LDPC 碼與數(shù)字圖像加密

邵一丹，王中訓(xùn)，李心宇，張夢雨

（煙臺大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，山東煙臺 264005）

在當(dāng)今世界，網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)幾乎覆蓋到了每一個角落，生活中的很多方面都離不開計(jì)算機(jī)。人們享受著計(jì)算機(jī)帶來巨大便利的同時，隱私信息也面臨著被泄露的風(fēng)險(xiǎn)。

圖像包含的信息量較多，作為信息存儲和傳輸過程中的一種重要載體，被廣泛應(yīng)用[1]。圖像在人們的生活中發(fā)揮著越來越重要的作用，大量的圖片在社交網(wǎng)絡(luò)中傳輸，但也容易泄露個人的隱私。比如，有的人用他人的照片通過人臉識別取走當(dāng)事人的快遞，在網(wǎng)絡(luò)世界中，人們也可以通過圖像來獲得各種各樣的信息，如何保證圖像信息的安全傳輸和存儲，成為信息安全的一個及其重要的領(lǐng)域[2]。

為了提高數(shù)字圖像安全性，這里運(yùn)用了2D Logistic-Sine 混沌系統(tǒng)與LDPC 碼相結(jié)合的圖像加密方案，相比較一維的混沌系統(tǒng)，有著更為優(yōu)良的特性，不易被破解，從而提高了密圖的安全性。最后通過Matlab 進(jìn)行仿真分析，得到了不錯的加密效果。

1 LDPC碼

1.1 LDPC碼概述

LDPC（Low Density Parity Check）碼概念首次出現(xiàn)是在1960年，由Gallager 教授在其博士論文中提出。由于相較于校驗(yàn)矩陣H的長度，它的行列中存在著特別小的非零數(shù)[3]，即“1”的數(shù)目要遠(yuǎn)遠(yuǎn)比“0”的數(shù)目小得多。這也是LDPC 碼之所以會被稱作為低密度奇偶校驗(yàn)碼的原因。正是出于這個原因，使得LDPC 碼的復(fù)雜程度低，并且提高了其性能，使得LDPC 碼得到了較為廣泛的應(yīng)用。

H為校驗(yàn)矩陣，其大小設(shè)定為m×n，并用它來對LDPC 碼進(jìn)行定義。在校驗(yàn)矩陣H當(dāng)中，校驗(yàn)信息由每行來對應(yīng)，碼字信息則由列與其對應(yīng)。校驗(yàn)矩陣H中每列非零元素的個數(shù)稱為列重[4]，并用λ來表示；同理可得，行重則是每行非零元素的數(shù)目，這里用ρ來表示。

校驗(yàn)矩陣H有著如下幾個特點(diǎn)：

1）每行的元素1數(shù)目是一致的?！?”的數(shù)目即為行重。在如式（1）所表示的校驗(yàn)矩陣H中，該行重為3。

2）每列的元素1 數(shù)目是相同的?！?”的數(shù)目即為列重。在如式（1）所表示的校驗(yàn)矩陣H中，該列重為2。

3）任何兩行或者兩列之間，非零元素重合的次數(shù)小于或等于1。不是零的元素分布較為稀疏。

當(dāng)HcT滿足等于零的條件時，也可以用方程的方式來表述LDPC碼，校驗(yàn)方程如式（2）所示:

除了校驗(yàn)矩陣和方程這兩種方式能表述LDPC碼之外，Tanner 圖也可用于表示LDPC 碼。Tanner 圖中運(yùn)用圖形來表示，更加清楚地展示了碼元節(jié)點(diǎn)跟校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。利用碼字的校驗(yàn)方程來表現(xiàn)碼字就是Tanner 圖的本質(zhì)所在。

