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    采用聚類的變異正余弦優(yōu)化算法研究

    2022-12-25 12:43:28王華秋熊維雙
    關(guān)鍵詞:余弦全局精英

    王華秋,熊維雙

    (重慶理工大學(xué) 兩江人工智能學(xué)院, 重慶 401135)

    0 引言

    在現(xiàn)實生活中,存在很多群體,如蟻群、鯨魚群、狼群、鳥群等,他們都是非常智慧的群體。這些群居動物,單獨生存生命力弱,但群體生存會表現(xiàn)出強大的生命力與智慧,群體生物之間存在著各種各樣的信息交換方式,個體隨著群體信息進行調(diào)整,展現(xiàn)出強大的群體智能。

    迄今為止,群體智能與解決優(yōu)化問題的融合已然成為一個非常熱門的研究話題[1],將群體智能應(yīng)用到優(yōu)化問題中,目前對應(yīng)的算法還不少,如遺傳優(yōu)化算法(GA)[2]、粒子群優(yōu)化算法[3]、蜂群優(yōu)化算法[4]、果蠅優(yōu)化算法[5]等??偟膩碚f,群體優(yōu)化技術(shù)都是從一組隨機解開始,然后對解進行評估,并采用對應(yīng)優(yōu)化算法規(guī)則對解進行更新,直到找到最優(yōu)質(zhì)的評估和解,這就是群體優(yōu)化算法的技術(shù)核心。然而,這些傳統(tǒng)的優(yōu)化算法通常計算時間較長,尋找的結(jié)果解也不夠優(yōu)質(zhì)。例如,傳統(tǒng)的粒子群算法結(jié)構(gòu)復(fù)雜,可調(diào)參數(shù)多,對于單峰問題表現(xiàn)出收斂過快而降低了解的質(zhì)量,對于多峰問題易得局部最優(yōu),搜索不充分。

    近年來,隨著對群體智能的深入研究,國內(nèi)外研究人員提出一些結(jié)構(gòu)簡單,易操作、高效的智能優(yōu)化算法。這些算法擁有更加智能的搜索規(guī)則,收斂速度快,收斂精度高,對于復(fù)雜優(yōu)化問題也具有優(yōu)越性。正余弦優(yōu)化算法(SCA)是2016年澳大利亞研究員Mirjalili[6]提出的,它是一種較為新型的、高效率的智能優(yōu)化算法。SCA具有結(jié)構(gòu)簡單、可調(diào)參數(shù)少、實現(xiàn)簡單、收斂快速等優(yōu)點,Mirjalili的仿真實驗驗證了正余弦算法的收斂精度與收斂速度相比同類型PSO、GA和BA更加優(yōu)秀。但是依然有陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險和局部搜索不充分等不足,尤其是對于復(fù)合多峰類的函數(shù)。

    針對上述不足,國內(nèi)外研究人員也提出了很多改進正余弦優(yōu)化算法的策略。如 Nenavath等[7]對SCA局部搜索能力進行改進,利用PSO算法的局部開發(fā)能力來彌補SCA局部搜索的短板。實驗仿真分析驗證了PSO改進后的正余弦優(yōu)化算法對單峰測試函數(shù),具有更高效的局部探索能力,結(jié)合SCA全局搜索的優(yōu)勢,使PSO-SCA優(yōu)化算法性能得到整體提升。Gupta等[8]提出正余弦結(jié)合反向?qū)W習(xí)的M-SCA優(yōu)化算法,設(shè)計反向?qū)W習(xí)避免局部最優(yōu),設(shè)計自適應(yīng)振幅調(diào)整因子擴大搜索空間,增加候選解的多樣性。Nenavath等[9]提出一種SCA-DE,采用差分算法策略優(yōu)化SCA避免局部最優(yōu),提升算法跳出局部最優(yōu)的能力,仿真實驗驗證了改進后的SCA-DE比傳統(tǒng)的SCA或單純的DE的優(yōu)化效果要好,收斂速度與精度都有很大的提高。文獻[10]提出了融合貪婪選擇、交叉機制、反向?qū)W習(xí)策略的ISCA優(yōu)化算法,用來增加全局與局部搜索的力度,前期全局搜索廣,后期局部搜索快,提供一個精英解,為種群尋找優(yōu)質(zhì)解提供搜索方向,并在CEC2017(congress on evolutionary computation 2017)基準(zhǔn)函數(shù)上檢驗了ISCA算法的優(yōu)越性和魯棒性。

