固推約束下的火星表面起飛上升制導(dǎo)律設(shè)計

郭敏文，李 琨，黃翔宇，郭延寧

(1.北京控制工程研究所，北京 100094；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院控制科學(xué)與工程系，哈爾濱 150001)

0 引 言

目前，中國已經(jīng)通過嫦娥五號探測器實現(xiàn)了月面采樣返回，即將開展小行星就位探測任務(wù)，火星采樣返回任務(wù)也進入方案論證階段。與地球和月球任務(wù)不同的是，火星面臨的干擾和不確定性較大，可觀測的數(shù)據(jù)較少，并且存在著通信困難的問題，因此火星采樣返回任務(wù)困難重重。其中，火星表面上升是火星采樣返回中最具挑戰(zhàn)性的關(guān)鍵技術(shù)，世界上尚無任何先例。由上升段、無動力滑行段和入軌段構(gòu)成的三段式上升方案是一種經(jīng)典且有望實用的技術(shù)路線，但其面臨著初始起飛狀態(tài)和干擾力矩不確定性大、火星上升器質(zhì)量特性變化快和氣動環(huán)境復(fù)雜多變等多項挑戰(zhàn)。最終入軌精度對于同火星軌道器的交會對接、樣本轉(zhuǎn)移等具有重要的影響，因此具有很高的要求。馬歇爾太空飛行中心對上升器的推進方案進行了設(shè)計與預(yù)研，由于固體方案相比于固液混合方案具有更低的起飛質(zhì)量，系統(tǒng)整體復(fù)雜度相對較低并且對工作溫度限制不敏感，能夠適應(yīng)較為復(fù)雜的環(huán)境，所以固體方案更能適應(yīng)飛行任務(wù)的條件與需求[1]。但采用固體發(fā)動機也面臨獨特的困難，一方面是推力大小固定，帶來了控制能力有限的問題;另一方面其自身特性要求在燃燒掉所有推進劑前不能提前關(guān)機，因此需要針對上升器設(shè)計額外的能量管理策略[2]。為了保障上升器能夠在固體推進劑約束的條件下定時定點地進入預(yù)定軌道，火星表面上升過程的制導(dǎo)控制系統(tǒng)面臨著嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。

制導(dǎo)策略是上升器安全、高精度地飛行到預(yù)定軌道的重要保障。目前關(guān)于火星上升制導(dǎo)律的研究相對較少，主要有兩種方法：預(yù)測校正制導(dǎo)和標(biāo)稱軌跡跟蹤制導(dǎo)[3]。預(yù)測校正制導(dǎo)主要是通過對最終狀態(tài)進行預(yù)測來分析軌跡，逐步校正，具有較強的靈活性。McCormick等[4]早在1986年就提出了基于預(yù)測校正的火星表面上升制導(dǎo)方法，有效處理了各種偏差，但其計算量大、對模型要求較高。洪海超等[5]分別考慮了導(dǎo)彈和著陸器的狀態(tài)和輸入約束，提出了一種新的預(yù)測凸規(guī)劃模型，能夠快速高效地解決制導(dǎo)問題。標(biāo)稱軌跡跟蹤制導(dǎo)主要任務(wù)為跟蹤離線優(yōu)化的標(biāo)稱軌跡，根據(jù)實際飛行軌跡與標(biāo)稱軌跡之間的誤差設(shè)計制導(dǎo)策略。文獻[3]總結(jié)了火星上升器制導(dǎo)算法的發(fā)展和面臨的諸多困難，雖然對火星上升器的研究不多，但是可以參考地球、月球表面上升的方案[6]。目前大多數(shù)火星探測任務(wù)中，出于對可靠性的要求，標(biāo)稱軌跡跟蹤制導(dǎo)仍是優(yōu)先考慮使用的方法。

