基于牛頓迭代法的GNSS欺騙干擾參數(shù)估計(jì)

王佳奇，唐小妹，孫廣富

(國防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院,長沙 410073)

0 引 言

安全性是全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)發(fā)展的重要方向，由于GNSS 信號的落地電平微弱，信號體制公開且向后兼容[1]，GNSS 接收機(jī)很容易在捕獲或跟蹤階段收斂至功率較高的欺騙信號[2-3].高級欺騙干擾通過在時延域、頻率域和功率域的同步，能夠在不被預(yù)警的前提下拉偏目標(biāo)接收機(jī)的定位授時結(jié)果，是目前導(dǎo)航對抗技術(shù)研究的熱點(diǎn)問題[4].GNSS 作為時空信息的基準(zhǔn)傳感器，若被敵方控制，會在交通、電力以及通信等基礎(chǔ)領(lǐng)域造成嚴(yán)重?fù)p失[5-6].

欺騙干擾參數(shù)估計(jì)是干擾監(jiān)測系統(tǒng)的重要發(fā)展方向，其可以為關(guān)鍵區(qū)域的接收機(jī)提供欺騙干擾的參數(shù)和攻擊策略等先驗(yàn)信息，為進(jìn)一步的欺騙抑制提供信息支撐.目前高級欺騙干擾的參數(shù)估計(jì)方法主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)信號的估計(jì)理論，對未知參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì).這類技術(shù)一般基于相關(guān)函數(shù)的觀測曲線，利用最大似然估計(jì)(MLE)法對信號參數(shù)進(jìn)行估計(jì)[7].參數(shù)估計(jì)的MLE 準(zhǔn)則等價于在碼相位監(jiān)測空間中尋找子空間，使接收信號到達(dá)子空間的距離最小.傳統(tǒng)MLE 方法一般采用網(wǎng)格搜索的方式對信號碼相位進(jìn)行遍歷，信號幅度采用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，該方法估計(jì)精度較高，但是估計(jì)過程需要遍歷碼相位子空間，計(jì)算量較大[8-9].多徑估計(jì)延遲鎖定環(huán)路(MEDLL)技術(shù)基于MLE 準(zhǔn)則，采用迭代方法對信號參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，但是受噪聲影響較為明顯，適用場景受限[10-11].

針對傳統(tǒng)MLE 參數(shù)估計(jì)技術(shù)需要的計(jì)算量較大這一問題，本文根據(jù)信號參數(shù)的MLE 準(zhǔn)則和觀測方程，提出基于牛頓迭代法的GNSS 欺騙干擾參數(shù)估計(jì)技術(shù)，能夠在小時延欺騙干擾場景下準(zhǔn)確、有效估計(jì)出欺騙信號和真實(shí)信號的參數(shù)，并通過仿真實(shí)驗(yàn)對算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 參數(shù)估計(jì)的MLE 準(zhǔn)則

1.1 信號模型

考慮單路偽碼通道的基帶信號參數(shù)估計(jì)情況，忽略數(shù)據(jù)碼的影響，GNSS 基帶信號的表達(dá)式為

式中：ρ 與信號的幅度和載波相位相關(guān)，滿足 ρi=aiejφi；ai、τi和φi分別表示第i路信號的幅度、碼相位和載波相位，其中i= 1 表示真實(shí)信號，i= 2 表示欺騙信號；n(t)表示功率譜密度為N0的高斯白噪聲(WGN)；c(t)為GNSS 信號的擴(kuò)頻碼，其理想自相關(guān)特性滿足

式中，Tc為擴(kuò)頻碼碼片的持續(xù)時間.

1.2 MLE 估計(jì)值

在高斯噪聲的情況下，信號參數(shù)集θ={τ1,τ2,ρ1,ρ2}對應(yīng)的似然函數(shù)為

式中，ri(t)=ρic(t-τi)，即對真實(shí)信號和欺騙信號的估計(jì).式(3)取對數(shù)，并經(jīng)過復(fù)數(shù)模平方的運(yùn)算轉(zhuǎn)換，可得對數(shù)似然函數(shù)的表達(dá)式為

式中，第二項(xiàng)和第四項(xiàng)為相關(guān)函數(shù)的觀測值，可在跟蹤過程中采用多相關(guān)器架構(gòu)得到.考慮偽碼的自相關(guān)特性，代入式(2)，式(4)可以簡化為

