基于時變矩GEV頻率分布模型的設(shè)計(jì)暴雨推求

龍 群 黃亞玨

（水利部珠江水利委員會水文局，廣東 廣州 510611）

0 前言

設(shè)計(jì)洪水的分析計(jì)算是防洪工程設(shè)計(jì)、建設(shè)的基本依據(jù)，設(shè)計(jì)暴雨常常作為設(shè)計(jì)洪水計(jì)算模型的輸入條件。隨著氣候變化加劇和大規(guī)模人類活動影響，暴雨序列呈現(xiàn)出不同程度的非一致性特性，違背了傳統(tǒng)GEV、P-Ⅲ等頻率分布模型使用時基于一致性的基本假設(shè)，基于常規(guī)頻率分布模型分析設(shè)計(jì)暴雨進(jìn)而計(jì)算得到設(shè)計(jì)洪水的結(jié)果可靠性有待考究。同樣地受氣候環(huán)境變化、下墊面條件變化影響，洪水序列呈現(xiàn)出了更為顯著的非一致性［1-2］。國內(nèi)外學(xué)者就水文資料的非一致性做了很多有益的探索及研究，目前關(guān)于非一致性水文頻率分析方法的代表性研究成果主要分為兩類［3-7］：一是基于還原/還現(xiàn)途徑構(gòu)造一致性序列的方法；二是基于非平穩(wěn)系列的直接頻率分析計(jì)算方法。在基于還原/還現(xiàn)途徑的方法中，可參考暴雨資料修正洪水資料的非一致性問題［8］，但當(dāng)暴雨資料的一致性也不能滿足時，則可采用基于非平穩(wěn)系列的直接頻率計(jì)算方法。直接頻率計(jì)算方法大致可以分為兩類：針對序列個體并非來自同一總體時，構(gòu)建基于混合分布或條件概率的非一致性頻率分析方法；當(dāng)樣本個體存在一定的趨勢性或難以明確的非一致性時，可以采用基于時變矩的頻率分析方法。這些方法在水文資料直接計(jì)算設(shè)計(jì)洪水時常被用來討論，但在設(shè)計(jì)暴雨推求設(shè)計(jì)洪水中卻鮮有見到［9-11］。本研究以最大三日暴雨為例，采用時變矩的GEV頻率分布模型，與基于一致性假設(shè)的常規(guī)模型所得設(shè)計(jì)暴雨成果進(jìn)行對比，分析各個模型在暴雨資料推求設(shè)計(jì)洪水中應(yīng)用的可靠性。

1 時變矩GEV頻率分布模型

1.1 構(gòu)建時變矩頻率分布模型

在平穩(wěn)廣義極值分布模型GEV 中引入時間變量t 構(gòu)建非平穩(wěn)廣義極值分布模型GEVt，所述非平穩(wěn)廣義極值分布模型GEVt的表達(dá)為式（1）。

式中，κt為形狀參數(shù)，μt為位置參數(shù)，αt尺度參數(shù)，x為歷年最大三日雨量，t為時間。

根據(jù)形狀參數(shù)κ、位置參數(shù)μ、尺度參數(shù)α 分別與時間變量的關(guān)系，構(gòu)建的非平穩(wěn)廣義極值分布模型 GEVt有 多 種 表 現(xiàn) 形 式 ，如 ：GEV1(μt= μ1+μ2Yt,α ,κ )、GEV2(μt= μ1+ μ2Yt+ μ3Yt2,α ,κ ) 或者 GEV11(μt= μ1+ μ2Yt,αt= exp(α1+ α2Yt),κ )，其中的Yt為年份統(tǒng)計(jì)變量。

1.2 極大似然法（ML）求解模型參數(shù)

構(gòu)造極大似然函數(shù)［12］為式（2）。

式中：n為樣本容量；其中κt≠ 0。對式（2）取對數(shù)得到式（3）至式（7）。

1.3 優(yōu)選非一致性頻率分布模型

采用AIC 準(zhǔn)則對上述模型進(jìn)行優(yōu)選，表達(dá)式為式（8）。

式中：k 為模型參數(shù)個數(shù)；l*n(M) 為模型 M 的極大似然指數(shù)。AIC 值越小，說明模型的適用性和復(fù)雜性越好，側(cè)面反映所求模型參數(shù)的可靠性。

2 研究實(shí)例

本研究以某雨量站1959—2016 年年最大三日暴雨量資料為例，采用Mann-Kendall檢驗(yàn)法對系列的趨勢性、變異性進(jìn)行檢驗(yàn)；在明確存在非一致性時，采用多個時變矩的GEV 模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析；通過AIC 準(zhǔn)則優(yōu)選統(tǒng)計(jì)模型，與常規(guī)GEV 模型求得的設(shè)計(jì)暴雨、超越概率進(jìn)行對比分析［12］。

2.1 系列非一致性診斷

利用該站58 年的年最大三日暴雨量資料繪制的時間序列圖見圖1，可以得出年最大三日雨量有較為明顯的下降性趨勢。采用Mann-Kendall 檢驗(yàn)法對其趨勢性作進(jìn)一步檢驗(yàn)，在5%的顯著性水平下，Mann-Kendall 法檢驗(yàn)結(jié)果表明，系列不僅具有明顯的下降性趨勢，還存在多個突變點(diǎn)的跳躍性變異，如圖2所示。

