數(shù)論函數(shù)方程tφ2(n(n+1))=S(SL(n17))的可解性

周建華，瞿云云，朱山山，黃華偉

(貴州師范大學 數(shù)學科學學院，貴州 貴陽 550025)

0 引言

1 主要引理

引理2[4]當n≥2時，有φ(n)

引理4[4]對于素數(shù)p和正整數(shù)k，有S(pk)≤kp；特別地，當k

引理6[6]對任意的正整數(shù)m和n，有

特別地，當gcd(m,n)=1時，有

φ(mn)=φ(m)φ(n)。

2 定理及其證明

定理方程

tφ2(n(n+1))=S(SL(n17))

(1)

有正整數(shù)解，且正整數(shù)解為(t,n)=(1,1),(1,27),(6,6),(6,9),(9,4),(18,3),(20,2)。

(2)

S(SL(n17))=S(p17r)≤17rp

(3)

其中p是n的素因子，且r是p在n的標準分解式中的指數(shù)。由引理3、引理6和(1)知

(4)

由引理5和(3)知

(5)

所以有1≤t≤68rp,3≤n≤68rp。從而由(5)知

(6)

其中n=prm,gcd(p,m)=1，所以有

2r-2≤pr-2(p-1)≤pr-2(p-1)φ(m)≤34r

(7)

即

2r-2≤34r

(8)

對(8)兩端取對數(shù)有

(r-2)log 2≤log 34+logr

(9)

由(9)解得r≤10。以下對r和p的不同取值, 分10種情況討論：

情況1 若r=1，由(7)知p(1-2)(p-1)≤34，故p≥2。

當p=2時，有1≤t≤136,3≤n≤136，所以由(3)、(4)有tφ(n(n+1))=2S(217)=2×20=40，經(jīng)計算得到(t,n)=(1,10),(1,11),(5,4),(5,5),(10,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(1,10),(1,11),(5,4),(5,5),(10,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=3時，有1≤t≤204,3≤n≤204，所以有tφ(n(n+1))=2S(317)=2×36=72，經(jīng)計算得到(t,n)=(1,13),(3,7),(3,8),(3,9),(6,6),(9,4),(9,5)， (18,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)= (6,6),(9,4),(18,3)是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=5時，有1≤t≤340,3≤n≤340，所以有tφ(n(n+1))=2S(517)=2×75=150，經(jīng)計算得到，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當p=7時，有1≤t≤476,3≤n≤476，所以有tφ(n(n+1))=2S(717)=2×105=210，經(jīng)計算得到，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當p=11時，有1≤t≤748,3≤n≤748，所以有tφ(n(n+1))=2S(1117)=2×176=352，經(jīng)計算得到(t,n)=(2,23),(44,4),(44,5),(88,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(2,23),(44,4),(44,5),(88,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=13時，有1≤t≤884,3≤n≤884，所以有tφ(n(n+1))=2S(1317)=2×208=416，經(jīng)計算得到(t,n)=(52,4),(52,5),(104,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(52,4),(52,5),(104,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=17時，有1≤t≤1 156,3≤n≤1 156，所以有tφ(n(n+1))=2S(1717)=2×289=578，經(jīng)計算得到，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當p≥19時，有1≤t≤68p,3≤n≤68p，由引理4，有tφ(n(n+1))=2S(p17)=34p，由于n=pm且gcd(p,m)=1，所以有(p-1)|34，從而(p-1)≤34，即p≤35，但19≤p≤35的素數(shù)都不滿足(p-1)|34，所以當p≥19時，方程(1)無正整數(shù)解。

情況2 若r=2，由(7)知p(2-2)(p-1)≤34×2，故p≤69。

當p=2時，有1≤t≤272,3≤n≤272，所以有tφ(n(n+1))=2S(217×2)=2×36=72，經(jīng)計算得到(t,n)=(1,13),(3,7),(3,8),(3,9),(6,6),(9,4),(9,5),(18,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(6,6),(9,4),(18,3)是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=3時，有1≤t≤408,3≤n≤408，所以有tφ(n(n+1))=2S(317×2)=2×72=144，經(jīng)計算得到(t,n)=(1,19),(2,13),(3,12),(3,14),(6,7),(6,8),(6,9),(12,6),(18,4),(18,5),(36,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(6,9)是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=5時，有1≤t≤680,3≤n≤680，所以有tφ(n(n+1))=2S(517×2)=2×140=280，經(jīng)計算得到(t,n)=(7,10),(7,11),(35,4),(35,5),(70,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(7,10),(7,11),(35,4),(35,5),(70,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=7時，有1≤t≤952,3≤n≤952，所以有tφ(n(n+1))=2S(717×2)=2×210=420，經(jīng)計算得到(t,n)=(35,6),(105,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(35,6),(105,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=11時，有1≤t≤1 496,3≤n≤1 496，所以有tφ(n(n+1))=2S(1117×2)=2×352=704，經(jīng)計算得到(t,n)=(4,23),(11,15),(88,4),(88,5),(176,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(4,23),(11,15),(88,4),(88,5),(176,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=13時，有1≤t≤1 768,3≤n≤1 768，所以有tφ(n(n+1))=2S(1317×2)=2×416=832，經(jīng)計算得到(t,n)=(13,15),(104,4),(104,5),(208,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(13,15),(104,4),(104,5),(208,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=17,19,23,29,31時，經(jīng)計算得到，此時方程(1)都無正整數(shù)解。

