基于無網(wǎng)格壓縮感知的雷達通信一體化系統(tǒng)目標(biāo)參數(shù)估計方法研究

劉飛峰 劉鴻杰 繆穎杰 李 浩 胡 程

（1.北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院雷達技術(shù)研究所，北京 100081；2.衛(wèi)星導(dǎo)航電子信息技術(shù)教育部重點實驗室（北京理工大學(xué)），北京 100081）

1 引言

傳統(tǒng)應(yīng)用場景中，雷達與通信設(shè)備分別占用不同的硬件平臺與頻譜資源，這種分立式的設(shè)計會導(dǎo)致電子系統(tǒng)的體積、功耗以及成本增加，惡化了電磁環(huán)境，容易造成電磁頻譜擁擠與干擾等諸多問題。鑒于此，雷達通信一體化設(shè)計可以讓雷達與通信共享硬件平臺，系統(tǒng)綜合化、集成化、小型化程度更高，可更高效地利用頻譜資源，從而解決上述難題［1-2］。

正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）是一種多載頻調(diào)制的波形，憑借其高維度、高通信速率、強抗干擾能力等優(yōu)勢得到了廣泛的關(guān)注，被廣泛用于一體化波形設(shè)計中，Sturm 等人研究了OFDM 在車載雷達通信中的應(yīng)用，可實現(xiàn)平臺間通信，并通過傅里葉變換處理實現(xiàn)目標(biāo)測速測距［3］；Oziewicz 通過MUSIC 的方法實現(xiàn)了OFDM 信號多徑時延估計［4］。劉永軍等人采用子空間投影方法實現(xiàn)對目標(biāo)的距離與速度估計［5］，此方法性能優(yōu)于傳統(tǒng)傅里葉變換方法，但是其性能依然受噪聲影響大，難以保證低信噪比下的探測性能。

近些年來，壓縮感知技術(shù)被廣泛應(yīng)用在信號處理領(lǐng)域，Sen 等人利用稀疏恢復(fù)理論實現(xiàn)OFDM 信號對目標(biāo)距離和多普勒的估計，但運算量較大，且估計精度受限于網(wǎng)格估計［6］；為克服以上難題，一種稱為原子范數(shù)最小化（Atomic Norm Minimization，ANM）的無網(wǎng)格壓縮感知技術(shù)被提出，該方法將優(yōu)化問題凸優(yōu)化為一個半正定規(guī)劃（Semi-definite Pro?gramming，SDP）問題［7-8］，并構(gòu)建半正定Toeplitz 矩陣，通過對此矩陣的范德蒙分解得到恢復(fù)的信號以實現(xiàn)超分辨，可有效避免網(wǎng)格失配的問題。付衛(wèi)紅等人利用原子范數(shù)最小化的方法實現(xiàn)了多跳頻信號的時頻估計［9］，而OFDM 信號本身具有的多載頻特點，為基于原子范數(shù)時頻估計提供了可能。Zheng 等人基于OFDM 被動雷達系統(tǒng)，利用原子范數(shù)實現(xiàn)了目標(biāo)的時頻估計［10］，但是方法前提需要直達波進行通信解碼，而解碼中產(chǎn)生的誤碼會惡化目標(biāo)時頻估計性能。鑒于此，本文利用OFDM 信號作為雷達通信一體化波形，其作為探測波形使用時，通信碼元是已知的，因此不會出現(xiàn)上述性能惡化現(xiàn)象，并在此基礎(chǔ)上引入核范數(shù)最小化（Nuclear Norm Minimization，NNM）、跡范數(shù)最小化（Trace Norm Minimization，TNM）等衍生優(yōu)化問題，實現(xiàn)了多目標(biāo)時頻二維聯(lián)合估計，并針對不同優(yōu)化問題進行分析［11］。此外，為減輕二維聯(lián)合估計帶來的繁重的計算壓力，采用解耦原子范數(shù)最小化（Decoupled Atomic Norm Minimization，DANM）［12］將二維估計問題轉(zhuǎn)換為兩個一維估計問題，在維持原子范數(shù)優(yōu)良估計性能的基礎(chǔ)上極大的減小了運算量，為高通道數(shù)信號模型提供快速求解可能。除此之外，本文還提供了各類估計方法的多測量矢量（Multiple Mea?surement Vector，MMV）模型，可有效解決低信噪比下求解精度差、恢復(fù)成果率低的問題。

