胡朝仲,楊旭,李赟杰,白光國(guó),周領(lǐng),4
(1.云南水利水電職業(yè)學(xué)院水利工程學(xué)院,云南昆明 650499;2.中水北方勘測(cè)設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司,天津 300222;3.河海大學(xué)水利水電學(xué)院,江蘇南京 210098;4.河海大學(xué)長(zhǎng)江保護(hù)與綠色發(fā)展研究院,江蘇南京 210098)
引調(diào)水工程和城市供水管網(wǎng)建設(shè)的發(fā)展,大大滿足了生活和生產(chǎn)用水,同時(shí)也暴露出了一些問(wèn)題,如管道泄漏、阻塞等。在實(shí)際輸水管道中,生物膜堆積、腐蝕和沉積過(guò)程會(huì)形成堵塞,且堵塞的大小和嚴(yán)重程度通常隨著時(shí)間的推移而增加[1]。管道阻塞會(huì)導(dǎo)致額外的能量損失和水質(zhì)問(wèn)題,因此管道阻塞的準(zhǔn)確模擬和精準(zhǔn)檢測(cè)十分重要。
以往的管道瞬變流數(shù)值模擬大都基于特征線法求解,該方法簡(jiǎn)單、高效,常用于各類瞬變流現(xiàn)象模擬[2,3]。然而,特征線法在求解復(fù)雜管道模型時(shí)需要插值近似或調(diào)整波速,容易產(chǎn)生數(shù)值耗散或色散。基于此,Zhao等[4]提出一種有限體積法Godunov 求解格式,該求解格式受庫(kù)朗特?cái)?shù)的影響較小。Zhou等[5,6]基于該求解格式,納入了不同類型的動(dòng)態(tài)摩阻,結(jié)果表明Brunone 摩阻模型結(jié)合Godunov 求解格式在低庫(kù)朗特?cái)?shù)工況條件下數(shù)值耗散小,能更好地計(jì)算復(fù)雜管道模型。管道阻塞分為局部阻塞和管段阻塞,局部阻塞即尺度小于最小波長(zhǎng),可以視為一個(gè)不連續(xù)點(diǎn),如一個(gè)未完全關(guān)閉的閥門(mén);管段阻塞的尺度大于最小波長(zhǎng),可以視為一段直徑較小的管段串聯(lián)在管道中[7]。對(duì)于管道阻塞,特別是管段阻塞,在數(shù)值模擬時(shí)可能涉及到庫(kù)朗特?cái)?shù)小于1的情況,此時(shí)特征線法求解格式會(huì)有較大誤差。
本文提出了一種基于Godunov 求解格式的管道阻塞模型。首先,給出含Brunone 動(dòng)態(tài)摩阻的控制方程和邊界條件,以此建立相應(yīng)的管道阻塞模型。然后,分別對(duì)局部阻塞和管段阻塞進(jìn)行模型驗(yàn)證,并根據(jù)波傳播理論分析不同阻塞工況壓力波動(dòng)曲線突變?cè)颍⒔o出阻塞參數(shù)識(shí)別方法。通過(guò)參數(shù)敏感性分析研究了局部阻塞和管段阻塞的影響因素和結(jié)果。
管道瞬變流的基本控制方程為[2,8,9]:
式中:H為測(cè)壓管水頭;V為管道斷面的平均流速;a為波速;g為重力加速度;x為沿管道軸向長(zhǎng)度;t為時(shí)間;D為管道內(nèi)徑;ρ為水體密度;f為達(dá)西-維斯巴赫系數(shù);SIGN(V)為符號(hào)函數(shù);k3為Brunone摩阻系數(shù)[10]。k3通常采用Vardy等[11]所給的系數(shù)公式:
對(duì)于邊界條件,通過(guò)在邊界兩端各增加兩個(gè)虛擬控制體,可以得到對(duì)邊界控制體和內(nèi)部控制體的統(tǒng)一計(jì)算模擬,并達(dá)到二階精度要求[12]。結(jié)合黎曼問(wèn)題在邊界處的解析解、上下游邊界處的動(dòng)量和質(zhì)量方程可得到邊界處的未知量。
對(duì)于上游恒定水庫(kù)水位HR,流速可以表示為:
對(duì)于下游閥門(mén)-水庫(kù)邊界條件,有:
對(duì)于管道中閥門(mén)或串聯(lián)節(jié)點(diǎn)邊界條件,主要考慮連接邊界處的水頭損失,即:
