數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

山東省濟(jì)寧市泗水縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王亞麗

數(shù)學(xué)的運(yùn)用貫穿課內(nèi)課外，而數(shù)學(xué)非常重視思維，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。了解數(shù)學(xué)思想應(yīng)該從基礎(chǔ)開(kāi)始，數(shù)形結(jié)合思想是其中重要、基礎(chǔ)、有效解決問(wèn)題的環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)內(nèi)容可以概括為四點(diǎn)，分別是空間與圖形、數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、實(shí)踐與綜合，這些都與數(shù)形結(jié)合密不可分。在解題中，如果熟練使用數(shù)形結(jié)合的思想方法，善于由數(shù)想形由形思數(shù)，相輔相成，一定可以提高解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位

數(shù)形結(jié)合思想方法，可以讓學(xué)生初步建立數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和知識(shí)框架。這是由于它的兩方面的作用：數(shù)形結(jié)合的方式能讓學(xué)生初步將形象思維和抽象思維聯(lián)合，可以先具體對(duì)知識(shí)框架作梳理，再?gòu)挠袡C(jī)結(jié)合的方式抽象思維，發(fā)展較為同步，能初步推動(dòng)學(xué)生辯證能力的發(fā)展。除此之外，數(shù)形結(jié)合也能幫助學(xué)生更多的思考，進(jìn)一步幫助學(xué)生在面臨難題時(shí)，從多角度、多元化的方向獨(dú)立思考問(wèn)題，這樣對(duì)學(xué)生多向性思維的形成非常有幫助；數(shù)與形的結(jié)合幫助學(xué)生把靜態(tài)思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的思維方式，這種轉(zhuǎn)變改變了思維方式，使學(xué)生從變化、運(yùn)動(dòng)、聯(lián)系的角度進(jìn)行問(wèn)題的思考，使問(wèn)題的本質(zhì)能得到更好地體現(xiàn)。

二、數(shù)形結(jié)合原則

（一）等價(jià)性原則

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法引導(dǎo)學(xué)生思維時(shí)，要遵循等價(jià)性原則，避免解題出現(xiàn)漏洞，概述性質(zhì)和結(jié)合性質(zhì)在轉(zhuǎn)化時(shí)必須通過(guò)等價(jià)的方式，有機(jī)結(jié)合，因?yàn)閳D形具有一定的局限性，在表現(xiàn)代數(shù)的一般性時(shí)無(wú)法從完整的角度均衡，在這個(gè)階段，通過(guò)圖形的簡(jiǎn)單說(shuō)明，可以更具體地轉(zhuǎn)化抽象方式，證明數(shù)形結(jié)合也是抽象的具體轉(zhuǎn)變。

（二）雙向性原則

數(shù)形結(jié)合時(shí)也要遵循雙向性原則。對(duì)代數(shù)和幾何通過(guò)直觀的分析，加入抽象元素，能進(jìn)一步推動(dòng)學(xué)生，從代數(shù)的角度分析，通常并不能得到答案。解析幾何問(wèn)題時(shí)，也可以采用數(shù)形結(jié)合的方式綜合分析，充分利用特征，能更加快速地解決問(wèn)題。

（三）簡(jiǎn)單性原則

簡(jiǎn)單性原則更多的是在構(gòu)造圖形時(shí)需要將代數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形的過(guò)程簡(jiǎn)單化，通過(guò)更直觀的圖形找準(zhǔn)問(wèn)題所在。這樣不僅可以將原本復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，也可以縮短解題時(shí)間，避免繁瑣的過(guò)程，符合簡(jiǎn)潔要求，這也是代數(shù)簡(jiǎn)潔性的完美體現(xiàn)，能在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中更加具有創(chuàng)新性、藝術(shù)性。學(xué)生在解題時(shí)，應(yīng)該先確定解題思路，解題的方法很多，學(xué)生通常選擇更為簡(jiǎn)便的方法解決問(wèn)題，當(dāng)然如果為了從更廣的范圍去解決問(wèn)題，也可以運(yùn)用更多的方法。

