數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)視野下高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計(jì)
——以函數(shù)概念教學(xué)為例

◎徐文倩

(云南師范大學(xué)，云南 昆明 650500)

數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)六大學(xué)科核心素養(yǎng)之一.培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)意義，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣，有極為重要的作用，同時(shí)也為學(xué)生其他學(xué)科的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系的基礎(chǔ)，正確理解數(shù)學(xué)概念是提高數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵.學(xué)生只有在理解概念的基礎(chǔ)上，才能對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行有效歸類、辨析、應(yīng)用.數(shù)學(xué)概念是極為重要的，它能幫助學(xué)生掌握知識本質(zhì)，構(gòu)建知識框架，進(jìn)而提高自身數(shù)學(xué)抽象能力.在實(shí)際教學(xué)中，教師普遍對解題教學(xué)更為重視，而忽視對概念的講解，這導(dǎo)致學(xué)生對概念的理解比較模糊，對數(shù)學(xué)知識不能做到深層次理解，進(jìn)而無法全面建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系.這嚴(yán)重影響學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

函數(shù)概念在高中階段非常重要，但在日常教學(xué)中，往往會出現(xiàn)重形式輕本質(zhì)的現(xiàn)象，教師只是簡單講解概念，這使得學(xué)生對函數(shù)這個(gè)較為抽象的概念不能深入理解，只是淺嘗輒止.對此，為使抽象的概念形象化，本文以新人教A版必修第一冊第三章第一節(jié)“函數(shù)概念”為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以期為一線教師提供教學(xué)思路.

一、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)下的教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(一)回顧舊知 引起認(rèn)知沖突

【教師】問題1：生活中有很多運(yùn)動變化的現(xiàn)象，舉個(gè)例子：飲水機(jī)的水位隨著時(shí)間的變化而不斷降低.我們以前學(xué)過的哪種數(shù)學(xué)模型能描述這種運(yùn)動變化中的數(shù)量關(guān)系呢？

【學(xué)生】回顧初中接觸過的函數(shù)概念，口頭回答出函數(shù)可以描述這種數(shù)量關(guān)系.

【師生】教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的函數(shù)類型，并嘗試說出函數(shù)的定義，教師總結(jié)初中學(xué)過的函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì).

【學(xué)生】交流討論，發(fā)表各自意見，沒有一致的結(jié)論.

【教師】初中學(xué)習(xí)的函數(shù)，關(guān)注的是變量之間的依賴關(guān)系，對于變量的對應(yīng)關(guān)系及變量的變化范圍沒有涉及，初中所學(xué)的函數(shù)定義并不完善.下面我們通過幾個(gè)具體的實(shí)例，深入認(rèn)識函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：問題1，學(xué)生通過思考數(shù)學(xué)模型引出函數(shù)，并通過回顧初中函數(shù)的定義再現(xiàn)函數(shù)知識，為學(xué)習(xí)更為完善的函數(shù)定義奠定基礎(chǔ).問題2則是讓學(xué)生認(rèn)識到初中所學(xué)的函數(shù)定義是不完善的，需要繼續(xù)深入研究函數(shù)的定義，為函數(shù)概念的教學(xué)做鋪墊.

(二)創(chuàng)設(shè)問題情境 推進(jìn)核心過程

情境1：某飛機(jī)飛行到一定高度后保持1080 km/h的速度勻速飛行15 min.飛機(jī)飛行的路程表示為s(單位：km)，飛行時(shí)間表示為t(單位：h).

【教師】問題1：這段時(shí)間內(nèi)可以列出怎樣的解析式？是一個(gè)函數(shù)嗎？

【學(xué)生】根據(jù)初中學(xué)過的函數(shù)定義，可以列出解析式s=1080t，s與t是兩個(gè)變量，而且對于t的每一個(gè)確定的值，s都有唯一確定的值與之對應(yīng)，所以s是t的函數(shù).

【教師】問題2：根據(jù)這個(gè)解析式，這架飛機(jī)飛行到一定高度后，飛行0.5 h的路程是540 km，這個(gè)說法正確嗎？

【學(xué)生】飛機(jī)保持1080 km/h的速度只有15 min，無法判斷15 min之后的情況，因此說法不正確.

【教師】問題3：如何準(zhǔn)確表述s與t的對應(yīng)關(guān)系呢？

【師生】學(xué)生關(guān)注到應(yīng)該限定t的取值范圍，教師引導(dǎo)學(xué)生利用集合分別表示s與t的變化范圍，讓學(xué)生初步嘗試用集合和對應(yīng)關(guān)系描述函數(shù)關(guān)系.學(xué)生第一次描述存在困難，教師進(jìn)行補(bǔ)充、整理，總結(jié)為：飛機(jī)飛行的路程s與飛行時(shí)間t的對應(yīng)關(guān)系是s=1080t.其中，t的變化范圍是A1={t|0≤t≤0.25}，s的變化范圍是B1={s|0≤s≤270}.對于A1中的任一時(shí)刻t，按照對應(yīng)關(guān)系s=1080t，B1中都有唯一確定的路程s與之對應(yīng).

