一致性視角下數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)軌跡初探

摘要 《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的核心關(guān)鍵詞之一是一致性。數(shù)學(xué)教師要在一致性的視角下重新審視知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過(guò)程。數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的一致性可以從跨領(lǐng)域、領(lǐng)域內(nèi)、單元內(nèi)三個(gè)不同維度進(jìn)行分析。一致性基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)內(nèi)容指向一致性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程：不同領(lǐng)域知識(shí)學(xué)習(xí)采用大概念統(tǒng)領(lǐng)整合的方式；領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)學(xué)習(xí)采用問(wèn)題串引領(lǐng)遞進(jìn)的方式；單元內(nèi)知識(shí)學(xué)習(xí)采用結(jié)構(gòu)化學(xué)材貫通化歸的方式。

關(guān)? 鍵? 詞 《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》 一致性視角 知識(shí)內(nèi)容 大概念問(wèn)題串結(jié)構(gòu)化學(xué)材

引用格式 孫謙.一致性視角下數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)軌跡初探[J].教學(xué)與管理，2022（35）：34-37.

《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱 《標(biāo)準(zhǔn)》）中，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和目標(biāo)的描述強(qiáng)調(diào)整體性和一致性。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容指向同一個(gè)目標(biāo)——以“三會(huì)”（會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界）統(tǒng)領(lǐng)，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)讓學(xué)生獲得基于知識(shí)內(nèi)容學(xué)習(xí)的“四基”（基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）、基于問(wèn)題解決的“四能”（發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力、提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力），并在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。在總目標(biāo)統(tǒng)領(lǐng)下的學(xué)段目標(biāo)是總目標(biāo)在各個(gè)學(xué)段的具體體現(xiàn)，是依據(jù)不同學(xué)段學(xué)生的發(fā)展特征，將總目標(biāo)進(jìn)行分解而產(chǎn)生的。這種分解是“三會(huì)” “四基”和“四能”的具體化，基于不同學(xué)段的內(nèi)容要求，融入核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，詳細(xì)描述了每個(gè)學(xué)段達(dá)到的不同層次、不同水平的要求，為具體學(xué)習(xí)內(nèi)容的設(shè)置和選擇、教學(xué)活動(dòng)的組織和開(kāi)展、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的設(shè)計(jì)和實(shí)施，提供具體、可操作的標(biāo)準(zhǔn)。課程目標(biāo)的一致性決定了課程實(shí)施過(guò)程中，教師必須具備一致性視角——一致性視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就要把數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都看作具有內(nèi)在一致性的整體結(jié)構(gòu)。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的內(nèi)在一致性

1.不同領(lǐng)域知識(shí)之間的一致性

義務(wù)教育階段的小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分為 “數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與實(shí)踐”四個(gè)領(lǐng)域，不同領(lǐng)域之間包含的具體內(nèi)容雖不相同，但都指向培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的共同目標(biāo)。目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)以知識(shí)內(nèi)容為載體，所以每個(gè)領(lǐng)域知識(shí)內(nèi)容的組織和安排也存在著一致性。當(dāng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，主要圍繞知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決和情感態(tài)度四個(gè)核心元素進(jìn)行闡述。知識(shí)技能主要包括數(shù)學(xué)概念性知識(shí)和數(shù)學(xué)方法性知識(shí)。數(shù)學(xué)思考主要圍繞數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)分析觀念和推理能力等若干核心素養(yǎng)展開(kāi)闡述[1]。問(wèn)題解決主要強(qiáng)調(diào)解決問(wèn)題的步驟——數(shù)學(xué)表達(dá)、應(yīng)用解釋和評(píng)估。而情感態(tài)度則沒(méi)有固定的程式過(guò)程，它彌散在學(xué)習(xí)過(guò)程的始終。結(jié)合不同版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材的對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)這些核心元素呈現(xiàn)如下關(guān)系（如圖１）：以問(wèn)題解決為核心和最終指向，關(guān)聯(lián)所需要的數(shù)學(xué)概念（數(shù)，代數(shù)，幾何，統(tǒng)計(jì)等）、數(shù)學(xué)技能（數(shù)和代數(shù)的計(jì)算、空間知覺(jué)和數(shù)據(jù)分析等）和數(shù)學(xué)思考（分類、對(duì)比和推理等規(guī)則），在學(xué)習(xí)的過(guò)程中始終伴隨著科學(xué)和理性精神（反思、批判等元認(rèn)知）的發(fā)展，并使情感、態(tài)度得到升華。

