基于FFT和譜線改進的DOA估計方法

王玉茹，龔曉峰

(四川大學電氣工程學院，四川 成都 610065)

1 引言

陣列信號處理的兩個主要研究方向為自適應空域濾波和空間譜估計[1]。最早基于陣列的DOA算法為常規(guī)波束形成[2](CBF) 法，但由于其陣列的物理孔徑限制，在實際應用環(huán)境中，天線孔徑不能無條件的增大，因此算法有著不可突破的瑞利限(Rayleigh Limitation)。于是經(jīng)典算法MUSIC[3]算法被提出。隨著電磁環(huán)境惡化，估計精度[5]、算法實時性[6]、分辨能力[7]成為了研究的重點。為降低MUSIC算法計算量，提高分辨率，又提出了一系列的經(jīng)典算法：ESPRIT[4]算法利用協(xié)方差矩陣信號子空間的旋轉(zhuǎn)不變性避免了峰值搜索；FFT與BS域[8-9]變換算法通過壓縮分片，縮短峰值搜索區(qū)間；root-MUSIC[10，11]算法通過求多項式的根來避免峰值搜索等等。

在小快拍數(shù)與低信噪比的環(huán)境下，當兩個信號源的空間分布間距接近時，MUSIC算法的譜峰會出現(xiàn)重疊的情況，無法分辨來波方向，針對這一問題，本文通過窗函數(shù)[10]與FFT[13]算法先進行預處理，得到信號的大致區(qū)間，再對所形成的感興趣的波束區(qū)間內(nèi)的譜函數(shù)進行二階導[14-15，17]應用，本文選擇用差分定義微分來對離散的譜函數(shù)進行二階導，精確估計出信號的DOA。這一算法通過改進譜線[16]能在低信噪比，小快拍數(shù)的環(huán)境下既保證其高效的分辨力，又能極大降低算法的計算量。

2 算法提出

2.1 信號模型

不失一般性，假設N個遠場的窄帶信號，由M個陣元組成，N

圖1 均勻線陣

可以將信號表示為

X(t)=AS(t)+N(t)

(1)

式中，X(t)為M*1維的快拍數(shù)據(jù)矢量，N(t)為陣列的M*1維的噪聲數(shù)據(jù)矢量，s(t)為空間信號的N*1維矢量，A為空間陣列的M*N維的流型矩陣(導向矢量陣)。其中：

(4)

導向矢量

i=1，2，…，N

(5)

2.2 改進的DOA估計算法

本文針對MUSIC算法作了進一步的研究，為了高效分辨角度接近的信號源，提出了一個改進過程，分別保留了加權(quán)與分片處理的優(yōu)點，并將其巧妙的融合在一起，能夠既能提高算法的分辨性能，又能充分降低算法計算量。為后續(xù)說明方便，對MUSIC算法做簡要概述。

2.2.1 經(jīng)典MUSIC算法

有陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣記為R，其表達式為

R=E[XXH]=AE[SSH]AH+σ2I=ARsAH+σ2I

(6)

式中，H為復共軛轉(zhuǎn)置運算，σ2為理想空間中的高斯白噪聲的噪聲功率，I為單位陣。理想狀態(tài)，默認信號與噪聲相互獨立，且信號子空間與噪聲子空間正交，對協(xié)方差矩陣R進行特征分解得

(7)

式中，US是由大特征值對應的特征矢量構(gòu)成的信號子空間，而UN是由小特征值對于特征矢量構(gòu)成的噪聲子空間。由信號子空間US與噪聲子空間UN正交，且有AHei=0，其中i=N+1，…，M。故在理想條件下，信號子空間與噪聲子空間內(nèi)的導向矢量也是正交的

aH(θ)UN=0

(8)

實際工作中，陣元接收的數(shù)據(jù)矩陣是有限長的，故R的最大似然估計為

(9)

由最小優(yōu)化搜索實現(xiàn)DOA估計，即

(10)

理想條件下MUSIC算法的譜估計公式是

(11)

但實際應用中，一般還需要采用如下公式

(12)

