基于多視角低秩稀疏子空間聚類的氣候分區(qū)

史加榮，胡宇驕

(1.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710055；2.省部共建西部綠色建筑國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710055)

1 引言

氣候類型對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和建筑能耗都有重要的影響[1]。根據(jù)現(xiàn)有氣候數(shù)據(jù)對不同氣候類型進(jìn)行分類，可為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和建筑設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)意義。由于氣候變量和分類指標(biāo)存在多樣性，可以根據(jù)不同的分類目的選取合適的分類方法。中國民用建筑熱工設(shè)計(jì)規(guī)范提出了五種氣候類型：嚴(yán)寒、寒冷、夏熱冬冷、溫和、夏熱冬暖[2]。

聚類分析根據(jù)樣本間的相似性或差異性進(jìn)行分類，其中歸屬于同一類的樣本具有相似的特征，屬于不同類的樣本具有不同的特征[3]。聚類方法可分為分層和劃分兩種，它們都需要事先給定聚類的數(shù)目，并度量樣本之間的相似性或差異性[4]。楊博寧[5]采用k-mean聚類算法對加密云數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，從而提高搜索效率。高書強(qiáng)等[6]提出一種改進(jìn)的譜聚類算法，用于對電力數(shù)據(jù)的異常檢測。

矩陣的低秩表示(Low-Rank Representation， LRR)將數(shù)據(jù)樣例表示為基的線性組合，并對表示系數(shù)矩陣強(qiáng)加低秩約束[7]。Yin等[8]考慮數(shù)據(jù)中非線性結(jié)構(gòu)影響，提出了一種拉普拉斯正則化低秩表示方法。Elhamifar等[9]提出稀疏子空間聚類(Sparse Subspace Clustering， SSC)。王衛(wèi)衛(wèi)等[10]對SSC方法進(jìn)行了綜述。Peng等[11]提出了一種基于稀疏高維數(shù)據(jù)的子空間聚類算法。Abcavisani等[12]提出了一種基于SSC和LRR的子空間聚類的多模態(tài)擴(kuò)展算法。Houthuys等[13]給出了一種多數(shù)據(jù)源數(shù)據(jù)聚合的方法，使用來自多個(gè)視角的互補(bǔ)信息來提高聚類性能。Brbic等[14]提出了多視角低秩稀疏子空間聚類方法，同時(shí)考慮多個(gè)因素對聚類結(jié)果的綜合影響。Shi等[15]設(shè)計(jì)了一種新的中國氣候區(qū)劃方法，該方法結(jié)合了SSC和k近鄰的優(yōu)點(diǎn)。

文獻(xiàn)[15]對每個(gè)氣象要素構(gòu)建了相應(yīng)的相似度矩陣，但未考慮它們之間的關(guān)系。采用多視角低秩稀疏子空間聚類方法，建立一個(gè)集成的相似度矩陣，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對中國氣候類型的更加準(zhǔn)確的分區(qū)。

2 最大信息系數(shù)

皮爾遜相關(guān)系數(shù)用于度量兩變量之間的線性相關(guān)程度，通常對非線性關(guān)系無效。為此，采用了最大信息系數(shù)(Maximal Information Coefficient， MIC)。MIC是Reshef等[16]在2011年提出的用于描述變量之間相關(guān)程度的方法，其基本思想如下：對兩個(gè)變量構(gòu)成的散點(diǎn)圖做網(wǎng)格劃分，若它們之間存在某種相關(guān)性，則散點(diǎn)在網(wǎng)格中的分布能夠反映其關(guān)聯(lián)性。與傳統(tǒng)方法相比，MIC不僅可以描述變量之間的線性關(guān)系，還可以描述變量之間的非線性關(guān)系。

給定有序?qū)?gòu)成的有限集合D?R2，將每個(gè)元素的第1個(gè)分量劃分成x個(gè)取值區(qū)間，第2個(gè)分量劃分成y個(gè)取值區(qū)間，因此得到x×y的網(wǎng)格G。設(shè)DG為D中的點(diǎn)在網(wǎng)格G上的分布，其互信息值記為I(DG)。

對于集合D，當(dāng)正整數(shù)x和y給定時(shí)，定義最大互信息

(1)

當(dāng)x和y取遍所有正整數(shù)時(shí)，將I*(D，x，y)標(biāo)準(zhǔn)化可構(gòu)成無窮維矩陣M(D)，其第x行第y列元素為

(2)

顯然，M(D)x，y∈[0，1]。于是最大信息系數(shù)的定義為

(3)

