一道省模考題引發(fā)的邏輯問(wèn)題

廣東省南雄市第一中學(xué) (512400) 黃學(xué)波

一、問(wèn)題緣起

化簡(jiǎn)上述三個(gè)論斷，求出角的值或角的關(guān)系，并以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出所有可能的真命題.(不必證明)

其參考答案如下:

論斷②，∵c=2bcosB，由正弦定理得sinC=2sinBcosB=sin2B，∵C∈(0,π)，2B∈(0,2π)，∴C=2B或C+2B=π.

以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，所有可能的真命題有：

①③?②和①②?③.

在一次教研活動(dòng)中，有老師對(duì)參考答案提出了質(zhì)疑：對(duì)答案中的①③?②沒(méi)有異議，但對(duì)①②?③，有人認(rèn)為真命題，也有人認(rèn)為是假命題，還有人認(rèn)為②③?②與①③?②形式上一樣，也應(yīng)該是真命題.

究竟參考答案有沒(méi)有問(wèn)題呢？為了弄清楚這個(gè)問(wèn)題，我們必須用邏輯代數(shù)或數(shù)理邏輯知識(shí)進(jìn)行分析，才能得出讓人信服的結(jié)論.

二、邏輯知識(shí)

由邏輯代數(shù)或數(shù)理邏輯知識(shí)，我們知道，對(duì)于A∧B、A∨B及A?B有如下邏輯真值表(1表示“真”，0表示“假”)：

ABA∧BA∨BA?B00001010111001011111

從真值表可知，當(dāng)且僅當(dāng)A真、B假時(shí)，A?B為假.用真值表或由定義(符號(hào)“=df”表示定義的意思，“=”表示左右兩邊的邏輯式真價(jià)相等，即常說(shuō)的“等價(jià)”)：A?B=df(A∧B)=A∨B，結(jié)合邏輯運(yùn)算，我們可以證明：A∨B?C=(A?C)∧(B?C).下面用定義和邏輯運(yùn)算給出證明.

∵A∨B?C=(A∨B)∨C=(A∧B)∨C

一般地，有A1∨A2∨…∨An?C=(A1?C)∧(A2?C)∧…∧(An?C).

這個(gè)結(jié)論解釋了一個(gè)全稱(chēng)命題A1∨A2∨…∨An?C為真，為什么必須Ai?C(i=1,2,…,n)均為真的理由.

同時(shí)易知，A∨B?C≠(A?C)∨(B?C).

同理，可證：A?B∨C=(A?B)∨(A?C)，一般地有A?C1∨C2∨…∨Cn=(A?C1)∨(A?C2)∨…∨(A?Cn).

三、問(wèn)題分析

有了前面的有關(guān)命題的理論知識(shí)后，我們從邏輯的視角對(duì)前面的問(wèn)題加以分析.

那么①②?③等價(jià)于R∧M∧(S∨P)?N=(R∧M∧S)∨(R∧M∧P)?N=((R∧M∧S)?N)∧((R∧M∧P)?N).

綜上可知，①②?③為真.

而②③?①等價(jià)于R∧(S∨P)∧N?M=(R∧S∧N)∨(R∧P∧N)?M=(R∧S∧N?M)∧(R∧P∧N?M).

綜上可知，②③?①為假.

而①③?②等價(jià)于R∧M∧N?S∨P=(R∧M∧N?S)∨(R∧M∧N?P).

綜合以上分析，可知參考答案正確.

四、變式應(yīng)用

在本次教研活動(dòng)中，還有老師提出下面的問(wèn)題，認(rèn)為不好判斷它們的真假：

問(wèn)題：判定下列三個(gè)命題的真假：

(A)若x=1,3x+y=5或x=y,則y=1；

(B)若x=1,y=1,則3x+y=5或x=y；

(C)若y=1,3x+y=5或x=y,則x=1.

現(xiàn)在我們用上述邏輯知識(shí)給予分析判斷.

解：為了了解各命題的邏輯結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系，和前面一樣，我們用M表示“x=1”，用N表示“y=1”，用S表示“3x+y=5”，用P表示“x=y”.

對(duì)于(A)，由于M∧(S∨P)?N=(M∧S)∨(M∧P)?N=(M∧S?N)∧(M∧P?N),即命題“若x=1,3x+y=5或x=y,則y=1”為真，等價(jià)于命題“若x=1,3x+y=5，則y=1”與命題“若x=1,x=y,則y=1”同時(shí)為真.而命題“若x=1,3x+y=5，則y=1”為假，命題“若x=1,x=y,則y=1”為真，于是(A)為假.

對(duì)于(B),由于M∧N?S∨P=(M∧N?S)∨(M∧N?P),即命題“若x=1,y=1,則3x+y=5或x=y”為真，等價(jià)于命題“若x=1,y=1,則3x+y=5”為真或命題“若x=1,y=1,則x=y”為真.雖然“若x=1,y=1,則3x+y=5”為假，但命題“若x=1,y=1,則x=y”為真，所以(B)仍為真.

對(duì)于(C)，類(lèi)似的可判斷其為假.

小結(jié)：對(duì)于結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的命題，判斷其真假必須利用邏輯真值表并結(jié)合邏輯運(yùn)算才能厘清命題的邏輯結(jié)構(gòu)，從而正確地判斷其真假.