基于梯度迭代的阻抗控制曲面跟蹤方法仿真

盧承華， 朱明超，王 棟， 吳清文

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.長(zhǎng)光衛(wèi)星技術(shù)有限公司，吉林 長(zhǎng)春 130033)

1 引言

如今，機(jī)械臂被廣泛應(yīng)用到去毛刺、焊接、打磨等工業(yè)自動(dòng)化加工等領(lǐng)域，這些工作要求機(jī)械臂末端與環(huán)境接觸并對(duì)接觸面進(jìn)行跟蹤與預(yù)測(cè)，且需要同時(shí)控制機(jī)械臂末端的位置與力信息[1-2]。針對(duì)機(jī)械臂末端力與位置的智能控制問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開展了很多研究。

力/位混合控制[3]、阻抗控制[4]是兩種主要的柔順控制方式。其中，力/位混合控制在控制過程中需要預(yù)先對(duì)力矩陣或位置矩陣進(jìn)行選擇，即控制過程中需要對(duì)力、位置控制模式來回切換，不能同時(shí)對(duì)二者進(jìn)行控制，這一缺點(diǎn)大大影響了機(jī)器人控制的柔順性[4-5]。而阻抗控制避開這一缺點(diǎn)，成為一種性能優(yōu)良的控制算法。自1985年Hogan提出阻抗控制概念以來，該算法便受到了極大的關(guān)注并應(yīng)用到了機(jī)器人控制的各個(gè)領(lǐng)域[6]。Lasky與 Hsia首次將阻抗控制應(yīng)用到力跟蹤問題，他們將機(jī)械臂與環(huán)境接觸的模型等效為虛擬的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，巧妙地簡(jiǎn)化了控制過程[7]。

阻抗控制與自適應(yīng)控制以及學(xué)習(xí)算法的結(jié)合也成為了國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。Seul使用自適應(yīng)控制對(duì)阻尼系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化[8]，Liu、段晉軍等人對(duì)剛度系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化[8-11]，但自適應(yīng)過程并未顯示優(yōu)化后的阻抗系數(shù)。Abdelhamid提出了四種可用于機(jī)器人的迭代學(xué)習(xí)控制方法[12]，李琳、Liang等人將迭代學(xué)習(xí)應(yīng)用到了曲面跟蹤[13-15]，并對(duì)末端軌跡偏移量進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)，但該算法需要經(jīng)歷較多的迭代次數(shù)才可達(dá)到理想效果。Li、Ge用基于線性二次調(diào)節(jié)的強(qiáng)化學(xué)習(xí)阻抗控制算法權(quán)衡并減小力與位置誤差[16-17]，Loris利用強(qiáng)化學(xué)習(xí)與迭代學(xué)習(xí)步長(zhǎng)摩擦力并進(jìn)行了阻抗力控制[15]，張鐵利用強(qiáng)化學(xué)習(xí)優(yōu)化了力誤差系數(shù)[18]，但強(qiáng)化學(xué)習(xí)具有較高的計(jì)算復(fù)雜度。

為提升學(xué)習(xí)效率并簡(jiǎn)化學(xué)習(xí)過程，本文提出了一種基于梯度迭代的阻抗控制算法，適用于未知曲面的跟蹤過程，可以處理環(huán)境參數(shù)和機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的不確定性。通過優(yōu)化機(jī)械臂阻抗模型的等效阻尼系數(shù)，減小了跟蹤過程中力誤差與位置誤差，能夠在誤差允許范圍內(nèi)尋找到最優(yōu)的阻尼系數(shù)且使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。仿真結(jié)果證明，該算法具有較高的效率和較高的精度，具有可行性和正確性。

2 機(jī)器人末端與曲面接觸模型

(1)

式中M是質(zhì)量矩陣，B是阻尼矩陣，K是剛度矩陣，ΔF(t)為實(shí)際接觸力F與期望接觸力Fd之差。該模型的傳遞函數(shù)為

(2)

不失一般性，以一維空間舉例，只考慮一維空間的機(jī)器人末端與曲面接觸模型為

(3)

圖1 機(jī)器人末端與環(huán)境接觸模型

其中e=xc-xr。Δf可分解為

Δf=f-fd

=ke(xe-xc)-fd

=kexe-kexc-fd

=kexe-ke(xr+k(s)Δf)-fd

(4)

將一維空間的傳遞函數(shù)代入得

Δf(ms2+bs+k+ke)