    盡管現(xiàn)有研究在傳統(tǒng)SCA尋優(yōu)性能方面有所改進,到目前為止,從SCA提出到對SCA算法的改進,這方面的研究還是相對較少。SCA容易陷入局部最優(yōu)、收斂速度較慢等問題,依然缺乏有效的解決手段,尤其針對復(fù)雜優(yōu)化問題。本文提出KMeans聚類與柯西混沌變異的改進 KVSCA方法,KVSCA算法擴大了搜索范圍,加強了局部搜索能力,更有效地避免局部最優(yōu),提高了算法收斂精度與收斂速度。本文采用拉丁超立方體抽樣方法(LHS)隨機初始化種群解,提高初始化種群解的多樣性。

    結(jié)合柯西混沌變異與KMeans聚類算法,重點改進了局部搜索的收斂方式,避免局部最優(yōu),加快收斂; 在算法中振幅調(diào)整因子進行自適應(yīng)更新,改進個體位置更新方式; 設(shè)計非線性的指數(shù)函數(shù)對振幅調(diào)整因子進行自適應(yīng)更新,平衡局部搜索和全局搜索。最后,將改進的KVSCA算法應(yīng)用到CEC2017基準(zhǔn)函數(shù)和工程測試優(yōu)化問題上,進行仿真實驗。驗證了改進后KVSCA算法的高魯棒性和優(yōu)越性。

    1 正余弦算法

    SCA是一種啟發(fā)式優(yōu)化算法,結(jié)構(gòu)簡單,易于實現(xiàn),泛化能力強,可應(yīng)用于不同領(lǐng)域。在尋優(yōu)過程中,正余弦優(yōu)化算法利用隨機分布的解在搜索空間中快速震蕩地進行搜索更新。解的搜索隨著震蕩的收斂而收斂。具體的搜索方式為:首先對候選解進行隨機初始化,然后與正弦函數(shù)或余弦函數(shù)再結(jié)合隨機因子在候選解的每個維度上更新當(dāng)前解的值。位置更新方程為:

    (1)

    (2)

    式中:r1取值范圍為[0,a];a為常數(shù);t為當(dāng)前迭代次數(shù);T為最大迭代次數(shù);參數(shù)r1表示搜索方向。r1>1,則往當(dāng)前解與最優(yōu)解之間的區(qū)域更新位置,有助于全局探索;r1≤1,則往當(dāng)前解與最優(yōu)解之外的區(qū)域更新位置,有助于局部探索。并且r1會隨著迭代次數(shù)t的增加而減小,平衡正余弦優(yōu)化算法的局部搜索和全局搜索,改善了傳統(tǒng)的SCA局部搜索不足的缺點。r2,r3,r4作為一個隨機因素組,r2參數(shù)定義了當(dāng)前解離最優(yōu)解的距離。 參數(shù)r3為隨機權(quán)值,r3>1,則加強候選解向精英解進行位置更新,更新跨度更大,r3≤1,則減弱候選解向精英解進行位置更新,更新跨度減小。r4參數(shù)調(diào)整正弦或余弦變化方式。

    正弦和余弦搜索過程如圖1所示。正余弦值域范圍為考慮了隨機權(quán)重的正余弦函數(shù),值域為[-2,2]。當(dāng)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)取值范圍屬于(-1,1)之間時,候選解的搜索范圍在當(dāng)前解到最優(yōu)解的半徑范圍內(nèi)進行最優(yōu)解搜索;當(dāng)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)值范圍在[-1,-2]和[1,2]范圍時,候選解在當(dāng)前解到最優(yōu)解的半徑范圍之外進行搜索最優(yōu)解。在實際優(yōu)化過程中,全局最優(yōu)解的位置被存儲,表現(xiàn)為一個可變的精英個體。候選解總是圍繞當(dāng)前精英個體并利用正余弦函數(shù)更新位置。