兩種頂點(diǎn)(比特節(jié)點(diǎn)以及校驗(yàn)節(jié)點(diǎn))出現(xiàn)在Tanner圖當(dāng)中。從某一個節(jié)點(diǎn)，例如從C0開始，不經(jīng)歷重復(fù)的邊，最終又返回到這個節(jié)點(diǎn)的閉合回路稱為環(huán)。在閉合回路中走過的邊的數(shù)目是環(huán)長，最短環(huán)長也可以稱作圍場,指的是經(jīng)歷邊數(shù)最少的環(huán)。Tanner 圖如圖1 所示。

圖1 H（6，2，3）校驗(yàn)矩陣的Tanner圖

在Tanner 圖里存在著循環(huán)，在譯碼的過程中有概率會出現(xiàn)校驗(yàn)信息重復(fù)反饋的情況，從而使得譯碼的準(zhǔn)確率降低，因此,構(gòu)造校驗(yàn)矩陣的過程中應(yīng)盡量避免圍長較短的循環(huán)產(chǎn)生[5]。

1.2 BP譯碼方式

經(jīng)典的置信傳播（Belief Propagation,BP）算法，是一種軟判決算法[6]。BP 譯碼算法的原理：其譯碼思想和BF 類似，在信息傳輸過程中沿著Tanner 圖邊進(jìn)行傳遞，這種傳遞是雙向的[7]。

BP 譯碼方式第一步就是將變量節(jié)點(diǎn)進(jìn)行初始化，然后每個變量節(jié)點(diǎn)通過與校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連的邊將概率信息傳遞給校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)[8]。信息經(jīng)過校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)計(jì)算更新之后再傳回到變量節(jié)點(diǎn)中，接著，變量節(jié)點(diǎn)依據(jù)更新以后的信息做判決，這便是一次迭代的過程。最終結(jié)束譯碼的條件是找到了允許使用的碼字或者是到達(dá)了最大的迭代次數(shù)。通過多次迭代計(jì)算使得譯碼結(jié)果更加精準(zhǔn)，誤碼率更低[9]。

若xl表示變量節(jié)點(diǎn)，sm代表的是校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，那么表示的是xl向sm傳遞的信息，則sm傳遞給xl的信息就用來表示。不包含xl這個變量節(jié)點(diǎn)的L(m)集合記為L(m)l，不包括sm這個校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的M(l)集合記為M(l)m。

如果Hml滿足等于1的條件，則l執(zhí)行下面的步驟。

3）變量節(jié)點(diǎn)更新如下：

在上述公式中，aml是一個比較特殊的存在，它可以使得與兩者的和保持為1。

4）似后驗(yàn)概率更新如下：

其中，al與aml作用相類似，它的存在可以使得與兩者的和保持為1。

5）比特判決，當(dāng)?shù)娜≈荡笥?.5時，xl的數(shù)值就等于0；否則，判定的xl數(shù)值就等于1，l=1,2,…,N。當(dāng)HTx=0 或者到達(dá)了最大迭代次數(shù)時，結(jié)束譯碼，輸出譯碼結(jié)果x，如果還未滿足要求，則跳回到步驟2）循環(huán)執(zhí)行。

2 混沌系統(tǒng)

混沌系統(tǒng)有許多特性，如初值敏感性、隨機(jī)性、遍歷性和不可預(yù)測性等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于圖像加密[10]。

2.1 Logistic

Logistic 映射表現(xiàn)為一種迭代或映像過程[11]。Logistic 映射用數(shù)學(xué)公式可以描述為[12]：

經(jīng)過多次的實(shí)驗(yàn)，如果想要映射處于混沌的狀態(tài)，μ要滿足的條件是3.569 945＜μ≤4。參數(shù)μ與數(shù)值4 越相近，x的取值范圍越是平均分布在0 和1 的整個區(qū)域[13]。其結(jié)果展現(xiàn)出了偽隨機(jī)分布狀態(tài)。μ=4時，Logistic 映射進(jìn)入滿映射狀態(tài)[14]。