因為在實際應用中，受環(huán)境影響，噪聲子空間與信號子空間并不完全正交，信號與噪聲子空間出現(xiàn)重疊，導致MUSIC算法在實際應用中的缺陷。

由上述推論可知，使用MUSIC算法時，其子空間估計與峰值遍歷搜索的計算量巨大，且無法完成空間間隔相近信號的DOA估計。

2.2.2 改進預處理

為了使算法具有高分辨率和較低的計算量，通過深入學習MUSIC算法后可以發(fā)現(xiàn)，協(xié)方差矩陣R對算法的影響非常深刻，故選擇在接收信號數(shù)據(jù)前后都加入一定的預處理，以保證算法的性能。用譜線增強算法與FFT算法進行處理。

因為信號的FFT分析一次只能分析有限長度的時域信號，因此需要將采樣時間內(nèi)的信號截斷，再重構(gòu)。這一操作的信號頻譜出現(xiàn)拖尾現(xiàn)象的可能很大。將這一嚴重的誤差稱為信號的泄露，為減弱該誤差的影響，選擇引入加權(quán)函數(shù)-窗函數(shù)。且在低信噪比的情況下，加窗函數(shù)能夠起到增強信號和提高信噪比的作用。

由文獻[12]可知，MUSIC算法與海明窗(hamming) 效果最好。海明窗的具體形式為

n=0，1…N-1

(13)

式中，N為窗函數(shù)寬度。本文算法將數(shù)據(jù)加窗過程用作預處理的一個階段，使得采樣來的IQ數(shù)據(jù)能攜帶有效的信號數(shù)據(jù)信息。

MUSIC算法峰值搜索的計算量遠大于子空間估計的計算量，減少峰值搜索的計算量很有必要。為壓縮搜索參量范圍，引入FFT的預處理。由式(5) 注意到M點的離散傅里葉變換因子組成的矢量

(14)

上式表明陣列的導向矢量a(θ)也是離散傅里葉變換的一種形式。本文將快速傅里葉變換FFT應用于粗估計信號來波方向的大區(qū)間，以便于得到感興趣的區(qū)間。利用ULA陣列輸出的均勻相移的性質(zhì)，在區(qū)間[-90°，90°]可形成B個波束，然后粗略估計可能的來波方向。假設B=9，此時波束及其區(qū)間如圖2所示。

圖2 9個波束指向示意圖

文獻[13]是應用FFT來對整個來波區(qū)間進行分片處理。這種方法使得在[-90°，90°]的區(qū)間里峰值遍歷搜索降低到了一個相對小得多的區(qū)間里，再進行算法的峰值搜索。若此時信號入射方向接近，MUSIC算法是無法進行分辨的。故本文提出了一種譜線改進的方法，能夠在信號源接近的情況下進行DOA的估計。

本文使用FFT旨在預處理，壓縮搜索范圍。假設兩個信號源以20°，25°入射，做9個波束的FFT變換。

圖3 FFT預處理波束指向編號

可以看出接下來只需在12.84°～26.39°進行搜索即可。

2.2.3 譜二階改進算法

i=1，2…N

(15)

將上式中的數(shù)看作一個有限的數(shù)列{Pi}。由文獻[17]可知，有限區(qū)間離散函數(shù)在其定義域內(nèi)是存在導數(shù)的。因此，數(shù)列在i=k處的一階微分為

n+1≤k≤N-n

(16)

式中，求和符號代表在k點的領(lǐng)域內(nèi)求和，取領(lǐng)域為n，故0

其二階微分為

2n+1≤k≤N-2n

(17)

由已知分析，式(15)、(16)為求微分的點n領(lǐng)域內(nèi)的2n+1個數(shù)據(jù)回歸直線的斜率，是數(shù)學上一種逼近的過程，對離散函數(shù)導數(shù)的逼近。由文獻[14]可知，當n值取1時，式(16)(17)的值越接近真實的導數(shù)值，并用仿真證明了。

將n=1代入式(17)，可以得到

(18)