    圖1 正弦和余弦搜索過程

    2 改進正余弦算法

    2.1 LHS方法初始化種群

    文獻[11]研究分析出,種群初始化的好壞嚴(yán)重影響著優(yōu)化算法的初始性能與結(jié)果,太過單一的初始化易得局部最優(yōu),缺少魯棒性。在基本 SCA 算法中,采用隨機的方法產(chǎn)生初始化種群,這種方法產(chǎn)生的初始化種群易導(dǎo)致產(chǎn)生的種群個體分布不均和出現(xiàn)個體重疊,導(dǎo)致易得局部最優(yōu),降低了SCA算法的尋優(yōu)性能。本文提出采用LHS方法初始化種群,具備如下優(yōu)點:

    能實現(xiàn)滿空間填充,產(chǎn)生的采樣點個體具有隨機性,并能較好地將其均勻分布在搜索空間中;穩(wěn)定性強,希望采樣點總均值可提供無偏估計,同時方差小。從LHS方法的特點看,若采用LHS方法初始化種群,既可以保證產(chǎn)生的初始化種群個體的隨機性,得到均勻分布、不重疊的初始化種群,從而保證了初始化種群的多樣性,提高了算法尋優(yōu)性能和減避免部最優(yōu)。

    步驟1確定種群規(guī)模S;

    步驟3生成S行h列的且每一列都為{1,2,…,s}的一個隨機全排列矩陣As*h;

    步驟4劃分后的As*h矩陣的每一行就為一個子立方體,代表選取的一個種群個體,這樣得到的每個種群個體都不會重復(fù),最后采集到分布均勻的種群個體。

    2.2 自適應(yīng)的振幅調(diào)整因子

    在SCA算法中,參數(shù)r1用于平衡全局探索和局部探索。當(dāng)r1>1時,候選解往當(dāng)前解與最優(yōu)解之外的區(qū)域更新位置,進行全局搜索。當(dāng)r1≤1時,候選解往當(dāng)前解與最優(yōu)解之內(nèi)的區(qū)域更新位置,進行局部搜索。全局搜索和局部開發(fā)的有效協(xié)調(diào)和自適應(yīng)轉(zhuǎn)換決定了SCA算法能否獲得更好的穩(wěn)定性和更高的尋優(yōu)精度。式(2)表明,r1屬于[0,a],隨迭次數(shù)增加而減小的線性遞減函數(shù)。表明:較大r1使得迭代早期搜索步長更大,全局搜索能力更強,但調(diào)整因子遞減速率過快,全局搜索不充分,易陷入局部最優(yōu);較小r1使得迭代晚期搜索步長更小,但遞減速率慢,算法無法快速收斂。振幅調(diào)整因子線性的遞減對于SCA算法的尋優(yōu)精度和收斂速度提升作用不大,算法性能提高不明顯。為此,KVSCA算法設(shè)計了一種基于指數(shù)函數(shù)的曲線自適應(yīng)振動調(diào)整因子的更新方法,定義為:

    (3)

    式中:k為調(diào)節(jié)系數(shù)。根據(jù)式(3),r1的遞減速率隨迭代先慢后快,這表明前期的迭代次數(shù)比原始SCA算法更多,可以相對增強全局搜索能力,而削弱局部開發(fā)能力,這有助于在更大空間內(nèi)搜尋最優(yōu)解。而后期r1將加速遞減,加快算法收斂。與未改進的r1對比,如圖2所示。

    由圖2和式(3)可看出,傳統(tǒng)SCA算法的振幅調(diào)整因子r1隨算法迭代次數(shù)的增加呈線性遞減,改進振幅調(diào)整因子r1隨算法迭代次數(shù)的增加而非線性遞減。這種方式在算法前期振幅調(diào)整因子r1以較小的速度減小,保證了較大的振幅,加快算法全局搜索,到算法迭代后期,振幅調(diào)整因子r1以較大的速度減小,使得振幅后期較小,使其能在最優(yōu)解附近進行精確搜索。均衡全局搜索與局部搜索,提高尋優(yōu)性能。

    圖2 r1的變化曲線

    2.3 變中心數(shù)的KMeans劃分

    傳統(tǒng)的KMeans算法以歐式距離聚類度量標(biāo)準(zhǔn),尋找初始聚類中心V=(v1,v2,…,vk)T向量的最優(yōu)分類,使評價指標(biāo)具有最小值。以誤差平方和的大小作為聚類好壞的評判標(biāo)準(zhǔn),誤差平方和公式定義如下:

    (4)

    式中:ci為聚類后的簇;Mi為聚類的對象;p為簇中的平均值。

    KMeans算法的核心思想是對一個數(shù)據(jù)對象按照歐式距離,將數(shù)據(jù)點到該聚類中心的平方和最小化。本文在傳統(tǒng)的優(yōu)化算法上增加KMeans聚類劃分,主要目的有:① 劃分后,利用不同簇種群個數(shù)的統(tǒng)計特征,使SCA優(yōu)化算法在不同簇搜索開發(fā)的能力有所不同;② 增強傳統(tǒng)SCA在局部收斂時的搜索能力。原理如下:

    1) 根據(jù)SCA優(yōu)化算法的位置更新公式,即式(1),當(dāng)r1>1時,隨著迭代次數(shù)的增加,候選解總是圍繞當(dāng)前精英個體并利用正余弦函數(shù)更新位置,所有種群粒子都會逐漸向著最優(yōu)去收斂。從整個收斂空間看,這樣做收斂速度較快,卻也很容易陷入局部最優(yōu)。本文采用KMeans聚類劃分平衡全局搜索速度與范圍。KMeans劃分后,不同的簇包含的種群粒子數(shù)目不同。隨著SCA算法迭代收斂,種群數(shù)目多的簇,存在最優(yōu)值的可能性越大,反之,可能性越小,然后對于每個簇利用公式(1)更新位置,種群多的收斂速度依然快,保證全局搜索速度,種群少的簇也會給與一定的開發(fā),保證全局搜索范圍不會急速縮小。

    2) 在SCA優(yōu)化算法的局部搜索時,當(dāng)r1≤1時,位置更新方向為當(dāng)前解與最優(yōu)解之外的區(qū)域,此時的當(dāng)前解與最優(yōu)解之外的搜索區(qū)域較廣。其中r1越小,這個區(qū)域范圍越大。對于多峰類的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù),收斂變得不穩(wěn)定,很容易在當(dāng)前解與最優(yōu)解之外的搜索區(qū)域找到最優(yōu)解,局部搜索變得非常不穩(wěn)定,容易陷入局部最優(yōu)。增加KMeans聚類劃分后,SCA在局部搜索時,當(dāng)前解與最優(yōu)解之外區(qū)域范圍減小,并且對于每個簇搜索是獨立的。在避免局部最優(yōu)的同時,使收斂變得更加穩(wěn)定,增強傳統(tǒng)SCA的局部搜索能力。

    具體實現(xiàn)方法:由式(1)可知,傳統(tǒng)SCA算法在實際優(yōu)化過程中,全局最優(yōu)解的位置被存儲,表現(xiàn)為一個可變的精英個體。所有的種群粒子利用正余弦函數(shù)向著精英個體更新位置,可將種群粒子分為基本種群粒子和精英種群粒子來體現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上,本文在KMeans聚類劃分后,將所有種群粒子重新分為3類:基本種群粒子x、精英種群粒子xb和最優(yōu)種群粒子xgb。基本種群粒子x為每個簇的所有種群粒子,精英種群粒子xb為簇內(nèi)被存儲的最優(yōu)位置,最優(yōu)種群粒子xgb為全局最優(yōu)解。KVSCA優(yōu)化算法提出精英種群粒子xb向最優(yōu)種群粒子xgb進行位置更新,同時基本種群粒子x進行柯西混沌擾動的策略。在KVSCA優(yōu)化算法進行尋優(yōu)時,KMeans聚類數(shù)同時發(fā)生變化,形成變中心數(shù)KMeans劃分。采用變中心數(shù)KMeans劃分相對于標(biāo)準(zhǔn)KMeans劃分的區(qū)別在于,變中心數(shù)變的是精英種群粒子xb的個數(shù)。其優(yōu)勢在于,隨著KMeans劃分中心數(shù)K值的增加,精英種群粒子xb個數(shù)也增加,進而向著最優(yōu)種群粒子xgb收斂的速度加快,加速整個優(yōu)化算法的收斂。另外,相對于單個最優(yōu)個體xgb的擾動機制,本文采取對所有基本種群粒子x進行擾動,可增加擾動開發(fā)范圍,最大限度降低KVSCA算法進入局部的風(fēng)險。同時,基本種群粒子x隨K值的增加而減少,使KVSCA算法進入局部搜索時加快收斂速度。保持基本種群粒子x個數(shù)與精英種群粒子xb個數(shù)的和等于初始的種群粒子數(shù),以確保KVSCA算法優(yōu)化開銷不會增大。