2.2 Sine

Sine 映射公式為：

2.3 2D Logistic-Sine

2D Logistic-Sine 公式為：

其中，α∈[0,1]。

2D Logistic-Sine 的加密流程如圖2 所示。

圖2 加密流程

3 加密方案

首先，把待加密處理的圖像進(jìn)行位平面的分割，得到了8 個二值位平面，再對最高的兩位位平面進(jìn)行LDPC 編碼，重構(gòu)位平面，得到10 bit 灰度圖。設(shè)定初值x0=0.5,y0=0.8,a=0.99。利用混沌系統(tǒng)對圖像進(jìn)行置換以及行列擴(kuò)散操作。

原始圖像如圖3 所示。

圖3 原始圖像

首先，將圖像進(jìn)行置亂操作，結(jié)果如圖4 所示。

圖4 置亂后圖像

對圖像再進(jìn)行行擴(kuò)散與列擴(kuò)散操作，結(jié)果分別為圖5 與圖6 所示。

圖5 行擴(kuò)散后圖像

圖6 列擴(kuò)散后圖像

分離出高兩位位平面作為內(nèi)部密鑰輸出，剩余8位位平面構(gòu)成的密文圖像輸出。

最終加密圖像如圖7 所示。

圖7 最終加密圖像

解密就是取反的過程，依次進(jìn)行列解密、行解密、置亂恢復(fù)。分離出高四位位平面，經(jīng)過LDPC 譯碼最終得到解碼之后的位平面。將解碼之后的位平面與6個位平面重構(gòu)，得到解密圖像如圖8所示。

圖8 解密圖像

4 Matlab仿真實(shí)驗(yàn)及分析

4.1 直方圖分析

直方圖是基本統(tǒng)計(jì)特征，它所表示的是灰度級函數(shù)。分布越均勻，越能掩藏明文圖像像素值的散布情況，使對抗人員難以破解，獲得相關(guān)的信息[15]。

直方圖的定義如下:

原圖像的直方圖如圖9 所示，加密后直方圖如圖10 所示。

圖9 原圖像直方圖

圖10 加密圖像直方圖

加密后的直方圖較為均勻，說明加密效果較好。

4.2 相鄰像素的相關(guān)性

圖像相鄰像素相關(guān)性能夠真實(shí)反映圖像相鄰位置像素灰度值的相關(guān)程度[16]。

計(jì)算公式如下：

表1 為圖像的相關(guān)性。

表1 圖像的相關(guān)性

相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性取值越小，表明了圖像相鄰像素灰度值關(guān)聯(lián)程度就越低，圖像就更加的無序混亂，所以應(yīng)使加密后的圖像相鄰像素的相關(guān)性系數(shù)越小越好。

4.3 信息熵

信息熵反映了灰度值的分布狀態(tài)。如果灰度值均勻分布，就有著更大的信息熵。

原始圖像信息熵為7.009 7；加密圖像信息熵為7.997 2，接近于8。越接近于8，經(jīng)過信息熵來獲取圖像的信息就越困難。

4.4 密鑰敏感性

選擇不正確的初值進(jìn)行解密，如x0=0.499 99，y0=0.800 01，再進(jìn)行解密，錯誤解密圖如圖11 所示。

圖11 錯誤解密圖

解不出原始圖像，說明該系統(tǒng)較為敏感。

4.5 密鑰空間大小

假設(shè)精度為10-16，那么該算法的密鑰空間為1048，密鑰空間大于Logistic 映射的1030，更能抵御窮舉攻擊。

5 結(jié)論

該文采用LDPC 碼與2D Logistic-Sine 相結(jié)合的加密方法，對圖像進(jìn)行加密，加密后無法用肉眼獲得有用信息，加密效果較為理想。而且相對于一維的混沌系統(tǒng)，有著更大的密鑰空間，也相對不容易被破解，提高了安全性，然而LDPC碼的編譯碼速率還有待進(jìn)一步提升。