構(gòu)造幾何圖形 妙解代數(shù)問題

◎楊詩婷 馬紹文

(云南師范大學(xué)，云南 昆明 650500)

一、前言

“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的生命，是數(shù)學(xué)的靈魂”.其中數(shù)形結(jié)合思想是解題中常用的思想，數(shù)抽象而形式化，形具體而形象化.數(shù)與形對(duì)應(yīng)的思維是分析性思維和視覺化思維，這兩種思維在數(shù)學(xué)解題中都是非常重要的，它們?cè)跀?shù)學(xué)解題中相互作用，互為補(bǔ)充.

數(shù)形結(jié)合思想一般分為兩種，一種是由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換，即將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化；另一種則是由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)換，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，使問題變得直觀易懂.構(gòu)造圖形解決代數(shù)問題是數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用之一，對(duì)于復(fù)雜的代數(shù)問題，構(gòu)造特殊的幾何圖形，將問題和條件直觀地展示出來，化繁為簡(jiǎn)，便于解決問題.本文將通過4個(gè)典型例題，分析妙用斜率公式、距離公式和余弦定理構(gòu)造圖形解決代數(shù)問題的方法.

二、妙用斜率公式

其中tanα=-y，

整理得3y2+8y+3≤0，

解法二

分析題中的函數(shù)可以看作點(diǎn)A(cosx，sinx)和點(diǎn)B(-2，2)所在直線的斜率，則問題就轉(zhuǎn)換為求直線AB斜率的取值范圍.點(diǎn)A(cosx，sinx)是單位圓上的任意點(diǎn)，點(diǎn)B是定點(diǎn)，構(gòu)造圖形(如圖1)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線AB與單位圓相切時(shí)，直線AB的斜率取最值.故求出直線AB與單位圓相切時(shí)直線AB的斜率即可解決問題.

圖1

如圖1所示.

設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為kx-y-2k-2=0.

因?yàn)橹本€AB與單位圓相切，

所以圓心O到直線AB的距離為1，

評(píng)注：解法一用代數(shù)法解決該題，解法二則利用數(shù)形結(jié)合解決該題.二者的區(qū)別在于解法一需要將題目所給函數(shù)轉(zhuǎn)換為正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式進(jìn)行解題，而解法二則利用圖形直接得到結(jié)果.所以解法二較為簡(jiǎn)便.

分析求函數(shù)值域的常用方法有單調(diào)性法、換元法和導(dǎo)數(shù)法，但是題目中所給的函數(shù)式是分式，所以換元后還是分式，求導(dǎo)也會(huì)將題目復(fù)雜化，函數(shù)的單調(diào)性也不容易判斷，因此利用斜率公式構(gòu)造圖形來求解.其中y可以看成是點(diǎn)A(-2，1)與點(diǎn)B(x2，3x2)所在直線的斜率，則問題就轉(zhuǎn)換為求直線AB斜率的取值范圍.

解y可看成是點(diǎn)A(-2，1)與點(diǎn)(x2，3x2)所在直線的斜率，設(shè)x′=x2，y′=3x2，則y′=3x′(x′≥0).

故原函數(shù)的值域即為點(diǎn)A(-2，1)與直線y′=3x′(x′≥0)上的點(diǎn)(x′，y′)所在直線的斜率的取值范圍.

如圖2，作射線AC與直線y′=3x′(x′≥0)平行，易得kOA≤y

圖2

三、妙用距離公式

(一)妙用兩點(diǎn)間距離公式

設(shè)點(diǎn)A(3，2)，點(diǎn)B(0，1)，點(diǎn)C(x，x2)，如圖3所示.

圖3

此時(shí)問題轉(zhuǎn)換為求線段AC和BC長(zhǎng)度之差的最大值.

由圖易知AC-BC≤AB，

當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，AB取得最大值，

解如圖4所示，f(x，y)表示在平面直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(1，1)的距離之和.

圖4

在△APD中，PA+PD≥AD，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)等號(hào)成立，

在△CPB中，PC+PB≥BC，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)等號(hào)成立，

(二)妙用點(diǎn)到直線的距離公式

例5已知x，y∈R且x2+y2-2x-2y-2≤0，求|x+y+3|的最值.