    2.4 基于自適應(yīng)慣性權(quán)重的位置跟新

    由SCA算法的位置更新方式可知,新的個體位置x(t+1)通過將原個體位置x(t)向當(dāng)前最優(yōu)解xgb(t)移動而生成,該過程更有利于種群進行全局搜索,相對而言,局部搜索時易早熟收斂。因此,改進位置更新方式,也成為一個改進重點。

    文獻[12]在分析了SCA算法的不足后引入慣性權(quán)重w,對粒子的速度更新公式進行改進,使得PSO算法能快速收斂于全局最優(yōu)解。受此改進算法的啟發(fā),本文在傳統(tǒng)SCA位置更新方式上引入慣性權(quán)重w,以此避免早熟,改善優(yōu)化性能。得到改進的個體位置更新公式如下:

    (5)

    式中:w為慣性權(quán)重,r2為0到2π的隨機數(shù);r3為0~2之間的隨機數(shù);r4為(0,1)的隨機數(shù),r4調(diào)節(jié)位置更新方式,r4<0.5正弦位置更新方式,r4≥0.5余弦位置更新方式。

    根據(jù)文獻[13]仿真實驗表明,慣性權(quán)重較大時,主要進行全局搜索,慣性權(quán)重較小時,主要進行局部搜索,并且慣性權(quán)重隨著迭代次數(shù)的增加而減小。前期慣性權(quán)重大,進行全局探索;后期慣性權(quán)重小,進行局部探索。具體公式如式(5):

    (6)

    式中:wmax為迭代過程中最大慣性權(quán)重,wmin為迭代過程中最小慣性權(quán)重。

    在此基礎(chǔ)上,本文在KMeans聚類劃分后,種群粒子分為基本種群粒子x、精英種群粒子xb和最優(yōu)種群粒子xgb;提出了精英種群粒子xb向最優(yōu)粒子xgb進行位置更新的策略,保證算法的快速收斂與收斂精度。對基本種群粒子x進行柯西擾動和混沌擾動,保證算法的全局搜索,減緩進入局部最優(yōu)。提升算法的搜索性能,擴大搜索范圍。兩者同時作用,保證KVSCA優(yōu)化算法快速、穩(wěn)定地收斂。

    基于KMeans改進后的位置更新方式為:

    (7)

    式中:r4為(0,1)的隨機數(shù);r4調(diào)節(jié)位置更新方式;r4<0.5正弦位置更新方式;r4≥0.5余弦位置更新方式。

    2.5 基于KMeans劃分后的變異擾動

    由新的位置更新式(5)可知,個體在進行搜索時,當(dāng)前的精英最優(yōu)個體xgb具有引領(lǐng)作用。盡管該方式可以有效發(fā)揮精英個體的導(dǎo)向作用,但在處理多峰函數(shù)優(yōu)化時,此時忽略了最優(yōu)個體的多樣性,易導(dǎo)致局部最優(yōu)。

    目前,將精英個體擾動機制應(yīng)用到智能優(yōu)化算法的改進有很多,可以有效避免局部最優(yōu),具有更快的收斂速度、更高的收斂精度,魯棒性也更強。然而,改進也有一些不足,如在某些多峰函數(shù)中搜索精度不高,算法優(yōu)化性能不穩(wěn)定,如文獻[14-15]。單純的精英個體的擾動,缺乏多樣性的基本個體群,尤其在局部搜索時,過于依賴精英個體擾動帶來的避免局部最優(yōu)的擾動效果,較容易陷入局部最優(yōu),最優(yōu)值的獲取極其不穩(wěn)定。如果單純采用較多的精英個體擾動,產(chǎn)生精英個體群,提升局部搜索開發(fā)能力,精英個體群的自適應(yīng)選取不易,且收斂速度慢。算法優(yōu)化性能提升不大。所以,本文采用變中心數(shù)KMeans對種群劃分的方式,增加算法在局部搜索與全局搜索的開發(fā)力度,提升全局和局部搜索能力。K值增加,加快算法的收斂速度,實現(xiàn)更加穩(wěn)定和快速的收斂。

