在問題解決中完整理解統(tǒng)計(jì)意義*
——以“平均數(shù)”的教學(xué)為例

劉曉萍

【背景】

自新中國(guó)成立以來，小學(xué)統(tǒng)計(jì)教學(xué)的目標(biāo)與要求有過三次轉(zhuǎn)變：其一，作為算術(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用；其二，20 世紀(jì)90 年代開始滲透統(tǒng)計(jì)思想方法；其三，新課改以來強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)分析，尤其是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）將“數(shù)據(jù)分析觀念”調(diào)整為“數(shù)據(jù)意識(shí)”。作為統(tǒng)計(jì)學(xué)核心概念的平均數(shù)，也隨之經(jīng)歷了三次教學(xué)嬗變：用平均數(shù)算總數(shù)→重復(fù)測(cè)量取平均數(shù)以減少誤差→作為總體的代表值。反思平均數(shù)教學(xué)數(shù)十年來的變化，我們至少可以得到如下啟示：

第一，平均數(shù)的教育價(jià)值不是它的定義和作為代數(shù)公式的運(yùn)算程序，而是它的統(tǒng)計(jì)意義以及學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)。一如史寧中教授所指出的：“如果僅就數(shù)學(xué)計(jì)算而言，平均數(shù)是一個(gè)包含加法和除法的算式，對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算來說實(shí)在無足輕重；但平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中非常重要，體現(xiàn)了真值的無偏估計(jì)?！毙抡n標(biāo)指出：“數(shù)據(jù)意識(shí)就是對(duì)數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性的感悟?！本捅菊n而言，就是要幫助學(xué)生理解平均數(shù)的意義，利用平均數(shù)作出某種決策。

第二，小學(xué)生對(duì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義是存在疑惑與困難的。例如，一些學(xué)生難以區(qū)分“平均分”與“平均數(shù)”，尤其難以辨識(shí)“平均數(shù)”中的樣本“個(gè)數(shù)”與“平均分”中的“份數(shù)”。但是，平均數(shù)是學(xué)生從確定性向隨機(jī)性的思維啟蒙，其教學(xué)意義毋庸置疑。

第三，教學(xué)設(shè)計(jì)必須直面兩個(gè)問題：如何幫助學(xué)生理解平均數(shù)的代表性？有哪些好的現(xiàn)實(shí)問題情境利于學(xué)生理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義？這也合乎溫州大學(xué)章勤瓊教授對(duì)平均數(shù)教學(xué)的建議：“學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)的時(shí)候，需要建立‘代表’的意識(shí)，學(xué)生理解平均數(shù)代表量意義的時(shí)候，應(yīng)體現(xiàn)層次性?！?/p>

基于以上種種考量，筆者在教學(xué)平均數(shù)時(shí)，通過創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境來適度還原知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，在逐步解決問題的過程中，以數(shù)據(jù)分析為主線，讓學(xué)生動(dòng)態(tài)地“再創(chuàng)造”出平均數(shù)的概念，加深他們對(duì)平均數(shù)計(jì)算結(jié)果的解釋以及對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)思想的體驗(yàn)。

【教學(xué)過程及分析】

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，銜接認(rèn)知過程

第一學(xué)段的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)側(cè)重于感受和體驗(yàn)，主要是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分類、收集和整理簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)。學(xué)生此時(shí)關(guān)注的重點(diǎn)通常是一組數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的各種顯性信息。第二學(xué)段的教學(xué)轉(zhuǎn)移到把一組數(shù)據(jù)作為一個(gè)整體來看待，需要教師引導(dǎo)學(xué)生更多地學(xué)會(huì)從整體上描述一組數(shù)據(jù)的特征，或把一組數(shù)據(jù)與另一組相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法不復(fù)雜，但真正理解它在數(shù)據(jù)處理過程中的意義和價(jià)值，恰當(dāng)?shù)厥褂闷骄鶖?shù)這一統(tǒng)計(jì)量，是不容易達(dá)成的目標(biāo)。因此，在學(xué)生初步積累收集、整理和分析數(shù)據(jù)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)之后，安排平均數(shù)的學(xué)習(xí)，與學(xué)生螺旋上升的心理和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律相契合，也符合新課標(biāo)關(guān)注數(shù)學(xué)整體性和一致性的要求。

教師出示問題：三年級(jí)男女生分4 個(gè)小組進(jìn)行套圈比賽，每人套15 個(gè)圈。老師覺得男生的運(yùn)動(dòng)能力強(qiáng)，一定是男生套圈水平高，大家同意嗎？學(xué)生反對(duì)，提出需要收集、觀察、分析數(shù)據(jù)后才能確定。于是教師呈現(xiàn)圖1（第一小組是女生套圈成績(jī)，第二小組是男生套圈成績(jī)），追問：哪一組套得準(zhǔn)一些？學(xué)生一邊討論，一邊提出自己的想法：