2.領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)之間的一致性

每個(gè)學(xué)段的學(xué)習(xí)內(nèi)容都涉及四個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，其中“綜合與實(shí)踐”與其他三個(gè)領(lǐng)域略有不同，主要體現(xiàn)為跨學(xué)科的綜合性，所以承載的知識(shí)點(diǎn)不明顯。其他三個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識(shí)都有明確的知識(shí)點(diǎn)分布，并采用螺旋上升的方式編排，多層次、循環(huán)式深入，后續(xù)學(xué)習(xí)都在先前基礎(chǔ)上進(jìn)行，某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的知識(shí)呈現(xiàn)都遵循相對(duì)統(tǒng)一的順序（如圖２）。首先，數(shù)學(xué)概念性知識(shí)是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本元素，是分析和解決問(wèn)題、發(fā)展抽象思維的基礎(chǔ)，包含概念內(nèi)涵和外延兩個(gè)方面的知識(shí)；接著，在此基礎(chǔ)上發(fā)展數(shù)學(xué)方法性知識(shí)，也就是將概念作為對(duì)象進(jìn)行各種操作，形成相關(guān)的規(guī)則知識(shí)和模型認(rèn)識(shí)等；最后，是對(duì)前面所學(xué)進(jìn)行綜合性應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)將概念、規(guī)則和模型作為工具和方法，在具體情境中應(yīng)用并解決問(wèn)題，包括本領(lǐng)域內(nèi)部知識(shí)的綜合應(yīng)用以及跨領(lǐng)域知識(shí)的綜合應(yīng)用。

3.單元內(nèi)知識(shí)點(diǎn)之間的一致性

一個(gè)單元聚焦一個(gè)主題，內(nèi)含諸多知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)的呈現(xiàn)也存在著一致性，主要體現(xiàn)在三個(gè)方面。

（1）情境主題的一致性。同一單元使用同一個(gè)主題情境貫穿一個(gè)單元的若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)，反映同一情境的多個(gè)方面。例如蘇教版《數(shù)學(xué)》二年級(jí)上冊(cè)“100以內(nèi)的加法和減法（三）”，所有的例題都呈現(xiàn)了兒童室內(nèi)手工活動(dòng)的場(chǎng)景（折紙船、做紙花和串珠）；五年級(jí)上冊(cè)小數(shù)加減法單元，所有的例題使用的都是生活中的購(gòu)物情境。

（2）工具支架的一致性。圍繞學(xué)習(xí)主題，使用較為統(tǒng)一的、適合兒童思維發(fā)展的數(shù)學(xué)支架。例如認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)的自然數(shù)時(shí)，使用計(jì)數(shù)器和可拼搭方塊工具直觀呈現(xiàn)數(shù)的組成和數(shù)位；4～9的乘法口訣，都用表格工具呈現(xiàn)某一個(gè)數(shù)乘1、2、3、4……的得數(shù)。

（3）步驟程序的一致性。小學(xué)數(shù)學(xué)中規(guī)律、規(guī)則的推導(dǎo)經(jīng)常采用不完全歸納法，具有類似的步驟與程序，同一單元內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)因其關(guān)聯(lián)緊密，所以更加注重程序的統(tǒng)一。例如，五年級(jí)上冊(cè)第一單元多邊形的面積中，平行四邊形、三角形和梯形的面積知識(shí)都是采用這樣的學(xué)習(xí)步驟：利用方格圖求特例圖形（直角三角形）的面積→剪拼操作求一般圖形（直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形）的面積→文字或符號(hào)歸納總結(jié)公式→應(yīng)用公式解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。