設(shè)計(jì)意圖：問題1是讓學(xué)生借助初中學(xué)過的函數(shù)概念判斷該解析式是否滿足函數(shù)的定義；問題2、問題3是讓學(xué)生關(guān)注變量的變化范圍，并學(xué)會用更為精確的語言來描述函數(shù)關(guān)系.

表1 我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

【教師】問題1：根據(jù)表格1，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？

【學(xué)生】學(xué)生獨(dú)立思考，有些學(xué)生可能認(rèn)為r不是y的函數(shù)，教師在此基礎(chǔ)上繼續(xù)提問.

【教師】追問1：根據(jù)表格，你能找到2008年的恩格爾系數(shù)嗎？這個(gè)值是否唯一存在？

追問2：對于數(shù)集A2={2006,2007,2008,…,2015}中的任意一個(gè)值y，你能找到對應(yīng)的r值嗎？

【師生】通過追問，學(xué)生回憶起表格也是表示函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種方式，教師對此加以解釋.

【教師】問題2：參考前面給出的描述函數(shù)關(guān)系的方法，r與y的對應(yīng)關(guān)系應(yīng)如何表述呢？

【學(xué)生】小組嘗試用集合與對應(yīng)關(guān)系的語言描述函數(shù)，選擇小組嘗試對其進(jìn)行精確表示.教師對學(xué)生的表述進(jìn)行評價(jià)、補(bǔ)充.學(xué)生給出的函數(shù)值集合有可能是表中r的10個(gè)值，將其記為C2.此時(shí)，教師加以肯定并指出：根據(jù)恩格爾系數(shù)的定義，r的取值范圍是B2={r|0

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在初中接觸到的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系大多是用解析式進(jìn)行表示的，因此他們理解用表格描述對應(yīng)關(guān)系相對困難.教師以問題形式引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生理解除了解析式，表格也是描述函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種方式，為學(xué)生獨(dú)立確定函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系做準(zhǔn)備.

情境3：某科技公司要求高級員工每周工作最少1天，最多不超4天.該公司高級員工的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天1080元，按周發(fā)放工資.

【教師】問題1：根據(jù)問題情境，如何確定一位員工每周所得的工資？

【師生】教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合情境2中的問題1，回憶初中學(xué)習(xí)的三種描述函數(shù)關(guān)系的方式.同時(shí)根據(jù)情境3，學(xué)生討論得出表達(dá)式w=1080d.表格，圖象等均可以確定一位高級員工每周所得的工資.

【教師】問題2：高級員工的工資w是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？

問題3：參考前面給出的描述，該問題中w與d的對應(yīng)關(guān)系應(yīng)如何精確表示呢？

【學(xué)生】獨(dú)立回答問題2，同時(shí)嘗試獨(dú)立利用集合語言和對應(yīng)關(guān)系描述w與d的對應(yīng)關(guān)系，教師結(jié)合學(xué)生的描述進(jìn)行點(diǎn)評總結(jié).

【教師】追問：情境1和情境3中函數(shù)有著相同的對應(yīng)關(guān)系，可不可以看成同一個(gè)函數(shù)？

【學(xué)生】對比發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)函數(shù)只有對應(yīng)關(guān)系相同，自變量和因變量的變化范圍不相同.

【教師】進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出判斷函數(shù)相同的要素是自變量的變化范圍和對應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題1，學(xué)生理解函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的不同表示，例如表格、解析式等；問題3是讓學(xué)生模仿情境1、情境2的方法給出描述，讓學(xué)生熟悉函數(shù)對應(yīng)關(guān)系表述的同時(shí)，進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的抽象概括能力，并通過追問，為學(xué)生學(xué)習(xí)定義域、值域做鋪墊.

(三)歸納總結(jié) 形成概念

【教師】情境1～3中的函數(shù)有哪些共同特征？

【師生】根據(jù)上述3個(gè)情境，小組內(nèi)思考交流，利用集合與對應(yīng)語言刻畫函數(shù)的過程，總結(jié)出函數(shù)的共同特征，學(xué)生在概括時(shí)可能會有遺漏，教師借助表2幫助學(xué)生思考.

表2 函數(shù)要素

【師生】學(xué)生根據(jù)上表大致概括出函數(shù)的共同特征，教師進(jìn)行總結(jié).

