學(xué)科交叉背景下數(shù)值優(yōu)化課程教學(xué)改革探索

徐麗君，王志平

（大連海事大學(xué)理學(xué)院 遼寧 大連 116026）

2020 年，教育部聯(lián)合國家發(fā)改委等多部門共同發(fā)布了有關(guān)新時代教育教學(xué)改革的意見，會上提出了促進(jìn)學(xué)科交叉融合發(fā)展的重要性，鼓勵探索交叉學(xué)科中的關(guān)鍵問題，設(shè)立一批交叉學(xué)科研究中心，培養(yǎng)擁有核心技術(shù)的高精尖人才。根據(jù)統(tǒng)計（截至2019 年5 月31 日），高校自設(shè)交叉學(xué)科名單中，涉及數(shù)學(xué)學(xué)科的有數(shù)據(jù)科學(xué)、金融工程、工業(yè)與系統(tǒng)工程、數(shù)理經(jīng)濟(jì)、生物信息學(xué)、醫(yī)學(xué)生物信息學(xué)、計算材料物理學(xué)、信息處理及智能控制、計算科學(xué)等。

“數(shù)值優(yōu)化”課程源自傳統(tǒng)的“優(yōu)化方法”課程。優(yōu)化方法課程是目前數(shù)學(xué)類、統(tǒng)計學(xué)、人工智能等專業(yè)本科或研究生階段最基本、最重要的一門課程[1-2]，是一門理論性和實用性很強(qiáng)的專業(yè)課程，在交通運(yùn)輸、生產(chǎn)實際、金融經(jīng)濟(jì)、工程技術(shù)及軍事等領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用[3-4]。根據(jù)課程教學(xué)內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)不同，各高校設(shè)置的課程名稱也略有不同，比如大多數(shù)高校開設(shè)的課程名稱為最優(yōu)化方法、最優(yōu)化理論與方法等[1-6]。

以大連海事大學(xué)（以下簡稱“我?！保槔瑪?shù)學(xué)學(xué)科研究生招生目錄中有四個研究方向，即數(shù)據(jù)科學(xué)中的數(shù)學(xué)方法，組合數(shù)學(xué)及其應(yīng)用，優(yōu)化方法及其應(yīng)用，微分方程及其應(yīng)用。具體的研究內(nèi)容包括生物統(tǒng)計、機(jī)器學(xué)習(xí)、人工智能、組合優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、反問題等不同領(lǐng)域，問題背景源自多個交叉學(xué)科。根據(jù)前期調(diào)研和多年的研究生培養(yǎng)經(jīng)驗，四個研究方向都需要用到一些優(yōu)化方面的理論和算法，因此在我校2018 年研究生培養(yǎng)方案修訂工作中，將“數(shù)值優(yōu)化”新增為數(shù)學(xué)學(xué)科碩士研究生的專業(yè)必修課之一。實際上，該課程也適用于對優(yōu)化算法有需求的其他交叉學(xué)科相關(guān)專業(yè)，是一門應(yīng)用廣泛的課程，兼具數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性及相關(guān)交叉學(xué)科的實用性、實踐性。隨著社會高速發(fā)展、眾多學(xué)科交叉融合問題的出現(xiàn)，比如計算機(jī)圖像處理中的壓縮感知、人工智能中的機(jī)器學(xué)習(xí)算法、現(xiàn)代醫(yī)學(xué)中的數(shù)字影像處理和大數(shù)據(jù)分析等，對“數(shù)值優(yōu)化”這門課的教學(xué)內(nèi)容、理念、方法等方面提出了更高的要求，本文以此進(jìn)行教學(xué)改革探索，具有一定的實際意義。

