矩陣方程有解判別

◎祁明遠(yuǎn) 李俊澳 糜涵 魏聰龍 魏俊潮

(1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002；2.揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002)

2021年度揚(yáng)州大學(xué)科創(chuàng)基金“同解矩陣方程組對廣義逆矩陣的刻畫”(項(xiàng)目編號：X20210240)

一、引言

在線性代數(shù)的教與學(xué)中，矩陣的初等變換可以作為這門課的主線，這里有兩個原因，首先，無論是求可逆矩陣的逆矩陣、矩陣的秩、向量組的秩與極大無關(guān)組，還是求線性方程組的解、矩陣的特征值和特征向量以及用正交變換等方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型等都與矩陣的初等變換息息相關(guān)，這也說明矩陣的初等變換在教學(xué)中具有舉足輕重的地位；其次，矩陣初等變換的有關(guān)知識點(diǎn)具有易于理解、難度不大、容易上手的特點(diǎn)，能夠激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，老師在授課時也相對輕松，容易講清楚.因此，學(xué)好了矩陣的初等變換基本就能學(xué)好線性代數(shù)，進(jìn)而能夠掌握線性代數(shù)的基本知識與相關(guān)應(yīng)用.

本文中的所有矩陣都是實(shí)矩陣，這也是線性代數(shù)的教學(xué)基于實(shí)數(shù)域的原因.近年來利用矩陣方程的解的表示形式來研究矩陣廣義逆的性質(zhì)是矩陣?yán)碚撗芯恐械囊环N新形式，如文獻(xiàn)[1]建立了EP矩陣與方程的解之間的等價關(guān)系；文獻(xiàn)[2]研究了群可逆矩陣與矩陣方程的解的相互聯(lián)系；文獻(xiàn)[3]探究了EP矩陣與相關(guān)矩陣方程在給定集合中有解之間的等價刻畫;除此還有更加系統(tǒng)的研究.受這些研究的影響，本文通過對線性代數(shù)中最為基本的矩陣初等變換的研究，探究矩陣的相關(guān)性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)，去探討線性方程組有解的等價刻畫，從而給出線性方程組在有解時其一般解的顯式表示.

二、主要結(jié)果

注2對于引理1中m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q的求法，可以利用矩陣的初等變換加以求解，其中對矩陣A進(jìn)行初等行變換，相當(dāng)于對矩陣A左乘m階初等矩陣；對矩陣A進(jìn)行初等列變換，相當(dāng)于對矩陣A右乘n階初等矩陣，具體如下：

引理1引出了下面的幾個命題.

命題3設(shè)A是m×n矩陣，則存在n×m矩陣B，使得A=ABA且r(B)=r(A).

則有r(B)=r=r(A)，并且

推論4設(shè)A是m×n矩陣，則存在n×m矩陣C，使得A=ACA,C=CAC且r(C)=r(A).

證明：由命題3可知，存在n×m矩陣B，使得A=ABA且r(B)=r(A).不妨選取C=BAB，則有ACA=A(BAB)A=(ABA)BA=ABA=A,

CAC=(BAB)A(BAB)=B(ABA)BAB=BABAB=BAB=C.

注意到r(C)=r(BAB)≤r(B)=r(A)=r(ACA)≤r(C)，因此有r(C)=r(A).

推論5設(shè)A是m×n矩陣，則存在m階冪等矩陣F及n階冪等矩陣G，使得A=FAG且r(F)=r(A)=r(G).

證明：由推論4可知存在n×m矩陣C，使得A=ACA,C=CAC且r(C)=r(A)，因此有

A=ACA=A(CAC)A=(AC)A(CA).不妨選取F=AC,G=CA，則我們有

A=(AC)A(CA)=FAG，

F2=(AC)(AC)=(ACA)C=AC=F，則F為m階冪等矩陣，

G2=(CA)(CA)=C(ACA)=CA=G，則G為n階冪等矩陣.

又由于r(F)=r(AC)≤r(A)=r(ACA)=r(FA)≤r(F)，所以r(F)=r(A).

同理可證r(G)=r(A)，從而我們有r(F)=r(A)=r(G).

命題6設(shè)A是m×n矩陣，β是m維列向量，則線性方程組AX=β有解當(dāng)且僅當(dāng)存在n×m矩陣B，使得β=ABβ.

