差始終在±0.02m范圍內(nèi)；E方向定位誤差也可保持在±0.05m范圍內(nèi)。以上數(shù)據(jù)表明，所提方法的應(yīng)用精度偏高，應(yīng)用效果較優(yōu)。

圖3 N方向定位誤差

圖4 S方向定位誤差

圖5 E方向定位誤差

所提方法在定位測繪衛(wèi)星位置后，對衛(wèi)星所在軌道進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測誤差的標(biāo)準(zhǔn)主要通過均值、均方值、最大值體現(xiàn)。在某階段中，預(yù)測誤差絕對值的平均值即為預(yù)測誤差均值；預(yù)測誤差平方的均值是均方值；預(yù)測誤差絕對值的最大值即為最大誤差。因?yàn)榫街党Ｓ糜诿枋稣`差分布狀況，說服力顯著，所以，使用預(yù)測誤差均方值描述研究方法的衛(wèi)星所在軌道預(yù)測性能。

預(yù)測衛(wèi)星分別是近地衛(wèi)星、中高度衛(wèi)星、地球同步衛(wèi)星。在不同時(shí)間段中，研究方法對三種衛(wèi)星所在軌道預(yù)測結(jié)果如圖6～圖11所示。

圖6 衛(wèi)星所在軌道半長軸預(yù)測結(jié)果

圖7 衛(wèi)星所在軌道偏心率預(yù)測結(jié)果

圖8 衛(wèi)星所在軌道傾角預(yù)測結(jié)果

圖9 衛(wèi)星所在軌道升交點(diǎn)赤徑預(yù)測結(jié)果

圖10 衛(wèi)星所在軌道近地點(diǎn)幅角預(yù)測結(jié)果

圖11 衛(wèi)星所在軌道平近點(diǎn)角預(yù)測結(jié)果

由圖6～圖11可知，所提方法在預(yù)測三種衛(wèi)星所在軌道根數(shù)(軌道半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤徑、近地點(diǎn)幅角、平近點(diǎn)角)時(shí)，預(yù)測誤差均方值均低于0.04cm，預(yù)測誤差極小，由此可見，研究方法對衛(wèi)星所在軌道預(yù)測結(jié)果可信。

以上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，再使用研究方法單點(diǎn)定位三種衛(wèi)星，三種衛(wèi)星的位置定位結(jié)果如圖12～圖14所示。

圖12 近地衛(wèi)星定位誤差均方值

圖13 中高度衛(wèi)星定位誤差均方值

圖14 地球同步衛(wèi)星定位誤差均方值

由圖12～圖14可知，所提方法在定位三種測繪衛(wèi)星時(shí)，定位誤差均方值最大值是0.02cm，可滿足衛(wèi)星單點(diǎn)定位應(yīng)用需求。

3 結(jié) 論

以測繪衛(wèi)星單點(diǎn)定位為研究內(nèi)容，提出基于相對軌道根數(shù)計(jì)算的測繪衛(wèi)星單點(diǎn)定位方法。并為了測試所提方法的可應(yīng)用性，使用其對三種類型的衛(wèi)星軌道預(yù)測、位置定位。測試結(jié)果為：

(1)所提方法在N、S、E三個(gè)方向的多個(gè)測站位置定位平均誤差的波動(dòng)范圍為±0.05m，定位誤差極??；

(2)所提方法在預(yù)測三種衛(wèi)星所在軌道根數(shù)(軌道半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤徑、近地點(diǎn)幅角、平近點(diǎn)角)時(shí)，預(yù)測誤差極小；

(3)所提方法在定位三種測繪衛(wèi)星時(shí)，定位誤差均方值極小，可準(zhǔn)確定位測繪衛(wèi)星位置。