標(biāo)稱軌跡跟蹤制導(dǎo)可主要分為標(biāo)稱軌跡的獲取和制導(dǎo)律的設(shè)計[7]。標(biāo)稱軌跡的獲取即在滿足約束條件下最優(yōu)化預(yù)先設(shè)定的性能指標(biāo)來確定飛行軌跡的過程。制導(dǎo)律設(shè)計的目的就是通過設(shè)計控制加速度或執(zhí)行機構(gòu)狀態(tài)，使上升器能夠克服各種干擾與不確定性的影響，對標(biāo)稱軌跡實現(xiàn)跟蹤。Ro等[8]使用最優(yōu)控制理論提出了一種應(yīng)用在火星大氣捕獲的阿波羅再入標(biāo)稱軌跡跟蹤制導(dǎo)方法。文獻[9]將該方法應(yīng)用到火星上升過程，并通過蒙特卡羅仿真對算法的性能和魯棒性進行了評價。但是這種方法簡化忽略了火星大氣的影響，在加入一定約束條件后制導(dǎo)精度會有所下降。文獻[10]對該方法進行了改進，增加對滑行段火星大氣阻力導(dǎo)致的速度損失的解析預(yù)測，使得改進后的制導(dǎo)方法在相對推力角約束下的制導(dǎo)精度得到提升。另外，文獻[11]將Lambert制導(dǎo)和通用能量管理方法應(yīng)用到火星上升器的制導(dǎo)過程中，通過控制上升器偏離最優(yōu)飛行軌跡，使得上升器具有燃燒多余推進劑的能力，最終完成入軌。

后來為了適應(yīng)更復(fù)雜的情況，逐漸衍生了諸如土星五號火箭的迭代制導(dǎo)和航天飛機的動力顯式制導(dǎo)。迭代制導(dǎo)利用簡化形式下最優(yōu)控制解的必要條件來進行自適應(yīng)制導(dǎo)，它不需要進行大量的地面計算，并且對于外界存在較大干擾的情況具有較好的適應(yīng)性能[12]。國內(nèi)的長征二號F火箭首次應(yīng)用迭代制導(dǎo)方法取得了較高的入軌精度[13]。迭代制導(dǎo)方法是目前應(yīng)用于液體運載火箭的主要制導(dǎo)方法。吳榮[14]將迭代制導(dǎo)應(yīng)用于可重復(fù)使用火箭返回制導(dǎo)任務(wù)中。動力顯式制導(dǎo)由Jaggers[15]在基于雙線性正切自適應(yīng)制導(dǎo)的技術(shù)上改進發(fā)展。McHenry等[6]針對動力顯式制導(dǎo)應(yīng)用于航天方面進行了詳細介紹。

綜上，目前的火星表面起飛上升制導(dǎo)研究一般關(guān)注于某一階段，尚缺乏全過程整體設(shè)計，且未考慮滑行段的制導(dǎo)。但在整個上升過程中，滑行段消耗的時間要遠大于其他階段[16]，如果不考慮該段的制導(dǎo)問題，則會造成滑行段結(jié)束時距離遠拱點誤差較大，最終會給入軌段的制導(dǎo)過程增加較大的難度。

因此，本論文基于標(biāo)稱軌跡跟蹤制導(dǎo)方法，主要針對上升段、無動力滑行段和入軌段全過程進行制導(dǎo)律設(shè)計。在上升段引入了阿波羅式制導(dǎo)策略?？紤]到上升器在滑行段的控制需求，在滑行段設(shè)計了滑模制導(dǎo)律，通過傾側(cè)角的調(diào)整實現(xiàn)上升器所受氣動力的改變進而完成對標(biāo)稱軌跡的跟蹤,并在最終入軌段采用Lambert制導(dǎo)策略實現(xiàn)精確入軌。

1 問題描述與建模

起飛上升過程可以分為三個階段，如圖1所示。首先，上升器第一級固體發(fā)動機點火進入上升段，該階段目的是使上升器達到一定的高度與速度，固體推進劑消耗完之后，上升段結(jié)束，隨后進入較長時間的無動力滑行段，當(dāng)上升器飛到目標(biāo)軌道遠拱點附近時，該階段結(jié)束。最后，第一級分離，第二級點火，在入軌段進行修正后進入目標(biāo)入軌點。