分析題中待求的式子有絕對(duì)值并且有兩個(gè)變量，用代數(shù)方法求該式時(shí)首先要去絕對(duì)值.因?yàn)橛袃蓚€(gè)變量，所以考慮利用平方法去絕對(duì)值，但是轉(zhuǎn)換之后式子更加復(fù)雜，所以利用代數(shù)方法解決該題較困難.觀察發(fā)現(xiàn)題目中|x+y+3|與點(diǎn)到直線的距離公式相似，同時(shí)不等式可以恒等變換為(x-1)2+(y-1)2≤4，即以點(diǎn)A(1，1)為圓心，半徑為2的圓內(nèi)或圓上的任意點(diǎn)到直線x+y+3=0的距離，于是結(jié)合點(diǎn)到直線的距離和不等式的幾何意義構(gòu)造圖形解決問題.

解x2+y2-2x-2y-2≤0可化為(x-1)2+(y-1)2≤4，

圖5

四、妙用余弦定理

如果題目中出現(xiàn)或者經(jīng)過恒等變換后出現(xiàn)形如x2+y2-mxy(其中m=2cos〈x，y〉)的式子，則可以結(jié)合余弦定理a2+b2-2abcosC構(gòu)造圖形解決問題.

分析該題求證的結(jié)論很復(fù)雜，直接用基本不等式法求證很難.求證不等式的常規(guī)方法：先算出不等式左邊的最小值，然后再算出不等式右邊的最大值，最后將二者進(jìn)行比較.而不等式中的式子都含有根號(hào)，這樣解決會(huì)使問題復(fù)雜化，所以該問題難以用代數(shù)方法證明.觀察不等式中的式子，從整體性出發(fā)，可以聯(lián)想到“三角形兩邊之和大于第三邊”，而第一個(gè)被開方數(shù)類似于勾股定理的形式，后面兩個(gè)被開方數(shù)的形式則與余弦定理很相似.所以構(gòu)造與題意相符的三角形來解決問題.

證明如圖6，構(gòu)造一個(gè)四邊形ACBD，使AB，AC，AD的長(zhǎng)分別是x，y，z,并且∠BAC=90°，∠BAD=60°.

圖6

在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=x2+z2-xz，

在△BCD中，BC+BD>CD,

當(dāng)B點(diǎn)在CD上時(shí)，有BC+BD=CD,

圖7

當(dāng)B，C兩點(diǎn)均在AD上時(shí)取等號(hào)，

五、小結(jié)

通過對(duì)例題的分析和解答，可以發(fā)現(xiàn)利用數(shù)形結(jié)合思想解決代數(shù)問題很直觀，而且容易理解，同時(shí)避免了繁雜的代數(shù)運(yùn)算.但是這種方法有一定的局限性，如果圖形不準(zhǔn)確、不完整就會(huì)導(dǎo)致解答過程出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以在使用這種方法的過程中要注意圖形的準(zhǔn)確性和完整性.另外，通過構(gòu)造圖形解決代數(shù)問題時(shí)，學(xué)生需要深刻理解題目，并建立舊知與問題之間的聯(lián)系.面對(duì)具體問題，學(xué)生要從不同角度去分析，這樣就會(huì)使學(xué)生對(duì)問題的條件、結(jié)論以及它們之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化方式有了多角度的理解，從而對(duì)條件、結(jié)論有不同形式的表達(dá)，形成多樣化的解題方法,進(jìn)而在解題時(shí)達(dá)到事半功倍的效果.

總之，數(shù)形結(jié)合是一種科學(xué)的、高效的解題方法，本文分析的“以形解數(shù)”的解題方法蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想.若學(xué)生能夠?qū)?shù)形結(jié)合思想運(yùn)用到解題中，這將是對(duì)學(xué)生思維的一種開拓，會(huì)使學(xué)生在深刻理解知識(shí)的同時(shí)高效地學(xué)習(xí).