2 信號建模

雷達單脈沖發(fā)射的第m個符號的OFDM 信號復(fù)包絡(luò)表達式為：

其中am(n)為第m個符號、第n個子載波的幅度相位調(diào)制符號，其中T=Tcp+Tp表示信號時寬，Tp為OFDM 有效時長，Tcp為單OFDM 符號循環(huán)前綴長度，N為子載波數(shù)目，子載頻間隔Δf=1/Tp，帶寬B滿足：B=NΔf。

多符號OFDM信號復(fù)包絡(luò)可建模為：

其中M為符號個數(shù)。

發(fā)射信號經(jīng)過多目標(biāo)反射后的基帶回波信號可表示為：

其中，K表示目標(biāo)數(shù)量，第k條路徑上的時延和多普勒頻率分別表示為fk和τk。復(fù)數(shù)系數(shù)Ak用于表示其路徑衰減，ω(t)表示高斯白噪聲。

通常來說，OFDM 波形在無線通信使用中會加入循環(huán)前綴來消除多徑對符號間串?dāng)_的影響，OFDM 雷達通信一體化波形同樣可以利用循環(huán)前綴技術(shù)保證不同路徑的回波可在同一個符號內(nèi)，由于OFDM 子載波在頻域是正交的，且在不同符號間是時分的，同時發(fā)射的通信信息是已知的，那么接收機采樣得到回波信號經(jīng)過去循環(huán)前綴處理后的第m個符號可更簡潔的表示為：

對第m個塊中的接收信號進行傅里葉變換，那么第n個子載波中的信號可以表示為：

考慮單快拍情況，上述公式可化簡為：

則接收信號可進一步表示為如下導(dǎo)向矢量：

其中?表示克羅內(nèi)克積。

3 基于無網(wǎng)格的目標(biāo)多參數(shù)估計

3.1 基于矢量的無網(wǎng)格多參數(shù)估計

傳統(tǒng)的壓縮感知算法，其精度受限于網(wǎng)格精度，會出現(xiàn)字典失配等問題，對估計精度產(chǎn)生一定的影響。因此可以考慮使用無網(wǎng)格估計方法。

將信號模型構(gòu)建為如公式（7）所示的MN×1 維導(dǎo)向矢量的形式，定義原子集如下

此集合可以理解為是類似于壓縮感知中的字典，但其是無限精度的，z是該原子集中k個原子的線性組合。

sk為任意的復(fù)系數(shù)，C 表示復(fù)數(shù)集。當(dāng)對應(yīng)所用原子數(shù)最少即對應(yīng)最小l0原子范數(shù)時，此時求得的解‖z‖Α，0即為最優(yōu)解。但此問題為NP-hard問題，無法對其直接進行求解，［13］證明向量z的l0范數(shù)最小化可等價為矩陣秩的最小化問題：

其中x是一個待優(yōu)化的變量。但此問題是非凸的，無法直接求解，因此可將l0原子范數(shù)進行如下凸近似松弛，考慮目標(biāo)在時頻域的稀疏性，其原子范數(shù)可表示為：

信號向量及其子空間可以通過上述原子范數(shù)的最小化估計獲得：

將上述問題轉(zhuǎn)換為如下半正定問題，即可得到其原子范數(shù)最小化的表達形式［14］：

其中λ為正則化參數(shù)，用于平衡擬合誤差和原子范數(shù)項，S(T) ∈CMN×MN為待估計的Block Toeplitz 矩陣，其非零子空間編碼了目標(biāo)信息，可看作為由信號估計導(dǎo)向向量所構(gòu)成的協(xié)方差矩陣，其表達式為：

此外，針對不同的凸近似方法，其優(yōu)化問題可有不同的形式，矩陣秩的最緊凸松弛為核范數(shù)［15］，那么考慮多快拍情況下，公式（10）的凸優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)換為如下核范數(shù)最小化優(yōu)化問題，表達形式為：

