帶啟動時間及不耐煩策略的多重休假M[X](λ1,λ2)/G/1排隊

王 莉, 朱翼雋

(1.宿遷學(xué)院 文理學(xué)院, 江蘇 宿遷 223800; 2.江蘇大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

隨著排隊論理論的逐步發(fā)展和完善,學(xué)者們根據(jù)在實際應(yīng)用中出現(xiàn)的各類情況,分別對各種排隊模型進行研究,對休假排隊系統(tǒng)的研究[1-3]也逐漸增多,其中具有代表性的M/G/1型休假排隊系統(tǒng)是典型的一類,學(xué)者們在此基礎(chǔ)上紛紛構(gòu)造了不同的模型[4-9]并給出了一系列有價值的觀點和研究理論.比如在M/G/1型休假排隊模型中考慮閑期、啟動期、不耐煩策略、負(fù)顧客、單重休假、多重休假等各種因素,如朱翼雋,徐劍研究的多重休假的M/M/c排隊系統(tǒng)[2].這些模型是在經(jīng)典M/G/1排隊的各種邊界狀態(tài)變體基礎(chǔ)上加入了一些條件進行研究的.

本文在前人研究的休假模型基礎(chǔ)上,建立了一個到達率不同并且是批量到達的M/G/1多重休假排隊模型,并在模型中考慮了服務(wù)臺工作前有啟動期的情況.

1 模型描述

一個V內(nèi)進入系統(tǒng)的顧客數(shù)為零的概率是

設(shè)Ln為接受完服務(wù)的第n個顧客離開后系統(tǒng)中的顧客數(shù),n=0,1,…,則{Ln,n≥1}是隊長過程的嵌入Markov鏈,從而有如下關(guān)系

(1)

其中An+1為服務(wù)第n+1個顧客時進入系統(tǒng)的顧客數(shù),且A1,A2,…,An,…獨立同分布;批量到達的顧客數(shù)服從復(fù)合泊松分布.一個服務(wù)期內(nèi)到達的批量數(shù)Ag和顧客數(shù)A滿足如下關(guān)系

A=G(1)+…+G(Ag)，

其中{G(n),n=1,2,…,Ag}與G獨立同分布;得A的母函數(shù)為

(2)

先求如下分布

其中Qb為轉(zhuǎn)入忙期時系統(tǒng)中過的顧客數(shù),且

ξi=P{進入i個顧客|一次假期內(nèi)有顧客進入系統(tǒng)}=

從而可以求出Qb的母函數(shù)

(3)

由上式可知

2 穩(wěn)態(tài)隊長和等待時間的隨機分解

當(dāng)ρ=λ3gμ-1<1時,系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài).記

定理1 設(shè)ρ<1時,分解式L=L0+Ld成立,其中L0,Ld相互獨立,則L0的母函數(shù)[3]

附加隊長Ld的母函數(shù)為

(4)

證明在第n個顧客離去時有無顧客的條件下,根據(jù)式(1),兩邊取母函數(shù),得

E(zLn+1)=E(zLn+An+1-1|Ln>0)P(Ln>0)+E(zQb+An+1-1|Ln=0)P(Ln=0)=

因為{Ln,n≥0}獨立同分布,將式(2)和式(3)代入上式,整理得

{1-[1-v*(λ1p)]-1U*[λ2(1-G(z))][v*(λ1p(1-G(z)))-v*(λ1p)]}

(5)

使用正規(guī)化條件L(1)=1及L’Hospital法則得到π0=(1-ρ)β-1.將其代入式(5),得到

(6)

由上式可得到式(4).

由定理1，容易給出下列均值公式，

定理2 若ρ<1,則穩(wěn)態(tài)等待時間W可分解成兩個獨立隨機變量之和W=W0+Wd,其中W0的LST[3]

附加延遲Wd的LST

(7)

(8)

根據(jù)式(6),服務(wù)完一個大顧客后系統(tǒng)中大顧客數(shù)的概率母函數(shù)為

(9)

其中β1=β,Gg(z)=z.

當(dāng)λ1≠λ2≠λ3時,利用同樣方法化簡，可得

(10)

如果在大顧客中排在一個目標(biāo)顧客之前的逗留顧客數(shù)為G-,利用更新過程[10],兩個連續(xù)更新點間隔為批量長G,而G-概率分布和母函數(shù)分別為

(11)

從而可以得到批量等待時間Ws的LST

(12)

再根據(jù)式(10)和式(12)，有

(13)

從而得出式(7),證畢.

由式(7)和式(13)，容易給出下列均值公式

從定理1和定理2不難看出當(dāng)λ1=λ2=λ時,E(Ld)=λE(Wd)滿足Little公式.

3 忙期和忙循環(huán)

從而得出平均忙期

特殊地,當(dāng)λ1=λ2=λ3=λ時,一個忙循環(huán)的平均長度是

記PB,PV,PU為穩(wěn)態(tài)下服務(wù)、休假及啟動在任一時間點的概率,由更新報酬定理可得

4 在線期分析

在線期是指一個休假結(jié)束直到下次休假開始的這段時間.忙期和啟動期均屬在線期.記Ts代表在線期的長度,易得在線期的均值為

5 應(yīng)用案例

例1 帶啟動時間及不耐煩等待的多重休假M/G/1排隊.

例2 帶啟動時間的多重休假M/G/1排隊.

與馬占友[8-9]的研究結(jié)果完全吻合.

例3 帶啟動時間及不耐煩等待得多重休假MX/G/1排隊.

與于艷輝等[6]的研究結(jié)果吻合.

以上特例具體指標(biāo)的結(jié)果，可以再次驗證本模型的可行性和正確性.

6 結(jié)論

模型中考慮到多重工作休假系統(tǒng)在實際應(yīng)用中的復(fù)雜多變的情形,將簡單的休假模型復(fù)雜化,添加了批量到達、啟動和不耐煩策略這些實際中的控制因素,建立了一個多重工作休假排隊系統(tǒng)的新模型,通過運用基本的排隊理論和方法得出了新模型的一系列重要的性能指標(biāo),通過幾個特殊模型的驗證也得出了該模型更具一般性,為實際運用提供了理論依據(jù),同時為工作休假進一步深入的研究也提供了參考.