圖1 年最大三日暴雨量時間序列圖

2.2 基于時變矩的GEV模型分布參數(shù)求解

通過常規(guī)GEV頻率分布模型，為方便計(jì)算，令κt為常數(shù)，構(gòu)建 GEV1、GEV2、GEV11，采用極大似然估計(jì)（ML）方法進(jìn)行分布參數(shù)的求解，具體結(jié)果如表1所示。

2.3 基于時變矩的GEV模型比較

通過上節(jié)得到的分布參數(shù)，求解各模型P=2%與P=1%的設(shè)計(jì)暴雨量，如圖3、圖4所示。可見，常規(guī)的GEV 頻率分布模型所得到的設(shè)計(jì)暴雨量為一常數(shù)，而 GEV1、GEV2、GEV11所得的設(shè)計(jì)暴雨量隨年份呈現(xiàn)遞減的趨勢。其中GEV1所得結(jié)果相對穩(wěn)定，隨年份變化不明顯，在圖中與常規(guī)的GEV 模型所得結(jié)果幾乎重合；GEV11所得的設(shè)計(jì)暴雨量隨年份變化下降最為明顯，且在統(tǒng)計(jì)的前期設(shè)計(jì)暴雨量明顯大于其他模型的所得結(jié)果，在統(tǒng)計(jì)的后期所得結(jié)果又明顯小于其他模型；GEV2所得的設(shè)計(jì)暴雨量從統(tǒng)計(jì)開始便一直低于常規(guī)GEV模型的所得結(jié)果，并一直隨著年份減小。

圖3 各模型P=2%的設(shè)計(jì)暴雨量

圖4 各模型P=1%的設(shè)計(jì)暴雨量

根據(jù)AIC 準(zhǔn)則，AIC 值越小，說明模型的適用性和復(fù)雜性越好，側(cè)面反映所求模型參數(shù)的可靠性。通過表1 所得到的AIC 值進(jìn)行對比分析，不難發(fā)現(xiàn)GEV2的AIC 值最小，其適用性較其他模型好，也優(yōu)于常規(guī)的GEV模型。

表1 基于ML方法得到的非平穩(wěn)GEV分布的參數(shù)估計(jì)成果

表2 列出了GEV、GEV 兩種分布模型得到統(tǒng)計(jì)2期1959—2016 年內(nèi)的P=1%、2%的設(shè)計(jì)暴雨量，對比發(fā)現(xiàn)GEV2得到的設(shè)計(jì)暴雨量最大值分別比GEV模型所得結(jié)果小2.7%、0.08%，平均值分別小7.89%、6.18%，最小值小13.17%、12.4%。

表2 GEV2與GEV分布模型在1959—2016年內(nèi)的設(shè)計(jì)暴雨量對比

圖5 為以GEV 模型成果作為設(shè)計(jì)值時每年的超越概率，如圖5 所示，以GEV 模型求得P=1%、P=2%的設(shè)計(jì)暴雨量作為基準(zhǔn)，采用GEV分布模型求2得對應(yīng)的年超越概率呈現(xiàn)明顯的減小趨勢。以P=2%的設(shè)計(jì)暴雨值計(jì)算常規(guī)GEV模型的超越概率為2%，而適用性更好的GEV分布模型在工程壽命期2內(nèi)（2017 年之后的50 年）計(jì)算該設(shè)計(jì)值對應(yīng)的每年超越概率呈顯著減少趨勢，在工程使用期的初期每年的超越概率已經(jīng)接近P=1%，在末期非常接近P=0.5%，差距達(dá)到了100%以上。

圖5 以GEV模型成果作為設(shè)計(jì)值時每年的超越概率

3 結(jié)論與展望

本研究在暴雨資料不滿足一致性假設(shè)推求設(shè)計(jì)暴雨時，構(gòu)建了時變矩的GEV頻率分布模型的多種形式，采用AIC 準(zhǔn)則優(yōu)選適用的時變矩GEV 頻率分布模型，并將最優(yōu)時變矩模型與常規(guī)的適用于一致性假設(shè)的GEV模型作對比，結(jié)論如下。

①在暴雨資料不滿足一致性假設(shè)時，通過AIC準(zhǔn)則表明，本研究構(gòu)建的時變矩GEV2模型適用性優(yōu)于常規(guī)的GEV頻率分布模型，充分說明了時變矩模型在面對非一致性序列時的優(yōu)越性。

②面對非一致性資料序列采用常規(guī)頻率模型計(jì)算得到的設(shè)計(jì)值及其超越概率并不可靠，適用性更好的時變矩模型求解得到的設(shè)計(jì)值及其超越概率明顯不同于常規(guī)頻率分布模型。

③在面對不滿足一致性假設(shè)的暴雨資料推求設(shè)計(jì)洪水時，應(yīng)當(dāng)對非一致性做處理，否則推求得到的設(shè)計(jì)洪水將產(chǎn)生較大的偏差，影響防洪安全和造成工程投資的浪費(fèi)。

在采用時變矩GEV分布模型求解設(shè)計(jì)暴雨時，雖然該模型有一定的預(yù)測能力，但預(yù)測的準(zhǔn)確程度還需要研究；不同的統(tǒng)計(jì)年限得到的設(shè)計(jì)值、超越概率也未必一致；如何使用統(tǒng)計(jì)年限使得具有預(yù)測功能的時變矩頻率分布模型更可靠地推求設(shè)計(jì)值值得進(jìn)一步的研究。