    將初始化后的總?cè)海肒Means進行劃分成k類,每一類中選取最優(yōu)的精英個體,形成精英個體群。然后對精英個體xb采取式(7)的位置更新方式,提升算法的收斂速度。分別對基本個體x和最優(yōu)個體xgb采用柯西變異或混沌變異,增加種群多樣性,提高算法探索開發(fā)能力,避免局部最優(yōu)。

    基于柯西變異的個體更新方式為:

    xnew=X+cauch*yX

    (8)

    式中:參數(shù)cauchy表示服從柯西分布的柯西算子;xnew為基本個體或者最優(yōu)個體經(jīng)過柯西變異的個體;X為基本個體或最優(yōu)個體。

    基于混沌變異的個體更新方式為:

    xnew=xmin+φ(xmax-xmin)

    (9)

    式中:φ為Logistic混沌值,定義為:

    φ(t+1)=c*φ(t)(1-φ(t))

    (10)

    式中:c為混沌參數(shù),c=4。

    綜上,將基本個體和最優(yōu)個體的變異擾動方式定義為:

    (11)

    式中:r5為(0,1)內(nèi)的隨機值。

    2.6 改進后的算法流程

    算法尋優(yōu)流程如下:

    步驟1初始化參數(shù),設(shè)種群規(guī)模為Sn,設(shè)最大迭代次數(shù)為Tmax,設(shè)聚類個數(shù)K初始化為1。 全局最優(yōu)gbest初始化為INF,精英個體群(gbest1,gbest2,…,gbestk,gbestk+1)T初始化為(INF1,INF2,…,INFk,INFk+1)T。

    步驟2利用拉丁超立方體方法(LHS)初始化種群。

    步驟3對均勻分布的種群進行KMeans聚類,聚類數(shù)為k。

    步驟4計算所有種群粒子的適應(yīng)度,找出每個簇的簇內(nèi)最優(yōu),產(chǎn)生新精英個體群(b1,b2,…,bk)T。更新并存儲迭代過程中每個簇的簇內(nèi)最大解Xmaxi=(xmax1,xmax2,…,xmaxk)T與每個簇的簇內(nèi)最小解Xmini=(xmin1,xmin2,…,xmink)T。

    步驟5精英個體群中選取最大值為此次迭代的全局最優(yōu)gb。

    步驟6剩余的所有基本種群粒子進行柯西混沌擾動,將Xmaxi、Xmini用于混沌擾動。

    步驟7KMeans劃分后精英個體群按式(6)進行位置更新。

    步驟8對每個種群個體的所有維度進行檢查,檢查是否超出邊界。若是,則把上界值替換給維度大于上界的值,把下界值替換給維度小于下界的值。反之,不作處理。

    步驟9對當(dāng)前精英個體群(b1,b2,…,bk)T中的bi種群粒子依次判斷,判斷bi的適應(yīng)度值是否優(yōu)于(gbest1,gbest2,…,gbestk,gbestk+1)T中的gbesti的適應(yīng)度值,若是,更新gbesti=bi。繼續(xù)判斷gb是否大于gbest。若是,更新gbest=gb。