對(duì)于有限體積法Godunov 求解格式,首先將瞬變流基本方程以黎曼問(wèn)題的求解格式表示為矩陣形式[4-6]:
式中:u為求解向量;f(u)為控制體通量矢量;Aˉ為矢量f中各變量對(duì)u中各求解變量的偏導(dǎo)數(shù)矩陣;s(u)為源項(xiàng),代表了管道的摩阻項(xiàng)。
圖1 沿管道軸向的計(jì)算網(wǎng)格
式中:fi-1/2表示i-1/2界面的數(shù)值通量;fi+1/2表示i+1/2界面的數(shù)值通量。因此,在計(jì)算下一時(shí)步的向量U時(shí),需涉及當(dāng)前時(shí)步的控制體兩邊界數(shù)值通量和源項(xiàng)。
針對(duì)Godunov 格式,控制體邊界數(shù)值通量可由局部黎曼問(wèn)題得到,可描述為初值問(wèn)題:
對(duì)于和,采用分段多項(xiàng)式重構(gòu)近似,其精度取決于多項(xiàng)式的形式。對(duì)于二階Godunov 近似,通過(guò)引入MUSCLHancock 格式進(jìn)行線性插值重構(gòu)。因?yàn)槎A格式會(huì)在高梯度附近產(chǎn)生假振蕩,采用MINMOD 斜率限制器削減這種數(shù)值震蕩[6,13]。因此,可以得到控制體積各界面的通量向量。源項(xiàng)采用顯式的二階龍格-庫(kù)塔離散化方法,考慮到Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)定律和龍格庫(kù)塔離散穩(wěn)定性條件,可得到源項(xiàng)的允許時(shí)間步長(zhǎng)[6]。
針對(duì)局部阻塞、管段阻塞兩種堵塞類型對(duì)本文所建模型進(jìn)行驗(yàn)證、討論和分析。
將模擬結(jié)果與Lee等[14]2015 年中的論文數(shù)據(jù)作對(duì)比,該系統(tǒng)上游為水庫(kù),下游閥門(mén),管道中間某處有一未完全關(guān)閉閥門(mén)。具體參數(shù)為:管道長(zhǎng)度L=2 000 m,上游恒定水位HR=50 m,中間閥門(mén)位于距上游水庫(kù)0.3L處,穩(wěn)態(tài)損失系數(shù)K=1 890,波速a=1 000 m/s,管道直徑D=0.5 m,初始流量Q0=0.02 m3/s,穩(wěn)態(tài)摩阻系數(shù)f=0.02。閥門(mén)瞬間關(guān)閉,模型模擬結(jié)果對(duì)比如圖2 所示。圖2中,對(duì)縱坐標(biāo)壓力進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理,即H*=(H-H0)/(aV0/g),其中H*為無(wú)量綱水頭,H0為穩(wěn)態(tài)壓力,V0為穩(wěn)態(tài)流速。
由圖2 可知,本文提出的基于Godunov 求解格式的管道局部阻塞模型與Lee 等2015 年模型模擬結(jié)果基本重合,驗(yàn)證了局部阻塞模型的正確性。此外,根據(jù)模擬結(jié)果可知,對(duì)于管道局部阻塞,其壓力波動(dòng)曲線在第一峰值處會(huì)突然增加,這是由于壓力波從末端閥門(mén)傳播到阻塞處時(shí)會(huì)發(fā)生反射,反射的正波與末端閥門(mén)突然關(guān)閉產(chǎn)生的主波疊加,導(dǎo)致反射波傳播到閥門(mén)末端時(shí)壓力驟增,由此可以根據(jù)壓力驟增的時(shí)間判斷局部阻塞發(fā)生位置。在本算例中,第一峰值壓力驟增的時(shí)刻為t=2.8 s,根據(jù)波速a=1 000 m/s,可以得到阻塞點(diǎn)距下由閥門(mén)位置xl=at/2=1 400 m,與實(shí)際阻塞點(diǎn)位置一致。
圖2 局部阻塞模型驗(yàn)證對(duì)比圖