由以上分析可以看出，小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是有組織的整體知識(shí)，它是圍繞某個(gè)主題或者按照一定的關(guān)系組織起來(lái)的整塊知識(shí)。但是，有組織的知識(shí)內(nèi)容或結(jié)構(gòu)性要素并不能支撐起深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。因?yàn)槿绻麛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)只是學(xué)習(xí)知識(shí)本身，或讀寫(xiě)算等淺層次能力，那么獲得的都將是“靜態(tài)”的、 “惰性”的知識(shí)，不能靈活運(yùn)用于生活，更無(wú)法自主創(chuàng)新知識(shí)，適應(yīng)未來(lái)發(fā)展的需要。深度學(xué)習(xí)之“深”實(shí)為“知識(shí)運(yùn)用”，它依賴于個(gè)人與知識(shí)的交互過(guò)程，聚焦于如何將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用在新的學(xué)習(xí)環(huán)境或者情境解決問(wèn)題，也就是如何“遷移”[2]。在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中要讓學(xué)生在具身性、情境性和非結(jié)構(gòu)性的生活情境中，探索“如何做、如何運(yùn)用”的有效路徑，一方面，強(qiáng)化學(xué)科的結(jié)構(gòu)性，不斷彰顯知識(shí)背后的邏輯和意義價(jià)值；一方面消解知識(shí)的結(jié)構(gòu)性，增強(qiáng)知識(shí)的開(kāi)放性、具身性和默會(huì)性[3]。這種將知識(shí)結(jié)構(gòu)和知識(shí)運(yùn)用相互轉(zhuǎn)化，融合一致的學(xué)習(xí)過(guò)程才能將惰性的知識(shí)變成靈活的能力，發(fā)展個(gè)體綜合素養(yǎng)，體現(xiàn)學(xué)科育人價(jià)值。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的一致性實(shí)踐路徑

1.不同領(lǐng)域知識(shí)學(xué)習(xí)的一致性路徑：大概念統(tǒng)領(lǐng)整合學(xué)習(xí)

大概念是聯(lián)系整合概念基礎(chǔ)上再抽象提煉的概念，是“處于更高層次、居于中心地位和藏于更深層次，兼具認(rèn)識(shí)論、方法論和價(jià)值論三重意義，因而更能廣泛遷移的活性觀念”[4]。我們可以通過(guò)深度解讀教材，了解知識(shí)的前移后續(xù)、本質(zhì)內(nèi)涵，從中抽取出知識(shí)內(nèi)核，形成大概念；也可以從《標(biāo)準(zhǔn)》中提出的核心素養(yǎng)——數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、推理意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)等入手，從這些經(jīng)過(guò)抽象概括出的核心素養(yǎng)中提取大概念。大概念強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和精神上的一致性，是對(duì)核心素養(yǎng)的統(tǒng)攝與整合。例如抽象能力和推理能力中都強(qiáng)調(diào)了從現(xiàn)實(shí)世界出發(fā)，從已知的數(shù)量關(guān)系和事實(shí)入手，逐步脫離具體事物而轉(zhuǎn)向進(jìn)行思維的操作，這樣的過(guò)程其實(shí)是一種 “轉(zhuǎn)化”。由“轉(zhuǎn)化”這一大概念統(tǒng)領(lǐng)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中有關(guān)“數(shù)的運(yùn)算”（自然數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算）和“圖形與幾何”領(lǐng)域中有關(guān)“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”（多個(gè)平面圖形的面積計(jì)算）的學(xué)習(xí)，跨領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中都采用了轉(zhuǎn)化的思想方法。具體來(lái)說(shuō)，都是沿著未知轉(zhuǎn)化為已知、將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、將具象轉(zhuǎn)化為抽象的路徑展開(kāi)學(xué)習(xí)，通過(guò)有效的轉(zhuǎn)化路徑，解決新的問(wèn)題。而學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化過(guò)程中“變與不變”問(wèn)題的辯證思考，就是將新舊知識(shí)進(jìn)行對(duì)比、關(guān)聯(lián)、抽象和類推的過(guò)程，從中發(fā)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)涵的一致性，發(fā)展抽象、推理等高階思維。

2.領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)學(xué)習(xí)的一致性路徑：?jiǎn)栴}串引領(lǐng)遞進(jìn)學(xué)習(xí)