其中，B(N)=N0.6為網(wǎng)格劃分上限，N為D的元素?cái)?shù)目。MIC具有以下性質(zhì)：當(dāng)兩個(gè)變量之間存在無噪聲且確定的函數(shù)關(guān)系時(shí)，MIC依概率收斂到1；當(dāng)兩個(gè)變量相互獨(dú)立時(shí)，MIC趨向于0。

3 低秩稀疏子空間聚類

考慮N個(gè)樣本構(gòu)成的矩陣X，LRR采用自表示方式，即X=XC，其中C∈RN×N為線性表示系數(shù)矩陣且是近似低秩的。為了求解C，建立下列最優(yōu)化模型

(4)

(5)

與LRR類似，SSC也使用了數(shù)據(jù)集的自表示形式，但它要求系數(shù)矩陣C是稀疏的。在數(shù)學(xué)上，SSC可表示為以下最小化模型

(6)

s.t.diag(C)=0

(7)

將低秩約束與稀疏約束相結(jié)合，得到低秩稀疏子空間聚類(Low-Rank Sparse Subspace Clustering，LRSSC)[17]。下面給出LRSSC的優(yōu)化模型

s.t.X=XC， diag(C)=0

(8)

當(dāng)數(shù)據(jù)含有噪聲時(shí)，需要求解的模型變?yōu)?/p>

s.t.diag(C)=0

(9)

其中βi>0為折中系數(shù)，i=1，2。

4 多視角低秩稀疏子空間聚類

MLRSSC對應(yīng)的最優(yōu)化模型為

s.t.X(i)=X(i)C(i)，

diag(C(i))=0，i=1，…，m

(10)

其中λ(i)>0為懲罰系數(shù)。

對相似度矩陣A進(jìn)行譜聚類，從而得到原始數(shù)據(jù)集在m個(gè)視角下的聚類結(jié)果。譜聚類的基本步驟如下：先構(gòu)建N階對角矩陣D，其第i個(gè)對角線元素為A的第i行元素之和；再計(jì)算拉普拉斯矩陣L=D-1/2AD-1/2；最后對L的若干最大特征值對應(yīng)的特征向量，采用k均值聚類。與傳統(tǒng)的k均值聚類方法相比，譜聚類方法對噪聲和異常值具有較強(qiáng)的魯棒性。為了在一定程度上減輕k均值聚類結(jié)果的隨機(jī)性，將k均值聚類算法重復(fù)20次，并根據(jù)最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)來確定實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了獲得更加準(zhǔn)確的氣候分區(qū)，需要綜合考慮多種氣象要素。本節(jié)使用MLRSSC對中國氣候進(jìn)行分區(qū)。首先對各氣象要素進(jìn)行相關(guān)性分析，再給出參數(shù)設(shè)置與相似度矩陣的可視化，最后分別將基于線性核函數(shù)和高斯核函數(shù)的MLRSSC應(yīng)用到氣候區(qū)劃中。

5.1 氣象要素相關(guān)分析

圖1 中國661個(gè)氣象臺站的空間分布

選取中國661個(gè)氣象臺站在2004-2013年的氣象數(shù)據(jù)，資料來源于中國國家氣候中心。各臺站點(diǎn)的空間分布如圖1所示，其中各站點(diǎn)的顏色表示海拔高度，單位為1m?？紤]以下5個(gè)氣象元素：相對濕度(%)、大氣壓(10pa)、日照時(shí)數(shù)(0.1h)、日平均溫度(0.1℃)、氣溫日較差 (0.1℃)。對于缺失、缺測或異常數(shù)據(jù)，可以按照矩陣分解的方法進(jìn)行推測[20]。為減少隨機(jī)波動的不利影響，將10年的日值氣象數(shù)據(jù)按照連續(xù)10天取平均。因此，每個(gè)臺站的某氣象要素可表示為365維的列向量，并對其進(jìn)行區(qū)間[-1，1]上的規(guī)范化處理。

根據(jù)661個(gè)氣象臺站在2004-2013年的日值氣象數(shù)據(jù)，計(jì)算相對濕度、大氣壓、日照時(shí)數(shù)、日平均溫度和氣溫日較差5個(gè)氣象要素兩兩之間的相關(guān)性。對于某氣象要素，所有臺站的數(shù)據(jù)形成365×661=241265維的向量。最終得到的最大信息系數(shù)(MIC)如表1所示。

表1 氣象要素間的最大信息系數(shù)