（四）直觀性原則

直觀性原則是教學(xué)的原則之一，通過(guò)教師的圖形描述，能更直觀地讓學(xué)生感知代數(shù)的魅力，初步了解事物模型，獲得感情認(rèn)知，這充分反映了學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的發(fā)展規(guī)律。通過(guò)直觀性原則，能進(jìn)一步加強(qiáng)具體和抽象的聯(lián)系，兩者概念的結(jié)合有助于推動(dòng)學(xué)生思維能力的成長(zhǎng)，發(fā)展觀察能力。進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱情和積極性，促進(jìn)知識(shí)框架構(gòu)建，了解更多代數(shù)的魅力。善用坐標(biāo)和圖像之類(lèi)的“形”表示復(fù)雜的代數(shù)關(guān)系，使得整個(gè)解題思路清晰直觀。

（五）實(shí)踐創(chuàng)新原則

師生在數(shù)學(xué)練習(xí)中可以采用創(chuàng)新教育重新體驗(yàn)數(shù)學(xué)定律和思維，讓數(shù)形結(jié)合在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中更好地發(fā)揮作用，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中采用數(shù)形結(jié)合的方式，也能充分鍛煉學(xué)生，構(gòu)建知識(shí)框架，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，增加自信心。數(shù)形結(jié)合一定程度上也可以拓寬學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，幫助學(xué)生建立動(dòng)態(tài)思維模式，為思維的發(fā)展作好鋪墊。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題

韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問(wèn)題時(shí)通常會(huì)采用圓表示，當(dāng)兩個(gè)圓相交，集合之間包含公共元素，這種方式也能直觀地解決集合之間的問(wèn)題。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在解決對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中的應(yīng)用

一般而言，可以采用對(duì)稱(chēng)的方式將兩條折線化為對(duì)稱(chēng)的值，在求最小值時(shí)，在已知曉的直線中，求得距離之和，可以采用數(shù)形結(jié)合的方式，更直觀地展現(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。在求最大值時(shí)，兩點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為同側(cè)。

（三）數(shù)形結(jié)合解決最值問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合主要涉及的是圖形性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系之間的互相轉(zhuǎn)化，這也是中學(xué)數(shù)學(xué)中使用數(shù)量關(guān)系的重要步驟。教師在此階段可采用數(shù)形結(jié)合的方式，將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系，更直觀地展現(xiàn)求值的簡(jiǎn)單方法，為學(xué)生開(kāi)拓視野。現(xiàn)在使用的高中教材解析幾何一章中，簡(jiǎn)單闡述了規(guī)劃內(nèi)容，從線性的角度出發(fā)，使用圖解法對(duì)目標(biāo)函數(shù)求解，能進(jìn)一步展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的方式對(duì)教學(xué)的影響，也能推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)講解。數(shù)形結(jié)合能將抽象的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從最直觀的角度展現(xiàn)人們對(duì)數(shù)形結(jié)合的思考，進(jìn)一步推動(dòng)教學(xué)發(fā)展，也能在解題過(guò)程中，提高學(xué)生對(duì)幾何代數(shù)的了解，拓寬思路，提高思維靈活性，進(jìn)一步推動(dòng)學(xué)生成長(zhǎng)。

四、數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用途徑

（一）通過(guò)坐標(biāo)系解題

圖形問(wèn)題代數(shù)化時(shí)，通常會(huì)采用坐標(biāo)解決問(wèn)題，這在幾何問(wèn)題中是較為常見(jiàn)的解決方法，采用副平面或坐標(biāo)系的方式，能更好地解決代數(shù)問(wèn)題，當(dāng)然在解決數(shù)形結(jié)合問(wèn)題時(shí)，也可以采用三角函數(shù)的輔助角類(lèi)型，更恰當(dāng)?shù)貙?shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合通常要注重實(shí)數(shù)和數(shù)軸的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，相應(yīng)的函數(shù)和方程之間應(yīng)有對(duì)角關(guān)系和對(duì)應(yīng)關(guān)系，曲線與方程之間也需要存在一定的呼應(yīng)。當(dāng)采用幾何元素和幾何條件做大背景時(shí)，需要注意函數(shù)概念的建立，在此條件下，給出概述類(lèi)結(jié)構(gòu)。