當p≥37時，有1≤t≤136p,3≤n≤136p，由引理4，有tφ(n(n+1))=2S(p17×2)=68p，由于n=p2m且gcd(p,m)=1，所以有(p-1)|68，從而(p-1)≤68，即p≤69，但37≤p≤69的素數(shù)都不滿足(p-1)|68，所以當p≥37時，方程(1)無正整數(shù)解。

情況3 若r=3，由(7)知p(3-2)(p-1)≤34×3，故p≤10，即p=2,3,5,7。

當p=2時，有1≤t≤408,3≤n≤408，所以有tφ(n(n+1))=2S(217×3)=2×56=112，經(jīng)計算得到(t,n)=(14,4),(14,5),(28,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(14,4),(14,5),(28,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=3時，有1≤t≤612,3≤n≤612，所以有tφ(n(n+1))=2S(317×3)=2×108=216，經(jīng)計算得到(t,n)=(1,26),(1,27),(2,18),(3,13),(9,7),(9,8),(9,9),(18,6),(27,4),(27,5),(54,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(1,27)是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=5時，有1≤t≤1 020,3≤n≤1 020，所以有tφ(n(n+1))=2S(517×3)=2×210=420，經(jīng)計算得到(t,n)=(35,6),(105,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(35,6),(105,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=7時，有1≤t≤1 428,3≤n≤1 428，所以有tφ(n(n+1))=2S(717×3)=2×315=630，經(jīng)計算得到，此時方程(1)無正整數(shù)解。

情況4 若r=4，由(7)知p(4-2)(p-1)≤34×4，故p≤5，即p=2,3,5。

當p=2時，有1≤t≤544,3≤n≤544，所以有tφ(n(n+1))=2S(217×4)=2×72=144，經(jīng)計算得到(t,n)=(1,19),(2,13),(3,12),(3,14),(6,7),(6,8),(6,9),(12,6),(18,4),(18,5),(36,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(6,9)是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=3時，有1≤t≤816,3≤n≤816，所以有tφ(n(n+1))=2S(317×4)=2×141=282，經(jīng)計算得到，此時方程(1)無正整數(shù)解。

當p=5時，有1≤t≤1 360,3≤n≤1 360，所以有tφ(n(n+1))=2S(517×4)=2×275=550，經(jīng)計算得到，此時方程(1)無正整數(shù)解。

情況5 若r=5，由(7)知p(5-2)(p-1)≤34×5，故p≤3，即p=2,3。

當p=2時，有1≤t≤680,3≤n≤680，所以有tφ(n(n+1))=2S(217×5)=2×88=176，經(jīng)計算得到(t,n)=(1,23),(22,4),(22,5),(44,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(1,23),(22,4),(22,5),(44,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=3時，有1≤t≤1 020,3≤n≤1 020，所以有tφ(n(n+1))=2S(317×5)=2×174=348，經(jīng)計算得到(t,n)=(29,6),(87,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(29,6),(87,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

情況6 若r=6，由(7)知p(6-2)(p-1)≤34×6，故p≤3，即p=2,3。

當p=2時，有1≤t≤816,3≤n≤816，所以有tφ(n(n+1))=2S(217×6)=2×106=212，經(jīng)計算得到(t,n)=(53,3)。 將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(53,3)不是方程(1)的正整數(shù)解。

當p=3時，有1≤t≤1 224,3≤n≤1 224，所以有tφ(n(n+1))=2S(317×6)=2×210=420，經(jīng)計算得到(t,n)=(35,6),(105,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(35,6),(105,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

情況7 若r=7，由(7)知p(7-2)(p-1)≤34×7，故p≤2，即p=2。

當p=2時，有1≤t≤952,3≤n≤952，所以有tφ(n(n+1))=2S(217×7)=2×124=248，經(jīng)計算得到(t,n)=(31,4),(31,5),(62,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(31,4),(31,5),(62,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

情況8 若r=8，由(7)知p(8-2)(p-1)≤34×8，故p≤2，即p=2。

當p=2時，有1≤t≤1 088,3≤n≤1 088，所以有tφ(n(n+1))=2S(217×8)=2×140=280，經(jīng)計算得到(t,n)=(7,10),(7,11),(35,4),(35,5),(70,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(7,10),(7,11),(35,4),(35,5),(70,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

情況9 若r=9，由(7)知p(9-2)(p-1)≤34×9，故p≤2，即p=2。

當p=2時，有1≤t≤1 224,3≤n≤1 224，所以有tφ(n(n+1))=2S(217×9)=2×158=316，經(jīng)計算得到(t,n)=(79,3)。將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(79,3)不是方程(1)的正整數(shù)解。

情況10 若r=10，由(7)知p(10-2)(p-1)≤34×10，故p≤2，即p=2。

當p=2時，有1≤t≤1360,3≤n≤1360，所以有tφ(n(n+1))=2S(217×10)=2×176=352，經(jīng)計算得到(t,n)=(2,23),(44,4),(44,5),(88,3)。 將(t,n)的值代入方程(1)檢驗知，(t,n)=(2,23),(44,4),(44,5),(88,3)都不是方程(1)的正整數(shù)解。

綜上可知, 方程(1)的所有正整數(shù)解的情況如定理的證明所示。

3 結(jié)語

本文討論了形如tφ2(n(n+1))=S(SL(nk))的數(shù)論函數(shù)方程的一個具體的數(shù)論函數(shù)方程tφ2(n(n+1))=S(SL(n17))的正整數(shù)解，得到了該方程有7組正整數(shù)解。對于形如tφ2(n(n+1))=S(SL(nk))的數(shù)論函數(shù)方程，當k為某一正整數(shù)時，其所確定的數(shù)論函數(shù)方程也可采用本文的研究方法進行求解。