對似然函數(shù)求偏導(dǎo)，參數(shù) τ1、ρ1對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)為：

同理，可得信號r2(t) 參數(shù)的MLE 值為

2 基于牛頓迭代的參數(shù)估計(jì)方法

2.1 觀測模型

對于GNSS 信號而言，噪聲水平遠(yuǎn)高于信號功率，需要通過相關(guān)運(yùn)算提取信號的相關(guān)函數(shù)觀測值來進(jìn)行參數(shù)估計(jì).以跟蹤環(huán)路的本地碼相位為中心，采用多相關(guān)器架構(gòu)，監(jiān)測左右M碼片，則相關(guān)器輸出可表示為

式中：δ=[-M,-M+Δδ,···,M-Δδ,M]T·Tc，Δδ 為相鄰相關(guān)器間隔；R(δ) 為實(shí)際觀測得到的相關(guān)函數(shù)；τ為信號分量與本地信號的碼相位差，簡稱為碼相位；H(τ)為觀測矩陣，在高級欺騙干擾場景下，單路通道內(nèi)一般只有一路欺騙信號，因而其表達(dá)式為

ρ(a,φ)取決于信號分量的幅度和載波相位，其中a=[a1,a2]，φ=[φ1,φ2]，則有

為方便說明，本節(jié)將 ρi=aiejφi稱為幅度.

信號參數(shù)的MLE 準(zhǔn)則等價于在H(τ) 的列向量中尋找二維子空間，使觀測向量R(δ) 向子空間投影的殘差最小.相應(yīng)地可采用網(wǎng)格搜索的方式對信號碼相位進(jìn)行估計(jì)，搜索方式如圖1所示[8].

圖1 信號碼相位的網(wǎng)格搜索

MEDLL 技術(shù)主要以迭代運(yùn)算的形式來實(shí)現(xiàn)對信號功率、碼相位和載波相位的估計(jì).兩種方法的具體實(shí)施過程分別參考文獻(xiàn)[7，12].

2.2 算法模型

式(10)所示的觀測模型，可以用以下一個非線性函數(shù)來描述

為減小噪聲對信號參數(shù)估計(jì)的影響，信號幅度采用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)過程為

式中，Q為Toeplitz 矩陣，窄距相關(guān)器輸出的噪聲具有相關(guān)性，矩陣元素為Qa,b=R(|a-b|Δδ)[13].

進(jìn)而式(13)可以簡化為

相應(yīng)地，式(13)可以近似轉(zhuǎn)換為線性方程組

其中：

相應(yīng)地，Δx可用最小二乘法進(jìn)行計(jì)算，其計(jì)算式為

進(jìn)而非線性方程組的解可以表示為

基于牛頓迭代的MLE參數(shù)估計(jì)算法流程如下：

1)狀態(tài)參量初始化，給出解的初始值(τ01,τ02)，并根據(jù)式(14)計(jì)算(ρ01,ρ02)，迭代次數(shù)k初始值設(shè)置為1；

2)計(jì)算雅可比矩陣G和估計(jì)誤差向量b；

3)根據(jù)式(22)～(23)得到解的更新值(τk1,τk2)，并計(jì)算(ρk1,ρk2)；

4)迭代次數(shù)k=k+1，重復(fù)進(jìn)行步驟2)～3)，直至滿足預(yù)設(shè)條件

為方便比較，實(shí)驗(yàn)過程設(shè)置碼相位分辨率Δδ=0.05，碼相位監(jiān)測區(qū)間為±3 個碼片，即M= 3；碼相位估計(jì)的初始值設(shè)置為(τ01,τ02)=(-0.5,0.5).

3 仿真性能分析

為了評估本節(jié)算法的有效性，采用蒙特卡洛仿真方法，分析欺騙信號與真實(shí)信號不同碼相位偏差Δτ下的參數(shù)估計(jì)性能.蒙特卡洛仿真次數(shù)設(shè)置為1 000，假設(shè)欺騙信號與真實(shí)信號的載波相位在區(qū)間[-π,π]均勻分布，真實(shí)信號的碼相位在區(qū)間 [-Δδ/2,Δδ/2] 均勻分布，設(shè)置欺騙信號的功率高于真實(shí)信號3 dB，即相對幅度為1.41，相干積分之后的信噪比(SNR)為20 dB.由算法模型可知，碼相位估計(jì)是信號參數(shù)估計(jì)過程中的核心，故以碼相位估計(jì)結(jié)果為例，對應(yīng)的參數(shù)估計(jì)均方根誤差(RMSE)和偏差如圖2～3 所示.

