具非線性對(duì)流項(xiàng)熱傳導(dǎo)方程的有限差分法

張繼紅，欒舒含，梁波

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)

本文考慮如下帶有初邊值條件的具非線性對(duì)流項(xiàng)主部為熱傳導(dǎo)算子的對(duì)流擴(kuò)散方程：

(1)

式中:x∈(a,b);t∈(0,T);指數(shù)p是參數(shù).

許多物理現(xiàn)象，比如液體薄片在重力作用下的運(yùn)動(dòng)情況，流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)等都與方程(1)有關(guān).Kamin[1]證明了不帶對(duì)流項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)滲流方程源型解的存在唯一性；Brezis等[2]給出了具有吸收項(xiàng)的熱傳導(dǎo)方程測(cè)度初值問(wèn)題解的存在性；盧國(guó)富證明了具非線性對(duì)流項(xiàng)主部為熱傳導(dǎo)算子的對(duì)流擴(kuò)散方程的源型解[3].

近年來(lái)，對(duì)這類非線性偏微分方程的數(shù)值求解[4]也取得了很大進(jìn)展，尤其是與Matlab軟件相結(jié)合，借助Matlab的數(shù)值計(jì)算和圖形處理技術(shù)[5]，使得非線性偏微分方程解的意義更好理解.

本文主要研究具非線性對(duì)流項(xiàng)熱傳導(dǎo)方程的有限差分法實(shí)現(xiàn)，重點(diǎn)研究當(dāng)參數(shù)p變化時(shí)，對(duì)方程的數(shù)值解會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響.

1 有限差分法

考慮內(nèi)網(wǎng)點(diǎn)(xk,tn)處，原方程成立：

ut(xj,tn)-uxx(xj,tn)+|ux(xj,tn)|p=f(xj,tn)

整理可得

(2)

與初邊值條件相應(yīng)的差分方程為：

(3)

方程(2)與(3)聯(lián)立，即為與方程(1)相對(duì)應(yīng)的差分方程.

2 數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

對(duì)具非線性對(duì)流項(xiàng)熱傳導(dǎo)方程(1)，用差分格式(2)、(3)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，區(qū)間設(shè)為[0,π]，空間步長(zhǎng)、時(shí)間步長(zhǎng)分別取h=π/30、τ=0.001.

下面針對(duì)具體例子給出相應(yīng)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，重點(diǎn)研究參數(shù)p對(duì)差分解的影響情況.

當(dāng)參數(shù)p=1，時(shí)刻T=1時(shí)，可以得到相應(yīng)的差分解，并與方程(1)的真實(shí)解u(x,t)=t2+sinx進(jìn)行比較，得到的圖像分別如圖1～圖3所示.圖1為p=1，T=1時(shí)相應(yīng)的數(shù)值解與真實(shí)解的對(duì)比圖，圖中可以看出數(shù)值解完全落在真實(shí)解的曲線上.圖2為p=1，時(shí)間t在[0,1]變化時(shí)的三維動(dòng)態(tài)數(shù)值解模擬圖.圖3為p=1，時(shí)間t在[0,1]變化時(shí)的數(shù)值解與真實(shí)解絕對(duì)誤差圖.圖中可以看到絕對(duì)誤差不超過(guò)0.012，也就是說(shuō)局部截?cái)嗾`差可以達(dá)到O(h2).

圖1 數(shù)值解與真實(shí)解對(duì)比圖

圖2 數(shù)值解三維圖像

圖3 數(shù)值解與真實(shí)解絕對(duì)誤差三維圖

表1、表2分別給出了取不同參數(shù)p時(shí)，不同時(shí)刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)對(duì)比表.表1給出了p>1時(shí)，不同時(shí)刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)情況；表2給出了p<1時(shí)，不同時(shí)刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)情況.由表1可以看出，當(dāng)p>1，L∞,L2數(shù)量級(jí)基本穩(wěn)定在O(h2)時(shí)，當(dāng)p發(fā)生變化，誤差并沒(méi)有明顯增長(zhǎng)，且隨著時(shí)刻T的增加，誤差也沒(méi)有明顯增長(zhǎng)，數(shù)值結(jié)果保持穩(wěn)定.由表2可以看出，當(dāng)p<1，L∞,L2數(shù)量級(jí)也基本穩(wěn)定在O(h2)時(shí)，當(dāng)p發(fā)生變化，誤差數(shù)量級(jí)沒(méi)有明顯增長(zhǎng)，但是隨著參數(shù)p的變小，尤其是p=0.1時(shí)，誤差范數(shù)隨時(shí)間變化較大，兩種誤差范數(shù)都明顯增大，不能保持?jǐn)?shù)值結(jié)果的穩(wěn)定性.

表1 p>1時(shí)在不同時(shí)刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)對(duì)比表

表2 p<1時(shí)在不同時(shí)刻T相應(yīng)的誤差范數(shù)對(duì)比表

3 結(jié)論

具非線性對(duì)流項(xiàng)熱傳導(dǎo)方程具有一定的研究意義，對(duì)其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可以更加方便地研究和解決實(shí)際問(wèn)題.本文引入了具非線性對(duì)流項(xiàng)熱傳導(dǎo)方程的有限差分法，通過(guò)具體算例，探討了當(dāng)參數(shù)p發(fā)生變化時(shí)，相應(yīng)的差分解是否會(huì)發(fā)生改變的情況.當(dāng)p>1時(shí)，對(duì)差分解的影響不大，并且當(dāng)計(jì)算過(guò)程長(zhǎng)時(shí)間進(jìn)行時(shí)，數(shù)值結(jié)果依然能保持穩(wěn)定；當(dāng)p<1，計(jì)算結(jié)果也沒(méi)有發(fā)生明顯變化，但是參數(shù)p取得過(guò)小，可能會(huì)使數(shù)值結(jié)果不穩(wěn)定.