由表1可知：相對濕度、日照時(shí)數(shù)和氣溫日較差兩兩之間的MIC介于0.3206與0.3430之間，故存在較弱的相關(guān)性；其它氣象要素對的MIC均小于等于0.2454，它們之間的相關(guān)性微弱；相對濕度與日照時(shí)數(shù)的相關(guān)性最大，這可能是由于它們之間存在大致反比的關(guān)系；日照時(shí)數(shù)與大氣壓的MIC為0.0932，即它們之間幾乎相互獨(dú)立。綜上，選取的5個(gè)氣候要素之間不存在較強(qiáng)的相關(guān)性，因此可以根據(jù)它們的觀測值執(zhí)行多視角聚類。

5.2 參數(shù)設(shè)置與相似度矩陣可視化

在高斯核函數(shù)中，取σ=1。對于最優(yōu)化模型(10)，取低秩系數(shù)β1=0.3，稀疏系數(shù)β2=0.7，一致性系數(shù)λ(i)=0.3，i=1，2，3，4，5。置交替方向乘子法的最大迭代次數(shù)為300，收斂閾值設(shè)置為10-3。使用一致率[15]來評價(jià)兩種分類方法的相容性，其定義如下

(11)

圖2繪出了基于高斯核函數(shù)的相似度矩陣，其中x軸和y軸分別代表氣象臺站序號。從圖2可以看出：相似度矩陣滿足稀疏性，從而有利于分區(qū)；大部分非零元素集中在對角線附近，這是因?yàn)橄噜彋庀笈_站序號接近且具有相似的氣候特征；存在明顯的分塊現(xiàn)象，這在一定程度上反映了相似度矩陣是近似低秩的。

圖2 相似度矩陣可視化

5.3 分區(qū)結(jié)果

分別在線性核函數(shù)和高斯核函數(shù)下，求解相似度矩陣A，并比較k∈{5，7，9}三種情形下，運(yùn)用譜聚類方法與k均值聚類方法分區(qū)結(jié)果的異同。

5.3.1 k=5

將661個(gè)氣象臺站分成5類，運(yùn)用譜聚類方法時(shí)，基于線性核函數(shù)和高斯核函數(shù)的MLRSSC方法得到的分類結(jié)果相同，即一致率為1。圖3繪出了k=5時(shí)的分區(qū)結(jié)果，其中1區(qū)到5區(qū)的臺站數(shù)目分別為127、111、113、185、125。由圖3可以看出：3區(qū)和5區(qū)對應(yīng)嚴(yán)寒地區(qū)，1區(qū)包含寒冷地區(qū)和夏熱冬冷地區(qū)，2區(qū)包含寒冷地區(qū)和溫和地區(qū)，4區(qū)包含夏熱冬冷與夏熱冬暖地區(qū)。

圖3 k=5時(shí)基于譜聚類的氣候分區(qū)

圖4 k=5時(shí)基于k均值聚類的氣候分區(qū)

將每個(gè)氣象臺站的5組規(guī)范化后的氣象數(shù)據(jù)拼接成一個(gè)新的高維向量，并對處理過的661個(gè)向量直接運(yùn)用k均值聚類，分類結(jié)果如圖4所示。在圖4中，1區(qū)對應(yīng)嚴(yán)寒地區(qū)，2區(qū)包含溫和地區(qū)和夏熱冬冷地區(qū)，3區(qū)包含夏熱冬冷地區(qū)和夏熱冬暖地區(qū)，4區(qū)包含嚴(yán)寒地區(qū)和寒冷地區(qū)，5區(qū)對應(yīng)寒冷地區(qū)。對比圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)氣候分區(qū)數(shù)k=5時(shí)，直接采取k均值聚類方法進(jìn)行氣候分區(qū)時(shí)，各氣候區(qū)無明顯邊界。

5.3.2 k=7

對于k=7，圖5繪出了使用譜聚類方法時(shí)兩種核函數(shù)的分區(qū)結(jié)果。MLRSSC方法將中國劃分為7個(gè)氣候區(qū)，且邊界較為明顯。對于線性核函數(shù)，1區(qū)到7區(qū)的臺站數(shù)目分別為71、115、116、99、91、61、108；對于高斯核函數(shù)，7個(gè)區(qū)的臺站數(shù)目分別為76、107、81、114、95、76、112。兩種核函數(shù)的兩種分類結(jié)果具有較高的一致性，它們的一致率為0.8805。從圖5可以看出：1區(qū)和4區(qū)對應(yīng)寒冷地區(qū)，2區(qū)對應(yīng)夏熱冬冷地區(qū)，3區(qū)和7區(qū)對應(yīng)嚴(yán)寒地區(qū)，5區(qū)對應(yīng)夏熱冬暖地區(qū)，6區(qū)對應(yīng)溫和地區(qū)。