圖1 飛行過程Fig.1 Flight process

在上升段由于氣動力相對于發(fā)動力推力來說很小，為了方便分析在建模時忽略氣動力的影響，上升段和入軌段采用Queen[9]提出的動力學(xué)模型：

(1)

式中：h為上升器距離火星表面的高度；T為發(fā)動機推力；m為上升器的質(zhì)量；α為攻角；γ為飛行路徑角；gm是上升器當(dāng)前位置的重力加速度；ψ是方位角；v為上升器速度；RM為火星半徑。

在無動力滑行段持續(xù)的時間較長，發(fā)動機不施加推力，如果忽略大氣影響則會產(chǎn)生較大的制導(dǎo)偏差，因此借鑒大氣進入段的制導(dǎo)方案，通過控制傾側(cè)角來改變上升器所受的氣動力，建立無動力滑行段的動力學(xué)模型：

(2)

式中：θ是經(jīng)度；φ是緯度；σ是傾側(cè)角；L和D分別為升力和阻力。升力和阻力的計算方式為：

L=ρv2SCL/(2m)

(3)

D=ρv2SCD/(2m)

(4)

式中：ρ是大氣密度；S是參考面積；CL是升力系數(shù)；CD是阻力系數(shù)。

2 制導(dǎo)律設(shè)計

首先利用高斯偽譜法優(yōu)化得到一條標(biāo)稱軌跡，基于該軌跡設(shè)計整個飛行過程的制導(dǎo)律。其中上升段采用阿波羅式制導(dǎo)策略，無動力滑行段和入軌段分別采用滑模軌跡跟蹤制導(dǎo)和Lambert制導(dǎo)策略。

2.1 上升段制導(dǎo)

在發(fā)動機點火后，由于采用固體推進方案，推力大小為常值，因此只能通過角度的控制來完成該階段的制導(dǎo)。在該階段主要通過類攻角和類側(cè)滑角的閉環(huán)控制來使上升器跟蹤標(biāo)稱軌跡。

(1)類攻角的閉環(huán)控制

為了使無動力滑行段結(jié)束時的高度與目標(biāo)軌道遠拱點的高度Rt誤差最小，定義目標(biāo)函數(shù)：

minJ=ΔR2=(R-Rt)2

(5)

建立相應(yīng)的哈密頓函數(shù)：

H=λhvsinγ+λv(Tcosα/m-gsinγ)+

λγ(Tsinα/(mv)+vcosγ/(RM+h)-gcosγ/v)

(6)

可以得到相關(guān)的協(xié)態(tài)變量方程：

(7)

λγcosγ/(RM+h)-λγgcosγ/v2

(8)

λγvsinγ/(RM+h)-λγgsinγ/v

(9)

為了得到上升段的協(xié)態(tài)變量λ=[λh;λv;λγ]，以上升段協(xié)態(tài)變量的終端值作為條件，反向積分到上升段初始時刻，由此就可以建立上升段的協(xié)態(tài)變量表。

將上升器的速度v作為獨立變量可以從協(xié)態(tài)變量表中獲取當(dāng)前速度下對應(yīng)的協(xié)態(tài)變量，然后通過式(10)計算得到類攻角的修正量。將該修正量與當(dāng)前速度對應(yīng)標(biāo)稱軌跡的控制量相加即可得到類攻角的控制量輸入，關(guān)于類攻角控制的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

Δα=-λTΔX/λα

(10)

圖2 類攻角的閉環(huán)控制Fig.2 Closed-loop control of the angle of attack

(2)類側(cè)滑角的閉環(huán)控制

類側(cè)滑角的控制主要是根據(jù)當(dāng)前方位角和飛行路徑角進行計算，結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 類側(cè)滑角的閉環(huán)控制Fig.3 Closed-loop control of the sideslip angle

首先獲得當(dāng)前飛行參數(shù)，然后以速度為獨立變量在標(biāo)稱軌跡中獲得目標(biāo)方位角，再通過式(11)計算出類側(cè)滑角控制輸入量，以實現(xiàn)目標(biāo)方位角的跟蹤過程。