=(ms2+bs+k)[ke(xe-xr)-fd]

(5)

由此可得穩(wěn)態(tài)力跟蹤誤差

(6)

為使(5)式收斂于0，需對(duì)fd進(jìn)行討論：

若fd=0，存在xr=xe，必然使Δfss=0，因此穩(wěn)態(tài)力跟蹤誤差收斂于0。

同時(shí)，在傳統(tǒng)載體基礎(chǔ)上，豐富教育手段。構(gòu)建一個(gè)或多個(gè)具有代表性的師生交流平臺(tái)，培養(yǎng)一批少數(shù)民族學(xué)生意見領(lǐng)袖，充分利用互聯(lián)網(wǎng)渠道下的自媒體平臺(tái)，擴(kuò)大意識(shí)培育宣傳覆蓋面。高校民族團(tuán)結(jié)進(jìn)步教育不止是在寢室民族團(tuán)結(jié)、主題班會(huì)等顯性教育上做文章，同時(shí)需將教育根植于文化理念中，在校園學(xué)習(xí)和生活中內(nèi)涵式的表達(dá)、浸潤(rùn)式的教育，潛移默化地影響學(xué)生。通過榜樣示范、民族文化展示等途徑激勵(lì)大學(xué)生自覺培養(yǎng)民族團(tuán)結(jié)精神和愛國(guó)主義精神。

若fd≠0，ke(xe-xr)-fd≠0，因此想要使穩(wěn)態(tài)誤差收斂于0，須置k=0，由此機(jī)器人末端與曲面接觸模型可簡(jiǎn)化為

(7)

其中e=xc-xr。由于環(huán)境參數(shù)未知，很難獲得精確的參考軌跡，因此以環(huán)境位置xe取代參考軌跡xr，則阻抗控制模型為

(8)

其中

=ke(xc-xe)-fd

=-kee-fd

(9)

即

(10)

3 基于梯度迭代的阻抗控制算法

未知曲面跟蹤與預(yù)測(cè)任務(wù)要求機(jī)器人及環(huán)境接觸的力盡量小，同時(shí)盡量貼合環(huán)境位置，因此曲面跟蹤與預(yù)測(cè)效果的好壞與力誤差和位置誤差有關(guān)。定義ef為實(shí)際接觸力f與期望力fd的差，ex為機(jī)器人末端實(shí)際位置xc與環(huán)境位置xe的差，即

(11)

在此，定義損耗函數(shù)Γ作為曲面跟蹤與預(yù)測(cè)效果的度量，即

(12)

其中，γ1和γ2是力誤差與位置誤差的權(quán)重系數(shù)。若機(jī)器人任務(wù)為純力跟蹤，可設(shè)γ2=0或γ1?γ2，反之同理。

圖2 控制結(jié)構(gòu)

在前一節(jié)式(7)已經(jīng)推導(dǎo)得出簡(jiǎn)化后的阻抗控制模型。由于質(zhì)量矩陣m的改變會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此一般將m設(shè)為定值[19]，如下式

(13)

通過優(yōu)化阻尼系數(shù)b，可以達(dá)到曲面跟蹤與預(yù)測(cè)的良好效果。

本文使用基于梯度迭代的學(xué)習(xí)方法優(yōu)化阻尼系數(shù)。其優(yōu)化策略如下

bk=bk-1+α?Γbk-1

(14)

(15)

由式(8)、(9)和式(12)知

(16)

因此式(14)可以轉(zhuǎn)化為與誤差相關(guān)的函數(shù)

(17)

圖3 阻抗系數(shù)優(yōu)化流程

4 仿真及結(jié)果

4.1 仿真

為驗(yàn)證所提方法的有效性，使用Matlab Simulink模塊以二自由度機(jī)械臂跟蹤未知曲面進(jìn)行仿真。曲面跟蹤任務(wù)為：在保證機(jī)器人末端與曲面有接觸的情況下，對(duì)曲面輪廓進(jìn)行檢測(cè)。

曲面跟蹤輪廓為圓心在(1m，1m)處、半徑0.2m的圓形二維曲面，曲面剛度系數(shù)為，但機(jī)器人對(duì)曲面信息未知，機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)的初始位置位于(0.8m，1.0m)處，采樣時(shí)間0.001s。