圖1 第一、二小組學(xué)生套圈成績(jī)

（1）男生最多的投了10 個(gè)，比女生最多的還多，所以男生準(zhǔn)一些；

（2）男生最少的是兩人投了4 個(gè)，而女生最少的是兩人投了6個(gè)，女生準(zhǔn)一些；

（3）投得最多或最少反映的都是某一個(gè)人的套圈水平，不代表這一組的套圈水平；

（5）女生組一共套中了6+9+7+6=28 個(gè)，男生組一共套中了10+4+7+5+4=30個(gè)，28＜30，所以男生準(zhǔn)一些；

（5）男生組和女生組人數(shù)不一樣，算總數(shù)不公平；

（6）我們需要造出一個(gè)數(shù)來代表男生組的水平，再造出一個(gè)數(shù)來代表女生組的水平，然后比較這兩個(gè)數(shù)的大小。

要清楚地確定兩組數(shù)據(jù)的異同，僅靠說明每組數(shù)據(jù)中的最大值、最小值或簡(jiǎn)單分布情況是不夠的，還需要從整體上描述一組數(shù)據(jù)的水平。教師在教學(xué)中尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在熟悉且喜歡的套圈游戲中，體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)生活中有些問題的解決需要先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，感悟數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著信息。接著順接學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，從只關(guān)心個(gè)別數(shù)據(jù)起步，通過學(xué)生之間的彼此啟發(fā)與批判性說理，發(fā)現(xiàn)單個(gè)數(shù)據(jù)、看得見的數(shù)據(jù)存在不足，從而過渡到關(guān)注一組數(shù)據(jù)的方方面面。盡管學(xué)生此時(shí)還沒有說出“平均數(shù)”這一術(shù)語，但他們真正觸及了概念的本源，感悟到了“為什么”要引入平均數(shù)來解決這個(gè)問題。這也回應(yīng)了曹培英老師的呼吁：“讓平均數(shù)恢復(fù)統(tǒng)計(jì)的本來面目！”

二、展開統(tǒng)計(jì)分析

蔡金法教授通過實(shí)證研究認(rèn)為：“理解平均數(shù)有三個(gè)角度，即算法理解、概念理解、統(tǒng)計(jì)理解?！睘榇耍P者繼續(xù)依托“套圈比賽”的問題情境，通過進(jìn)一步豐富學(xué)習(xí)素材，把平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義、算法融為一體，引導(dǎo)學(xué)生開展豐富的數(shù)據(jù)分析活動(dòng)，讓學(xué)生在思辨平均數(shù)概念的同時(shí)想到求平均數(shù)的方法，聯(lián)系求平均數(shù)的方法感受平均數(shù)的產(chǎn)生是基于統(tǒng)計(jì)的需要。

1.建構(gòu)概念

基于上述學(xué)生的討論，教師追問：造出一個(gè)數(shù)來代表一組的水平，很好的主意！那么，是隨意編造出一個(gè)數(shù)嗎？學(xué)生繼續(xù)討論，認(rèn)為既要關(guān)注到每一組每個(gè)人的套中次數(shù)，還要考慮每一組的總?cè)藬?shù)。他們嘗試著改造圖1，第一組最大的數(shù)是9，移一格給一個(gè)6，再移一格給另一個(gè)6，現(xiàn)在所有的人都是7，7就是這一組套圈水平的代表數(shù)；同樣，學(xué)生也用移多補(bǔ)少的方法找到了第二組的代表數(shù)6。

在學(xué)生展示改造后的統(tǒng)計(jì)圖后，教師提問：造出的7 與第一組中③號(hào)同學(xué)的7，意思一樣嗎？學(xué)生明晰③號(hào)同學(xué)的7 個(gè)只代表她自己的套圈水平，造出的7 代表整組的水平。教師追問：第二組里沒有一個(gè)人投6 個(gè)，怎樣理解6 這個(gè)數(shù)？學(xué)生領(lǐng)悟：造出的數(shù)可以碰巧是某一個(gè)人的水平，也可以是在整組數(shù)據(jù)中都沒有出現(xiàn)的數(shù)。教師揭示這個(gè)數(shù)叫“平均數(shù)”，同時(shí)學(xué)生下結(jié)論：女生投得準(zhǔn)些。

教師出示表1，提問：觀察數(shù)據(jù)，你能聯(lián)想到圖嗎？哪個(gè)數(shù)能代表第三組的套圈情況？學(xué)生感悟到平均數(shù)的算法：先合再分，即總數(shù)÷人數(shù)=平均數(shù)。

表1 第三小組學(xué)生套圈成績(jī)

