更新教學(xué)素材，開展課程思政，提高高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率

◎周子健 海 昕

(國防科技大學(xué)文理學(xué)院，湖南 長沙 410072)

高等數(shù)學(xué)作為我國高校理工類各專業(yè)的公共基礎(chǔ)課，通常被安排為新生開學(xué)的第一門課，它不僅承載著夯實(shí)學(xué)生后期專業(yè)理論研究和實(shí)驗(yàn)研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重任，而且在學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新精神培育、邏輯思維能力提升方面發(fā)揮著獨(dú)特作用.

作為高等數(shù)學(xué)主要內(nèi)容的微積分，在傳統(tǒng)教學(xué)中其應(yīng)用大多由求解物體運(yùn)動速度與加速度、計算平面圖形面積、計算三維物體體積以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中收益函數(shù)求最值等問題構(gòu)成.如今人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)、高性能計算等熱點(diǎn)技術(shù)應(yīng)用于社會發(fā)展各個領(lǐng)域.微積分其求解任意連續(xù)問題的“分割、求近似、求和、取極限”的思想被越來越多的學(xué)者借鑒，用以深入研究各類日益復(fù)雜的系統(tǒng).將高等數(shù)學(xué)推動熱點(diǎn)技術(shù)發(fā)展的實(shí)例作為教學(xué)素材，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)有所用的興趣、服務(wù)社會的意識，也是教師落實(shí)習(xí)近平總書記“希望廣大教師不忘立德樹人初心，牢記為黨育人，為國育才使命”指示，將課程思政融入教學(xué)的高度體現(xiàn).我們根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)在高等數(shù)學(xué)的日常教學(xué)中將新興技術(shù)應(yīng)用及課程思政融入課堂，已取得了一定成效.

一、高等數(shù)學(xué)課程學(xué)情分析

隨著技術(shù)進(jìn)步和時代發(fā)展，高等數(shù)學(xué)課程也同其他專業(yè)課程一樣，采用了線上線下混合教學(xué)的教學(xué)模式.同時隨著教學(xué)理念的不斷革新，也促使著教師們轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為中心，并根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)設(shè)計教學(xué)內(nèi)容、革新教學(xué)方式.

(一)學(xué)生思想活躍，獲取信息渠道廣，對傳統(tǒng)教材內(nèi)容興趣較低

高等數(shù)學(xué)授課對象為剛進(jìn)入大一的新生，千禧年之后出生的他們思想活躍、接觸面廣，往往較早就接觸到了智能設(shè)備，如手機(jī)、平板、無人機(jī)等.這使得學(xué)生對新興技術(shù)抱有極大興趣，如基于微分方程的自動駕駛控制策略、基于微分思想的短視頻分享平臺下自動推薦視頻算法、基于高性能計算的天氣預(yù)報和基于曲率計算的高鐵限速標(biāo)定等.同時，學(xué)生對熱點(diǎn)技術(shù)背后的數(shù)學(xué)原理了解不多，渴望通過學(xué)習(xí)尋求解答.

現(xiàn)有的高等數(shù)學(xué)課程，雖然已經(jīng)開始引入小班教學(xué)，采用線上線下混合教學(xué)的模式，但是教學(xué)內(nèi)容的許多素材往往相對老舊，與現(xiàn)代社會發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用需求有較大差距；部分例子較為抽象，難以理解，不能聯(lián)系日常生活，較難在日常課程教學(xué)中引起學(xué)生的共鳴，激發(fā)學(xué)生的求知欲望.

(二)線上教學(xué)平臺利用不充分

隨著疫情的不斷反復(fù)，線上平臺基于其便利性被應(yīng)用于日常各個學(xué)科的教學(xué)中.但大部分線上教學(xué)僅僅是基于線上平臺發(fā)布教學(xué)任務(wù)、共享教學(xué)資料、授課、測評，并未充分利用線上日新月異的教學(xué)資源.而線上資源雖浩瀚無垠，但缺乏條理，較為雜亂，內(nèi)容也良莠不齊，真實(shí)性和準(zhǔn)確性難以辨別.故學(xué)生即使想利用線上資源學(xué)好高等數(shù)學(xué)，也會因?yàn)槿狈Ω咝У臋z索手段和強(qiáng)大的辨別能力，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率不高.部分優(yōu)質(zhì)平臺和資源學(xué)生甚至不知其存在，合理利用更無從談起.