將模擬結(jié)果與Duan等[15]實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作對(duì)比,該系統(tǒng)上游為水庫(kù),下游閥門(mén),管道分為三段,中間段連接直徑較小的管道。具體參數(shù)為:管道總長(zhǎng)度L=41.5 m,其中L1=8.8 m,L2=12.1 m,L3=20.6 m;上游恒定水位HR=38.2 m,波速a=1 180 m/s,管道分別為直徑D1=0.072 4 m,D2=0.022 25 m,D3=0.072 4 m,初始流量Q0=9.7×10-5m3/s,穩(wěn)態(tài)摩阻系數(shù)f=0.045 9,閥門(mén)關(guān)閉時(shí)間為0.01 s。模型與實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果如圖3 所示,圖3(a)和(b)分別為穩(wěn)態(tài)摩阻與動(dòng)態(tài)摩阻模型模擬結(jié)果。
由圖3 可知,提出的管段阻塞模型能較好地復(fù)現(xiàn)壓力波動(dòng)曲線周期和衰減。圖3(a)所示,僅考慮穩(wěn)態(tài)摩阻時(shí),在第一峰值處與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本重合,但隨著時(shí)間變化,最大與最小壓力值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏差越大。圖3(b)所示,考慮動(dòng)態(tài)摩阻模型,隨著時(shí)間變化仍能較好的模擬實(shí)驗(yàn)最大最小壓力值,僅會(huì)發(fā)生微小的相位偏移。與局部阻塞一致,末端閥門(mén)產(chǎn)生的壓力波在管段阻塞處也會(huì)發(fā)生反射。當(dāng)管徑突然變小時(shí),反射的壓力波為正波,管徑突然變大時(shí),反射的壓力波為負(fù)波。當(dāng)正波或負(fù)波傳播到末端閥門(mén)時(shí),會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的壓力增加或減小,因此在本結(jié)果前半個(gè)周期中會(huì)出現(xiàn)壓力波先增加后減小的現(xiàn)象。同理,據(jù)此可以計(jì)算管段阻塞的位置和長(zhǎng)度。以本工況為例,前半個(gè)周期內(nèi)壓力波驟增和驟減的時(shí)間分別為t1=0.035 s,t2=0.055 s,根據(jù)波速a=1 180 m/s,可以得到阻塞管段末端距下游閥門(mén)20.65 m,阻塞長(zhǎng)度為11.8 m,這與實(shí)際阻塞位置和長(zhǎng)度基本一致。
圖3 管段阻塞模型驗(yàn)證對(duì)比圖
采用2.1 節(jié)局部阻塞工況分別對(duì)管道初始流量Q0、局部阻塞損失系數(shù)K和局部阻塞位置xl進(jìn)行參數(shù)敏感性分析,結(jié)果如圖4所示。
對(duì)管道初始流量Q0參數(shù)敏感性分析,分別采用0.02、0.04和0.08 m3/s,結(jié)果如圖4(a)所示。圖4(a)表明,阻塞大小不變的情況下,隨著初始流量的增加,在第一峰值由阻塞引起的反射壓力幅值隨之增大,即反射系數(shù)隨初始流量增大而增大。Yan[16]理論推導(dǎo)了管道局部阻塞引起的反射系數(shù)解析解,反射系數(shù)r可以表示為:
式中:A為管道橫截面積。
由解析解可知:其他條件不變的情況下,隨著管道初始流量的增大,反射系數(shù)也會(huì)增大,且增大的幅度與流量呈正比。這也證明了模擬的反射系數(shù)與解析解結(jié)果一致。此外,隨著流量的增加,壓力曲線的峰谷壓力也會(huì)增大,衰減速度更快。
對(duì)局部阻塞損失系數(shù)K進(jìn)行參數(shù)敏感性分析,K值分別取1 890、3 000 和5 000,結(jié)果如圖4(b)所示。所得規(guī)律與管道初始流量類似,具體表現(xiàn)為:在其他條件不變的情況下,隨著K值的增大(即局部阻塞程度增加),峰值反射增大,且反射系數(shù)與K呈正比(與解析解一致);峰谷壓力增大,衰減速度加快。