大概念具有的廣泛遷移性和適應(yīng)性，可以推動(dòng)學(xué)生站在更高的位置思考，但是對(duì)具體的某一領(lǐng)域的問(wèn)題，針對(duì)性較弱。在某一領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)的學(xué)習(xí)，必須基于知識(shí)內(nèi)在的緊密結(jié)構(gòu)，尋求思考方法、策略的統(tǒng)整，幫助學(xué)生形成某一領(lǐng)域的系統(tǒng)策略結(jié)構(gòu)。小學(xué)生的思維元認(rèn)知能力還處在發(fā)展初期，難以發(fā)現(xiàn)承載于知識(shí)背后的學(xué)習(xí)方法和策略，所以教師可以使用問(wèn)題串引領(lǐng)，幫助學(xué)生進(jìn)行有步驟、分層級(jí)遞進(jìn)式學(xué)習(xí)。提出的系列問(wèn)題除了適應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)，更重要的是關(guān)注思維的一般過(guò)程，使其具有在領(lǐng)域內(nèi)的強(qiáng)遷移功能，并利于學(xué)生多層次、多角度體驗(yàn)和觀察，促進(jìn)程序性、反思性和批判性思維的發(fā)生。例如“圖形與幾何”領(lǐng)域中有關(guān)圖形的認(rèn)識(shí)，可以設(shè)計(jì)以下的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展學(xué)習(xí)（見(jiàn)表1）。

蘇教版《數(shù)學(xué)》“綜合與實(shí)踐”中有一系列知識(shí)——“解決問(wèn)題的策略”，八個(gè)策略貫穿三至六年級(jí)，這一系列內(nèi)容可以進(jìn)行較為統(tǒng)一的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)（見(jiàn)表2）。

3.單元內(nèi)知識(shí)學(xué)習(xí)的一致性路徑：結(jié)構(gòu)化學(xué)材貫通化歸學(xué)習(xí)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的多個(gè)單元知識(shí)點(diǎn)，圍繞一個(gè)具體的主題展開(kāi)，結(jié)合不同年齡階段兒童學(xué)習(xí)認(rèn)知的特點(diǎn)，經(jīng)常會(huì)把一個(gè)主題分多次、小單元進(jìn)行學(xué)習(xí)，這就是所謂的“螺旋上升”式的教材編排方式。這樣的小單元知識(shí)點(diǎn)較少，知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性更強(qiáng)，前后銜接緊密，所以在學(xué)習(xí)中更要體現(xiàn)統(tǒng)整的思想，讓這些知識(shí)點(diǎn)盡快“結(jié)網(wǎng)”，并促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行思維的“內(nèi)化、深化和縮減”[5]，成為后續(xù)更高級(jí)心理思維操作的“對(duì)象”。在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以開(kāi)發(fā)結(jié)構(gòu)化學(xué)材包，貫穿單元學(xué)習(xí)的各個(gè)心理階段。結(jié)構(gòu)化學(xué)材是結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)材料，既關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)，也關(guān)注認(rèn)知結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)。結(jié)構(gòu)化學(xué)材是在單元整體甚至跨單元、跨學(xué)科視角下對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行重組，基于兒童認(rèn)知特點(diǎn)，指向兒童結(jié)構(gòu)性思維發(fā)展的可視化、易操作的工具支架，它采用形式多樣的表達(dá)形式，吸引兒童注意，適合兒童同時(shí)進(jìn)行外在的具象操作和內(nèi)在的心理經(jīng)歷，支持兒童思維向縱深發(fā)展。下面就以蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”單元為例，描述結(jié)構(gòu)化學(xué)材引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展具體學(xué)習(xí)的軌跡：

“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”利用結(jié)構(gòu)化的學(xué)材包，支持學(xué)生一致性的學(xué)習(xí)過(guò)程，有效地貫通知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，并將小數(shù)納入到自然數(shù)體系中，形成了自然數(shù)和小數(shù)整體性的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

一致性視角是小學(xué)數(shù)學(xué)教師分析教材和設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)過(guò)程的全新視角，可以幫助教師更好地理解學(xué)習(xí)，落實(shí)“學(xué)為中心”的思想，聚焦如何“減負(fù)增效”。而在一致性視角下進(jìn)行的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也必將讓學(xué)生學(xué)得有趣、學(xué)得輕松、學(xué)得深刻。

參考文獻(xiàn)

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*該文為南京市“十四五”教師教育綜合改革研究專項(xiàng)課題“知行合一：小學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐智慧的培育研究”（LJG＼2021＼09）的研究成果