此外，現(xiàn)有的線上平臺以教師發(fā)布教學(xué)任務(wù)，學(xué)生跟進(jìn)進(jìn)行學(xué)習(xí)為主，并沒有利用線上平臺可以相互交流的特性，學(xué)生偏向于打卡式學(xué)習(xí)，難以達(dá)到較好的學(xué)習(xí)效果.線上平臺缺乏互助討論的專區(qū)，學(xué)生們無法通過在線提問、交流系統(tǒng)地梳理所學(xué)內(nèi)容，也缺少教師的加入來確保討論結(jié)果的正確性.

(三)應(yīng)試教育導(dǎo)致學(xué)生習(xí)慣于被動式學(xué)習(xí)，自主學(xué)習(xí)能力不足

中學(xué)階段大多采用以考試成績?yōu)橹鞯慕Y(jié)果性導(dǎo)向評價體系，忽略了對學(xué)生能力的培養(yǎng).學(xué)生在這樣的評價方式下，習(xí)慣于死記硬背的被動式學(xué)習(xí)，自主學(xué)習(xí)的能力沒有得到充分鍛煉，缺乏獨(dú)立查閱資料、集體討論、嚴(yán)謹(jǐn)研究的能力.教師上課也以灌輸式教學(xué)為主，學(xué)生在教學(xué)過程中只能按照教師預(yù)先設(shè)計的思維方式去思考，導(dǎo)致學(xué)生自主學(xué)習(xí)的動力不足，思維方式容易單一化，缺乏創(chuàng)新性.

進(jìn)入大學(xué)階段，高等數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)較多、課時緊張，其學(xué)習(xí)注重思維的訓(xùn)練，需要學(xué)生有很強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力，成為學(xué)習(xí)的主導(dǎo)者.而沿用中學(xué)階段學(xué)習(xí)模式的新生，由于內(nèi)驅(qū)力不足，缺乏自主學(xué)習(xí)的動力，就會較難跟上學(xué)習(xí)進(jìn)度.

二、熱點(diǎn)技術(shù)背后的高等數(shù)學(xué)

傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)教材和配套習(xí)題中，較少涉及新興技術(shù)領(lǐng)域背后的高等數(shù)學(xué)知識，也并未說明高等數(shù)學(xué)是如何服務(wù)應(yīng)用于現(xiàn)在被廣泛使用的軟硬件中的，如自動駕駛和微分方程的聯(lián)系、機(jī)器學(xué)習(xí)與微分思想的聯(lián)系、天氣預(yù)報與高性能計算和偏微分方程的聯(lián)系、高鐵速度和曲率等.下面我們以這四個方面為例，探討高等數(shù)學(xué)在熱點(diǎn)技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用.

(一)自動駕駛與微分方程

微分方程作為高等數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容，其公式推導(dǎo)較為復(fù)雜，計算難度大.在教學(xué)過程中，學(xué)生易產(chǎn)生畏難情緒，從而掌握不好該知識點(diǎn).在學(xué)習(xí)微分方程時，教師可以向?qū)W生提出這樣的問題：“現(xiàn)在汽車進(jìn)入了電動化時代，而電動汽車區(qū)別于汽油車的一大特點(diǎn)就是具有自動駕駛的潛能.而自動駕駛領(lǐng)域的控制策略就包含了比例積分微分控制，簡稱PID控制，其控制輸出信號可以寫成如下函數(shù)：

其中Kp,Ti,Td為可調(diào)參數(shù)，e(t)為t時刻的偏差度量.那么PID控制器是如何控制汽車的呢？”

學(xué)生通過研究上述函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)輸出信號函數(shù)u的形式，PID控制可以在知曉汽車位置、速度、角度偏差的情況下，自動完成汽車車輛的控制.學(xué)生在對這一部分內(nèi)容產(chǎn)生興趣之后，回憶平時乘坐汽車的情形，會思考在特殊的自動駕駛場景(路況特殊情形、道路有橫風(fēng)情形)下PID是如何給出最優(yōu)控制策略的.這也是微分方程的求解和積分計算問題.最終，學(xué)生通過挖掘、解決自動駕駛背后的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，也提升了自主學(xué)習(xí)能力.