核范數(shù)最小化優(yōu)化估計問題的多快拍表達形式為：

其同樣可理解為問題（10）的凸近似，多快拍表達形式為：

STNM(T) ∈CMN×MN為基于跡范數(shù)最小化凸優(yōu)化問題的待估計Block Toeplitz矩陣。

上述基于ANM、NNM、TNM 的三種估計問題均可由CVX 工具箱進行求解，之后對估計得到的半正定矩陣S(T)進行特征值分解S(T)=UΛUH后可得其相應(yīng)的估計協(xié)方差矩陣：

對估計協(xié)方差矩陣做特征值分解可得到其噪聲子空間En，之后使用如下二維譜估計即可得到信號的時頻估計結(jié)果。

其中?∈[0，1]，?∈[ -0.5，0.5 ]，之后對二維譜進行峰值搜索，尋找K個最大峰值即可得到目標(biāo)時頻估計結(jié)果。

3.2 基于解耦原子范數(shù)最小化的多參數(shù)估計

由于上述二維估計方法基于矢量的克羅內(nèi)克積，當(dāng)通道數(shù)較大時，所估計S(u)的維度會大幅增加，其運算量會成倍增加，難以適應(yīng)高通道數(shù)場合，為解決此問題，引入解耦原子范數(shù)的概念，即將優(yōu)化問題的矢量形式克羅內(nèi)克積運算改為如下的形式：

此時zDANM∈CN×M可表示為兩個向量的互協(xié)方差矩陣。

那么解耦原子范數(shù)的最小化估計問題為：

此估計方法將二維估計問題解耦為兩個一維估計問題，其中Tb(ub)與Ta(ua)分別表示與b(?k)和a(?k)相關(guān)的Toeplitz 矩陣，分別由其第一行復(fù)向量ub與ua構(gòu)成。ua(0)與ub(0)分別表示Tb(ub)與Ta(ua)矩陣主對角線的第一個元素。分別對兩個矩陣做范德蒙分解即可得到時延、頻率估計結(jié)果。之后利用最大相干配對方法進行時頻配對，得到時頻估計結(jié)果，即：

此方法將一個MN×MN的半正定矩陣優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為（M+N）×（M+N）的優(yōu)化問題，極大地減少了計算量。

3.3 計算量分析

本節(jié)針對上述ANM、NNM、TNM 以及DANM 四種估計模型進行計算量分析。為保證求解精度，本文采用基于內(nèi)點法［16］的SDPT3 作為求解器進行求解，其每次迭代的時間復(fù)雜度為O(U3)，迭代次數(shù)最多為，其中，U表示SDP 模型約束中的半正定矩陣的大小，ε表示恢復(fù)精度。因此，總的時間復(fù)雜度為O(U3.5log(1/ε))。對于ANM、NNM、TNM 等基于矢量化的無網(wǎng)格估計問題有U=MN，而DANM 將求解問題變成兩個低維Toeplitz 矩陣的估計問題，因而有U=M+N。在SDP 求解過程后，可對求解得到的Toeplitz 矩陣進行范德蒙分解來檢索所有的頻率分量。而對于ANM、NNM、TNM 基于矢量化的無網(wǎng)格稀疏恢復(fù)方法，其需要進行范德蒙分解的計算復(fù)雜度為O(M2N2L)，其中L表示Toeplitz矩陣的秩，而對于DANM 方法，其僅需做兩個低維的范德蒙分解即可完成問題求解，計算復(fù)雜度為O(N2+M2)。顯然可以看出，DANM 方法的運算復(fù)雜度是遠小于ANM、NNM、TNM 等估計方法的。上述四種估計方法的SDP 求解與范德蒙分解復(fù)雜度之和詳見表1。

表1 復(fù)雜度分析Tab.1 Complexity Analysis

4 仿真結(jié)果與分析

為了驗證本文原子范數(shù)方法的有效性，本節(jié)開展典型系統(tǒng)的計算機仿真工作，對所建模型與所提估計方法進行仿真驗證。仿真中所采用的系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters

采用均方根誤差作為性能評價標(biāo)準(zhǔn)，目標(biāo)歸一化多普勒估計精度由下式計算：

目標(biāo)歸一化時延估計精度由下式計算：

其中K為目標(biāo)個數(shù)，MC 為蒙特卡洛次數(shù)?；谝陨舷到y(tǒng)參數(shù)開展建模與算法仿真，不同場景下的仿真結(jié)果如下。

4.1 無雜波場景仿真

假設(shè)場景中僅存在目標(biāo)，假定目標(biāo)的真實速度分別為：vreal=[ ]-90 m/s，60 m/s，72 m/s，真實距離分別為：dreal=[1.5 km，4.5 km，4.8 km]，目標(biāo)信噪比均為15 dB，其二維時頻仿真結(jié)果見圖1所示。

圖1 存在相鄰目標(biāo)二維時延多普勒估計結(jié)果Fig.1 Two-dimensional delay-frequency estimation results with adjacent targets

圖1 結(jié)果表明MUSIC 算法的譜估計性能相較其他方法差，二維估計譜存在旁瓣，且對于存在相鄰目標(biāo)的場景，其相鄰多目標(biāo)分辨能力較差；CS-L1范數(shù)為基于網(wǎng)格的估計算法，其估計結(jié)果存在少量偽峰，容易造成虛警現(xiàn)象，且其估計結(jié)果受限于網(wǎng)格精度，并不能實現(xiàn)高精度估計。而ANM、NNM、TNM 結(jié)果近似，除了目標(biāo)譜外無明顯噪底，且由于此類估計基于信號在時頻譜上的稀疏性，其天然具有相鄰多目標(biāo)分辨能力，雖然其分辨能力同樣受限于通道數(shù)目，但是性能仍是優(yōu)于傳統(tǒng)譜估計算法。DANM 是基于原子范數(shù)的改進，其估計結(jié)果與其他三種無網(wǎng)格估計問題近似，但有著更小的計算量，意味著其可應(yīng)用在高通道數(shù)的場合。

4.2 存在雜波場景仿真

假定照射場景存在少量強反射靜止雜波，其距離設(shè)定為：[1.5 km，2.25 km，3.75 km，4.5 km，5.25 km，6 km，6.75 km ]，速度均為0 m/s，且雜噪比均設(shè)置為10 dB；目標(biāo)的速度與距離分別設(shè)置為：vreal=[ -90 m/s，60 m/s ]，dreal=[1.5 km，4.5 km]，信噪比均設(shè)置為10 dB，其二維時頻仿真結(jié)果如圖2所示。其中MUSIC 算法與CS-L1 算法估計結(jié)果與目標(biāo)真實時頻出現(xiàn)偏差，估計性能較差，但基于無網(wǎng)格稀疏恢復(fù)的各類估計算法可完美恢復(fù)出目標(biāo)與雜波的時頻譜，驗證了基于原子范數(shù)最小化的各類范數(shù)的多目標(biāo)時頻譜估計能力。

圖2 雜波場景二維時延多普勒估計結(jié)果Fig.2 Two-dimensional delay-frequency estimation results of clutter scene

4.3 多快拍處理仿真

上述兩節(jié)仿真結(jié)果說明了無網(wǎng)格稀疏恢復(fù)相較于傳統(tǒng)估計算法的性能優(yōu)勢。無網(wǎng)格稀疏恢復(fù)方法在信噪比較低的情況下，可通過增加快拍數(shù)提高估計性能。本小節(jié)假定目標(biāo)數(shù)量為3 個，其真實速度分別為：vreal=[ ]-90 m/s，-60 m/s，72 m/s，真實距離分別為：dreal=[1.5 km，4.5 km，4.8 km]，信噪比均為0 dB，圖3為ANM、NNM、TNM 以及DANM 估計的仿真結(jié)果，其結(jié)果表明了低信噪比下噪聲對基于原子范數(shù)等估計方法的估計結(jié)果影響較大，使得目標(biāo)點估計結(jié)果與真實值存在偏差，時頻估計精度惡化。