1 研究現(xiàn)狀分析

目前國內(nèi)許多大學(xué)開設(shè)優(yōu)化方面的課程，常見的課程名稱為“最優(yōu)化方法”或“優(yōu)化理論與方法”等，以“數(shù)值優(yōu)化”作為課程名開設(shè)的學(xué)校較少。常見的課程內(nèi)容基本以經(jīng)典的優(yōu)化理論和方法為主，比如無約束最優(yōu)化、約束優(yōu)化的最優(yōu)性條件及求解方法等。教學(xué)內(nèi)容主要包括一些最基本和實用的經(jīng)典優(yōu)化方法和簡單算例。學(xué)生可以學(xué)到這些優(yōu)化方法的理論依據(jù)、算法框架、收斂性質(zhì)等。但是，隨著學(xué)科交叉融合時代的到來，本課程不僅需要上面所列舉的理論知識，還要求在數(shù)值上高效近似地進(jìn)行求解。然而，目前采用的教材都是偏重于理論知識，并且內(nèi)容比較陳舊，缺乏一些前沿的數(shù)值優(yōu)化算法和技巧方法。

實際上，研究生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)各異，研究方向交叉融合。許多院校沒有針對此問題開展相關(guān)教學(xué)內(nèi)容、方法等方面的改革，而部分院校僅針對特定的二級學(xué)科研究方向開設(shè)此課程。因此，針對交叉學(xué)科背景下的“數(shù)值優(yōu)化”課程一系列教學(xué)工作亟須改革，確保研究生在今后的學(xué)習(xí)和工作中能夠?qū)W以致用。另外，在課程資源方面，目前沒有一個全面系統(tǒng)的資源網(wǎng)站供學(xué)生進(jìn)行自我學(xué)習(xí)和交流，尤其是本課程側(cè)重的用于數(shù)值計算的實際案例資源。

2 教學(xué)改革探索

在教學(xué)內(nèi)容方面，課程的教材內(nèi)容應(yīng)圍繞優(yōu)化算法，簡要討論優(yōu)化問題基本概念、無約束優(yōu)化基礎(chǔ)，著重討論線搜索方法、信賴域方法、共軛梯度法和擬牛頓法的聯(lián)系與不同，以及約束優(yōu)化算法。在已有教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上增加目前交叉學(xué)科背景下廣泛應(yīng)用的大規(guī)模優(yōu)化算法、無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化算法、稀疏優(yōu)化算法和非光滑優(yōu)化算法的教學(xué)，比如LASSO、交替方向法、鄰近梯度法、深度學(xué)習(xí)算法等等。同時及時了解數(shù)值優(yōu)化的發(fā)展現(xiàn)狀和研究趨勢，結(jié)合最新研究成果和教學(xué)實際，逐步增加新的知識內(nèi)容，完成教學(xué)內(nèi)容的改革（比如參考書籍《機(jī)器學(xué)習(xí)中的優(yōu)化理論、算法及應(yīng)用》）。同時根據(jù)需要，逐步修訂與完善教學(xué)大綱。教學(xué)內(nèi)容應(yīng)強(qiáng)調(diào)算法的收斂性、復(fù)雜性和數(shù)值穩(wěn)定性分析，注重討論優(yōu)化算法的基本原理與數(shù)值計算技巧，體現(xiàn)出應(yīng)用問題的編程需要，并力圖反映交叉學(xué)科領(lǐng)域的最新成就與發(fā)展前沿。

在教育理念方面，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的傳授，由過去的單純傳授理論知識逐步轉(zhuǎn)變?yōu)槔碚撝R與思想傳授相結(jié)合。該課程一方面體現(xiàn)其工具性，通過講授優(yōu)化的基本方法及理論，使學(xué)生掌握實用的數(shù)值方法，從而能夠解決某些或某類具體的問題。另一方面體現(xiàn)其培養(yǎng)性，通過系統(tǒng)地傳授優(yōu)化方法的理論、算法和應(yīng)用，舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，當(dāng)遇到新問題時能夠應(yīng)用已有方法或?qū)σ延蟹椒ㄟM(jìn)行改進(jìn)，甚至設(shè)計新的方法求解。最后一方面是科研訓(xùn)練，在本課程中針對不同學(xué)科方向的研究生進(jìn)行科研論文研討，結(jié)合所學(xué)優(yōu)化算法，交流科研論文中的方法，幫助研究生進(jìn)入科研狀態(tài)。