圖2 信號碼相位的估計(jì)精度(SNR=20 dB)

圖3 信號碼相位估計(jì)的偏差(SNR=20 dB)

從圖中可以看到，欺騙信號的碼相位偏差 Δτ 越小，參數(shù)估計(jì)的難度越大.MEDLL 技術(shù)在碼相位偏差 Δτ ＜0.3 碼片的情況下，估計(jì)結(jié)果有偏，而傳統(tǒng)MLE 估計(jì)方法和本文提出的基于牛頓迭代的MLE改進(jìn)方法的估計(jì)結(jié)果基本無偏.在估計(jì)精度方面，由于牛頓迭代過程并不局限于碼相位監(jiān)測點(diǎn)的位置，即算法分辨率受相關(guān)器間隔的影響較小，本文算法在Δτ ＜1碼片時的參數(shù)估計(jì)精度要高于基于網(wǎng)格搜索的傳統(tǒng)MLE 參數(shù)估計(jì)法.需要注意的是，在 Δτ ＞1 碼片的情況下，本文算法對欺騙信號碼相位的估計(jì)結(jié)果開始出現(xiàn)偏差，這與初始值的選取有關(guān)，此時牛頓迭代法容易收斂至局部最優(yōu)解.

進(jìn)一步對算法計(jì)算量進(jìn)行分析，保持仿真參數(shù)不變，不同碼相位偏差 Δτ 下本文算法的迭代次數(shù)如圖4所示.從整體上而言，在SNR 為20 dB 的條件下，不同碼相位偏差下的迭代次數(shù)，即信號碼相位的搜索次數(shù)小于10.傳統(tǒng)MLE 參數(shù)估計(jì)方法基于網(wǎng)格搜索對信號碼相位進(jìn)行估計(jì)，其搜索次數(shù)為(2M/Δδ)(2M/Δδ-1)/2，與其相比，本文算法的計(jì)算量大大減小.

圖4 迭代次數(shù)

進(jìn)一步評估SNR 對算法估計(jì)性能的影響，設(shè)置相關(guān)后的SNR 分別為15 dB、20 dB、30 dB，其他仿真參數(shù)不變，欺騙信號碼相位的估計(jì)結(jié)果和算法迭代次數(shù)如圖5～7 所示.

圖5 不同SNR 條件下的欺騙碼相位參數(shù)估計(jì)精度

圖6 不同SNR 條件下的欺騙碼相位參數(shù)估計(jì)偏差

圖7 不同SNR 條件下的迭代次數(shù)

從圖中可以看到，噪聲對碼相位偏差 Δτ ＜0.3 碼片情況下的參數(shù)估計(jì)影響較大，隨著SNR 下降，欺騙信號的碼相位估計(jì)值出現(xiàn)微小的偏差，參數(shù)估計(jì)精度也隨之下降，同時算法的迭代次數(shù)上升.由式(14)和式(21)可知，噪聲直接影響信號幅度估計(jì)值和參量的更新過程，進(jìn)而導(dǎo)致迭代次數(shù)增加以及信號碼相位估計(jì)的準(zhǔn)確度下降.值得注意的是，噪聲對 Δτ ＞0.3 碼片情況下的參數(shù)估計(jì)過程影響較小.

4 結(jié) 論

本文在參數(shù)估計(jì)的MLE 準(zhǔn)則下，提出了一種基于牛頓迭代的碼相位快速搜索方法，能夠有效地應(yīng)用于碼相位偏差Δτ 小于1 碼片的小時延欺騙干擾場景.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法不局限于相關(guān)函數(shù)觀測點(diǎn)的位置，能夠有效提高信號參數(shù)的估計(jì)精度，參數(shù)估計(jì)精度要優(yōu)于傳統(tǒng)MLE 方法和MEDLL 技術(shù).在計(jì)算量方面，在SNR 為20 dB 的情況下，算法的平均迭代次數(shù)基本在10 次以內(nèi)，相比于傳統(tǒng)MLE 方法基于網(wǎng)格搜索遍歷參數(shù)空間，本文算法在參數(shù)域的搜索次數(shù)明顯下降，提高了參數(shù)估計(jì)算法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性.