隨著無人機(jī)進(jìn)入消費(fèi)領(lǐng)域，無人機(jī)開始被廣泛應(yīng)用于燈光秀表演、小型貨物運(yùn)送、地形地貌勘探、廣告投放和信息發(fā)布等事宜中.除此之外，現(xiàn)在越來越多的學(xué)生也都購置了無人機(jī)用于攝影取景、短視頻拍攝等.教師可以以此引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的問題：“無人機(jī)在空中是如何保持姿態(tài)并且實(shí)現(xiàn)自動返航的呢？”另外，在國家重大節(jié)假日和城市文化慶典活動中，都會使用無人機(jī)群進(jìn)行燈光演出.老師進(jìn)一步提出問題：“如何控制大量的無人機(jī)進(jìn)行懸停、控制變換姿態(tài)以展示不同的動畫效果呢？”

學(xué)生通過查閱相關(guān)資料可以發(fā)現(xiàn)，無人機(jī)姿態(tài)控制可以由姿態(tài)微分方程刻畫，這是通過求解由歐拉角變化率為未知量的歐拉運(yùn)動方程得到的.而無人機(jī)群的控制也能通過求解微分方程來實(shí)現(xiàn).查閱資料、挖掘無人機(jī)背后控制機(jī)理的過程，將開闊學(xué)生的視野，提升其科學(xué)研究能力.

微積分相關(guān)內(nèi)容在熱點(diǎn)科技的應(yīng)用，既是高等數(shù)學(xué)在新時代技術(shù)中的體現(xiàn)，也是課程思政的一種載體.隨著汽車電動化浪潮的到來，教師可以向?qū)W生介紹高等數(shù)學(xué)是如何服務(wù)于自動駕駛技術(shù)的和我國自主品牌在自動駕駛領(lǐng)域取得的成就，并向?qū)W生分享國內(nèi)造車新勢力突破國外自動駕駛巨頭公司專利壁壘，自主構(gòu)建自動駕駛技術(shù)路線的故事.同時，可以介紹國內(nèi)無人機(jī)獨(dú)角獸公司通過技術(shù)創(chuàng)新，被稱為我國無人機(jī)發(fā)展強(qiáng)勁助推器的故事，以此增強(qiáng)學(xué)生的民族自信心.

(二)機(jī)器學(xué)習(xí)與微分思想

函數(shù)的微分是不定積分和定積分的重要基礎(chǔ)，也是高等數(shù)學(xué)的重要概念之一，學(xué)生在學(xué)習(xí)時往往對于背后的微分思想——函數(shù)在局部是否可以用線性函數(shù)進(jìn)行逼近掌握得不夠深刻.在學(xué)習(xí)多變元微分時，教師可以提出如下問題：“谷歌旗下公司發(fā)布的阿爾法圍棋(AlphaGo)利用機(jī)器學(xué)習(xí)算法，自學(xué)圍棋，并接連擊敗了人類中頂尖的棋手，其中包括世界排名第一的我國棋手柯潔.而機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)本身應(yīng)用了高等數(shù)學(xué)的微分思想，那該思想是如何服務(wù)于機(jī)器學(xué)習(xí)的呢？”

學(xué)生通過檢索資料可以發(fā)現(xiàn)，機(jī)器學(xué)習(xí)的核心思想是在一定約束條件下求一個多元函數(shù)的最值.其利用了高等數(shù)學(xué)中函數(shù)可微的性質(zhì)，可以用如下式子來刻畫.

f(x+ε)=f(x)+(?f(x),ε)+||o(ε)||.

機(jī)器學(xué)習(xí)求解最值的過程是從某個點(diǎn)的函數(shù)值出發(fā)，通過多次微小的改變進(jìn)行最佳的優(yōu)化或線性逼近.而這里微小的改變則指的是自變量增量ε.對于機(jī)器學(xué)習(xí)算法中考慮的函數(shù)f(x)，通過微小改變獲得最佳線性逼近的方向無疑是當(dāng)前點(diǎn)方向?qū)?shù).這一思想的應(yīng)用將加深學(xué)生對多變元函數(shù)微分和方向?qū)?shù)的理解，拓寬其思維，增加其探索新知識、解決實(shí)際問題的動力.