β=arcsin[mv(ψdes-ψact)cosγact/(ΔtT)]

(11)

式中：ψdes是目標(biāo)方位角；ψact是實際方位角；Δt是制導(dǎo)控制周期。

2.2 無動力滑行段制導(dǎo)

在多數(shù)無動力滑行段的飛行方案中，往往認為該階段飛行時不受大氣的影響，而由軌跡優(yōu)化的結(jié)果可知在該階段時有一段時間處在火星大氣層內(nèi)，在沒有施加推力的情況下，如果忽略氣動力的影響，可能會產(chǎn)生較大的入軌偏差。

即使阿波羅式火星表面上升段制導(dǎo)方案能夠在上升段較好地跟蹤標(biāo)稱軌跡，但是在第一級耗盡點產(chǎn)生偏差后，滑行段由于沒有施加控制進行修正，會引起偏差的進一步擴大，造成最終入軌精度較低的問題。

經(jīng)過分析，無動力滑行段的飛行過程與大氣進入段相似，因此可以借鑒大氣進入段的控制方案，考慮到上升器在滑行段的控制需求，在滑行段設(shè)計了滑模制導(dǎo)律，通過傾側(cè)角的調(diào)整改變上升器所受的氣動力，實現(xiàn)對標(biāo)稱軌跡的跟蹤。

首先構(gòu)建輔助變量，并且令r=h+RM：

(12)

可以得到

(13)

式中：d1和d2代表著參數(shù)不確定性和外界擾動，并且假設(shè)它們的變化率是有界的。

對滑模面進行求導(dǎo)可以得到

g(x)u+Xd+d1+kd2

(14)

(15)

d1和d2不能被精確測量，所以需要設(shè)計觀測器對d1和d2進行估計。

下面對d1進行估計，選取滑模面

(16)

觀測器可以設(shè)置為

(17)

為了盡快收斂到滑模面，提高控制器的性能，選擇趨近律

(18)

最終，可以得到制導(dǎo)律如下

u=g-1(x)(-f(x)-Xd-k1sgn(s0)-

(19)

(20)

σ=arccos(u)

(21)

改變傾側(cè)角的符號不會影響縱向運動的精度，而能起到改變橫向運動的效果。因此，通過設(shè)計傾側(cè)角的符號邏輯，實現(xiàn)控制上升器橫向運動的效果。

將航向角誤差閾值作為傾側(cè)角符號切換的判據(jù)，將閾值設(shè)計為上升器速度的一次函數(shù)：

s3=η1v+η2

(22)

當(dāng)航向角誤差到達閾值邊界時，傾側(cè)角改變符號，即

sgn(σ)=-sgn(eψ)

(23)

2.3 入軌段制導(dǎo)

在整個飛行過程中，滑行段的時間較長，而兩級上升器的燃燒時間都很短，因此可以將其看為兩次點火的Lambert轉(zhuǎn)移。在飛向目標(biāo)的過程中，滑行段占用的時間越多，Lambert制導(dǎo)的效果就越好。另外，Lambert制導(dǎo)策略可以保證在達到目標(biāo)位置時燃料消耗完畢，能夠滿足能量管理的需求。Lambert制導(dǎo)的思路是：從無動力滑行段結(jié)束時開始，計算在固定燃燒時間(第二級的燃燒時間)下上升器從當(dāng)前位置轉(zhuǎn)移到目標(biāo)位置所需要的速度vgo，根據(jù)當(dāng)前速度v0和計算出的當(dāng)前所需速度vgo可以得到在該狀態(tài)下所需的速度增量如下式所示：

Δv=vgo-v0

(24)

(25)

根據(jù)式(25)可以將該速度增量轉(zhuǎn)化為目前所施加的控制量u，即完成了當(dāng)前時刻的控制量的求算，在入軌段不斷循環(huán)該過程即可實現(xiàn)入軌段的Lambert制導(dǎo)，具體流程如圖4所示。