課堂以解決“哪一組套得準(zhǔn)一些”這一問題不斷推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)，讓學(xué)生多次感悟平均數(shù)的含義，從“移多補(bǔ)少”到選擇“先算總數(shù)，再平均分”的方法算出平均數(shù)，理解“7個(gè)”“6個(gè)”“6個(gè)”分別代表第一組、第二組、第三組學(xué)生套圈的整體水平，感受平均數(shù)在數(shù)據(jù)分析過程中的獨(dú)特作用，概念的理解逐步從具體走向抽象、從淺表走向深刻，其最終目的就是發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)。同時(shí)，使他們?cè)凇巴迸c“不同”的比較中，感悟“平均數(shù)”為什么可以作為代表：平均數(shù)不一定是一組數(shù)據(jù)中的某一個(gè)值，但和所有數(shù)都相關(guān)；平均數(shù)用到了每一個(gè)數(shù)據(jù)，所以感覺上公平；在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)比最大數(shù)小，比最小數(shù)大，但不一定是正中間的那個(gè)數(shù)，它是整組數(shù)據(jù)中通過移走或者補(bǔ)償所得，可以反映一組數(shù)據(jù)的整體情況……

2.洞察性質(zhì)

教師出示第三組另一名學(xué)生套中的次數(shù)——0，提問：這組同學(xué)的套圈水平有沒有發(fā)生變化？強(qiáng)調(diào)計(jì)算平均數(shù)時(shí)要把數(shù)值為0 的數(shù)據(jù)考慮在內(nèi)。

接著提問：第四小組4個(gè)同學(xué)的平均成績(jī)是5 個(gè)，估一估，每個(gè)同學(xué)套中的個(gè)數(shù)可能是多少？學(xué)生感悟到：平均數(shù)5 一般不會(huì)是每個(gè)同學(xué)都套中5個(gè)，有的比5個(gè)多，有的比5個(gè)少。

出示圖2并追問：第四小組有3個(gè)同學(xué)套中的個(gè)數(shù)分別是3 個(gè)、6 個(gè)、5 個(gè)，④號(hào)同學(xué)套中幾個(gè)？如果④號(hào)同學(xué)套中了10 個(gè)，平均數(shù)還是5嗎？如果④號(hào)同學(xué)套中了5 個(gè)呢？4 個(gè)呢？學(xué)生小結(jié)：平均數(shù)易受到不等于平均數(shù)的數(shù)據(jù)的影響。

圖2 第四小組學(xué)生套圈成績(jī)

學(xué)生沿著片段1 中解決問題的思路，深刻理解一組數(shù)據(jù)中某一個(gè)數(shù)無法代表整組的套圈水平，尤其是極大數(shù)、極小數(shù)更不能代表，每一個(gè)數(shù)都是個(gè)人成績(jī)的體現(xiàn)，但平均數(shù)整合了所有數(shù)一起發(fā)揮作用。由此，通過問題解決來分析數(shù)據(jù)，學(xué)生于其中洞察到平均數(shù)的一些特質(zhì)：如果增加一個(gè)數(shù)是平均數(shù)，新的一組數(shù)的平均數(shù)不變；如果增加一個(gè)數(shù)大于平均數(shù)，新的一組數(shù)的平均數(shù)就大于原來的平均數(shù)，反之亦然；計(jì)算平均數(shù)時(shí)，特殊數(shù)0 也要考慮在內(nèi)，雖然總數(shù)加0 沒有變化，但要意識(shí)到0 也要參與平均分；把大于平均數(shù)的數(shù)值全部轉(zhuǎn)移給小于平均數(shù)的數(shù)值，結(jié)果剛好是0，不偏不倚……

回顧以上教學(xué)片段，教師引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的情境中，在不斷的認(rèn)知沖突中理解平均數(shù)具有代表性——通過刻畫一組數(shù)據(jù)的集中程度表達(dá)總體的集中情況。首先，學(xué)生因?yàn)檫^往的學(xué)習(xí)不能幫助他們解決新問題，提出造一個(gè)數(shù)——平均數(shù)，從而以用什么代表（即為什么求平均數(shù)）發(fā)起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；然后，引導(dǎo)學(xué)生研究怎樣造一個(gè)新數(shù)（即平均數(shù)表示什么），推動(dòng)他們看見自己的數(shù)學(xué)理解；最后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)（即怎樣更好地求平均數(shù)），使他們對(duì)平均數(shù)的認(rèn)識(shí)從經(jīng)驗(yàn)走向理論。每一個(gè)教學(xué)片段都指向在問題解決中理解平均數(shù)的意義，學(xué)生由此能時(shí)刻感受到平均數(shù)的作用。

三、融入真實(shí)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)力生長(zhǎng)