在教學(xué)方法和教學(xué)手段方面，由于本課程講授大量優(yōu)化算法的理論以及它們之間的比較，非常適合將多媒體輔助教學(xué)方式引入課堂，使算法流程和比較結(jié)果直觀化。比如：線搜索方法和信賴域方法可以使用動圖對迭代點(diǎn)的尋找進(jìn)行演示。因此，有效結(jié)合多媒體和動圖軟件技術(shù)，將其融入數(shù)值優(yōu)化的課程教學(xué)中，是本課程的重要改革方向之一。此外，由“以教師為中心”向“教師-學(xué)生”研討式教學(xué)方式轉(zhuǎn)變，比如以學(xué)科方向分組進(jìn)行課程內(nèi)容的研討、報告和實驗等。另外，充分利用現(xiàn)代教學(xué)手段，增強(qiáng)課堂教學(xué)效果，使學(xué)生盡可能地理解并掌握優(yōu)化算法的知識。例如：制作生動具體的PPT 課件，將抽象的概念利用圖片動態(tài)演示，將數(shù)值算法可視化，幫助學(xué)生理解算法的原理及不同算法的效率，同時節(jié)省課堂抄寫定理定義的時間，提高課堂效率；利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)軟件（如Matlab/R/Python等）驗證程序的正確性和可用性，加強(qiáng)了學(xué)生對知識的理解，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

在課程考核方面，課程傳統(tǒng)的考核方式注重學(xué)生數(shù)學(xué)知識的掌握，忽略了對其創(chuàng)新能力、動手能力的要求。為了培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，除了要求學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件或其他編程語言在實驗課上編寫程序這種常規(guī)做法外，還需要設(shè)計交叉學(xué)科方向的具有實際應(yīng)用背景的、創(chuàng)新型試驗習(xí)題，讓學(xué)生利用計算機(jī)編寫軟件，此部分作為課程考核的補(bǔ)充部分。

在課程資源方面，整合學(xué)科交叉方向知識點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)資源，建設(shè)目前沒有的課程資源，不僅包括常規(guī)的教學(xué)課件、代碼等，還包括一些應(yīng)用優(yōu)化算法的實踐案例資源，是一些優(yōu)化算法的前沿進(jìn)展，便于學(xué)生學(xué)習(xí)、交流、研討。同時，讓同學(xué)們參與資源搜索、分享等工作，鍛煉搜索相關(guān)文獻(xiàn)資源的能力。

3 航運(yùn)學(xué)科背景下的教學(xué)案例

我校作為航運(yùn)特色高校，堅持航運(yùn)特色，注重交叉融合，在數(shù)學(xué)學(xué)科建設(shè)過程中，重點(diǎn)圍繞我校一流學(xué)科“交通運(yùn)輸工程”的幾個研究方向，例如船舶運(yùn)輸安全保障技術(shù)、高效海運(yùn)物流系統(tǒng)與運(yùn)營管理技術(shù)、智能船舶開發(fā)及運(yùn)用技術(shù)等。經(jīng)過近年來多學(xué)科之間的交流探討，發(fā)現(xiàn)上述研究領(lǐng)域中用到很多數(shù)值優(yōu)化方面的理論和算法。下面以如船舶智能配載中的優(yōu)化問題為例，介紹本課程的教學(xué)改革成效。在貨船配載中需要考慮很多因素，比如裝船時間、船艙利用率、裝載效率、倒箱量等，這些因素可以作為優(yōu)化問題中的目標(biāo)函數(shù)；比如吃水深度、穩(wěn)定性、船艙容量、堆裝規(guī)則以及客戶需求等可以作為優(yōu)化問題中的約束條件。在本課程教學(xué)過程中，以此問題為背景，可以引出眾多優(yōu)化子問題，比如船舶浮態(tài)平衡計算的優(yōu)化問題、集裝箱裝卸中的整數(shù)規(guī)劃問題、裝卸貨物倒箱量極小化問題等。進(jìn)一步講解其中將用到的一些算法，比如傳統(tǒng)的線搜索、信賴域等算法和遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等啟發(fā)式算法。同時，課程中還引入了目前流行的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、深度學(xué)習(xí)、機(jī)器學(xué)習(xí)等方法，供同學(xué)們進(jìn)行自由式、自主性探索。課程考核方面，讓同學(xué)們分組進(jìn)行討論，針對某一子問題，通過文獻(xiàn)搜索、建模、設(shè)計算法、模擬實驗等步驟，完成一份科研報告或論文。在此過程中，既將本課程所學(xué)的優(yōu)化算法進(jìn)行了實際應(yīng)用，又使得同學(xué)們在研一上學(xué)期鍛煉了基本的科研能力，對研究生系統(tǒng)科研素質(zhì)的培養(yǎng)奠定了一定的基礎(chǔ)。有的研究生還以此為研究方向，繼續(xù)開展深入的研究，恰好符合了“以成果為導(dǎo)向”的OBE 教育理念。同時，本課程也實現(xiàn)了以教學(xué)促科研、以科研補(bǔ)教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)，尤其對于航海類方向的研究生，達(dá)到了因材施教，學(xué)以致用的教學(xué)目的。