圖3 0 dB信噪比下的時延多普勒估計結(jié)果（單快拍）Fig.3 Delay-Doppler estimation results under 0 dB SNR（SMV）

為降低噪聲對時頻估計性能的影響，采用多快拍（MMV）提高ANM、TNM、NMM、DANM 估計的估計性能，圖4 與圖5 為L分別取值為3、30 時的估計結(jié)果。隨著L的增大，估計性能在逐漸提高，目標(biāo)時頻估計更接近真實值。L取值30 時，根據(jù)圖5所示，算法估計的結(jié)果與真實值幾乎一致，驗證了多快拍的降噪特性。因此，在低信噪比情況下，可通過多快拍處理實現(xiàn)以上方法的高精度目標(biāo)時延多普勒估計。

圖4 0 dB信噪比下的二維時延多普勒估計結(jié)果（多快拍，L=3）Fig.4 Delay-Doppler estimation results under 0 dB SNR（MMV，L=3）

圖5 0 dB信噪比下的時延多普勒估計結(jié)果（多快拍，L=30）Fig.5 Delay-Doppler estimation results under 0 dB SNR（MMV，L=30）

4.4 性能仿真

本節(jié)采用蒙特卡洛對不同信噪比條件下各估計方法的時頻估計性能進行仿真，使用均方根誤差（RMSE）作為算法性能評價標(biāo)準(zhǔn)，橫軸為信噪比，取值為-5 dB～25 dB，以5 dB 為間隔，蒙特卡洛次數(shù)為100次，且本次仿真場景僅考慮目標(biāo)場景，兩目標(biāo)的真實速度為：vreal=[ -90 m/s，60 m/s ]，真實距離為：dreal=[1.5 km，4.5 km]，其他仿真參數(shù)見表2。圖6與圖7 分別表示歸一化時延估計RMSE 與歸一化頻率估計RMSE隨信噪比變化的曲線。

圖6 不同估計方法歸一化時延估計RMSE仿真實驗結(jié)果Fig.6 RMSE simulation results of normalized delay estimation with different methods

圖7 不同估計方法歸一化多普勒估計RMSE仿真實驗結(jié)果Fig.7 RMSE simulation results of normalized Doppler estimation with different methods

仿真結(jié)果表明，ANM、NNM、TNM、DANM 基于無網(wǎng)格的估計方法有著更高的估計精度，證明該類算法有著更好的降噪性能，算法的估計性能也是相近的，估計結(jié)果的RMSE 隨信噪比的增加呈現(xiàn)下降趨勢。但是DANM 的運算量更小，意味著更少的運行時間。圖6 與圖7 為基于單快拍進行的仿真實驗，圖8 與圖9 分別為不同快拍數(shù)下ANM、NNM、TNM、DANM 四種估計方法在不同信噪比下的時頻估計精度結(jié)果，仿真結(jié)果表明快拍數(shù)取值為L=30時四類方法的估計精度明顯優(yōu)于單快拍下的估計精度結(jié)果，且對于信噪比取值為-5 dB 的情況，其估計性能改善尤為明顯，實際應(yīng)用中可適當(dāng)增加快拍數(shù)以提高估計精度。

圖8 不同快拍數(shù)下歸一化時延估計RMSE仿真實驗結(jié)果Fig.8 Simulation results of normalized delay estimation RMSE under different snapshot numbers

圖9 不同快拍數(shù)下歸一化多普勒估計RMSE仿真實驗結(jié)果Fig.9 Simulation results of normalized Doppler estimation RMSE under different snapshot numbers

5 結(jié)論

本文利用OFDM一體化信號多符號多子載波的特性，提出一種可用于一體化波形的高精度二維時頻估計算法。針對不同的凸近似方法，提供了ANM、NNM、TNM 等基于矢量的無網(wǎng)格壓縮感知估計問題模型，并采用解耦原子范數(shù)的方法以解決其運算量較大的問題。仿真結(jié)果表明，DANM可在保留原子范數(shù)高精度估計性能與魯棒性的同時，將計算負荷減少幾個數(shù)量級，其應(yīng)用場景可以擴展到高維譜估計問題。未來的工作會對數(shù)據(jù)壓縮情況下進行性能分析。