    步驟10對全局最優(yōu)gb進行柯西擾動或混沌擾動。

    步驟11將所有簇重新組合到一起,迭代次數(shù)t加1;返回步驟3,當(dāng)t為,聚類數(shù)k=k+1。

    步驟12當(dāng)?shù)螖?shù)t≥Tmax時,迭代結(jié)束,尋優(yōu)完成,輸出全局最優(yōu)gbest。

    算法流程如圖3所示。

    圖3 KVSCA算法流程框圖

    2.7 算法復(fù)雜度分析

    時間復(fù)雜度分析,令KVSCA算法的種群規(guī)模為N,最大迭代數(shù)為Tmax,個體維度為d。則LHS種群隨機初始化的時間復(fù)雜度為O(N*d)。利用KMeans進行聚類需要時間復(fù)雜度為O(N*k*m),k為聚類個數(shù),m為迭代個數(shù)。一般k,m均可認(rèn)為是常量,所以時間可以簡化為:O(N),即線性的。遍歷所有精英種群個體,以及每個精英個體的所有維度,計算精英個體適應(yīng)度,則計算適應(yīng)度的時間復(fù)雜度為O(N1*d*Tmax)。N1精英個體的個數(shù),N1屬于[1,k]。每次迭代中,需要對基本個體群進行擾動變異,該過程的時間復(fù)雜度為O(k*N*d*Tmax)。綜上,KVSCA算法的總體時間復(fù)雜度為O(k*N*d*Tmax)。該時間復(fù)雜度比基本SCA算法時間復(fù)雜度多一個k的數(shù)量級,k是常數(shù),且會隨著迭代次數(shù)增加減小到1,表明KVSCA算法增加計算代價并不大。

    3 仿真試驗和結(jié)論

    3.1 測試函數(shù)及算法參數(shù)設(shè)置

    為了檢驗KVSCA算法的性能,本文選用23個典型的測試函數(shù)和1個工程測試問題進行實驗仿真,測試KVSCA算法的效果和可行性。表1列出了 23個測試函數(shù),其中 f1~f7為單模態(tài)基準(zhǔn)函數(shù),f8~f13為多模態(tài)基準(zhǔn)函數(shù)函數(shù),f14~f18為復(fù)合型基準(zhǔn)函數(shù)函數(shù)。統(tǒng)計的基準(zhǔn)測試函數(shù)的名稱、維度、區(qū)域和理論最小值如表1。

    表1 測試函數(shù)

    續(xù)表(表1)

    實際工程測試問題為齒輪設(shè)計問題。齒輪數(shù)設(shè)計問題是一種離散問題,所有變量都必須為整數(shù)。齒輪數(shù)設(shè)計問題中,涉及(x1,x2,x3,x4)4個決策變量,它們代表了一列4個齒輪的齒數(shù)。這個問題的目標(biāo)是找到一個最佳的齒數(shù),以盡量減少齒輪比。本文采用四舍五入的方式處理離散參數(shù)為整數(shù),齒輪數(shù)設(shè)計優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)為:

    (12)

    式中:約束條件為12≤xi≤60,xi∈Z+,?i=1,2,3,4。

    3.2 測試函數(shù)性能對比

    1) 種群規(guī)模N設(shè)為40、最大迭代數(shù)Tmax設(shè)為400、振幅調(diào)整因子a設(shè)為2、初始慣性權(quán)重wmax設(shè)為0.9、wmin設(shè)為0.4,實驗運行次數(shù)為20。對比算法選擇如下:基本正余弦算法SCA[6]、柯西混沌變異改進的正余弦算法優(yōu)IWCCSCA[13]。

    表2中(a)~(c)統(tǒng)計了30次實驗中不同優(yōu)化函數(shù)優(yōu)化基準(zhǔn)函數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)方差和最小值表現(xiàn),同步觀測算法尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性。表格中標(biāo)準(zhǔn)方差體現(xiàn)了優(yōu)化算法的穩(wěn)定性,方差越小,算法越穩(wěn)定。表格中均值和最小值體現(xiàn)的是優(yōu)化算法的收斂精度。每個目標(biāo)函數(shù)收斂精度可以從表1的理想最小值屬性查看,實際適應(yīng)度值越接近理論最小值則收斂精度越高。

    表2 優(yōu)化結(jié)果的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和最小值

    從統(tǒng)計結(jié)果分析:對于所有函數(shù),改進后的KVSCA算法與IWCCSCA算法比傳統(tǒng)的SCA算法的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性都好。除了在一些復(fù)合型目標(biāo)函數(shù)中IWCCSCA算法的表現(xiàn)與傳統(tǒng)的SCA差不多,如f21-f23。IWCCSCA算法采用拉丁超立方體抽樣方法、柯西混沌變異、非線性的指數(shù)函數(shù)對振幅調(diào)整因子,性能提升較為有限,尤其是局部收斂不足,如在優(yōu)化復(fù)合型目標(biāo)函數(shù)中,明顯表現(xiàn)出收斂精度較差,局部收斂極不穩(wěn)定。

    (b)標(biāo)準(zhǔn)差

    續(xù)表[表2(b)]