此外，教師可以在課程中引導(dǎo)學(xué)生作出如下思考：“大家都有在網(wǎng)上購物的經(jīng)歷.在購物平臺搜索商品時，我們發(fā)現(xiàn)位于搜索頁面前幾的商品大都符合我們的預(yù)期，那么購物平臺是如何對不同個體有針對性地推送商品，而且商品的種類、價格、性能又能滿足這些個體的需求呢？”

學(xué)生通過檢索后可以發(fā)現(xiàn)，購物平臺會基于機(jī)器學(xué)習(xí)分析消費(fèi)者以往的消費(fèi)數(shù)據(jù)，基于消費(fèi)水平和商品喜好對人群進(jìn)行分類.通過比對消費(fèi)水平和商品喜好相似消費(fèi)者的已購商品，對搜索結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化排序并呈現(xiàn)給搜索者，并針對搜索者的點(diǎn)擊反饋進(jìn)行再次優(yōu)化迭代.學(xué)生在了解日常購物中平臺商品搜索排序機(jī)理的同時，也能激發(fā)其探索機(jī)器學(xué)習(xí)背后微分方程求解機(jī)理的興趣.

基于我國經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，教師可以向?qū)W生介紹我國風(fēng)靡世界的新四大發(fā)明，即高鐵、網(wǎng)購、移動支付和共享單車.新四大發(fā)明是中國科技創(chuàng)新的集中體現(xiàn)，極大地改變了人們的生活方式，也令外國友人對中國便利的日常生活羨慕不已.隨著線上支付線上購物走入千家萬戶，教師可以向?qū)W生介紹我國在商品推薦、移動支付中取得的成就，以此堅定學(xué)生為國家發(fā)展奮斗的決心.

(三)天氣預(yù)報與高性能計算、偏微分方程

近年來，隨著地球溫度的上升，極端天氣出現(xiàn)的概率大幅增加.因此，天氣預(yù)報在人們?nèi)粘９ぷ魃钪邪缪葜絹碓街匾慕巧?而學(xué)生在日常生活中發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在手機(jī)上的天氣預(yù)報已經(jīng)精確到以小時為單位，而且24小時內(nèi)晴雨預(yù)報準(zhǔn)確率高達(dá)88%.

教師在講授完常微分方程以及偏導(dǎo)數(shù)之后，可以向?qū)W生介紹如下的方程形式：

設(shè)u=u(x,y,z)為二階可微函數(shù)，則下列方程

uxx+uyy+uzz=0

該方程稱為拉普拉斯方程.

通過引導(dǎo)學(xué)生將該方程與常微分方程進(jìn)行對比，教師可以引出偏微分方程的概念，并介紹偏微分方程的幾個應(yīng)用場景.如手機(jī)上每日推送的天氣預(yù)報，氣象局會觀測海上或者遠(yuǎn)處上空的氣團(tuán)，通過求解關(guān)于氣團(tuán)加速度和邊界條件的偏微分方程來預(yù)測氣團(tuán)到達(dá)城市上空的時間以及強(qiáng)度，再結(jié)合當(dāng)?shù)氐臍庀髷?shù)據(jù)分析預(yù)測天氣.學(xué)生對天氣預(yù)報背后方程組求解問題的研究，不僅能回答自己日常生活遇到的問題，還能拓寬知識的廣度，為后續(xù)課程學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

此外，教師還可以介紹高性能計算機(jī)助力提高天氣預(yù)報準(zhǔn)確率的例子.如2021年7月，首奪世界第一的我國天河E級超級計算機(jī)利用數(shù)值計算高效求解了偏微分方程組，極大地提升了天氣預(yù)報的效率和準(zhǔn)確度.這對國家提供極端天氣預(yù)警來避免人員傷亡和財產(chǎn)損失有著重大意義.學(xué)生也能從中感受我國在高性能計算這一領(lǐng)域的非凡成就，砥礪自身家國情懷.