由于發(fā)動力推力的大小是不變的，利用Lambert制導(dǎo)時的一個缺陷就在于,計算得到的速度增量轉(zhuǎn)換為推力方向產(chǎn)生的控制效果并不能夠瞬時產(chǎn)生相應(yīng)的速度增量作用于系統(tǒng)，因此每一次計算都會產(chǎn)生一定的偏差，為了消除偏差對最終入軌精度的影響，結(jié)合軌跡優(yōu)化得到的控制量對最終的控制u進行加權(quán)處理如下：

u=w1·uLam+w2·unor

(26)

圖4 Lambert制導(dǎo)流程Fig.4 Lambert guidance process

式中：w1和w2分別為Lambert制導(dǎo)策略計算得到的控制量uLam和標(biāo)稱控制量unor的權(quán)重。該處理的目的是使最終控制量的成分中既包含Lambert制導(dǎo)又包含參考軌跡，并且由于控制飽和問題的存在，因此對權(quán)重要求并不高，主要根據(jù)前兩段的跟蹤效果進行選擇。這樣既避免了采用開環(huán)制導(dǎo)帶來的弊端，又能結(jié)合參考控制量對Lambert制導(dǎo)算法帶來的問題進行補償，進一步提高了入軌精度。

3 仿真校驗

兩級固體上升器每一級的參數(shù)配置如下：

表1 MAV參數(shù)表[10]Table 1 MAV parameters[10]

根據(jù)以上參數(shù)采用高斯偽譜法進行軌跡優(yōu)化作為標(biāo)稱軌跡，對上升器制導(dǎo)全過程進行數(shù)值仿真，其中仿真案例為從赤道上0 km的高度發(fā)射上升器飛行到高度500 km、軌道傾角為45°的圓形環(huán)火軌道，在入軌段制導(dǎo)時控制權(quán)重取值為w1=0.6和w2=0.4，可以得到以下結(jié)果：

圖5 上升高度Fig.5 Flight altitude

圖6 飛行速度Fig.6 Flight speed

圖7 軌道傾角Fig.7 Orbital inclination

圖8 軌道偏心率Fig.8 Orbital eccentricity

由圖5～圖8可以看出,所設(shè)計的全過程制導(dǎo)策略能夠?qū)?biāo)稱軌跡實現(xiàn)較好的跟蹤，并且在入軌點處的軌道傾角和偏心率都能夠控制在期望值附近。

為了進一步驗證該方法的魯棒性，在如表2所示的隨機誤差范圍下進行500次蒙特卡洛仿真，可以得到以下仿真結(jié)果。

根據(jù)以上仿真結(jié)果可以看出500次實驗的制導(dǎo)效果，在考慮初始偏差和參數(shù)不確定性時，該制導(dǎo)策略具有一定的魯棒性。在上升段制導(dǎo)結(jié)束存在誤差的情況下，無動力滑行段通過對氣動力的調(diào)控減小了誤差帶來的影響，最后完成入軌段制導(dǎo)，實現(xiàn)了高精度的入軌。

表2 隨機誤差范圍Table 2 Random error margins

圖9 上升高度Fig.9 Flight altitude

圖10 飛行速度Fig.10 Flight speed

圖11 軌道傾角誤差Fig.11 Orbital inclination errors

圖12 軌道偏心率誤差Fig.12 Orbital eccentricity errors

4 結(jié) 論

本文研究了固推約束下三段式火星表面起飛上升全過程制導(dǎo)律的設(shè)計問題。首先，分別針對上升過程中的三個階段進行建模分析，在上升段采用阿波羅式上升制導(dǎo)方案，而針對于滑行段設(shè)計了一種滑模軌跡跟蹤制導(dǎo)方法，通過調(diào)整傾側(cè)角來控制飛行器的運動軌跡，使得對標(biāo)稱軌跡跟蹤的精度大大提升，最后在入軌段采用Lambert制導(dǎo)策略進一步縮小入軌誤差，通過實際仿真驗證了所設(shè)計制導(dǎo)方法的可靠性。