4 實施教學(xué)改革遇到的問題

教學(xué)內(nèi)容上要兼顧交叉學(xué)科不同研究方向的背景，新內(nèi)容的引入給課堂組織和教學(xué)帶來了一定困難，需要在課程內(nèi)容方面做好取舍，使學(xué)生掌握優(yōu)化基本知識的同時，順其自然地涉獵新知識。

在開展課程教學(xué)的同時進(jìn)行科研訓(xùn)練，結(jié)合“教師-學(xué)生”研討式教學(xué)，需合理安排時間和教學(xué)進(jìn)度。以我校數(shù)值優(yōu)化課程為例，該課程總學(xué)時48 課時，根據(jù)近兩年的研討式教學(xué)經(jīng)驗，研討式教學(xué)課時需控制在16 課時以內(nèi)，并且課程內(nèi)容要相對簡單，不能有過多的定理證明和推導(dǎo)等。

多媒體教學(xué)是把雙刃劍，一方面，大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維。另一方面，在教學(xué)過程中教師如果運(yùn)用不當(dāng)，也會造成一定的負(fù)面影響。多媒體教學(xué)信息量很大，相比于板書教學(xué)進(jìn)程快，許多學(xué)生不能記筆記或者忙于記筆記，忽視了老師的課堂講解，不能很好地適應(yīng)多媒體教學(xué)。因此，教師一定要采取板書和多媒體相結(jié)合的方式進(jìn)行講授，比如算法的理論演示可以采用多媒體進(jìn)行教學(xué)，而部分關(guān)鍵理論推導(dǎo)和算法框架可以采取板書教學(xué)，這樣能夠有效提高學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效率。

課程思政的融入是為貫徹習(xí)近平總書記有關(guān)“與思想政治理論課同向同行”的講話精神，也是目前很多高校課程面臨的問題。如何挖掘本課程中的思政元素，需要集思廣益，在課程教學(xué)過程中進(jìn)一步交流探討。

5 結(jié)語

在交叉學(xué)科背景下，很多研究方向都需要優(yōu)化的理論和算法，數(shù)值優(yōu)化在其中扮演著重要的角色。本文通過對數(shù)值優(yōu)化課程的教學(xué)改革，基于OBE 成果為導(dǎo)向的教育理念，將教學(xué)與科研融合，以教學(xué)促科研，以科研補(bǔ)教學(xué)。通過向“教師-學(xué)生”互動研討式教學(xué)方式轉(zhuǎn)變，結(jié)合專業(yè)方向的實際需求，達(dá)到因材施教、學(xué)以致用的目的。從而達(dá)到鍛煉研究生自主學(xué)習(xí)能力、增強(qiáng)其創(chuàng)新能力、提升其科研素養(yǎng)的目的，為培養(yǎng)適應(yīng)科技發(fā)展的新時代人才奠定基礎(chǔ)。