圖5 k=7時(shí)基于譜聚類的氣候分區(qū)

圖6 k=7時(shí)基于k均值聚類的氣候分區(qū)

下面考慮k=7時(shí)直接采取k均值聚類進(jìn)行分區(qū)，結(jié)果如圖6所示。在圖6中，1區(qū)、2區(qū)和7區(qū)對應(yīng)嚴(yán)寒地區(qū)， 3區(qū)包含溫和地區(qū)和夏熱冬冷地區(qū)，4區(qū)對應(yīng)寒冷地區(qū)， 5區(qū)包含夏熱冬冷地區(qū)和夏熱冬暖地區(qū)，6區(qū)對應(yīng)寒冷地區(qū)。對比圖5和圖6可以發(fā)現(xiàn)， k均值聚類方法未劃分出夏熱冬冷地區(qū)與夏熱冬暖地區(qū)，且夏熱冬冷地區(qū)與溫和地區(qū)無明顯邊界。

5.3.3 k=9

當(dāng)k=9時(shí)，使用線性核函數(shù)，1區(qū)到9區(qū)的氣象臺站數(shù)目分別為74、43、96、65、89、78、70、73、73；使用高斯核函數(shù)，9個(gè)區(qū)對應(yīng)的臺站數(shù)目分別為73、43、94、66、89、78、72、74、72。計(jì)算得到兩種方法的一致率為0.9894，說明它們的分類結(jié)果具有非常高的一致性。當(dāng)采用譜聚類方法時(shí)，分區(qū)結(jié)果如圖7所示。圖7繪出了MLRSSC方法將661個(gè)氣象臺站劃分為9個(gè)區(qū)域的詳細(xì)結(jié)果，可以看出：1區(qū)和9區(qū)對應(yīng)夏熱冬冷地區(qū)， 2區(qū)對應(yīng)溫和地區(qū)，3區(qū)、4區(qū)和7區(qū)對應(yīng)寒冷地區(qū)， 5區(qū)和8區(qū)對應(yīng)嚴(yán)寒地區(qū)，6區(qū)對應(yīng)夏熱冬暖地區(qū)。

圖7 k=9時(shí)基于譜聚類的氣候分區(qū)

圖8給出了k=9時(shí)使用k均值聚類的分區(qū)結(jié)果，其中1區(qū)包含夏熱冬冷地區(qū)和夏熱冬暖地區(qū)，2區(qū)、4區(qū)、5區(qū)和7區(qū)對應(yīng)寒冷地區(qū)，3區(qū)、6區(qū)和8區(qū)對應(yīng)嚴(yán)寒地區(qū)，9區(qū)包含夏熱冬冷地區(qū)和溫和地區(qū)。對比圖7和圖8可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)氣候分區(qū)數(shù)k=9時(shí)，k均值聚類在各氣候區(qū)的邊界處有較多誤分點(diǎn)，且對夏熱冬冷地區(qū)和夏熱冬暖地區(qū)未能進(jìn)行劃分。

通過以上3組對比實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，對氣象數(shù)據(jù)直接進(jìn)行k均值聚類時(shí)，劃分的各氣候區(qū)無明顯邊界，且存在大量誤分點(diǎn)，故基于譜聚類的分區(qū)結(jié)果比基于k均值聚類的結(jié)果更合理。

圖8 k=9時(shí)基于k均值聚類的氣候分區(qū)

6 結(jié)論

采用多視角低秩稀疏子空間聚類方法對中國氣候分類進(jìn)行了研究。首先通過最大信息系數(shù)對5個(gè)氣象要素進(jìn)行了相關(guān)分析，結(jié)果表明各氣候要素之間不存在較強(qiáng)的相關(guān)性。然后將所提方法應(yīng)用于中國氣候分類，并通過與中國建筑氣候區(qū)劃進(jìn)行對比，說明分區(qū)結(jié)果的合理性和可靠性。在今后的研究中，下面幾個(gè)方向值得關(guān)注：在集成相似度矩陣的過程中，考慮各種氣象要素的重要性；拓展氣象要素范圍，補(bǔ)充風(fēng)速和太陽輻射等要素，以滿足建筑節(jié)能設(shè)計(jì)的需求。