為防止機(jī)器人的質(zhì)量矩陣變化給系統(tǒng)帶來的不穩(wěn)定性，將質(zhì)量矩陣設(shè)為定值。阻尼系數(shù)的學(xué)習(xí)采用梯度上升策略，初始值為0，學(xué)習(xí)速度因子 設(shè)為10，損耗函數(shù) 中力誤差與位置誤差的權(quán)重系數(shù) 、 分別設(shè)置為2.5、7.5，這表明在此次仿真中，更看重軌跡跟蹤的效果，但學(xué)習(xí)速度因子和權(quán)重系數(shù)可以依據(jù)操作任務(wù)需求調(diào)整。理想情況下，對(duì)于曲面檢測(cè)，應(yīng)將理想跟蹤力設(shè)為0，但為保證機(jī)器人與曲面接觸，將理想跟蹤力設(shè)為 N。將目標(biāo)理想跟蹤力誤差定為0.01N，目標(biāo)理想跟蹤位置誤差為3mm，當(dāng)實(shí)際跟蹤力和跟蹤位置誤差同時(shí)達(dá)到跟蹤誤差精度時(shí)，迭代停止。

4.2 仿真結(jié)果

經(jīng)過10次迭代后，曲面跟蹤的效果較理想。機(jī)器人在與曲面接觸前期，接觸力波動(dòng)較大，后期波動(dòng)較??；隨著迭代次數(shù)的增加，接觸前期波動(dòng)幅度減小，后期逐漸接近理想跟蹤力設(shè)定值，其中第10次迭代得到的實(shí)際接觸力為0.0497N，與理想跟蹤力的誤差小于0.01N，如圖4。迭代前期，跟蹤軌跡與理想軌跡存在一定差距，經(jīng)過10次迭代后，機(jī)器人末端已經(jīng)可以較完美地跟蹤曲面軌跡，其中x方向的跟蹤效果逼近過程如圖5，首次與末次的二維跟蹤效果如圖6。

圖4 機(jī)器人與曲面力跟蹤迭代效果

圖5 機(jī)器人與曲面跟蹤X方向位置迭代過程

圖6 機(jī)器人與曲面軌跡跟蹤迭代效果

作為曲面跟蹤效果的度量，損耗函數(shù)顯示了迭代后的曲面跟蹤的結(jié)果，如圖7。由于損耗函數(shù)是與力跟蹤誤差、位置跟蹤誤差相關(guān)的函數(shù)，因此其呈現(xiàn)的變化趨勢(shì)與圖4和圖5相似，但由于誤差只可減小并不可消除，因此損耗函數(shù)始終為正，但跟蹤效果顯示，經(jīng)過10次迭代，損耗函數(shù)呈現(xiàn)收斂趨勢(shì)，在第10次迭代過程中已經(jīng)趨近于0。每次迭代過程中的最大位置跟蹤誤差是跟蹤效果穩(wěn)定性的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，圖5顯示了10次迭代過程中的最大位置誤差與描述最大位置誤差變化趨勢(shì)的最大誤差導(dǎo)數(shù)，由圖可見，二者都呈現(xiàn)收斂趨勢(shì)，可見該算法穩(wěn)定性良好。

圖7 損耗函數(shù)變化

圖8 最大位置誤差

在迭代過程中，阻尼系數(shù)由初始值0開始尋優(yōu)，經(jīng)過10次迭代后，滿足了力跟蹤誤差和位置跟蹤誤差，且能夠在0.5s時(shí)間內(nèi)迅速響應(yīng)接近最優(yōu)阻抗系數(shù)，如圖7。此時(shí)最優(yōu)的阻尼系數(shù)約為[24，0；0，24]。

圖9 第10次迭代過程中的阻尼系數(shù)

5 結(jié)束語

本文提出一種基于梯度迭代的阻抗控制算法，適用于機(jī)器人對(duì)未知環(huán)境的曲面跟蹤。對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器與曲面接觸建立阻尼系數(shù)可變的新型阻抗控制模型，使用梯度上升迭代算法對(duì)阻尼系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，能夠在短時(shí)間內(nèi)迅速響應(yīng)至最優(yōu)阻尼系數(shù)。設(shè)置與力誤差、位置誤差相關(guān)的損耗函數(shù)作為跟蹤效果的度量。仿真結(jié)果證明，該算法能夠在10次迭代后達(dá)到理想的控制精度，具有較高的迭代穩(wěn)定性，能夠達(dá)到良好的曲面跟蹤效果，具有廣闊的應(yīng)用前景。