(四)高鐵速度與曲率

學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-曲率這一部分內(nèi)容時，曲率的公式推導(dǎo)相對較為抽象，而且公式不易記憶，學(xué)生對這一部分知識理解往往不夠深刻.老師在上課時可以提出如下問題：“高鐵憑借其方便、舒適、快捷、準(zhǔn)點(diǎn)的特點(diǎn)，已經(jīng)成為當(dāng)今社會出行必備選擇之一.高鐵設(shè)計時速最高可達(dá)380 km/h，那么在行進(jìn)到彎道、橫風(fēng)區(qū)域時，如何保證列車的安全平穩(wěn)行駛是科研人員必須要考慮的問題.在高鐵行駛過程中，有時即使在不經(jīng)過站點(diǎn)的情況下，高鐵的速度也會變化，在部分路段還會減速行駛，這背后有什么數(shù)學(xué)原理呢？具體來看，設(shè)計時速為380 km/h的路段需要考慮哪些相應(yīng)的指標(biāo)？”

此外，教師可以向?qū)W生介紹我國高鐵的發(fā)展歷程、先進(jìn)的高鐵技術(shù)和便捷的鐵路線上購票平臺.其中高鐵研發(fā)通過自主創(chuàng)新，在技術(shù)路線上實(shí)現(xiàn)了從全面模仿到領(lǐng)跑全球的驕人成績.而鐵路線上購票平臺通過與具有自主知識產(chǎn)權(quán)的阿里云計算平臺合作，在各大節(jié)假日購票高峰期多次經(jīng)受住了考驗(yàn).學(xué)生可以從中感受我國在相關(guān)技術(shù)領(lǐng)域的進(jìn)步和積淀，激發(fā)其為國家奮斗的決心.

三、高等數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐效果

通過在課堂中逐步引入高等數(shù)學(xué)在熱點(diǎn)技術(shù)中的應(yīng)用典例，并將課程思政融入課堂教學(xué)，筆者主講教學(xué)班的2020級自動化專業(yè)學(xué)生一學(xué)年來的學(xué)習(xí)效果較之前有了明顯改善，具體數(shù)據(jù)如下圖所示：

圖1

從學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情度來看，經(jīng)過一年的課堂實(shí)踐，學(xué)生積極參與、愿意參與、消極參與的人數(shù)從21人、35人、15人轉(zhuǎn)變?yōu)?4人、31人、6人，變化明顯.更多的學(xué)生積極地在課堂和線上學(xué)習(xí)平臺提問、討論交流，針對教科書上的定理證明和習(xí)題解法提出更多、更新的思路.積極查閱知識點(diǎn)相關(guān)資料，討論高等數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域如無人機(jī)姿態(tài)保持、飛行路徑選取、汽車導(dǎo)航優(yōu)化等方面的應(yīng)用.

圖2

從學(xué)生的德育效果來看，將課程思政融入課堂教學(xué)，學(xué)生反饋非常有效、有效和無效的比例分別為63.4%、29.6%和7%.學(xué)生開始關(guān)注國家在新興技術(shù)領(lǐng)域(如區(qū)塊鏈應(yīng)用、基于大數(shù)據(jù)的消費(fèi)行為分析等)上取得的成就，愿意未來投身相關(guān)行業(yè)并為國家在該領(lǐng)域的發(fā)展奉獻(xiàn)力量.因此，在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引入熱點(diǎn)技術(shù)的應(yīng)用典例并融入課程思政元素，能極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升其自主學(xué)習(xí)能力，也起到了很好的教學(xué)德育效果.

總之，根據(jù)新時代學(xué)生信息獲取渠道廣泛、緊跟熱點(diǎn)的這一特點(diǎn)，有針對性地講解新興熱點(diǎn)技術(shù)領(lǐng)域背后的高等數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生思考其中的數(shù)學(xué)問題,不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維和獨(dú)立思考能力，還能將課程思政融入教學(xué)中，通過講解高等數(shù)學(xué)是如何服務(wù)技術(shù)進(jìn)步、國家發(fā)展的，幫助學(xué)生樹立正確價值觀，培養(yǎng)濃厚家國情懷，鼓舞學(xué)生為國家而奮斗終生.