證明：“?”假設(shè)線性方程組AX=β有解，不妨設(shè)X=X0是其一個解，則有AX0=β.

由命題3可知存在n×m矩陣B，使得A=ABA且r(B)=r(A).于是我們有

ABβ=AB(AX0)=(ABA)X0=AX0=β.

“?”假設(shè)存在n×m矩陣B，使得β=ABβ，則X=Bβ為AX=β的一個解.

從而線性方程組AX=β有解.

命題7設(shè)A是m×n矩陣，β是m維列向量，則線性方程組AX=β有解當(dāng)且僅當(dāng)存在m階冪等矩陣F，使得A=FA，β=Fβ且r(F)=r(A).

證明：“?”假設(shè)線性方程組AX=β有解，不妨設(shè)X=X0是其一個解，則有AX0=β.

由推論5可知存在m階冪等矩陣F，使得A=FA且r(F)=r(A).于是我們有

Fβ=F(AX0)=(FA)X0=AX0=β.

“?”假設(shè)存在m階冪等矩陣F，使得A=FA，β=Fβ且r(F)=r(A).則

推論8設(shè)A是m×n矩陣，β是m維列向量，則線性方程組ATAX=ATβ一定有解.

證明：由推論5可知，存在n階冪等矩陣G，使得A=AG且r(A)=r(G).從而我們有

ATA=GT(ATA)，ATβ=(GTAT)β=GT(ATβ).

注意到r(GT)=r(G)=r(A)=r(ATA)且GT是冪等矩陣，因此由命題7可知線性方程組ATAX=ATβ一定有解.

推論9設(shè)A是n階矩陣，則存在n階矩陣C，使得AT=ATAC.

證明：分別取β=βj，其中βj是第j個分量為1，其余分量為0的n維列向量，j=1,2，…,n.

由推論8可知分別存在n維列向量αj，使得ATAαj=ATβj，j=1,2，…,n.

從而我們有AT=ATAC.

推論10設(shè)A是n階矩陣，則存在n階矩陣D，使得A=DATA.

證明：該推論其實(shí)是推論9的直接結(jié)果，由推論9可知，存在n階矩陣C，使得AT=ATAC，兩邊同時取轉(zhuǎn)置，可得A=CTATA，不妨選取D=CT，從而可得A=DATA.

命題11設(shè)A是n階對稱矩陣，則存在n階矩陣W，使得A=A2W,AW=WA,W=W2A.

證明：由于A是n階對稱矩陣，從而有AT=A，因此由推論9與推論10可知存在n階矩陣C和n階矩陣D，使得A=AT=ATAC=A2C，A=DATA=DA2，即A=A2C=DA2，于是我們有

AC=(DA2)C=D(A2C)=DA，

ACA=DA2=A，

ADA=A2C=A.

不妨取W=DAC，則可得

AW=A(DAC)=(ADA)C=AC=DA=D(ACA)=(DAC)A=WA，

A2W=A(AW)=A(WA)=A(DAC)A=(ADA)CA=ACA=A，

W2A=W(WA)=W(AW)=W(ADAC)=WAC=(DAC)AC=DAC=W.

命題12設(shè)A是m×n矩陣，β是m維列向量，若線性方程組AX=β有解X=η，則AX=β的一般解由下式給出：

(1)X=η+δ-BAδ，其中δ為任意的n維列向量，B為n階矩陣且滿足A=ABA.

證明：由于A(η+δ-BAδ)=Aη+Aδ-ABAδ=β+Aδ-Aδ=β，因此公式(1)是線性方程組AX=β的解.

現(xiàn)設(shè)X=X0是AX=β的任意一個解，則AX0=β.不妨選取δ=X0-η，則有

BAδ=BA(X0-η)=BAX0-BAη=Bβ-Bβ=0，

因此X0=η+(X0-η)-BAδ=η+δ-BAδ，這說明AX=β的任意一個解都具有公式(1)的形式，因此AX=β的一般解由公式(1)給出.

三、結(jié)語

本文借助于矩陣分解理論，通過對線性代數(shù)中最為基本的矩陣的初等變換的研究，得到了矩陣的相關(guān)性質(zhì)，探討了矩陣方程組AX=β的一般解的顯式表示，這是研究矩陣方程相容性的形之有效的方法.