對(duì)局部阻塞位置xl進(jìn)行參數(shù)敏感性分析,局部阻塞位置xl分別距上游水庫(kù)0.3L、0.5L和0.7L,結(jié)果如圖4(c)所示。由圖4(c)可知,不同局部阻塞位置在前半個(gè)周期內(nèi)表現(xiàn)為壓力上升時(shí)間不同,即發(fā)生反射的時(shí)間不同。因此,可根據(jù)壓力波反射的時(shí)間估計(jì)局部阻塞位置,具體見(jiàn)3.1節(jié)。
圖4 局部阻塞參數(shù)敏感性分析
對(duì)管段阻塞進(jìn)行參數(shù)敏感性分析,系統(tǒng)上游為水庫(kù),下游閥門(mén),管道分為三段,中間段連接直徑較小的管道。具體參數(shù)為:管道總長(zhǎng)度L=300 m,其中L1、L2、L3均為100 m;上游恒定水位HR=50 m,波速a=1 000 m/s,管道直徑分別為D1=0.2 m,D2=0.14 m,D3=0.2 m,初始流量Q0=0.01 m3/s,穩(wěn)態(tài)摩阻系數(shù)f=0.02,閥門(mén)瞬間關(guān)閉。分別對(duì)管段阻塞程度和阻塞長(zhǎng)度進(jìn)行參數(shù)敏感性分析,結(jié)果如圖5所示。
對(duì)管段阻塞程度進(jìn)行參數(shù)敏感性分析,保持其他參數(shù)不變,中間管道直徑D2分別選取0.14、0.16、0.18和0.2 m 進(jìn)行計(jì)算分析,結(jié)果如圖5(a)所示。圖5(a)表明,隨著阻塞管段直徑的減小,阻塞反射幅值增加,表現(xiàn)為第一壓力峰值增大,且系統(tǒng)最大峰值壓力不再為第一峰值壓力。對(duì)于隨時(shí)間變化的壓力波動(dòng)曲線,阻塞管段直徑減小使得系統(tǒng)壓力波動(dòng)周期增大,這是由于布拉格共振效應(yīng)引起的[17,18]。
對(duì)管段阻塞長(zhǎng)度進(jìn)行參數(shù)敏感性分析,保持其他參數(shù)不變,第三段管道長(zhǎng)度恒定100 m,第一段管道長(zhǎng)度和中間管道長(zhǎng)度之和保持200 m 不變,中間管道長(zhǎng)度L2分別選取20、60 和100 m 進(jìn)行計(jì)算分析,結(jié)果如圖5(b)所示。圖5(b)表明,隨著管段阻塞長(zhǎng)度增加,第一峰值壓力下降時(shí)間延長(zhǎng),這是因?yàn)樗矐B(tài)波穿過(guò)阻塞管段時(shí)間變短。波動(dòng)周期隨管段阻塞長(zhǎng)度增加而逐漸增大,與阻塞管段直徑變化引起的相移一致,這也是由布拉格共振效應(yīng)引起的。
圖5 管段阻塞參數(shù)敏感性分析
本文首先提出了基于Godunov 求解格式的管道阻塞模型,并針對(duì)局部阻塞和管段阻塞分別進(jìn)行模型驗(yàn)證和結(jié)果分析,主要結(jié)論有:①本文提出的基于Godunov 求解格式的管道阻塞模型精確度高,能較好的模擬管道阻塞壓力軌跡;②根據(jù)壓力波傳播理論,可根據(jù)壓力的驟增或驟減計(jì)算管道中局部阻塞的位置以及管段阻塞的位置和長(zhǎng)度;③局部阻塞壓力峰值大小受管道初始流量、局部阻塞損失系數(shù)的影響,壓力峰值出現(xiàn)的時(shí)間受局部阻塞位置的影響;④管段阻塞程度影響壓力峰值和波動(dòng)周期大小,管段阻塞長(zhǎng)度影響壓力峰值出現(xiàn)的時(shí)間和波動(dòng)周期。
同時(shí)應(yīng)當(dāng)注意到,在計(jì)算阻塞位置或長(zhǎng)度時(shí),壓力變化點(diǎn)的時(shí)間不精確會(huì)導(dǎo)致誤差,利用一些信號(hào)處理技術(shù)如小波變換等可能會(huì)提高計(jì)算精度。