    (c)最小值

    觀察統(tǒng)計表格可知,在表格中的KVSCA算法,標(biāo)準(zhǔn)方差、均值和最小值的表現(xiàn)結(jié)果都是最優(yōu)的。本文所采用的KVSCA算法,在結(jié)合IWCCSCA改進優(yōu)點的同時,利用變中心數(shù)的KMeans劃分方式擴大局部搜索范圍,加大局部搜索力度。從而對SCA算法的開發(fā)空間、種群多樣性、收斂速度及擾動的多樣性等方面進行了優(yōu)化,得到更高的收斂精度和更快的收斂速度。因此,KVSCA算法在綜合性能提升方面是所有算法中最好的,得到的理論最優(yōu)解也是最多的。證明了變中心數(shù)的KMeans劃分方式的有效性。

    收斂性分析:圖4為最大迭代為400時算法的收斂曲線。圖中點線為SCA,虛線為IWCCSCA,實線為KVSCA??梢钥闯?,3種算法的尋優(yōu)曲線都有下墜趨勢,說明都在迭代地向理論最優(yōu)解位置靠近。從圖 4(a)~(c)可以看出:對于單峰函數(shù),KVSCA不僅收斂精度高,收斂速度最快,而且都可以找到理論最小值。從圖4(d)~(f)可以看出:對于多峰函數(shù),KVSCA與IWCCSCA兩種算法的收斂精度近似,收斂精度遠(yuǎn)高于SCA,但KVSCA收斂速度明顯快得多。從圖4(g)~(i)可以看出:對于復(fù)合型函數(shù),KVSCA同樣可以找到理論最小值,收斂速度也是最快,基本沒有陷入局部最優(yōu)。綜合24個基準(zhǔn)函數(shù)的測試結(jié)果,KVSCA算法在處理單峰、多峰函數(shù)和復(fù)合函數(shù)都具有很好尋優(yōu)效率及穩(wěn)定性。

    圖4 收斂曲線

    3.3 實際工程測試問題分析

    表3統(tǒng)計了30次實驗中齒輪設(shè)計問題的優(yōu)化均值、標(biāo)準(zhǔn)方差和最小值,很明顯可以看出表現(xiàn)最好的是KVSCA的優(yōu)化效果,收斂的精度、穩(wěn)定性都是最好的。

    表3 齒輪設(shè)計問題優(yōu)化結(jié)果

    KVSCA優(yōu)化在實際應(yīng)用中也同樣優(yōu)秀,相比于其他2種算法。表4為最終優(yōu)化結(jié)果,KVSCA的優(yōu)化結(jié)果分別為:x1=43,x2=16,x3=19,x4=49。

    表4 齒輪設(shè)計問題優(yōu)化結(jié)果

    收斂性分析:圖5為最大迭代為400時算法的收斂曲線。F24為齒輪設(shè)計問題的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)。從圖中看出,3種算法都收斂下降。KVSCA下降最快、最低,同樣顯示了KVSCA算法的魯棒性高,收斂快,精度高。

    圖5 齒輪設(shè)計問題收斂曲線

    4 結(jié)論

    1) 在 SCA 算法的基礎(chǔ)上進行改進,通過引入超拉丁立方體LHS方法初始化種群,均勻分布初始化種群,提高初始種群多樣性。

    2) 引入自適應(yīng)慣性權(quán)重、引入非線性遞減振幅因子r1、設(shè)計結(jié)合柯西變異和混沌變異避免局部最優(yōu),提高算法開發(fā)能力。利用KMeans聚類算法對種群進行聚類,擴大搜索范圍,既增強了局部搜索能力,又增加收斂速度。

    3) 對比傳統(tǒng)智能算法和IWCCSCA,本文的KVSCA算法具有更快的收斂速度和更高的收斂精度,以及更好的適應(yīng)性和魯棒性。尤其是在復(fù)合型函數(shù)的表現(xiàn)上,更加凸顯了KVSCA擺脫局部最優(yōu),快速收斂的優(yōu)勢。

    4) 未來的研究工作可以考慮進一步提高啟發(fā)式算法的效率,減少迭代次數(shù),同時引入并行化的思路提升尋優(yōu)效率,滿足大數(shù)據(jù)處理需求。

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