【教師】我們可以發(fā)現(xiàn)在上述情境中函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可以用表達(dá)式、圖象、表格進(jìn)行表示.實(shí)際上，對應(yīng)關(guān)系還有很多表示方法，為了對應(yīng)關(guān)系的表達(dá)更方便，數(shù)學(xué)上一般用符號f表示對應(yīng)關(guān)系.(給出函數(shù)的定義，記函數(shù)為y=f(x),x∈A，解釋f(x)的含義，同時(shí)強(qiáng)調(diào)f可以用g，h等字母代替，f只是表示對應(yīng)法則的一種符號.)

【教師】對于y=f(x),x∈A這樣表示函數(shù)的方法，老師給大家做一個(gè)形象的闡釋(播放動畫PPT)：假設(shè)自變量x是一個(gè)蘋果，它在食品廠進(jìn)行加工，制作蘋果干、蘋果汁、蘋果脯等的機(jī)器就相當(dāng)于函數(shù)中的對應(yīng)關(guān)系，那么一個(gè)蘋果通過不同的機(jī)器制作出來的蘋果干、蘋果脯或蘋果汁就是函數(shù)中的函數(shù)值y，那么對于任意一個(gè)蘋果，通過某一種機(jī)器只能制作出一種食品.

用數(shù)學(xué)語言解釋y=f(x)：y是x的函數(shù)，即x在對應(yīng)關(guān)系f的作用下對應(yīng)y.

【教師】給出定義域、值域的定義，讓學(xué)生思考：為什么在上表中，將情境2中函數(shù)值的集合，也就是現(xiàn)在定義的值域，寫成C2，而不是更具有一般性的B2？

【師生】教師引導(dǎo)學(xué)生回看函數(shù)的定義，結(jié)合集合的內(nèi)容，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)集合B是包含值域的，也就是說值域是集合B的子集，從而解釋情境2的值域是C2.

【教師】函數(shù)的三要素是什么？判斷函數(shù)相同的條件是什么？

【學(xué)生】根據(jù)3個(gè)情境和函數(shù)的定義，總結(jié)出函數(shù)的三要素是定義域、值域及對應(yīng)關(guān)系.

【師生】教師引導(dǎo)學(xué)生回憶情境1和情境3中的對應(yīng)關(guān)系，共同得出函數(shù)相同的條件：定義域和對應(yīng)關(guān)系相同.

設(shè)計(jì)意圖：在初中已有函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)上，學(xué)生通過對3個(gè)實(shí)例進(jìn)行歸納、概括得到函數(shù)三要素，并在運(yùn)用集合與對應(yīng)的語言表述函數(shù)的過程中，建立起對函數(shù)概念的認(rèn)識，另外，學(xué)生借助具體實(shí)例，感悟數(shù)學(xué)抽象的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

(四)鞏固提升 深化概念

【學(xué)生】y=1符合函數(shù)的定義：定義域是R，值域是B={1}，對應(yīng)關(guān)系把R中的任意一個(gè)數(shù)，對應(yīng)到B中唯一確定的數(shù)1.

【教師】與一般函數(shù)不同的是y=1將多個(gè)實(shí)數(shù)通過對應(yīng)關(guān)系變成了一個(gè)實(shí)數(shù).反之，一個(gè)實(shí)數(shù)能通過對應(yīng)關(guān)系變成多個(gè)實(shí)數(shù)嗎？

【學(xué)生】不能，通過函數(shù)關(guān)系f:A→B可以將一個(gè)實(shí)數(shù)變成一個(gè)實(shí)數(shù)，或者將多個(gè)實(shí)數(shù)變成一個(gè)實(shí)數(shù)，最終結(jié)果只能是數(shù)集B有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，不能是一個(gè)實(shí)數(shù)通過對應(yīng)關(guān)系變成多個(gè)實(shí)數(shù).

【教師】在函數(shù)概念中，y=f(x)表示y是x的函數(shù).同時(shí)我們強(qiáng)調(diào)了f可以用g，h等字母代替，f只是表示對應(yīng)法則的一種符號.那么y=f(x)與y=g(x)是不是同一個(gè)函數(shù)呢？

【學(xué)生】f，g表示的是不同的對應(yīng)關(guān)系，因此這兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，不能看成同一個(gè)函數(shù).