統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)如果僅僅停留在“嘴上談兵”層面，那么學(xué)生對(duì)實(shí)際應(yīng)用中會(huì)遇到什么問題就會(huì)一無所知，還自以為都會(huì)了，所以教學(xué)中要融入真實(shí)的活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生積累應(yīng)用的實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)。正如美國(guó)教育家布朗所說：“學(xué)習(xí)的環(huán)境應(yīng)放在真實(shí)的背景中，使它對(duì)學(xué)生有意義。”那么，如何讓學(xué)生真正理解抽象的平均數(shù)概念和平均數(shù)的應(yīng)用價(jià)值呢？練習(xí)是一個(gè)不可或缺的重要環(huán)節(jié)。

1.閱讀交流

（1）2020 年，我國(guó)成年公民人均紙質(zhì)圖書閱讀量為4.8本，蘇州某小學(xué)學(xué)生人均紙質(zhì)閱讀量為10.7本；

（2）2019年，全國(guó)人均壽命77歲，蘇州人均壽命83.82歲。

進(jìn)一步豐富學(xué)生對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的理解，合理解釋“平均數(shù)可以是小數(shù)”，以4.8 本為例：看書的本數(shù)是整數(shù)，但在被調(diào)查的樣本中，有人閱讀多于5 本，有人少于4 本，還有人一本都沒讀，也有人遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于5 本，于是先“集中”后“平分”便出現(xiàn)了在整數(shù)4和5之間的數(shù)。同時(shí)，題目素材具有濃厚的本土氣息，有利于熏陶學(xué)生的人文素養(yǎng)。當(dāng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)與人文素養(yǎng)共同作用于學(xué)生時(shí)，學(xué)生就會(huì)用多元的眼光觀察與闡釋世界，從而促進(jìn)其心與腦的健康發(fā)展。

2.看圖推測(cè)

下面3 筐蘋果平均每筐24 個(gè)，第一筐有（ ）個(gè)蘋果。

A.28 B.24 C.19

本題無須計(jì)算，僅從平均數(shù)處于最大數(shù)與最小數(shù)之間便可推理出：由于三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)大于平均數(shù)，剩下的這個(gè)數(shù)只能小于平均數(shù)。

3.思考辨析

學(xué)校籃球隊(duì)有6 名隊(duì)員，他們的平均身高是160cm。后來，姚明加入了，這時(shí)，160cm 還能代表這組隊(duì)員的整體水平嗎？他們的平均身高變成了多少？

讓學(xué)生再一次感受一旦出現(xiàn)這樣的極端數(shù)據(jù)，對(duì)平均數(shù)的影響比較大。同時(shí)，結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生的思考走得更遠(yuǎn)一點(diǎn)：將姚明的身高先視作平均數(shù)，這樣籃球隊(duì)隊(duì)員的平均身高就不會(huì)有變化，引起變化的是高于平均數(shù)的數(shù)，于是可將姚明的身高減去平均身高，然后平分（移多補(bǔ)少）給新的一組隊(duì)員，讓學(xué)生注意新的一組隊(duì)員由之前的6人變成了7人，再一次感受平均數(shù)作用于每一個(gè)數(shù)據(jù)。正是因?yàn)闃O端數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響大，接著引導(dǎo)學(xué)生思辨當(dāng)姚明身高這樣的數(shù)據(jù)出現(xiàn)時(shí)，平均數(shù)就不是好的“代表”了，原來平均數(shù)與總數(shù)、單個(gè)數(shù)等其他數(shù)一樣，在問題解決中都有局限性，于是新的問題又出現(xiàn)了，推動(dòng)學(xué)生思考新的改造方案。

如此，片段1的實(shí)際問題雖然在片段2和片段3 中得到解決了，但平均數(shù)的教學(xué)不能結(jié)束，教師還要繼續(xù)通過解決實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化學(xué)習(xí)過程與思想方法，使平均數(shù)的知識(shí)進(jìn)入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使操作體驗(yàn)與思維經(jīng)驗(yàn)進(jìn)入學(xué)生的理性系統(tǒng)中。

張奠宙教授指出：“我國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育，不講數(shù)學(xué)的來源，不講數(shù)學(xué)的應(yīng)用，是‘掐頭去尾燒中段’式的數(shù)學(xué)，這樣培養(yǎng)出的學(xué)生雖然基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、解題能力強(qiáng)，但致命的弱點(diǎn)是對(duì)數(shù)學(xué)的理解不全面，幾乎沒有將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際的意識(shí)?！币虼?，上述“平均數(shù)”的教學(xué)以數(shù)學(xué)概念的逐步理解與建構(gòu)為目標(biāo)，旨在轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，從以知識(shí)為基礎(chǔ)的價(jià)值取向轉(zhuǎn)變?yōu)橐匀说陌l(fā)展為基礎(chǔ)的價(jià)值取向，給學(xué)生以生長(zhǎng)的力量。