式(18)是二階微分的簡約表達式，用差分來定義微分

(19)

以上是對譜函數(shù)進行處理的方法。

2.3 算法分析

本文旨在小快拍數(shù)、低信噪比的情況下，能夠高效分別出信號源相近的來波方向，并且降低算法的計算量。

陣元M=9，步進1°，掃描次數(shù)J=181，在區(qū)間-90°至90°進行MUSIC算法峰值搜索時，計算量約為(M2+M+1)×J次，即16471次；選擇Jacobi算法進行特征分解，其計算量約為(4M-1)*K，K為特征分解迭代次數(shù)，當M=9時，K取250次，即8750次。由于本文算法并未針對特征分解部分進行改進，因此計算量也約為8750次。同時由上述數(shù)據(jù)可以看出，峰值搜索的計算量遠遠大于子空間估計的計算量，故降低峰值搜索的計算量是提高算法性能的關(guān)鍵[18]。

針對本文算法，信源個數(shù)R=2，波束個數(shù)B=9，F(xiàn)FT計算量為(M-R)×B×log2B次，即約為200次，此時，角度區(qū)間最大為27.27°，對應的計算量約為4386次，再加上對譜函數(shù)進行二階微分增加的部分計算量，故采用本方法整體算法的計算量降低了約50%。算法對比見表1。

表1 算法對比

分辨率由下面的仿真可以看出，能夠高效完成信號源空間分布接近的測向，并精確估計出DOA，故本文算法既保證了計算量的降低，又能提高測向性能。

3 仿真研究

為驗證改進的DOA估計算法的有效性，做如下仿真。假設使用天線陣元數(shù)為M=9的均勻線陣，其陣元間距為d=λ/2，預處理后波束B=9。

實驗一：入射的角度：20°和25°，信噪比SNR=0dB，快拍數(shù)N=128，峰值搜索步進：1°，選擇相近角度是為了證明本文算法既能降低計算量還能提高分辨率。

經(jīng)預處理，將區(qū)間分為9個波束，波束過多則計算過于復雜，波束過少則區(qū)間角度越大，導致峰值搜索計算量增大。由圖一可得，信號源的來波區(qū)間為12.84°～41.81°，在此區(qū)間進行測向，計算量約為2636次，一次峰值搜索計算量比全區(qū)間遍歷降低了約80%，整體算法計算量降低了約55%的計算量。

圖4 經(jīng)典MUSIC算法所得譜圖

圖5 本文算法所得的譜圖

圖4和圖5可以看出，對比經(jīng)典MUSIC算法在信號源接近至相差5°時無法分辨，本文的算法有著超高的精確度，又有著高效的分辨力。在上述條件不變的情況下，角度縮小為20°與23°，結(jié)果如圖6所示。

圖6 本文算法所得空間譜譜圖放大波束區(qū)間部分(步進0.1°)

由圖6可知，本文算法具有高效的分辨能力，能夠在預處理將譜線增強并且壓縮搜索參量減少計算量的基礎上，高效的分辨信號源來波方向靠近的信號。

實驗二：入射的角度選擇-20°，20°，45°，快拍數(shù)128，考慮分辨率隨著信噪比SNR=0dB～10dB的改變，SNR步進為2dB。

圖7 隨SNR改變的空間譜譜圖

由上圖可知，隨著信噪比增加，譜峰會更尖銳，來波方向周圍的信號幅值越低，分辨率越高。

實驗三：對比經(jīng)典算法，討論估計精度。實驗條件不變，定義均方根誤差(root mean square error， RMSE) 為

(20)

由圖8可知，本文方法具有可行性。

圖8 算法對比

4 結(jié)論

在實際應用中，受陣元數(shù)目、陣元間距、天線孔徑等的影響，經(jīng)典MUSIC算法的穩(wěn)健性較差，計算量大，且對陣列的結(jié)果有著很強的依賴性。由仿真結(jié)果表明本文從算法的性能與計算量入手，既提高了分辨率又降低了計算量。針對小快拍數(shù)、低信噪比的環(huán)境有著高效的估計能力。