【教師】y=f(x)可以簡記為f(x)，那么f(x)與f(a)的意義相同嗎？

【學(xué)生】f(x)表示y是x的函數(shù)，這里x是自變量，y是因變量，f是對應(yīng)關(guān)系；f(a)既可以表示自變量為a、對應(yīng)關(guān)系為f的函數(shù)，也可以表示自變量為a時(shí)的函數(shù)值.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)抽象符號是其區(qū)別于其他學(xué)科的本質(zhì)特征，學(xué)生對數(shù)學(xué)符號含義的理解程度，決定著他們理解數(shù)學(xué)概念的深度、廣度、靈敏度.以環(huán)環(huán)相扣的問題落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生把握函數(shù)概念的本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生對函數(shù)概念更深入的思考，這在一定程度上鍛煉了學(xué)生的抽象思維，完善了學(xué)生的知識脈絡(luò).

二、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)下的概念課教學(xué)策略探析

(一)概念教學(xué)以“先行組織者”為切入口

在概念教學(xué)中，教師要輔以必要的引導(dǎo)性材料，即先行組織者，使學(xué)生建立起新概念與已有的知識結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，從而使新概念順利融入知識結(jié)構(gòu)中.

在函數(shù)概念的教學(xué)中，學(xué)生對本文開頭提出的問題存在爭議，意識到初中所學(xué)的函數(shù)概念并不完善.基于此，教師創(chuàng)設(shè)情境，在問題中完成從“變量關(guān)系語言”到“集合-對應(yīng)語言”刻畫函數(shù)的過渡，從而抽象出函數(shù)的概念.先行組織者的設(shè)置，不僅使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對概念的再認(rèn)識，進(jìn)而在更高的層次上思考問題，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象能力的提高，還能使學(xué)生實(shí)現(xiàn)概念的遷移，進(jìn)而形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu).

(二)實(shí)現(xiàn)由“教教科書”到“用教科書教”的轉(zhuǎn)變

教科書不是唯一的“范本”，在實(shí)際教學(xué)中，教師要對教材進(jìn)行豐富的設(shè)計(jì)，創(chuàng)設(shè)合適的情境，設(shè)置合適的問題，使學(xué)生循序漸進(jìn)地從形象化的情境中抽象出概念.

教科書對于函數(shù)概念的教學(xué)提供了素材，這些素材能充分體現(xiàn)函數(shù)的本質(zhì).若教師能對素材進(jìn)行精細(xì)的加工，并在關(guān)鍵步驟設(shè)置合理的問題引導(dǎo)學(xué)生思考，則學(xué)生能夠循序漸進(jìn)地從具體的情境、圖象、表格中抽象出函數(shù)的概念.高中數(shù)學(xué)概念相對抽象，教師要合理地使用教科書創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置循循善誘的問題，把抽象的概念具體化，落實(shí)學(xué)生抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

(三)合理應(yīng)用多元表征教學(xué)，降低認(rèn)知負(fù)荷

與單一表征的教學(xué)相比，應(yīng)用多元表征對概念進(jìn)行教學(xué)能引導(dǎo)學(xué)生對概念進(jìn)行更為精細(xì)的認(rèn)知加工，從而促進(jìn)學(xué)生對概念的有效內(nèi)化.

在函數(shù)概念的教學(xué)中，除了抽象的符號表征，教師還要對函數(shù)賦予情境、圖象、表格等多種外在表征，使學(xué)生在各種表征中提取函數(shù)的要素，抽象出函數(shù)的概念.概念的多元化使學(xué)生理解表征的轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)譯，并能從豐富的具象中抽象出數(shù)學(xué)符號，提升數(shù)學(xué)理解水平，對概念的學(xué)習(xí)產(chǎn)生更濃厚的興趣，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，從而有效降低認(rèn)知負(fù)荷.

(四)結(jié)合信息技術(shù)輔助概念教學(xué)

信息技術(shù)為展現(xiàn)情境、動畫、表格、圖象等提供了最直觀的手段，概念的呈現(xiàn)往往需要借助信息技術(shù)來完成.

在函數(shù)概念的教學(xué)中，教師可以利用信息技術(shù)展現(xiàn)表示函數(shù)的不同方法，如表格、情境、圖象等，也可以利用信息技術(shù)動態(tài)展示函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生對函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞“任意”“對應(yīng)”“唯一確定”有更直觀的理解.通過視覺性的沖擊，學(xué)生能經(jīng)歷由具象到抽象的過程，從而更好地提升抽象素養(yǎng).

三、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)概念更具抽象性和復(fù)雜性，學(xué)生又面臨學(xué)業(yè)的壓力，但教師不能以這些客觀存在的原因?yàn)橛?，不重視或輕視概念教學(xué).概念是理解數(shù)學(xué)知識的基石，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一環(huán).因此，為了學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展和深度學(xué)習(xí)，教師要通過創(chuàng)設(shè)多元的情境，設(shè)置合理的問題，輔以必要的信息手段等，構(gòu)建起概念的抽象及具象間的橋梁，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，把握概念的本質(zhì)，提升自身的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).