解決問(wèn)題的方法有解析法、三角法和向量法。采用解析法解決問(wèn)題，可以根據(jù)不同的問(wèn)題建立不同的坐標(biāo)系，在圖形轉(zhuǎn)換的過(guò)程中重新建立坐標(biāo)之間的代數(shù)關(guān)系，這是一種較為方便的方式；三角法重點(diǎn)采用三角代數(shù)的知識(shí)，可以將幾何問(wèn)題和三角形相互聯(lián)系，建立起新的結(jié)構(gòu)；使用向量法，可以運(yùn)用向量的運(yùn)算解決幾何中存在的問(wèn)題，這種方式可以將繁瑣的幾何推理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)問(wèn)題，再使用空間向量法解決。幾何中存在的問(wèn)題并不少見(jiàn)，這種抽象的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換方式也是當(dāng)前教學(xué)的主流，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系能合理實(shí)現(xiàn)數(shù)形的轉(zhuǎn)換，也能讓兩者之間相互呼應(yīng)，解析幾何中兩點(diǎn)之間的距離和直線之間的截距。

（二）通過(guò)轉(zhuǎn)化構(gòu)造解題

初步了解數(shù)學(xué)的基本思想和基本思維后，對(duì)模式的建立和要素的分析，能從更加合理的方式轉(zhuǎn)換新元素和新元素之間的聯(lián)系，也可以恰當(dāng)解決。這種轉(zhuǎn)換方式是通過(guò)知識(shí)框架構(gòu)造的形式推動(dòng)的。構(gòu)造法內(nèi)容較為廣泛，沒(méi)有固定的模式，更多的是面對(duì)不同的抽象問(wèn)題使用不同的方法。其中最基本的方式是將兩個(gè)同類(lèi)型的問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比，在解決的過(guò)程中，觀察題目的特點(diǎn)和重點(diǎn)采用更加新穎和創(chuàng)新的方式解決，面對(duì)困難問(wèn)題按照固定的思維去尋找解決途徑是較為麻煩的，采用特點(diǎn)的觀察能更進(jìn)一步展開(kāi)聯(lián)想。構(gòu)造法基于此，可以提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和思維能力，在面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)也能恰當(dāng)解決，代數(shù)結(jié)構(gòu)具有它們相對(duì)應(yīng)的幾何意義，數(shù)形的轉(zhuǎn)化在此狀態(tài)中也具有了一定基礎(chǔ)代數(shù)的結(jié)合和結(jié)合的轉(zhuǎn)換，可以通過(guò)函數(shù)的圖象重新構(gòu)造，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要幾何圖形的融合。函數(shù)與數(shù)據(jù)結(jié)合，能更進(jìn)一步地解決繁瑣的問(wèn)題。

五、結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展具有推動(dòng)的意義，可以不斷擴(kuò)寬學(xué)生解題的視野，推動(dòng)思維能力成長(zhǎng)，所以培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)該從學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)中做起，在解決問(wèn)題時(shí)把圖形與數(shù)字結(jié)合，快速在腦海中進(jìn)行運(yùn)算，不斷熟練應(yīng)用，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加靈活。教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，要注重學(xué)生思維的培養(yǎng)和知識(shí)框架的構(gòu)建，首先要對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行深層次的解讀，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，再將數(shù)形結(jié)合融入到教材中，學(xué)生能靈活運(yùn)用“數(shù)”與“形”的關(guān)系，真正了解數(shù)形結(jié)合的概念，將其融入到實(shí)際生活中，提升實(shí)際問(wèn)題解決能力。